专题21 带电粒子在组合场的运动-2025年高考物理热点知识讲练与题型归纳（全国通用）

专题21 带电粒子在组合场的运动 考点 考情 命题方向 考点1带电粒子在电场中加速或偏转后进入磁场 2024年高考全国新课程卷 2024年高考山东卷 2024年高考辽宁卷 1.带电粒子在电磁场中运动涉及动能定理、类平抛运动、匀速圆周运动、临界极值等，是高考考查的热点。 2.带电粒子在电场中加速，利用动能定理列方程；带电粒子在匀强电场中的类平抛运动，带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动是常见的运动模型；临界极值能力要求高考查频繁。 考点2带电粒子在磁场中偏转后进入电场 2024年高考山东卷 题型一 带电粒子在组合场中的运动 1.组合场概念： 静电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，静电场、磁场分时间段交替出现。 2．三种场的比较 　　项目 名称　　 力的特点 功和能的特点 重力场 大小：G＝mg 方向：竖直向下 重力做功与路径无关 重力做功改变物体的重力势能 静电场 大小：F＝qE 方向：①正电荷受力方向与场强方向相同 ②负电荷受力方向与场强方向相反 静电力做功与路径无关 W＝qU 静电力做功改变电势能 磁场 洛伦兹力大小：F＝qvB 方向：根据左手定则判定 洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能 3．带电粒子在复合场中的运动分类 (1)静止或匀速直线运动 当带电粒子在复合场中所受合力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动。 (2)匀速圆周运动 当带电粒子所受的重力与静电力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动。 (3)较复杂的曲线运动 当带电粒子所受合力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线。 (4)分阶段运动 带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成。 4．常见的基本运动形式 电偏转 磁偏转 偏转条件 带电粒子以v⊥E进入匀强电场 带电粒子以v⊥B进入匀强磁场 示意图 受力情况 只受恒定的静电力 只受大小恒定的洛伦兹力 运动情况 类平抛运动 匀速圆周运动 运动轨迹 抛物线 圆弧 物理规律 类平抛运动规律、牛顿第二定律 牛顿第二定律、向心力公式 基本公式 L＝vt，y＝at2 a＝，tanθ＝ qvB＝，r＝ T＝，t＝ sinθ＝ 做功情况 静电力既改变速度方向，也改变速度大小，对电荷做功 洛伦兹力只改变速度方向，不改变速度大小，对电荷永不做功 类型1 带电粒子由磁场进入电场 [模型演练1] （2024•天津模拟）如图所示，平面直角坐标系xOy的第一象限内存在着垂直于坐标平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，第四象限内存在着方向沿x轴负方向、场强大小为E的匀强电场，y轴负半轴上固定着足够长的荧光屏。现有大量质量均为m、电荷量均为+q的粒子从y轴正半轴上不同位置以不同的速率平行于x轴正方向射入磁场，经偏转后所有粒子均从P（d，0）点进入电场，不计粒子重力和粒子之间的相互作用力。 （1）求垂直x轴从P点进入电场的粒子的速度大小v； （2）求（1）中粒子打在荧光屏上的位置与O点的距离L； （3）求从y轴上点进入磁场时的粒子的速度大小v2。 [模型演练2] （多选）（2024•龙凤区校级模拟）如图所示，在xOy平面的第一、二象限内有垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在第三、四象限﹣d≤y≤0范围内有沿x轴正方向的匀强电场，在坐标原点O有一个粒子源可以向x轴上方以不同速率向各个方向发射质量为m、电荷量为q的带正电粒子，x轴上的P点坐标为（﹣d，0），y轴上的Q点坐标为（0，﹣d）。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。下列说法中正确的是（　　） A．所有经过P点的粒子最小速度为 B．若以最小速率经过P点的粒子又恰好能过Q点，则电场强度大小为 C．沿不同方向进入匀强磁场的粒子要经过P点，速度大小一定不同 D．所有经过P点的粒子在匀强电场中运动的时间均相同 [模型演练3] （多选）（2024•成都三模）如图，平面直角坐标系xOy内虚线CD上方存在匀强磁场和匀强电场，分界线OE、OF与x轴的夹角均为θ＝30°。t＝0时，一对质量为m、电荷量为q的正、负粒子从坐标原点O以大小为v0的速度沿y轴正方向射入磁场，正粒子通过坐标为（3L，的P点（图中未画出）进入电场，然后沿y轴负方向经y轴上的Q点射出电场，不计粒子重力和粒子间的相互作用力。则（　　） A．磁场的磁感应强度大小为 B．电场的电场强度大小为 C．在坐标为（0，﹣2L）的位置，两粒子相遇 D．在t时，两粒子相遇 类型2 带电粒子由电场进入磁场 [模型演练4] （多选）（2024•龙凤区校级模拟）现代科学仪器中常利用电、磁场控制带电粒子的运动。