专题测试卷11 统计与成对数据的分析（名校重组卷）-备战2025年高考数学重难点专题突破（新高考专用）

专题11 统计与成对数据的分析 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟。 2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。 3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．（2024·广东江门·二模）有下列一组数据：，则这组数据的下四分位数是（    ） A．11 B．33 C．13 D．22 2．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）为了解某校初中学生的近视情况，按年级用分层抽样的方法随机抽取100名学生进行视力检测，已知初一、初二、初三年级分别有800名，600名，600名学生，则不同的抽样结果共有（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川成都·三模）“数九”从每年“冬至”当天开始计算， 每九天为一个单位，冬至后的第 81 天， “数九”结束， 天气就变得温暖起来. 如图， 以温江国家基准气候站为代表记录了 2023 一 2024 年从“一九”到“九九”成都市的“平均气温”和“多年平均气温” (单位: )，下列说法正确的是（    ）    A．“四九”以后成都市“平均气温”一直上升 B．“四九” 成都市“平均气温” 较“多年平均气温” 低 0.1 ” C．“一九”到“五九”成都市“平均气温”的方差小于“多年平均气温”的方差 D．“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差小于“多年平均气温”的极差 4．（2024·山东·二模）甲乙两名歌手参加选拔赛，5位评委评分情况如下：甲：；乙：，记甲、乙两人的平均得分分别为，则下列判断正确的是（    ） A．，甲比乙成绩稳定 B．，乙比甲成绩稳定 C．，甲比乙成绩稳定 D．，乙比甲成绩稳定 5．（2024·天津河北·二模）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长. 已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模与年份代码的关系可以用模型（其中为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下： 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 年份代码 1 2 3 4 5 2 2.4 3 3.6 4 由上表可得经验回归方程，则2026年该科技公司云计算市场规模的估计值为（    ） （参考公式：） A． B． C． D． 6．（2024·黑龙江·二模）根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得，依据的独立性检验，结论为（    ）参考值： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 A．x与y不独立 B．x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 C． x与y独立 D．x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 7．（2024·湖北荆州·三模）根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，求得如图所示的残差图.模型误差（    ） A．满足一元线性回归模型的所有假设 B．不满足一元线性回归模型的的假设 C．不满足一元线性回归模型的假设 D．不满足一元线性回归模型的和的假设 8．（2024·福建宁德·三模）2024海峓两岸各民族欢度“三月三”暨福籽同心爱中华福建省第十一届“三月三”畲族文化节活动在宁德隆重开幕.海峡两岸各民族同胞齐聚于此，与当地群众共同欢庆“三月三”，畅叙两岸情.在活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，以后每过一个小时反馈一次.指挥中心统计了前5次的数据，其中为第次入口人流量数据（单位:百人），由此得到关于的回归方程.已知，根据回归方程（参考数据:），可顶测下午4点时入口游客的人流量为（    ） A．9.6 B．11.0 C．11.3 D．12.0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．对于独立性检验，随机变量的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 B．在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，相应变量增加0.6个单位 C．数据，，…，的方差为M，则数据，，，…，的标准差为 D．在回归分析中，决定系数是用来刻画回归的效果的，现算得某模型中，则说明该模型的拟合效果较好 10．（2024·山东济南·模拟预测）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10．则（    ） A． B．估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 11．（2023·全国·高考真题）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2024高三下·全国·专题练习）了解某中学学生的身高情况，采用分层随机抽样的方法抽取了30名男生，20名女生.已知男生身高的平均数为170cm，方差为16，女生身高的平均数为165 cm，方差为25，则可估计该校学生身高的平均数为 cm，方差为 . 