专题测试卷04 三角函数与解三角形（名校重组卷）-备战2025年高考数学重难点专题突破（新高考专用）

专题04 三角函数 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟。 2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。 3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．（2024山大附中模拟）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A．0 B． C． D． 2．（2024福建泉州第五中学一模）已知函数的周期为，且在区间内单调递增，则可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2024年高考数学真题）在中，内角所对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024山东潍坊三模）如图，半径为1的圆与轴相切于原点，切点处有一个标志，该圆沿轴向右滚动，当圆滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为)，标志位于点处，圆与轴相切于点，则阴影部分的面积是（    ）    A．2 B．1 C． D． 5．（2024天津河北区二模）函数，则的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．（20224河北省“五个一”名校联盟联考）当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2024陕西模拟）已知，若函数有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024湖南衡阳模拟）已知函数的定义域为，且满足以下性质：①在内存在零点；②对于任意，有；③在内不单调，但是它的图像连续不断，则可以是：（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（2024浙江诸暨三模）若，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024山东烟台三模）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A．边上的高为 B．为定值 C．的最小值为2 D．若，则 11．（2024浙江舟山模拟）已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A．直线是曲线的对称轴 B．在区间单调递减 C．在区间有1个极值点． D．直线是曲线的切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2024河北二模）已知函数在区间上的值域均为，则实数的取值范围是 ． 13．（2024云南质检）周末，小华到崇圣寺三塔景区进行研学活动，他准备测量主塔——千寻塔的高度.如图，小华身高1.7米，他站的地点和千寻塔塔底在同一水平线上，他直立时，测得塔顶的仰角（点在线段上，.忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段向塔前进100米到达点，在点直立时，测得塔顶的仰角，则可求得塔高为 米（参考数据0.68）；若塔顶端包含一个塔尖，且约8米，小华在线段间走动到点时，他直立看塔尖的视角最大（即最大），则此时他距离塔身的距离（即）为 米. 14．（2025甘肃模拟）已知，若，使成立，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2024西藏联考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)若的平分线交于点，且，，求的面积． 16．（2024上海浦东三模）已知，其中，. (1)若，函数的最小正周期T为，求函数的单调减区间； (2)设函数的部分图象如图所示，其中，，求函数的最小正周期T，并求的解析式. 17．（2024东北三省模拟）如图，在平面内，四边形满足，点在的两侧，，，为正三角形，设.    (1)当时，求； (2)当变化时，求四边形面积的最大值. 18．（2024吉林模拟）已知函数． (1)若，求的值域； (2)若关于x的方程有三个连续的实数根，，，且，，求a的值． 19．（2024新疆5月适应性检测）已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质． (1)判断函数，是否具有性质；（直接写出结论） (2)已知函数（，），判断是否存在，，使函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由； (3)设函数具有性质，且在区间上的值域为．函数，满足，且在区间上有且只有一个零点．求证：． 试卷第2页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角函数 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟。 2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。 3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．（2024山大附中模拟）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数的定义即可求得，从而得到结果. 【详解】由题意可得，则，所以， 所以. 故选：B 2．（2024福建泉州第五中学一模）已知函数的周期为，且在区间内单调递增，则可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数周期排除AB，根据函数的单调性判断CD即可. 【详解】因为函数的周期为， 所以当时，对正、余弦函数来说，，故排除AB， 当时，， 因为在上单调递增，故C正确，D错误. 故选：C 3．（2024年高考数学真题）在中，内角所对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理得，利用余弦定理有，再利用正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 4．（2024山东潍坊三模）如图，半径为1的圆与轴相切于原点，切点处有一个标志，该圆沿轴向右滚动，当圆滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为)，标志位于点处，圆与轴相切于点，则阴影部分的面积是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出劣弧的长，再利用扇形面积公式计算即得． 【详解】由圆与圆外切，得， 又圆，圆与轴分别相切于原点和点，则， 所以劣弧长等于， 所以劣弧对应的扇形面积为. 故选：B 5．（2024天津河北区二模）函数，则的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇偶性排除AB；根据特殊值的函数值排除D，即可得解. 【详解】函数的定义域为， 因为， 所以函数为奇函数，故排除AB； 又因为，故排除D. 故选：C. 6．（20224河北省“五个一”名校联盟联考）当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简得到，再由，结合三角函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由，可得， 因为，可得，所以， 可得， 又因为， 所以 即， 因为， 因为，可得，所以， 则，则， 要使得不等式，即恒成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 7．（2024陕西模拟）已知，若函数有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数判断在和上各有1个零点，转化为当时，有2个零点，利用正弦型函数的性质建立不等式求解即可. 【详解】当时，，当时，单调递增； 当时，单调递减． 又，，，所以在和上各有1个零点． 又因为有4个根，所以当时，有2个零点， 因为，所以，即， 解得． 故选：B． 8．（2024湖南衡阳模拟）已知函数的定义域为，且满足以下性质：①在内存在零点；②对于任意，有；③在内不单调，但是它的图像连续不断，则可以是：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对选项中的函数逐个验证各性质，判断结果. 【详解】对于A：，指数型复合函数，单调递增，③不符合. ，，①不符合.，②符合. 故A错； 对于B：，当，即时，①符合. ，②符合. 由①可知，在内不单调，但是它的图象连续不断，③符合. 故B正确. 对于C：，当，即时，①符合. ，②不符合. 由①知，在内不单调，但是它的图象连续不断，③符合. 故C错； 对于D：，当，即时，①符合； ，②不符合； 在内不单调，由定义域可知它的图象是断开的，③不符合. 故D错； 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（2024浙江诸暨三模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先根据同角三角函数关系弦化切求出正切，再根据二倍角计算求解即可. 【详解】因为分子分母都乘以,所以 可得,故A选项正确，,B选项错误； ,C选项错误； ,D选项正确. 故选：AD. 10．（2024山东烟台三模）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A．边上的高为 B．为定值 C．的最小值为2 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对A，根据边上的高为求解即可；对B，由正弦定理结合三角恒等变换化简即可；对C，由正弦定理结合三角恒等变换化简，结合B中，再根据基本不等式求解即可；对D，根据三角形内角关系，结合两角和差的正切公式与正弦定理判断即可. 【详解】对A，边上的高为，由题意，故A正确； 对B，由正弦定理即， 故， 又锐角，故，即，故B正确； 对C，， 又，故 ，当且仅当， 即时取等号，此时，，与锐角矛盾，故C错误； 对D，， 即，又，即， 故，解得，故. 则，即，解得. 故，，或，. 不妨设，， 则，， 故，，， 故，由正弦定理，故D正确. 故选：ABD 11．（2024浙江舟山模拟）已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A．直线是曲线的对称轴 B．在区间单调递减 C．在区间有1个极值点． D．直线是曲线的切线 【答案】BCD 【分析】直接利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的判断各选项. 【详解】因为的图象关于点对称， 所以，，所以， 因为，所以，故， 对于A，令，，得，，A显然错误； 对于B，令，解得，故在单调递减，B正确； 对于C，，,， 根据函数的单调性，函数在区间只有一个极值点，故C正确； 对于D，，求导可得，， 令，即， 则或，解得或， 故函数在点处的切线斜率为， 故切线方程为，即， 直线显然与相切，故直线显然是曲线的切线，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2024河北二模）已知函数在区间上的值域均为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当时，，当时，，在结合正弦函数图像可得到，求出即可. 【详解】当时，，当时，. 因为函数在区间上的值域均为， 而，，所以. 又因为，, 所以，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 13．（2024云南质检）周末，小华到崇圣寺三塔景区进行研学活动，他准备测量主塔——千寻塔的高度.