如图甲所示，纸面内存在上、下宽度均为d的匀强电场与匀强磁场，匀强电场竖直向下，匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从电场的上边界的O点由静止释放，运动到磁场的下边界的P点时正好与下边界相切。若把电场下移至磁场所在区域，如图乙所示，重新让粒子从上边界M点由静止释放，经过一段时间粒子第一次到达最低点N，下列说法正确的是（　　） A．匀强电场的场强大小为 B．粒子从O点运动到P点的时间为 C．M、N两点的竖直距离为 D．粒子经过N点时速度大小为 [模型演练5] （2024•五华区校级模拟）在xOy坐标系的第二象限内和第四象限内有如图所示的匀强电场，两电场的场强大小相等，方向分别与x轴和y轴平行；第四象限内还存在垂直于纸面的匀强磁场（图中未画出）。将一个质量为m、电荷量为q的微粒在第二象限内的P（﹣L，L）点由静止释放，之后微粒沿直线运动到坐标原点并进入第四象限，微粒在第四象限内运动后从x轴上的Q（L，0）点进入第一象限，重力加速度为g。求： （1）带电微粒运动到O点时的速度大小； （2）匀强磁场的磁感应强度大小； （3）带电微粒从P点运动到Q点所用的时间。 [模型演练6] （2024•黑龙江三模）如图所示，平面直角坐标系xOy中存在一与x轴相切的圆形匀强磁场区域，圆心坐标为（0，0.2），匀强磁场的磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外。y＜0区域，存在电场强度大小为E＝4×103N/C、方向沿y轴正方向的匀强电场。第四象限内的P点有一质量m＝2×10﹣9kg、带电量q＝5×10﹣5C的带正电粒子，以大小为的初速度沿x轴负方向射入匀强电场，从坐标原点O以与x轴负方向成θ＝45°角进入匀强磁场。粒子重力不计，求： （1）P点的坐标； （2）粒子在匀强磁场中做圆周运动的时间。 类型3 带电粒子在磁场和电场中往复运动 [模型演练7] （2024春•重庆期末）如图甲所示，空间中有一直角坐标系xOy，在x＜0，y＞0的空间中有沿+y方向的匀强电场E＝5×105V/m。在紧贴（﹣0.2m，0）的上侧处有一粒子源P，能沿x轴正方向以v0＝2×106m/s的速度持续发射比荷为 C/kg的某种原子核。在x＞0的空间有垂直于xOy平面向外的足够大的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B1＝0.5T。忽略原子核间的相互作用和重力。 （1）求原子核第一次穿过y轴时速率； （2）设原子核从Q点第二次穿过y轴，求O、Q两点之间距离以及粒子在磁场中的运动时间； （3）若撤去原磁场B1，其余条件保持不变。在xOy平面内x＞0的某区域加一圆形匀强磁场，磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示，取磁场垂直纸面向外为正方向。t时刻进入磁场的粒子始终在磁场区域内沿闭合轨迹做周期性运动，若T0s，求圆形磁场区域的最小面积S以及粒子进入磁场时的位置到y轴的最短距离x。（忽略磁场突变的影响，计算结果用含有π的式子表示 ） [模型演练8] （2024•青羊区校级模拟）一带负电的微粒放在光滑绝缘水平面上，俯视如图，第一象限内存在沿y轴正方向的匀强电场，在另外三个象限充满大小相同、方向垂直水平面向下的匀强磁场。微粒从x轴上的P点以一定初速度进入第二象限，OP间距离x0＝0.3m，初速度与x轴负方向的夹角α＝37°，之后恰能垂直于y轴进入第一象限，再经一段时间从第一象限进入第四象限，此时速度与x轴正方向的夹角恰好也为α＝37°，已知微粒的比荷100C/kg，电场强度E＝0.05N/C，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求： （1）微粒第一次在第一象限内的运动时间t1； （2）微粒的初速度v0和在第二象限内运动的时间t0； （3）若x轴上有一点Q（14m，0），微粒经过x轴时，距离Q点的最小距离是多大？ 类型4 带电粒子在组合场中的动量问题 [模型演练9] （2024春•温州期末）如图所示，某离子分析器由偏转区和检测区组成，分别分布在y轴的左侧和右侧，在直线x＝﹣2l0到y轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向，y轴右侧区域内分布着垂直于xOy平面向里的磁场，磁感应强度大小B沿x轴均匀变化，即B＝kx（k为大于零的常数）。在电场左边界上A（﹣2l0，﹣l0）到C（﹣2l0，0）区域内，连续分布着电量为+q、质量为m的离子。从某时刻起由A点到C点间的离子，依次连续以相同的速度v0沿x轴正方向射入电场。若从A点射入的离子，恰好从点A′（0，l0）沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图。离开电场后的离子进入检测区，打在检测板上。区域场间互不影响，检测板足够长，不计离子的重力及它们间的相互作用。 （1）求匀强电场的场强大小E； （2）在AC间还有哪些位置的离子，通过电场后也能沿x轴正方向运动（写出这些位置的y坐标）； （3）检测板与y轴平行，并可沿x轴平移，若要检测板能收集到沿x轴正方向射出电场的这些离子，求检测板位置坐标x的最大值。 题型二 组合场中运动的实例分析 1．