13．（2024·广西·二模）设实数x，，满足1，3，4，x，y，的平均数与50%分位数相等，则数据x，y，的方差为 ． 14．（2024·上海金山·二模）为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下图所示列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 服用 50 未服用 50 合计 80 20 100 取显著性水平，若本次考察结果支持“药物对疾病预防有显著效果”，则()的最小值为 ． (参考公式：；参考值：） 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2024·青海·二模）某企业近年来的广告费用x（百万元）与所获得的利润y（千万元）的数据如下表所示，已知y与x之间具有线性相关关系. 年份 2018 2019 2020 2021 2022 广告费用x/百万元 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 利润y/千万元 1.6 2 2.4 2.5 3 (1)求y关于x的线性回归方程： (2)若该企业从2018年开始，广告费用连续每一年都比上一年增加10万元，根据（1）中所得的线性回归方程，预测2025年该企业可获得的利润. 参考公式：，. 16．（2024·陕西安康·模拟预测）首届中国航协航空大会的一个鲜明的特色是在各个展区中设置了多项互动体验活动，吸引了很多的中小学生，其中模拟飞行体验区是让这些中小学生戴上VR眼镜模拟从起飞到降落，大大激发了他们的兴趣爱好.现从某个有互动体验的展区中随机抽取60名中小学生，统计他们的参观时间（从进入该展区到离开该展区的时长，单位：分钟，时间取整数），将时间分成六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)由频率分布直方图，估计样本的平均数和方差；（每组数据以区间的中点值为代表） (2)为对比展区是否有体验区对中小学生的吸引程度，某工作人员给出了一份该展区中没有体验区的参观时间的随机数据，经计算得到该组数据参观时长平均值为65分钟，方差为，试判断有体验区的参观时长均值比没有体验区的参观时长均值是否有显著提高？（如果，则认为有显著提高，否则不认为有显著提高） (3)利用（2）中的结果，你认为展区是否应该设置互动体验展区？请说明理由. 17．（2022高二·全国·专题练习）某种疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型．为了解该疾病类型与性别的关系，在某地随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中男性人数为z，女性人数为2z，男性患Ⅰ型病的人数占男性病人的，女性患Ⅰ型病的人数占女性病人的． (1)完成下面的2×2列联表．若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，则男性患者至少有多少人？ Ⅰ型病 Ⅱ型病 合计 男 女 合计 (2)某药品研发公司欲安排甲、乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物，两个团队各至多安排2个接种周期进行试验，每人每次接种花费元．甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为p，根据以往试验统计，甲团队平均花费为；乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为q，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期．假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立．若，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应选择哪个团队进行药品研发？ 18．（2024·全国·模拟预测）脑机接口，即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接，实现脑与设备的信息交换.近日埃隆.马斯克宣布，脑机接口公司Neuralink正在接收第二位植入者申请，该试验可以实现意念控制手机和电脑.未来10到20年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值.为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据.现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图. 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中. 7.5 2.25 82.50 4.50 12.14 2.88 (1)根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由） (2)根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1） 附：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 19．（2024·河南·模拟预测）某种植物感染病毒极易死亡，当地生物研究所为此研发出了一种抗病毒的制剂.现对20株感染了病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计，并对植株吸收制剂的量（单位：毫克）进行统计.