如图，小华身高1.7米，他站的地点和千寻塔塔底在同一水平线上，他直立时，测得塔顶的仰角（点在线段上，.忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段向塔前进100米到达点，在点直立时，测得塔顶的仰角，则可求得塔高为 米（参考数据0.68）；若塔顶端包含一个塔尖，且约8米，小华在线段间走动到点时，他直立看塔尖的视角最大（即最大），则此时他距离塔身的距离（即）为 米. 【答案】 【分析】根据题意在中，由正弦定理可求的值，进而求解的值，即可根据即可计算；设，利用两角差的正切公式，基本不等式可求的最大值，即可求解. 【详解】因为，，所以，在中，，由正弦定理得，， 所以，， 所以. 因为，所以， 设，，， 所以 ，当且仅当，即时，最大，所以. 故答案为：；. 14．（2025甘肃模拟）已知，若，使成立，则 ． 【答案】 【分析】利用辅助角公式将方程化成，通过左右两边函数的值域比较,得到两边只能等于，求得，回代求出. 【详解】由可得，, 设. 依题意，，而，故， 由，可得，， 又由可得，， 因，则， ，故，解得，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2024西藏联考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)若的平分线交于点，且，，求的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）先应用正弦定理，再结合两角和差公式计算求值即可； （2）先应用角平分线表示面积求出,最后应用面积公式计算. 【详解】（1）由正弦定理及，得， 所以， 整理，得． 因为，所以，即． 因为，所以． （2）因为为的平分线，所以， 即， 化简，得， 由，得， 所以 ． 16．（2024上海浦东三模）已知，其中，. (1)若，函数的最小正周期T为，求函数的单调减区间； (2)设函数的部分图象如图所示，其中，，求函数的最小正周期T，并求的解析式. 【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）根据求出，求出的解析式，利用整体代换法计算即可求解； （2）由图可知，，利用平面向量数量积的定义和坐标表示求出，进而求，将点D代入解析式计算即可求解. 【详解】（1）由题，，解得，故. 令， 所以的单调减区间为. （2）由题，可得，， 因此，，又，得. 由，得. 再将代入，即. 由，解得. 因此的解析式为. 17．（2024东北三省模拟）2023-2024学年高三下学期第二次联合模拟考数学试题）如图，在平面内，四边形满足，点在的两侧，，，为正三角形，设.    (1)当时，求； (2)当变化时，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，由余弦定理可得的值； （2）由余弦定理可得的表达式，进而求出正三角形的面积的表达式，进而求出四边形的面积的表达式，由辅助角公式及的范围，可得四边形面积的范围． 【详解】（1）因为，，， 由余弦定理可得：. （2）由余弦定理可得， 因为为正三角形，所以， ， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 故当时，四边形面积的最大值为. 18．（2024吉林模拟）已知函数． (1)若，求的值域； (2)若关于x的方程有三个连续的实数根，，，且，，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将看成整体角，由求得，判断的单调性，求得函数的值域，继而得的值域； （2）结合函数的图象，得和，，求得，，由方程即可求得值. 【详解】（1） 因，令，则， 因在上单调递增，在上单调递减， 而，故． 则，的值域为． （2）如图，因的最小正周期为， 当时，易得，不满足，故舍去， 当时，依题意：，代入得：． 由，，可得，． 由，，代入，解得，． ，， 当时，，； 当时，，，    故的值为． 19．（2024新疆5月适应性检测）已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质． (1)判断函数，是否具有性质；（直接写出结论） (2)已知函数（，），判断是否存在，，使函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由； (3)设函数具有性质，且在区间上的值域为．函数，满足，且在区间上有且只有一个零点．求证：． 【答案】(1)具有性质 (2)存在，， (3)证明见解析 【分析】（1）利用定义直接判断即可； （2）假设函数具有性质，可求出，进而得到，再根据定义验证即可； （3）分析可知函数在的值域为，由在区间上有且仅有一个零点可知时不合题意，再求解当时，与函数是以为周期的周期函数矛盾，由此可得，进而得证． 【详解】（1）因为，则，又， 所以，故函数具有性质； 因为，则，又， ，故具有性质． （2）若函数具有性质，则，即， 因为，所以，所以； 若，不妨设，由， 得（*）， 只要充分大时，将大于1，而的值域为， 故等式（*）不可能成立，所以必有成立， 即，因为，所以， 所以，则，此时， 则， 而，即有成立， 所以存在，使函数具有性质． （3）证明：由函数具有性质及（2）可知，， 由可知函数是以为周期的周期函数，则， 即，所以，； 由，以及题设可知， 函数在的值域为，所以且； 当，及时，均有， 这与在区间上有且只有一个零点矛盾，因此或； 当时，，函数在的值域为， 此时函数的值域为， 而，于是函数在的值域为， 此时函数的值域为， 函数在当时和时的取值范围不同， 与函数是以为周期的周期函数矛盾， 故，即，命题得证． 【点睛】方法点睛：对于以函数为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好函数的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的函数的性质的一些因素. 试卷第6页，共16页 试卷第5页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$