质谱仪(如图) 原理：粒子由静止被加速电场加速，qU＝mv2. 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m. 由以上两式可得r＝，m＝，＝. 2．回旋加速器(如图) 原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子经电场加速，经磁场回旋，由qvB＝，得Ekm＝，可见同种粒子获得的最大动能由磁感应强度B和D形盒半径r决定，与加速电压无关． 类型1 质谱仪的原理及应用 [模型演练10] （2024•漳州三模）如图，一质谱仪由加速电场、静电分析器、磁分析器构成。静电分析器通道的圆弧中心线半径为R，通道内有均匀辐向电场，方向指向圆心O，中心线处各点的电场强度大小相等。磁分析器中分布着方向垂直于纸面的有界匀强磁场，边界为矩形CNQD，NQ＝2d，PN＝3d。质量为m、电荷量为q的粒子（不计重力），由静止开始从A板经电压为U的电场加速后，沿中心线通过静电分析器，再由P点垂直磁场边界进入磁分析器，最终打在胶片ON上，则（　　） A．磁分析器中磁场方向垂直于纸面向外 B．静电分析器中心线处的电场强度 C．仅改变粒子的比荷，粒子仍能打在胶片上的同一点 D．要使粒子能到达NQ边界，磁场磁感应强度B的最小值为 [模型演练11] （2024春•怀柔区期末）如图所示，一质量为m的带电粒子从容器A下方的小孔S1飘入S1、S2之间的加速电场，其初速度可视为0，加速后以速度v经小孔S3沿与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后垂直打到照相底片上的D点。已知S3到D点的距离L，不计粒子的重力，求： （1）粒子的比荷； （2）加速电场的电势差U； （3）粒子在磁场所受洛伦兹力大小。 [模型演练12] （2024春•新洲区期末）质谱仪原理如图所示，a为粒子加速器，电压为U1，b为速度选择器，磁场与电场正交，磁感应强度为B1，板间距离为d，c为偏转分离器，磁感应强度为B2。今有一质量为m、电荷量为e的正粒子（不计重力），经加速后，该粒子恰能通过速度选择器，粒子进入分离器后做匀速圆周运动。求： （1）粒子的速度v为多少； （2）速度选择器的电压U2为多少； （3）粒子在B2磁场中做匀速圆周运动的半径R为多大。 类型2 回旋加速器的原理和应用 [模型演练13] （2024•东西湖区校级模拟）如图所示为一种改进后的回旋加速器示意图，在两D形盒左边的缝隙间放置一对中心开有小孔a、b的平行金属板M、N，每当带正电的粒子从a孔进入时，立即在两板间加上恒定电压，粒子经加速后从b孔射出时，立即撤去电压。粒子进入D形盒中的匀强磁场后做匀速圆周运动。已知D形盒的缝隙间无磁场，不考虑相对论效应，则下列说法正确的是（　　） A．磁场方向垂直纸面向外 B．粒子运动的周期不断变大 C．粒子每运动一周直径的增加量越来越小 D．增大板间电压，粒子最终获得的最大动能变大 [模型演练14] （2024•广州模拟）图甲示意我国建造的第一台回旋加速器，该加速器存放于中国原子能科学研究院，其工作原理如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．由于粒子速度被逐渐加大，则它在D形盒中的运动周期越来越小 B．由于粒子速度被逐渐加大，极板所加的交流电周期要相应减小 C．粒子从加速器出来的最大速度与D形盒的半径大小及磁场磁感应强度有关 D．粒子增加的动能来源于磁场 [模型演练15] （2023秋•天河区期末）回旋加速器核心部分是分别与高频交流电极相连接的两个D形金属盒，两盒间的狭缝中有周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两个D形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，下列说法正确的是（　　） A．粒子射出时的动能与D形金属盒的半径无关 B．回旋加速器是靠电场加速的，粒子射出时的动能与电压有关 C．回旋加速器是靠磁场加速的，粒子射出时的动能与磁场无关 D．加速电压越小，粒子在回旋加速器中需加速的次数越多 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21 带电粒子在组合场的运动 考点 考情 命题方向 考点1带电粒子在电场中加速或偏转后进入磁场 2024年高考全国新课程卷 2024年高考山东卷 2024年高考辽宁卷 1.带电粒子在电磁场中运动涉及动能定理、类平抛运动、匀速圆周运动、临界极值等，是高考考查的热点。 2.带电粒子在电场中加速，利用动能定理列方程；带电粒子在匀强电场中的类平抛运动，带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动是常见的运动模型；临界极值能力要求高考查频繁。 考点2带电粒子在磁场中偏转后进入电场 2024年高考山东卷 题型一 带电粒子在组合场中的运动 1.组合场概念： 静电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，静电场、磁场分时间段交替出现。 2．