规定植株吸收在6毫克及以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 吸收量（毫克） 6 8 3 8 9 5 6 6 2 7 编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 吸收量（毫克） 7 5 10 6 7 8 8 4 6 9 (1)补全列联表中的空缺部分，依据的独立性检验，能否认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？ 吸收足量 吸收不足量 合计 植株存活 植株死亡 合计 (2)现假设该植物感染病毒后的存活日数为随机变量（可取任意正整数）.研究人员统计大量数据后发现：对于任意的，存活日数为的样本在存活日数超过的样本里的数量占比与存活日数为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”.试推导的表达式，并求该植物感染病毒后存活日数的期望的值. 附：，其中；当足够大时，. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 试卷第2页，共8页 试卷第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 统计与成对数据的分析 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟。 2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。 3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．（2024·广东江门·二模）有下列一组数据：，则这组数据的下四分位数是（    ） A．11 B．33 C．13 D．22 【答案】C 【分析】根据题意，由百分位数的计算公式即可求解. 【详解】该组数据从小到大排列为，共有9个数据， 且， 则这组数据的下四分位数是从小到大排列的第三个数，即13. 故选：C. 2．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）为了解某校初中学生的近视情况，按年级用分层抽样的方法随机抽取100名学生进行视力检测，已知初一、初二、初三年级分别有800名，600名，600名学生，则不同的抽样结果共有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分层抽样可知抽取初一学生40名，初二、初三学生各30名，由分步乘法计数原理即可求解. 【详解】由初一、初二、初三年级分别有800名，600名，600名学生可知， 抽样比为， 按年级用分层抽样的方法随机抽取初一学生40名，初二、初三学生各30名， 根据分步乘法计数原理可知， 不同的抽样结果共有. 故选：. 3．（2024·四川成都·三模）“数九”从每年“冬至”当天开始计算， 每九天为一个单位，冬至后的第 81 天， “数九”结束， 天气就变得温暖起来. 如图， 以温江国家基准气候站为代表记录了 2023 一 2024 年从“一九”到“九九”成都市的“平均气温”和“多年平均气温” (单位: )，下列说法正确的是（    ）    A．“四九”以后成都市“平均气温”一直上升 B．“四九” 成都市“平均气温” 较“多年平均气温” 低 0.1 ” C．“一九”到“五九”成都市“平均气温”的方差小于“多年平均气温”的方差 D．“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差小于“多年平均气温”的极差 【答案】D 【分析】由图表数据分析可判断A，B；由方差的意义可判断C；由极差的计算公式分析D. 【详解】对于A，“八九”、“九九”的平均气温比“七九”的“平均气温”低，故A错误； 对于B，“四九” 成都市“平均气温” 较“多年平均气温” 高”，故B错误； 对于C，由图表，“平均气温”的波动比“多年平均气温” 的波动大， 则“一九”到“五九”成都市“平均气温”的方差大于“多年平均气温”的方差，故C错误； 对于D，“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差为：， “多年平均气温”的极差为， 则“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差小于“多年平均气温”的极差，故D正确. 故选：D. 4．（2024·山东·二模）甲乙两名歌手参加选拔赛，5位评委评分情况如下：甲：；乙：，记甲、乙两人的平均得分分别为，则下列判断正确的是（    ） A．，甲比乙成绩稳定 B．，乙比甲成绩稳定 C．，甲比乙成绩稳定 D．，乙比甲成绩稳定 【答案】B 【分析】由平均数和方差公式求出，，，即可得出答案. 【详解】； ； ， 所以，乙比甲成绩稳定. 故选：B. 5．（2024·天津河北·二模）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长. 已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模与年份代码的关系可以用模型（其中为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下： 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 年份代码 1 2 3 4 5 2 2.4 3 3.6 4 由上表可得经验回归方程，则2026年该科技公司云计算市场规模的估计值为（    ） （参考公式：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可得线性回归方程，再由回归方程求出2026年z的预测值，代入即可得解. 【详解】因为 所以 即经验回归方程 当时， 所以 即2026年该科技公司云计算市场规模y的估计值为. 故选：C. 6．