三种场的比较 　　项目 名称　　 力的特点 功和能的特点 重力场 大小：G＝mg 方向：竖直向下 重力做功与路径无关 重力做功改变物体的重力势能 静电场 大小：F＝qE 方向：①正电荷受力方向与场强方向相同 ②负电荷受力方向与场强方向相反 静电力做功与路径无关 W＝qU 静电力做功改变电势能 磁场 洛伦兹力大小：F＝qvB 方向：根据左手定则判定 洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能 3．带电粒子在复合场中的运动分类 (1)静止或匀速直线运动 当带电粒子在复合场中所受合力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动。 (2)匀速圆周运动 当带电粒子所受的重力与静电力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动。 (3)较复杂的曲线运动 当带电粒子所受合力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线。 (4)分阶段运动 带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成。 4．常见的基本运动形式 电偏转 磁偏转 偏转条件 带电粒子以v⊥E进入匀强电场 带电粒子以v⊥B进入匀强磁场 示意图 受力情况 只受恒定的静电力 只受大小恒定的洛伦兹力 运动情况 类平抛运动 匀速圆周运动 运动轨迹 抛物线 圆弧 物理规律 类平抛运动规律、牛顿第二定律 牛顿第二定律、向心力公式 基本公式 L＝vt，y＝at2 a＝，tanθ＝ qvB＝，r＝ T＝，t＝ sinθ＝ 做功情况 静电力既改变速度方向，也改变速度大小，对电荷做功 洛伦兹力只改变速度方向，不改变速度大小，对电荷永不做功 类型1 带电粒子由磁场进入电场 [模型演练1] （2024•天津模拟）如图所示，平面直角坐标系xOy的第一象限内存在着垂直于坐标平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，第四象限内存在着方向沿x轴负方向、场强大小为E的匀强电场，y轴负半轴上固定着足够长的荧光屏。现有大量质量均为m、电荷量均为+q的粒子从y轴正半轴上不同位置以不同的速率平行于x轴正方向射入磁场，经偏转后所有粒子均从P（d，0）点进入电场，不计粒子重力和粒子之间的相互作用力。 （1）求垂直x轴从P点进入电场的粒子的速度大小v； （2）求（1）中粒子打在荧光屏上的位置与O点的距离L； （3）求从y轴上点进入磁场时的粒子的速度大小v2。 【解答】解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，平行于x轴正方向射入磁场，垂直x轴从P点进入电场的粒子的运动轨迹如图1所示： 易知粒子在磁场中的运动半径为r＝d，由洛伦兹力提供向心力得： 解得：v （2）粒子垂直于x轴进入电场，在电场中做类平抛运动，设其加速度大小为a，在电场中的运动时间为t，则有： 根据牛顿第二定律得：qE＝ma 由沿y轴负方向做匀速运动得：L＝vt 由沿x轴负方向做匀加速运动得： 联立解得： （3）从y轴上点进入磁场的粒子的运动轨迹如图2所示： 由几何关系得： 解得： 由洛伦兹力提供向心力得： 解得：v2 答：（1）垂直x轴从P点进入电场的粒子的速度大小v为； （2）在（1）中粒子打在荧光屏上的位置与O点的距离L为； （3）从y轴上点进入磁场时的粒子的速度大小v2为。 [模型演练2] （多选）（2024•龙凤区校级模拟）如图所示，在xOy平面的第一、二象限内有垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在第三、四象限﹣d≤y≤0范围内有沿x轴正方向的匀强电场，在坐标原点O有一个粒子源可以向x轴上方以不同速率向各个方向发射质量为m、电荷量为q的带正电粒子，x轴上的P点坐标为（﹣d，0），y轴上的Q点坐标为（0，﹣d）。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。下列说法中正确的是（　　） A．所有经过P点的粒子最小速度为 B．若以最小速率经过P点的粒子又恰好能过Q点，则电场强度大小为 C．沿不同方向进入匀强磁场的粒子要经过P点，速度大小一定不同 D．所有经过P点的粒子在匀强电场中运动的时间均相同 【解答】解：A、粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得： qvB＝m，可得：v 当OP为粒子运动轨迹的直径时（即r），圆周运动半径最小，粒子经过P点时速度最小，可得：，故A正确； B、粒子以最小速率经过P点时，在磁场中的轨迹恰好为半个圆周，到达P点时速度方向垂直于x轴，由P点到Q点做类平抛运动。 沿y轴负方向做匀速直线运动，则有：d＝vmint 沿x轴正方向做匀加速直线运动，则有：dat2 由牛顿第二定律得：a 联立解得电场强度，故B错误； C、经过P点圆弧轨迹均以PO为弦，如图1所示为经过O、P两点的半径相等的圆O1与圆O2，粒子可以分别沿这两个等大的圆在磁场中的圆弧部分做圆周运动经过P点，由于运动半径相等，故粒子速度大小相同，故C错误； D、设沿不同方向进入磁场的粒子，经过P点的速度方向与x轴夹角为θ，如图2所示。 由几何关系得：Rsinθ，同理由：qvB＝m，可得：v 在P点垂直电场方向的分速度为：vy＝vsinθ，可见vy为定值。 粒子穿过电场过程沿y轴负方向做匀速直线运动，则有：d＝vyt，因vy为定值，故所有经过P点的粒子在匀强电场中运动的时间均相同，故D正确。 故选：AD。 [模型演练3] （多选）（2024•成都三模）如图，平面直角坐标系xOy内虚线CD上方存在匀强磁场和匀强电场，分界线OE、OF与x轴的夹角均为θ＝30°。t＝0时，一对质量为m、电荷量为q的正、负粒子从坐标原点O以大小为v0的速度沿y轴正方向射入磁场，正粒子通过坐标为（3L，的P点（图中未画出）进入电场，然后沿y轴负方向经y轴上的Q点射出电场，不计粒子重力和粒子间的相互作用力。则（　　） A．磁场的磁感应强度大小为 B．电场的电场强度大小为 C．在坐标为（0，﹣2L）的位置，两粒子相遇 D．在t时，两粒子相遇 【解答】解：A、正、负粒子在磁场中分别做顺时针、逆时针偏转的匀速圆周运动，轨迹图如下图所示。 由几何关系可得运动半径满足：L＝Rsin2θ，解得：R＝2L 由洛伦兹力提供向心力得：qBv0＝m 解得磁感应强度大小为B，故A正确； B、正粒子通过P点进入电场由P点到Q点的过程，沿﹣x方向以初速度vx＝v0cosθ，末速度为零的匀减速直线运动，沿﹣y方向以速度vy＝v0sinθ，做匀速直线运动，则有 3L 3LvxtPQ P点与Q点沿y轴方向的距离：yPQ＝vytPQ 根据牛顿第二定律得：qE＝ma 解得：E，yPQ＝2L，tPQ，故B错误； C、分析负粒子在电磁场中的运动，可得正、负粒子在电磁场中的运动轨迹关于y轴对称，两粒子的运动过程也相同，故两粒子在Q点相遇，Q点的纵坐标为yQ＝﹣（yPQL）＝﹣3L，故C错误； D、粒子在磁场中的轨迹圆心角均为240°，在磁场中运动时间为： t1 两粒子相遇的时刻为：t＝t1+tPQ，故D正确。 故选：AD。 类型2 带电粒子由电场进入磁场 [模型演练4] （多选）（2024•龙凤区校级模拟）现代科学仪器中常利用电、磁场控制带电粒子的运动。如图甲所示，纸面内存在上、下宽度均为d的匀强电场与匀强磁场，匀强电场竖直向下，匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从电场的上边界的O点由静止释放，运动到磁场的下边界的P点时正好与下边界相切。若把电场下移至磁场所在区域，如图乙所示，重新让粒子从上边界M点由静止释放，经过一段时间粒子第一次到达最低点N，下列说法正确的是（　　） A．匀强电场的场强大小为 B．粒子从O点运动到P点的时间为 C．M、N两点的竖直距离为 D．粒子经过N点时速度大小为 【解答】解：A．设粒子在磁场中的速率为v，半径为R，在电场中由动能定理，有 洛伦兹力充当向心力，有 由几何关系可得R＝d 综上可得 故A错误； B.粒子在电场中的运动时间为 在磁场中的运动时间为 粒子从O运动到P的时间为 故B正确； CD.将粒子从M到N的过程中某时刻的速度分解为向右和向下的分量vx、vy，再把粒子受到的洛伦兹力分别沿水平方向和竖直方向分解，两个洛伦兹力分量分别为Fx＝qvyB，Fy＝qvxB 设粒子在最低点N的速度大小为v1，MN的竖直距离为y。取水平向右为正方向，水平方向由动量定理可得 由动能定理可得 联立解得，y＝d 故C错误；D正确。 故选：BD。 [模型演练5] （2024•五华区校级模拟）在xOy坐标系的第二象限内和第四象限内有如图所示的匀强电场，两电场的场强大小相等，方向分别与x轴和y轴平行；第四象限内还存在垂直于纸面的匀强磁场（图中未画出）。将一个质量为m、电荷量为q的微粒在第二象限内的P（﹣L，L）点由静止释放，之后微粒沿直线运动到坐标原点并进入第四象限，微粒在第四象限内运动后从x轴上的Q（L，0）点进入第一象限，重力加速度为g。求： （1）带电微粒运动到O点时的速度大小； （2）匀强磁场的磁感应强度大小； （3）带电微粒从P点运动到Q点所用的时间。 【解答】解：（1）微粒在第二象限内做直线运动，因此电场力和重力的合力方向沿PO方向，可得微粒带正电。因电场力和重力的方向与PO方向的夹角均为45°，则有：mg＝qE，微粒的合力大小为，PO的长度为，设带电微粒运动到O点时的速度大小v，根据牛顿第二定律与运动学公式得： v＝at1 解得：， （2）由于微粒在第四象限内受到电场力与重力等大反向，因此微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，微粒做圆周运动的轨迹如下图所示： 由几何关系可知微粒运动的轨迹半径为： 由牛顿第二定律可得： 解得： （3）微粒做圆周运动的轨迹圆心角为90°，微粒从O点运动到Q点所用的时间为： 带电微粒从P点运动到Q点所用的时间为： t＝t1+t2 答：（1）带电微粒运动到O点时的速度大小为； （2）匀强磁场的磁感应强度大小； （3）带电微粒从P点运动到Q点所用的时间为。 [模型演练6] （2024•黑龙江三模）如图所示，平面直角坐标系xOy中存在一与x轴相切的圆形匀强磁场区域，圆心坐标为（0，0.2），匀强磁场的磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外。y＜0区域，存在电场强度大小为E＝4×103N/C、方向沿y轴正方向的匀强电场。第四象限内的P点有一质量m＝2×10﹣9kg、带电量q＝5×10﹣5C的带正电粒子，以大小为的初速度沿x轴负方向射入匀强电场，从坐标原点O以与x轴负方向成θ＝45°角进入匀强磁场。粒子重力不计，求： （1）P点的坐标； （2）粒子在匀强磁场中做圆周运动的时间。 【解答】解：（1）粒子在匀强电场中做类平抛运动，由几何关系得粒子到达原点O时沿y轴方向的分速度为：vy＝v0tanθ 解得： 根据牛顿第二定律得： 解得：a＝1×108m/s2 则粒子在匀强电场中运动的时间为： 解得：t＝5×10﹣5 s 沿x轴方向的位移大小为：x＝v0t，解得：x＝0.25m 沿y轴方向的位移大小为：，解得：y＝0.125m 故P点的坐标为（0.25m，﹣0.125m） （2）粒子进入匀强磁场的速度大小为： 解得： 由洛伦兹力提供向心力得： 解得粒子运动半径为：R＝0.2m 粒子的运动轨迹如下图所示，粒子运动半径R与圆形磁场区域半径相等，图中四边形OO1PO2为菱形。 粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期为： 解得： 由几何关系可知，粒子在匀强磁场中转过的圆心角为α＝135°，故粒子在匀强磁场中的运动时间为： ，解得： 答：（1）P点的坐标为（0.25m，﹣0.125m）； （2）粒子在匀强磁场中做圆周运动的时间为。 类型3 带电粒子在磁场和电场中往复运动 [模型演练7] （2024春•重庆期末）如图甲所示，空间中有一直角坐标系xOy，在x＜0，y＞0的空间中有沿+y方向的匀强电场E＝5×105V/m。在紧贴（﹣0.2m，0）的上侧处有一粒子源P，能沿x轴正方向以v0＝2×106m/s的速度持续发射比荷为 C/kg的某种原子核。在x＞0的空间有垂直于xOy平面向外的足够大的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B1＝0.5T。忽略原子核间的相互作用和重力。 （1）求原子核第一次穿过y轴时速率； （2）设原子核从Q点第二次穿过y轴，求O、Q两点之间距离以及粒子在磁场中的运动时间； （3）若撤去原磁场B1，其余条件保持不变。在xOy平面内x＞0的某区域加一圆形匀强磁场，磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示，取磁场垂直纸面向外为正方向。t时刻进入磁场的粒子始终在磁场区域内沿闭合轨迹做周期性运动，若T0s，求圆形磁场区域的最小面积S以及粒子进入磁场时的位置到y轴的最短距离x。（忽略磁场突变的影响，计算结果用含有π的式子表示 ） 【解答】解：（1）原子核在电场中做类平抛运动，有 vy＝at 加速度为 代入数据，其中x＝0.2m 可得 （2）原子核离开电场时速度与+x夹角设为θ，则 偏移距离 右侧的磁场中做匀速圆周运动，有 该轨迹圆在y轴上对应的弦长l＝2Rcosθ OQ间距离d＝l﹣y 代入数据可得d＝0.2m 粒子在磁场B1中运动的周期 粒子在磁场中运动的时间为 （3）设粒子圆形磁场中做圆周运动的半径为r，则 解得 运动的周期 解得T1＝T0 粒子在磁场中运动的轨迹如图所示 所以圆形磁场的最小半径R1＝3r 最小面积 解得 由图可知，进入磁场的位置距y轴的最小距离 解得 [模型演练8] （2024•青羊区校级模拟）一带负电的微粒放在光滑绝缘水平面上，俯视如图，第一象限内存在沿y轴正方向的匀强电场，在另外三个象限充满大小相同、方向垂直水平面向下的匀强磁场。微粒从x轴上的P点以一定初速度进入第二象限，OP间距离x0＝0.3m，初速度与x轴负方向的夹角α＝37°，之后恰能垂直于y轴进入第一象限，再经一段时间从第一象限进入第四象限，此时速度与x轴正方向的夹角恰好也为α＝37°，已知微粒的比荷100C/kg，电场强度E＝0.05N/C，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求： （1）微粒第一次在第一象限内的运动时间t1； （2）微粒的初速度v0和在第二象限内运动的时间t0； （3）若x轴上有一点Q（14m，0），微粒经过x轴时，距离Q点的最小距离是多大？ 【解答】解：（1）微粒在磁场中做匀速圆周运动，垂直于y轴进入第一象限后在电场中做类平抛运动，微粒运动轨迹如下图所示： 在第二象限磁场中，由几何关系可得圆周运动的半径为： 在第一象限电场中，由牛顿第二定律得：qE＝ma 解得：a＝5m/s2 微粒在电场中做类平抛运动，沿y轴方向做匀减速运动，则有： 联立解得：t1＝0.6s （2）微粒进入第四象限时有： 解得：v0＝4m/s 微粒在第二象限中做圆周运动的周期为：T 在第二象限内运动的时间为： 联立解得： （3）微粒进入第四象限时的速度大小为： 由洛伦兹力提供向心力可得： 在第二象限时有： 在第四象限时有： 对比可解得在第四象限内的运动半径为：r2＝0.625m 微粒在第四象限的圆弧轨迹的弦长为：L＝2r2sinα，解得：L＝0.75m 微粒第1次从第一象限进入第四象限的位置的x轴坐标为：x1＝v0t＝4×0.6s＝2.4m 微粒第1次从第四象限进入第一象限的位置的x轴坐标为：x1′＝x1﹣L＝2.4m﹣0.75m＝1.65m 微粒再次进入第一象限的电场做类斜抛运动，由运动的对称性可得第2次从第一象限进入第四象限的位置的x轴坐标为： x2＝x1+（2x1﹣L） 微粒第2次从第四象限进入第一象限的位置的x轴坐标为： x2′＝x1'+（2x1﹣L） 依次类推，第n次从第一象限进入第四象限的位置的x轴坐标为： xn＝x1+（n﹣1）（2x1﹣L），n＝1、2、3…… 第n次从第四象限进入第一象限的位置的x轴坐标为： xn'＝x1'+（n﹣1）（2x1﹣L），n＝1、2、3…… 当n＝4时，x4＝14.55m，x4'＝13.8m 已知Q点坐标为（14m，0），可得微粒经过x轴时，距离Q点的最小距离为： Δx＝xQ﹣x4'＝14m﹣13.8m＝0.2m 答：（1）微粒第一次在第一象限内的运动时间t1为0.6s； （2）微粒的初速度v0为4m/s，在第二象限内运动的时间t0为0.31s； （3）若x轴上有一点Q（14m，0），微粒经过x轴时，距离Q点的最小距离是0.2m。 类型4 带电粒子在组合场中的动量问题 [模型演练9] （2024春•温州期末）如图所示，某离子分析器由偏转区和检测区组成，分别分布在y轴的左侧和右侧，在直线x＝﹣2l0到y轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向，y轴右侧区域内分布着垂直于xOy平面向里的磁场，磁感应强度大小B沿x轴均匀变化，即B＝kx（k为大于零的常数）。在电场左边界上A（﹣2l0，﹣l0）到C（﹣2l0，0）区域内，连续分布着电量为+q、质量为m的离子。从某时刻起由A点到C点间的离子，依次连续以相同的速度v0沿x轴正方向射入电场。若从A点射入的离子，恰好从点A′（0，l0）沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图。离开电场后的离子进入检测区，打在检测板上。区域场间互不影响，检测板足够长，不计离子的重力及它们间的相互作用。 （1）求匀强电场的场强大小E； （2）在AC间还有哪些位置的离子，通过电场后也能沿x轴正方向运动（写出这些位置的y坐标）； （3）检测板与y轴平行，并可沿x轴平移，若要检测板能收集到沿x轴正方向射出电场的这些离子，求检测板位置坐标x的最大值。 【解答】解：（1）从A点射入运动到A′点的离子先做类平抛运动，过了x轴后再做反方向的类平抛运动，因加速度大小相等，故运动具有对称性。可知两段运动沿x轴的位移大小均为l0，由A点到达x轴的过程，由类平抛的运动规律可得： 沿x轴方向：l0＝v0t 沿y轴方向： 解得： （2）根据离子在电场中运动具有对称性，满足要求的部分离子轨迹如下图所示： 设在AC间与C点距离为Δy处射出的离子，通过电场后也沿x轴正方向射出，离子第一次到达x轴用时Δt，水平位移为Δx。 可得满足的条件为：2l0＝2n•Δx，（n＝1、2、3……） Δx＝v0Δt 解得： 即满足要求的AC间的位置的y坐标为：，（n＝1、2、3……） （3）若要检测板能收集到沿x轴正方向射出电场的这些离子，且检测板的位置处在x坐标最大值处，临界条件为离子到达检测板时的速度方向恰好沿y轴方向，即沿x轴的分速度为vx＝0，沿y轴的分速度为vy＝v0，对离子受力分析，将洛伦兹力F，速度v均沿x轴、y轴分解，如下图所示： 以y轴正方向为正方向，沿y轴方向应用动量定理得：∑Fy•Δt＝mv0﹣0 又有：Fy＝qBvx 可得：∑qBvx•Δt＝mv0 可得：∑qBΔx＝mv0 已知：B＝kx ∑qBΔx 解得： 题型二 组合场中运动的实例分析 1．质谱仪(如图) 原理：粒子由静止被加速电场加速，qU＝mv2. 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m. 由以上两式可得r＝，m＝，＝. 2．回旋加速器(如图) 原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子经电场加速，经磁场回旋，由qvB＝，得Ekm＝，可见同种粒子获得的最大动能由磁感应强度B和D形盒半径r决定，与加速电压无关． 类型1 质谱仪的原理及应用 [模型演练10] （2024•漳州三模）如图，一质谱仪由加速电场、静电分析器、磁分析器构成。静电分析器通道的圆弧中心线半径为R，通道内有均匀辐向电场，方向指向圆心O，中心线处各点的电场强度大小相等。磁分析器中分布着方向垂直于纸面的有界匀强磁场，边界为矩形CNQD，NQ＝2d，PN＝3d。质量为m、电荷量为q的粒子（不计重力），由静止开始从A板经电压为U的电场加速后，沿中心线通过静电分析器，再由P点垂直磁场边界进入磁分析器，最终打在胶片ON上，则（　　） A．磁分析器中磁场方向垂直于纸面向外 B．静电分析器中心线处的电场强度 C．仅改变粒子的比荷，粒子仍能打在胶片上的同一点 D．要使粒子能到达NQ边界，磁场磁感应强度B的最小值为 【解答】解：A．由静电分析器电场力充当向心力可知，粒子带正电，根据左手定则可知，磁分析器中磁场方向垂直于纸面向里，故A错误； B．在加速电场中，根据动能定理qUmv2 在静电分析器电场力充当向心力qE 联立可得E 故B错误； C．在磁分析器中，洛伦兹力提供向心力qvB 可得粒子进入磁分析器到打在胶片上的距离D 所以与比荷有关，仅改变粒子的比荷，粒子不能打在胶片上的同一点，故C错误； D.由上述公式可知，磁场磁感应强度B的越小，半径越大，当B最小值时，粒子与QD边相切，由于圆心在PN上，则半径R＝2d 此时有4d 解得Bmin 故D正确。 故选：D。 [模型演练11] （2024春•怀柔区期末）如图所示，一质量为m的带电粒子从容器A下方的小孔S1飘入S1、S2之间的加速电场，其初速度可视为0，加速后以速度v经小孔S3沿与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后垂直打到照相底片上的D点。已知S3到D点的距离L，不计粒子的重力，求： （1）粒子的比荷； （2）加速电场的电势差U； （3）粒子在磁场所受洛伦兹力大小。 【解答】解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，半径 洛伦兹力提供向心力 解得 （2）粒子在加速电场中，根据动能定理： 解得 （3）粒子在磁场所受洛伦兹力 解得 答：（1）粒子的比荷； （2）加速电场的电势差； （3）粒子在磁场所受洛伦兹力大小。 [模型演练12] （2024春•新洲区期末）质谱仪原理如图所示，a为粒子加速器，电压为U1，b为速度选择器，磁场与电场正交，磁感应强度为B1，板间距离为d，c为偏转分离器，磁感应强度为B2。今有一质量为m、电荷量为e的正粒子（不计重力），经加速后，该粒子恰能通过速度选择器，粒子进入分离器后做匀速圆周运动。求： （1）粒子的速度v为多少； （2）速度选择器的电压U2为多少； （3）粒子在B2磁场中做匀速圆周运动的半径R为多大。 【解答】解（1）在电场中，粒子被加速电场U1加速，由动能定理有： 变形 解得： （2）在速度选择器中，粒子受的电场力和洛伦兹力大小相等，则根据平衡条件有： 解得速度选择器的电压： （3）在磁场中，粒子受洛伦兹力作用而做圆周运动，则由牛顿第二定律有： 解得半径： 答：（1）粒子的速度v为； （2）速度选择器的电压U2为； （3）粒子在B2磁场中做匀速圆周运动的半径R为。 类型2 回旋加速器的原理和应用 [模型演练13] （2024•东西湖区校级模拟）如图所示为一种改进后的回旋加速器示意图，在两D形盒左边的缝隙间放置一对中心开有小孔a、b的平行金属板M、N，每当带正电的粒子从a孔进入时，立即在两板间加上恒定电压，粒子经加速后从b孔射出时，立即撤去电压。粒子进入D形盒中的匀强磁场后做匀速圆周运动。已知D形盒的缝隙间无磁场，不考虑相对论效应，则下列说法正确的是（　　） A．磁场方向垂直纸面向外 B．粒子运动的周期不断变大 C．粒子每运动一周直径的增加量越来越小 D．增大板间电压，粒子最终获得的最大动能变大 【解答】解：A、带正电粒子从a孔进入磁场后受到的洛伦兹力向右，由左手定则判断可知，D形盒中的磁场方向垂直纸面向里，故A错误； B、根据洛伦兹力提供向心力得，粒子运动的周期T，粒子运动的周期不变，故B错误； C、粒子第n次加速后，根据动能定理可得nqUmv2，解得，粒子在磁场中运动的半径r，粒子每运动一周直径的增加量Δd（）随转动周数的增加，粒子每运动一周直径的增加量越来越小，故C正确； D、当粒子从D形盒中出来时，速度最大，根据r，可知最大动能Ek（式中R为D形盒的半径），由此可知，粒子获得的最大动能与加速电压无关，所以增大两板间电压，粒子最终获得的最大动能不变，故D错误。 故选：C。 [模型演练14] （2024•广州模拟）图甲示意我国建造的第一台回旋加速器，该加速器存放于中国原子能科学研究院，其工作原理如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．由于粒子速度被逐渐加大，则它在D形盒中的运动周期越来越小 B．由于粒子速度被逐渐加大，极板所加的交流电周期要相应减小 C．粒子从加速器出来的最大速度与D形盒的半径大小及磁场磁感应强度有关 D．粒子增加的动能来源于磁场 【解答】解：AB．粒子在磁场中运动的周期 与粒子速度无关，故粒子在D形盒中的运动周期不变，所加交流电的周期也相应保持不变，故AB错误； C．粒子由D形盒中飞出时，有 整理解得vm 与D形盒的半径大小R及磁场磁感应强度B均有关，故C正确； D．洛伦力总与粒子的运动方向垂直，故洛伦兹力不对粒子做功，其只改变粒子方向，所以粒子增加的动能来源于加速电场，故D错误。 故选：C。 [模型演练15] （2023秋•天河区期末）回旋加速器核心部分是分别与高频交流电极相连接的两个D形金属盒，两盒间的狭缝中有周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两个D形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，下列说法正确的是（　　） A．粒子射出时的动能与D形金属盒的半径无关 B．回旋加速器是靠电场加速的，粒子射出时的动能与电压有关 C．回旋加速器是靠磁场加速的，粒子射出时的动能与磁场无关 D．加速电压越小，粒子在回旋加速器中需加速的次数越多 【解答】解：A.设D型盒半径为R，由牛顿第二定律得，粒子射出时的最大动能为，联立解得，可见，粒子射出时的动能与D形金属盒的半径有关，故A错误； BC.回旋加速器是靠电场加速的，磁场只是改变速度的方向，并且粒子射出时的动能与电压无关但与磁场有关，故BC错误； D.粒子在回旋加速器中需加速的次数为，因此，加速电压越小，粒子在回旋加速器中需加速的次数越多，故D正确； 故选：D。 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