（2024·黑龙江·二模）根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得，依据的独立性检验，结论为（    ）参考值： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 A．x与y不独立 B．x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 C． x与y独立 D．x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 【答案】C 【分析】利用独立性检验的基本思想即可得解. 【详解】零假设为：x与y独立， 由，依据的独立性检验，可得成立， 故可以认为x与y独立. 故选：C. 7．（2024·湖北荆州·三模）根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，求得如图所示的残差图.模型误差（    ） A．满足一元线性回归模型的所有假设 B．不满足一元线性回归模型的的假设 C．不满足一元线性回归模型的假设 D．不满足一元线性回归模型的和的假设 【答案】D 【分析】根据一元线性回归模型的有关概念即可判断. 【详解】用一元线性回归模型得到经验回归模型， 根据对应的残差图，残差的均值不可能成立，且残差图中的点分布在一条拋物线形状的弯曲带状区域上， 说明残差与坐标轴变量有二次关系，不满足一元线性回归模型， 故选：D. 8．（2024·福建宁德·三模）2024海峓两岸各民族欢度“三月三”暨福籽同心爱中华福建省第十一届“三月三”畲族文化节活动在宁德隆重开幕.海峡两岸各民族同胞齐聚于此，与当地群众共同欢庆“三月三”，畅叙两岸情.在活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，以后每过一个小时反馈一次.指挥中心统计了前5次的数据，其中为第次入口人流量数据（单位:百人），由此得到关于的回归方程.已知，根据回归方程（参考数据:），可顶测下午4点时入口游客的人流量为（    ） A．9.6 B．11.0 C．11.3 D．12.0 【答案】C 【分析】首先利用换元法将回归方程转化为线性回归方程，再代入样本点中心，求，再根据方程进行预测. 【详解】设，，则 所以， ，且 则，得， 所以， 下午4点对应的，此时预测游客的人流量. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．对于独立性检验，随机变量的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 B．在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，相应变量增加0.6个单位 C．数据，，…，的方差为M，则数据，，，…，的标准差为 D．在回归分析中，决定系数是用来刻画回归的效果的，现算得某模型中，则说明该模型的拟合效果较好 【答案】ACD 【分析】根据回归分析相关知识逐一判断即可. 【详解】对于A，对于独立性检验，随机变量的值越小， 判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，A正确； 对于B，在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时， 相应变量减少0.6个单位，B错误； 对于C，数据，，…，的方差为M， 则数据，，，…，的方差为，则标准差为， C正确； 对于D，在回归分析中，决定系数越接近1，模型的拟合效果越好，较为接近1，所以该模型的拟合效果较好，D正确； 故选：ACD 10．（2024·山东济南·模拟预测）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10．则（    ） A． B．估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 【答案】BCD 【分析】A项，由各组频率之和为求参数；B项可由频率分布直方图面积与比较，估计中位数所在区间，利用面积关系建方程求解可得；C项，两组求加权平均数可得；D项，由分别两组成绩的方差与两组总方差的关系求解即可. 【详解】A项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1， 则，解得，故A错误； 项，前两个矩形的面积之和为 前三个矩形的面积之和为. 设该年级学生成绩的中位数为，则， 根据中位数的定义可得，解得， 所以，估计该年级学生成绩的中位数约为，故B正确； C项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为 分，故C正确； D项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为 ，故D正确. 故选：BCD. 11．（2023·全国·高考真题）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 【答案】BD 【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小， 例如：，可得； 例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：因为是最小值，是最大值， 则的波动性不大于的波动性，即的标准差不大于的标准差， 例如：，则平均数， 标准差， ，则平均数， 标准差， 显然，即；故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2024高三下·全国·专题练习）了解某中学学生的身高情况，采用分层随机抽样的方法抽取了30名男生，20名女生.已知男生身高的平均数为170cm，方差为16，女生身高的平均数为165 cm，方差为25，则可估计该校学生身高的平均数为 cm，方差为 . 【答案】 168 25.6 【分析】利用分层抽样的平均数公式、方差公式分别计算即得. 【详解】由分层随机抽样抽取的样本中男生有30人，女生有20人， 得男生所占的权重为，女生所占的权重为， 而，，，， 所以估计该校学生身高的平均数； 方差 . 故答案为：168；25.6 13．（2024·广西·二模）设实数x，，满足1，3，4，x，y，的平均数与50%分位数相等，则数据x，y，的方差为 ． 【答案】/ 【分析】利用平均数与分位数相等，得，代入数据中得方差. 【详解】根据题意，数据的平均数为， 数据的分位数为， ∴ ，即，代入数据， 即为，此组数据的平均数为， ∴ 数据的方差为. 故答案： 14．（2024·上海金山·二模）为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下图所示列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 服用 50 未服用 50 合计 80 20 100 取显著性水平，若本次考察结果支持“药物对疾病预防有显著效果”，则()的最小值为 ． (参考公式：；参考值：） 【答案】 【分析】由题意列出不等式，结合近似计算求出m的取值范围，即可得答案. 【详解】由题意可知， 则， 解得或，而， 故m的最小值为44. 故答案为：44. 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2024·青海·二模）某企业近年来的广告费用x（百万元）与所获得的利润y（千万元）的数据如下表所示，已知y与x之间具有线性相关关系. 年份 2018 2019 2020 2021 2022 广告费用x/百万元 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 利润y/千万元 1.6 2 2.4 2.5 3 (1)求y关于x的线性回归方程： (2)若该企业从2018年开始，广告费用连续每一年都比上一年增加10万元，根据（1）中所得的线性回归方程，预测2025年该企业可获得的利润. 参考公式：，. 【答案】(1) (2)3.95（千万元）. 【分析】（1）首先算出，，，的值，然后可以依次算出，的值即可求解； （2）先预测广告费用，然后代入预测模型可预测利润. 【详解】（1），， ， ， ， . 故所求的线性回归方程为. （2）由题可知，到2025年时广告费用为2.2百万元， 故可预测该公司所获得的利润约为（千万元）. 16．（2024·陕西安康·模拟预测）首届中国航协航空大会的一个鲜明的特色是在各个展区中设置了多项互动体验活动，吸引了很多的中小学生，其中模拟飞行体验区是让这些中小学生戴上VR眼镜模拟从起飞到降落，大大激发了他们的兴趣爱好.现从某个有互动体验的展区中随机抽取60名中小学生，统计他们的参观时间（从进入该展区到离开该展区的时长，单位：分钟，时间取整数），将时间分成六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)由频率分布直方图，估计样本的平均数和方差；（每组数据以区间的中点值为代表） (2)为对比展区是否有体验区对中小学生的吸引程度，某工作人员给出了一份该展区中没有体验区的参观时间的随机数据，经计算得到该组数据参观时长平均值为65分钟，方差为，试判断有体验区的参观时长均值比没有体验区的参观时长均值是否有显著提高？（如果，则认为有显著提高，否则不认为有显著提高） (3)利用（2）中的结果，你认为展区是否应该设置互动体验展区？请说明理由. 【答案】(1)71，194 (2)有显著提高 (3)答案见解析 【分析】（1）根据频率分布直方图平均数和方差公式计算； （2）应用公式计算判断即可； （3）根据结果判断是否设置互动体验展区即可. 【详解】（1）由题得， 所以样本的方差为 （2）由题得， 所以， 所以有体验区的参观时长均值比没有体验区的参观时长均值有显著提高. （3）从（2）中可知展区应该设置互动体验展区，这样可以吸引更多的参观者进行观看与体验，使他们能更多地了解产品，并能更大程度地激发中小学生的兴趣爱好. 17．（2022高二·全国·专题练习）某种疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型．为了解该疾病类型与性别的关系，在某地随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中男性人数为z，女性人数为2z，男性患Ⅰ型病的人数占男性病人的，女性患Ⅰ型病的人数占女性病人的． (1)完成下面的2×2列联表．若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，则男性患者至少有多少人？ Ⅰ型病 Ⅱ型病 合计 男 女 合计 (2)某药品研发公司欲安排甲、乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物，两个团队各至多安排2个接种周期进行试验，每人每次接种花费元．甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为p，根据以往试验统计，甲团队平均花费为；乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为q，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期．假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立．若，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应选择哪个团队进行药品研发？ 【答案】(1)列联表见解析，男性患者至少有6人 (2)答案见解析 【分析】（1）根据题干条件完善列联表，并计算卡方，列出不等式，求出男性患者至少有6人； （2）计算出甲团队试验总花费的平均值，乙团队试验总花费的平均值，进而作差得到，根据不同的范围，选取不同的团队. 【详解】（1）2×2列联表如下： Ⅰ型病 Ⅱ型病 合计 男 z 女 2z 合计 3z 要使在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关， 则，解得：． 因为，，所以z的最小整数值为6．所以男性患者至少有6人． （2）设甲研发团队试验总花费为X元，； 设乙研发团队试验总花费为Y元，则Y的可能取值为3m，6m， 所以，， 所以； 因为，所以． ①当时，，因为，所以， 所以，乙团队试验的平均花费较少，所以选择乙团队进行研发； ②当时，，因为，所以， 所以，甲团队试验的平均花费较少，所以选择甲团队进行研发； ③当时，， 所以，甲团队试验的平均花费和乙团队试验的平均花费相同，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司选择甲团队或乙团队进行研发均可． 18．（2024·全国·模拟预测）脑机接口，即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接，实现脑与设备的信息交换.近日埃隆.马斯克宣布，脑机接口公司Neuralink正在接收第二位植入者申请，该试验可以实现意念控制手机和电脑.未来10到20年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值.为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据.现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图. 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中. 7.5 2.25 82.50 4.50 12.14 2.88 (1)根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由） (2)根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1） 附：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 【答案】(1)选择模型② (2)，10人 【分析】（1）根据残差图分析判断； （2）令与可用线性回归来拟合，有，然后根据公式结合已知的数据求出，从而可求出关于的经验回归方程，进而可求出关于的经验回归方程，再由可求出研发人员增量. 【详解】（1）选择模型②，理由如下： 由于模型②残差点比较均匀在落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型①带状宽度窄， 所以模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，所以模型②比较合适. （2）根据模型②，令与可用线性回归来拟合，有. 则，所以 则关于的经验回归方程为，所以关于的经验回归方程为. 由题意，，解得，又为整数，所以. 所以，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少为10人. 19．（2024·河南·模拟预测）某种植物感染病毒极易死亡，当地生物研究所为此研发出了一种抗病毒的制剂.现对20株感染了病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计，并对植株吸收制剂的量（单位：毫克）进行统计.规定植株吸收在6毫克及以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 吸收量（毫克） 6 8 3 8 9 5 6 6 2 7 编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 吸收量（毫克） 7 5 10 6 7 8 8 4 6 9 (1)补全列联表中的空缺部分，依据的独立性检验，能否认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？ 吸收足量 吸收不足量 合计 植株存活 植株死亡 合计 (2)现假设该植物感染病毒后的存活日数为随机变量（可取任意正整数）.研究人员统计大量数据后发现：对于任意的，存活日数为的样本在存活日数超过的样本里的数量占比与存活日数为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”.试推导的表达式，并求该植物感染病毒后存活日数的期望的值. 附：，其中；当足够大时，. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)表格见解析，无关 (2)， 【分析】（1）由题意补全联表，代入公式求出观测值，将其与临界值进行对比，进而即可求解； （2）先得到，推出对任意都成立，根据等比数列的定义可得，由，利用错位相减求出，从而得到的值. 【详解】（1）填写列联表如下： 吸收足量 吸收不足量 合计 植株存活 12 1 13 植株死亡 3 4 7 合计 15 5 20 零假设为：“植株的存活”与“制剂吸收足量”无关联. 根据列联表中的数据，经计算得到：， 依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”无关. （2）由题意得. 又，故. 把换成，则. 两式相减，得， 即. 又， 故对任意都成立， 从而是首项为0.1，公比为0.9的等比数列，因此. 由定义可知， 而，下面先求. ， ， 作差得 . 所以，当足够大时，，，故，可认为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是推出是首项为0.1，公比为0.9的等比数列，通项为，再利用错位相减法求出，从而得到期望. 试卷第2页，共18页 试卷第1页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $$