第06讲 三角形（5大知识点+9大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（湘教版）

第06讲 三角形 课程标准 学习目标 了解三角形的有关性质，对三角形特征的初步探索. 1.认识三角形，了解三角形的概念，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形； 2.掌握三角形的三边关系，并能运用它判断三条线段能否构成一个三角形； 3.理解并掌握三角形的三种重要线段概念及其性质，会画三角形的高、中线、角平分线，.能运用三角形的三种线段的性质解决相关问题； 4.理解三角形内角和定理的内容，能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题； 5.了解三角形外角;知道三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 知识点01 三角形的相关概念 1.不在同一直线上的三条线段 所构成的图形叫作三角形; 2.两条边相等的三角形叫作 三角形,相等的两条边叫作 ,另外一条边叫作底边,两腰的夹角叫作 ,腰和底边的夹角叫作底角; 3.三条边都相等的三角形叫作 三角形(或正三角形). 【即学即练1】 1．请同学们认真观察，图中共有（　　）三角形． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【即学即练2】 2．一位同学用若干根木棒拼成图形如下，则符合三角形概念的是（    ） A．B． C． D． 【即学即练3】 3．一个三角形中，最小角大于，这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 规律总结：数三角形的个数时,要按顺序数,做到不重不漏,可按照三角形的大小顺序数,也可先固定一条边,沿着一定方向去数. 知识点02 三角形三边之间的关系 三角形任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边. 【即学即练1】 1.已知三角形的周长是12，则以下哪个长度不可能是该三角形的边长（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【即学即练2】 2，一个三角形的两条边长分别为和，那么第三条边的范围是（    ） A． B． C． D． 【即学即练3】 3.已知一个等腰三角形的底边长为，这个等腰三角形的腰长为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 规律总结: 1.在判断三条线段能否构成三角形时,只要判断两条较短线段之和是否大于最长线段即可; 2.在等腰三角形的计算题中,一定要分清腰和底,同时考虑三角形的三边关系,在满足三边关系后,再计算. 知识点03 三角形的三条重要线段及重心 高线:从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作 ,顶点和垂足之间的 叫作三角形的高线,简称三角形的高. 角平分线:在三角形中,一个角的 与这个角的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 中线:在三角形中,连接一个顶点和它的对边 的线段叫作三角形的中线. 重心:三角形的三条 相交于一点,这个交点叫作三角形的重心. 注意:三角形的高、角平分线、中线都是 . 【即学即练1】 1.下列说法：①三角形的一个外角大于它的任意一个内角；②三角形的三条高交于一点；③三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分；④三角形的三条角平分线交于一点，该点到三角形三边距离相等．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【即学即练2】 2.如图，是的中线，的周长比的周长大，，则的长为（　　）   A． B． C． D． 【即学即练3】 3.如图，在中，点，，分别为边，，的中点，且，则（　　）    A． B． C． D． 【即学即练4】 4.已知点F是的重心，连接并延长交于G点，过点F作直线分别交于D点、E点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 规律总结： 三角形的角平分线、中线、高线各有三条，并且各自交于一点; 三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，故三角形的中线可以等分三角形的面积. 知识点04 三角形的内角和 三角形的内角和等于 . 【即学即练1】 2.如图，在中，平分，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 方法技巧：三角形内角和定理描述了三角形的三个内角之间的关系，可以利用它解决与三角形有关的角度计算问题,或者判定三角形的形状. 知识点05 三角形的外角 定义:三角形的一边与另一边的 所组成的角,叫作三角形的外角. 性质:三角形的一个外角等于与它 的两个内角的和. 【即学即练1】 1.如图，已知，，，那么等于（　　） A． B． C． D． 易错提醒：在利用三角形的外角的性质时,不要忽视“不相邻”这个限制条件. 题型01 三角形的识别与有关概念 【典例1】下列图形中，三角形是（    ） A．     B．   C．   D．   【变式1】如图，下列图形中是三角形的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】三角形是（    ） A．由在同一平面内的三条直线首尾顺次相接所组成的图形 B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形 C．任意连接在同一平面内的三个点所得到的封闭图形 D．由在同一平面内的三条线段所组成的图形 【变式3】对于三角形，下列说法正确的是（   ） A．三点可以确定一个三角形 B．三角形的三条高都在三角形的内部 C．三角形至少有一个锐角 D．三角形中最大的内角不能小于 题型02 三角形的个数问题及其分类 【典例1】1．图中三角形的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例2】如图，一个三角形的下都被一张纸遮住了，只露出了一个角，这个三角形是（    ）三角形． A．钝角 B．锐角 C．直角 D．无法确定 【变式1】如图，在中，点、分别在、上，则图中三角形的个数是（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】在中，若，，则该三角形是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 题型03 确定第三边的取值范围 【典例1】现用三根木棒搭一个三角形，其中两根木棒的长分别是和，那么第三根的长不可能是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，被木板遮住了一部分，其中，则的值可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】已知三角形的三边长分别为，，，则化简的结果为 ． 【变式3】已知a、b、c是一个三角形的三边长． (1)若，，则c的取值范围是_______． (2)试化简：． 题型04 三角形三边关系的应用 【典例1】某年级（2）班学生小杨家、小李家和学校不在同一直线上，小杨家和小李家到学校的线距离分别是和，那么小杨、小李两家的直线距离可能是（   ） A．1km B． C． D． 【变式1】小沙在活动课中用长度为5，m，n的三根木棒搭建一个三角形木架，则m，n可能的取值分别是（    ） A．1和3 B．2和3 C．2和8 D．3和6 【变式2】初中生体能训练中有一项跳跃泥潭障碍训练，如图，小刚平时助跑跳跃距离约为米，他不确定自己是否能够跳过这个泥潭（的长度），于是测量了相关长度，由于米尺长度有限，小刚测得米，米，根据小刚的测量，他 完成这项训练挑战．（填“能”或“不能”） 【变式3】鹿鸣成长课程兴趣小组准备在空翠圃用米长的篱笆围成一块三角形菜地（三边均不靠墙）．已知第一条边长为米，由于条件限制，第二条边长比第一条边长的2倍多1米． (1)请用含的式子表示第三条边长； (2)第一条边长能否为4米？为什么？ 题型05 与三角形的高、中线和角平分线有关的计算问题 【典例1】如图，分别为的中线、高，点E为的中点． (1)若求的度数； (2)若的面积为15，求的长． 【变式1】如图所示，在中，，，垂足分别为D、E，且，，，求的长． 【变式2】如图所示，已知分别是的高和中线，，． 试求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 【变式3】如图，在中，，为的角平分线，点F是边的中点，已知的面积为12，，，．    (1)求的长度； (2)求的度数． 题型06 重心的概念 【典例1】如图，点是的重心．      (1)________； (2)若，求长． 【变式1】如图，点是的重心，连接并延长，交边于点．若，则（    ）    A．2 B． C． D． 【变式2】画出三角形的重心O，并说明、、的面积存在什么数量关系？ 题型07 三角形内角和的有关问题 【典例1】如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【典例2】将一副直角三角板如图所示放置，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，平分交边于点D，交边于点E．若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，直线，点A在直线m上，点B在直线n上，连接，过点A作，交直线n于点C．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 题型08 三角形的外角的定义及性质 【典例1】如图，平分，，，那么等于（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在等腰中，，过点作，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使，则的度数是（　　） A． B． C． D． 题型09 利用网格求三角形面积 【典例1】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为（    ）    A． B． C． D．无法判断 【变式1】如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中面积相等的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图所示的网格是正方形网格，，，，是网格线交点，若每个小方格的边长为1，则 ． 【变式3】如图，点A、B、C、D、F在网格中的格点处，与相交于点E，设小正方形的边长为1，则阴影部分的面积等于 ． 1．一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法中错误的是（      ） A．三角形的三个内角中至少有两个角是锐角 B．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形 C．一个三角形的三个内角中至少有一个内角不大于 D．如果三角形的两个内角之和小于，那么这个三角形是钝角三角形 3．下列说法正确的是（　　） A．三角形的三条中线交于一点 B．三角形的角平分线是射线 C．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 D．三角形的一条角平分线能把三角形分成两个面积相等的三角形 4．下列命题正确的有（    ） ①由三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形；②方程的正整数解的个数是3个；③三角形的角平分线是射线；④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．如图，图中的三角形共有（     ） A．10个 B．12个 C．14个 D．16个 6．图表示三角形分类，则Q表示的是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 7．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A．3cm，3cm，6cm B．12cm，4cm，7cm C．5cm，6cm，2cm D．2cm，7cm，4cm 8．如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得，，那么A，B之间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 9．李师傅想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为和的细木条，需要将其中一根木条分为两截，如果不考虑损耗和接头部分，那么他可以把细木条分为两截的是（    ） A．的木条 B．的木条 C．两根都行 D．两根都不行 10．点E是长方形内任意一点，连接把长方形分成4个三角形，的面积分别记为．已知长方形的面积，则一定可求出的值是（    ） A． B． C． D． 11．将按如图所示折叠，使C与B重合，折痕为，连接，则是的一条（    ） A．角平分线 B．高线 C．中线 D．垂直平分线 12．已知是的中线，且，则等于（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 13．如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（    ）    A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边高的交点 D．三边垂直平分线的交点 14．如图，若，，则： ①； ②； ③平分； ④； ⑤； ⑥，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②⑤⑥ C．①③④⑥ D．③④⑥ 15．将一个含角的直角三角板和一把等宽的直尺按如图所示的位置摆放，其中，若，则的度数是(    ) A．1 B． C． D． 16．如图，在中， 于点，平分交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 17．如图，在中，，，是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点落在同一平面内的点处，当平行于边时，的大小为（   ） A． B． C． D． 18．如图，已知，、为上的两点，、为上的两点，延长于点，平分，直线平分，若．则下列结论：①；②；③；④设，；⑤．则其中正确的结论有（　　）个 A．2 B．3 C．4 D．5 19．如图，，，的大小关系为（　　）    A． B． C． D． 20．看图填空． （1）图中共有 个三角形，分别是 ； （2）的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ； （3）中，顶点A所对的边是 ，边所对的顶点是 ； （4）是 的内角，是 的外角，的对边是 ． 21．已知三角形三个内角的度数之比为2:5:7，则该三角形是 三角形（按角分类）． 22．一个三角形的三个角的比是，最大的角是 度．这是一个 三角形． 23．自行车的三角架结构使其更牢固，运用数学原理是 ． 24．在中，，，那么的最大长度应小于 ，最小长度应大于 25．如图，四边形是由四边形平移得到的，若，则长度的取值范围是 ．    26．如图，沿虚线将正方形的一角剪掉后得到一个五边形．则五边形的周长比正方形的周长小，理由是 ． 27．已知的三边长、、都是正整数，且满足，则的周长为 ． 28．如图，是的中线，是的中线，于点．若，，则长为 ． 29．如图，在中，，两条高交于点O，连接，则 ． 30．如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为 ． 31．如图，在中，是边上的中线，，，点，分别是垂足．已知，则与的长度之比是 ． 32．如图，将长方形纸片沿EF折叠后，点A，B分别落在，B的位置，再沿边将折叠到处，已知，则 ． 33．如图，在中，，，，则 °． 34．如图，绕点C旋转得到，且点E在边上，M为与的交点．若，则下列各角：①；②；③；④．其中角的度数一定等于的是 ． 35．在中，，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为10，求的周长． 36．如图，中，是上的高，平分，，．    (1)求的度数． (2)若，，则求与的面积比是多少． 37．如图，在中，点分别在边，上，，相交于点．求证：． 38．如图，在中，，平分，交于点F． (1)若，，求的度数； (2)在（1）的条件下，判断与是否垂直，并说明理由； (3)直接写出当与满足怎样的数量关系时，． 39．如图，在中， ，，点D是边的中点，点E在边上（不与点B、C重合），连结，将沿翻折得到，点B的对应点为点F． (1)当时，的大小为 度． (2)当时，求的大小． (3)当时，直接写出的大小． 40．在中 (1)如图①，，、的平分线交于点，求的度数； (2)如图②，，、的三等分线交于点，，求的度数； (3)如图③，，、的等分线交于点，求的度数．（用含的式子表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 三角形 课程标准 学习目标 了解三角形的有关性质，对三角形特征的初步探索. 1.认识三角形，了解三角形的概念，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形； 2.掌握三角形的三边关系，并能运用它判断三条线段能否构成一个三角形； 3.理解并掌握三角形的三种重要线段概念及其性质，会画三角形的高、中线、角平分线，.能运用三角形的三种线段的性质解决相关问题； 4.理解三角形内角和定理的内容，能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题； 5.了解三角形外角;知道三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 知识点01 三角形的相关概念 1.不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形; 2.两条边相等的三角形叫作等腰三角形,相等的两条边叫作腰,另外一条边叫作底边,两腰的夹角叫作顶角,腰和底边的夹角叫作底角; 3.三条边都相等的三角形叫作等边三角形(或正三角形). 【即学即练1】 1．请同学们认真观察，图中共有（　　）三角形． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】A 【分析】本题考查三角形，关键是掌握三角形的概念．由三角形的概念，数的时候要注意按照一定的规律，不重不漏． 【详解】解：图形中有三角形：，，，，， 图中共有5个三角形． 故选：A． 【即学即练2】 2．一位同学用若干根木棒拼成图形如下，则符合三角形概念的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的概念，由三条线段首尾顺次连接构成的图形叫做三角形，据此进行判断即可． 【详解】解：三角形是由三条线段首尾顺次连接构成的，则C选项符合三角形概念， 故选：C 【即学即练3】 3．一个三角形中，最小角大于，这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的分类，根据如果一个三角形中，最小角大于，则三角形中的最大角小于，即可得出答案． 【详解】解：如果一个三角形中，最小角大于，则三角形中的最大角小于，故另外两个角一定是锐角，这个三角形是锐角三角形， 故选：A． 规律总结：数三角形的个数时,要按顺序数,做到不重不漏,可按照三角形的大小顺序数,也可先固定一条边,沿着一定方向去数. 知识点02 三角形三边之间的关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 【即学即练1】 1.已知三角形的周长是12，则以下哪个长度不可能是该三角形的边长（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键． 先计算出另外两边之和，再根据三角形任意两边之和大于第三边即可求解． 【详解】解：A．若三角形的一边长为3，则三角形另外两边之和为：，，故本选项不符合题意； B．若三角形的一边长为4，则三角形另外两边之和为：，，故本选项不符合题意； C．若三角形的一边长为5，则三角形另外两边之和为：，，故本选项不符合题意； D．若三角形的一边长为6，则三角形另外两边之和为：，，故本选项符合题意． 故选：D． 【即学即练2】 2，一个三角形的两条边长分别为和，那么第三条边的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可知第三边的取值范围． 【详解】解∶∵三角形的两条边长分别为和， ∴第三条边的范围是，即， 故选∶D． 【即学即练3】 3.已知一个等腰三角形的底边长为，这个等腰三角形的腰长为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形的三边长关系即可求得的取值范围． 【详解】解：∵等腰三角形的底边长为，等腰三角形的两腰长相等， ∴两腰之和大于，即， 即， ∵等腰三角形的两腰之差为， ∴只要等腰三角形的腰长满足，即可组成三角形． 故选C． 规律总结: 1.在判断三条线段能否构成三角形时,只要判断两条较短线段之和是否大于最长线段即可; 2.在等腰三角形的计算题中,一定要分清腰和底,同时考虑三角形的三边关系,在满足三边关系后,再计算. 知识点03 三角形的三条重要线段及重心 高线:从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线,简称三角形的高. 角平分线:在三角形中,一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 中线:在三角形中,连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线. 重心:三角形的三条中线相交于一点,这个交点叫作三角形的重心. 注意:三角形的高、角平分线、中线都是线段. 【即学即练1】 1.下列说法：①三角形的一个外角大于它的任意一个内角；②三角形的三条高交于一点；③三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分；④三角形的三条角平分线交于一点，该点到三角形三边距离相等．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形中的高线，中线，角平分线及三角形外角的定义，掌握以上概念是解题的关键． 利用三角形中高线，中线，角平分线的概念及三角形外角的定义，分别判断后即可得到答案． 【详解】解： 解：①三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角，故原说法错误； ②三角形的三条高线所在的直线交于一点，故原说法错误； ③三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分，说法正确； ④三角形的三条角平分线交于一点，该点到三角形三边距离相等，故原说正确； 则正确的有2个， 故选：B． 【即学即练2】 2.如图，是的中线，的周长比的周长大，，则的长为（　　）   A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线得到，进而推出两个三角形的周长的差为，即可得出结果． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴的周长 的周长， ∵， ∴； 故选C． 【即学即练3】 3.如图，在中，点，，分别为边，，的中点，且，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形面积及三角形面积的等积变换，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据三角形面积公式由点D为的中点得到，同理得到，则，然后再由点F为的中点得到． 【详解】解：∵点D为的中点， ， ∵点E为的中点， ， ， ∵点F为的中点， ， 即阴影部分的面积为． 选：C． 【即学即练4】 4.已知点F是的重心，连接并延长交于G点，过点F作直线分别交于D点、E点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是重心的概念，掌握重心的定义是解题关键，根据定义直接判断即可． 【详解】解：点F是的重心， 是的中线， ， 故选：A． 规律总结： 三角形的角平分线、中线、高线各有三条，并且各自交于一点; 三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，故三角形的中线可以等分三角形的面积. 知识点04 三角形的内角和 三角形的内角和等于180. 【即学即练1】 2.如图，在中，平分，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识．求出，，再利用三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：． 方法技巧：三角形内角和定理描述了三角形的三个内角之间的关系，可以利用它解决与三角形有关的角度计算问题,或者判定三角形的形状. 知识点05 三角形的外角 定义:三角形的一边与另一边的延长线所组成的角,叫作三角形的外角. 性质:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 【即学即练1】 1.如图，已知，，，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的外角的定义及性质解答即可． 【详解】解：∵在，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选． 易错提醒：在利用三角形的外角的性质时,不要忽视“不相邻”这个限制条件. 题型01 三角形的识别与有关概念 【典例1】下列图形中，三角形是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查三角形定义，根据不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，即可解题． 【详解】解：由三角形定义可知，   是三角形， 故选：C． 【变式1】如图，下列图形中是三角形的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据三角形的定义，即可求解．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形是三角形． 【详解】解：依题意，只有（1）是三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的定义，熟练掌握三角形的定义是解题的关键． 【变式2】三角形是（    ） A．由在同一平面内的三条直线首尾顺次相接所组成的图形 B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形 C．任意连接在同一平面内的三个点所得到的封闭图形 D．由在同一平面内的三条线段所组成的图形 【答案】B 【分析】根据三角形的定义解答即可． 【详解】解：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的定义，熟知由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形是解题的关键． 【变式3】对于三角形，下列说法正确的是（   ） A．三点可以确定一个三角形 B．三角形的三条高都在三角形的内部 C．三角形至少有一个锐角 D．三角形中最大的内角不能小于 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高、角平分线定义、三角形的内角和定理、三角形的外角定义等知识点，据此逐项分析作答即可．能熟记三角形的高、角平分线定义、三角形的内角和定理、三角形的外角定义的内容是解此题的关键． 【详解】解：A、三点不共线时，才可以确定一个三角形，故该选项是错误的； B、只有锐角三角形的高都在三角形的内部，直角三角形的两条高在三角形的边上，一条高在三角形的内部，钝角三角形的两条高在三角形的外部，一条高在三角形的内部，故本选项不符合题意； C、三角形至少有两个锐角，故本选项不符合题意； D、三角形的最大的内角不能小于，故本选项符合题意； 故选：D． 题型02 三角形的个数问题及其分类 【典例1】1．图中三角形的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的定义，三角形就是三条首尾顺次相接的线段构成的图形，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，图中的三角形有，共5个， 故选C． 【典例2】如图，一个三角形的下都被一张纸遮住了，只露出了一个角，这个三角形是（    ）三角形． A．钝角 B．锐角 C．直角 D．无法确定 【答案】D 【分析】本题考查三角形的分类，根据三角形最大的内角的大小可将三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，据此即可解答． 【详解】解：根据题意无法判断被纸遮住的两个角的情况，故无法判断这个三角形是什么类型的三角形． 故选：D 【变式1】如图，在中，点、分别在、上，则图中三角形的个数是（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：如图所示，    图中有共8个三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的定义，熟练掌握三角形的定义是解题的关键． 【变式2】在中，若，，则该三角形是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形分类．熟记三角形的内角和是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出各角度数，再判定三角形的形状即可． 【详解】解：， ，， ， 是直角三角形， 故选：A． 题型03 确定第三边的取值范围 【典例1】现用三根木棒搭一个三角形，其中两根木棒的长分别是和，那么第三根的长不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，设第三根的长是，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出的取值范围，进而即可判断求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：设第三根的长是， 则， ∴， ∴第三根的长不可能是． 故选：． 【变式1】如图，被木板遮住了一部分，其中，则的值可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边即可得出答案． 【详解】解：∵中， ∴，ABC不满足条件，D满足条件． 故选：D． 【变式2】已知三角形的三边长分别为，，，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值、三角形三边关系，解不等式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形三边关系可得，解得，再去掉原式中的绝对值并化简即可． 【详解】解：由三角形三边关系，得， 即， 解得， ∴， 故答案为． 【变式3】已知a、b、c是一个三角形的三边长． (1)若，，则c的取值范围是_______． (2)试化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形三边关系，化简绝对值，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边；正有理数的绝对值是它本身，负有理数的绝对值是它的相反数． （1）由三角形三边关系定理即可得到答案； （2）由绝对值的意义和三角形三边关系定理即可化简． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得：， ． 故答案为：． （2）解：，，， ． 题型04 三角形三边关系的应用 【典例1】某年级（2）班学生小杨家、小李家和学校不在同一直线上，小杨家和小李家到学校的线距离分别是和，那么小杨、小李两家的直线距离可能是（   ） A．1km B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，根据三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】解：由题意，得，小杨家、小李家和学校构成一个三角形， ∴小杨、小李两家的距离， ∴小杨、小李两家的直线距离可能是； 故选C． 【变式1】小沙在活动课中用长度为5，m，n的三根木棒搭建一个三角形木架，则m，n可能的取值分别是（    ） A．1和3 B．2和3 C．2和8 D．3和6 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系的应用．根据三角形的三边关系，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴若m，n分别为1，3时，不能搭建一个三角形木架，故本选项不符合题意； B、∵， ∴若m，n分别为2，3时，不能搭建一个三角形木架，故本选项不符合题意； C、∵， ∴若m，n分别为2，8时，不能搭建一个三角形木架，故本选项不符合题意； D、∵， ∴若m，n分别为3，6时，能搭建一个三角形木架，故本选项符合题意； 故选：D 【变式2】初中生体能训练中有一项跳跃泥潭障碍训练，如图，小刚平时助跑跳跃距离约为米，他不确定自己是否能够跳过这个泥潭（的长度），于是测量了相关长度，由于米尺长度有限，小刚测得米，米，根据小刚的测量，他 完成这项训练挑战．（填“能”或“不能”） 【答案】能 【分析】此题考查了三角形三边关系定理的应用，熟练掌握三角形任意两边长之和大于第三边是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，， ∴小明能完成这项训练挑战． 故答案为：能． 【变式3】鹿鸣成长课程兴趣小组准备在空翠圃用米长的篱笆围成一块三角形菜地（三边均不靠墙）．已知第一条边长为米，由于条件限制，第二条边长比第一条边长的2倍多1米． (1)请用含的式子表示第三条边长； (2)第一条边长能否为4米？为什么？ 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了根据题意列代数式，三角形三边关系等知识； （1）本题需先表示出第二条边长，即可得出第三条边长； （2）当时，三边长分别为，根据三角形三边关系即可作出判断． 【详解】（1）解：∵第一条边长为米, 第二条边长比第一条边长的2倍多1米 ∴第二条边长为米， ∴米； ∴第三条边长为米； （2）解：不能， 因为当时，三边长分别为， 由于，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为米； 题型05 与三角形的高、中线和角平分线有关的计算问题 【典例1】如图，分别为的中线、高，点E为的中点． (1)若求的度数； (2)若的面积为15，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的内角和，外角，三角形的中线和高线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）三角形的外角求出，三角形的内角和定理，求出即可； （2）三角形的中线平分面积求出，然后利用面积公式求出的长即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵是的高线， ∴， ∴； （2）∵的面积为15，点E为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式1】如图所示，在中，，，垂足分别为D、E，且，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积，熟练掌握等面积法求边长是解题的关键． 利用三角形面积相等可得，即可求出． 【详解】解：，，， ， ，， 即， ． 【变式2】如图所示，已知分别是的高和中线，，． 试求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了中线的定义、三角形中线的性质、三角形周长的计算，解题的关键是掌握等面积法和三角形中线的性质． （1）利用“面积法”来求线段的长度； （2）根据与是等底同高的两个三角形，它们的面积相等求解即可； （3）由于是中线，那么，于是的周长的周长，化简可得的周长的周长，即可求其值． 【详解】（1）解：，是边上的高， ， ， 即的长度为； （2）解：如图，是直角三角形，，，， ． 又是边的中线， ． 的面积是． （3）解：为边上的中线， ， 的周长的周长， 即和的周长的差是． 【变式3】如图，在中，，为的角平分线，点F是边的中点，已知的面积为12，，，．    (1)求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高、三角形的面积等.（1）求出，根据三角形的面积求出，再求出结果即可； （2）求出，根据三角形的外角性质求，根据角平分线求出，再求出即可． 【详解】（1）解：∵点F是边的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴, ∵为的角平分线， ∴， ∴. 题型06 重心的概念 【典例1】如图，点是的重心．      (1)________； (2)若，求长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查的是三角形重心的性质． （1）由点为的重心，可知是的中线，进而即可求解； （2）由三角形重心可得，进而即可求解． 掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解决问题的关键． 【详解】（1）解：∵点为的重心（即：点为三条中线、、的交点）， ∴，则， 故答案为：； （2）∵点为的重心，    ∴由三角形中线性质可得：，，， 则：，， ∴，， ∴， 则，即：， ∵， ∴， 【变式1】如图，点是的重心，连接并延长，交边于点．若，则（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念、三角形的中线性质．根据三角形的重心的概念得到点为的中点，根据三角形中线的性质解答即可． 【详解】解：∵点是的重心， ∴点为的中点， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】画出三角形的重心O，并说明、、的面积存在什么数量关系？ 【答案】图见解析， 【分析】本题主要考查了画三角形的重心，重心的性质，掌握三角形的重心定义以及性质是解题的关键． 根据三角形重心的定义画图即可，由O是的重心，可得出、、是的中线，由中线可得出，进可可得出，又由，可得出，同理可得出，即可证明． 【详解】解：如下图O是的重心． 理由如下： ∵O是的重心， ∴、、是的中线， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 同理可得， ∴． 题型07 三角形内角和的有关问题 【典例1】如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理以及角平分线定理，熟练掌握角平分线定理是解题的关键．根据题意求出，根据角平分线的定理求出，即可得到答案． 【详解】解：， ， 和分别平分和， ， ， ． 故选C． 【典例2】将一副直角三角板如图所示放置，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形三内角之和等于求解．本题考查三角形内角之和等于． 【详解】解：依题意，如图． ，， ． 故选：C． 【变式1】如图，在中，平分交边于点D，交边于点E．若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义，根据三角形内角和定理求得，再根据角平分线的定义可得，再由平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2】如图，直线，点A在直线m上，点B在直线n上，连接，过点A作，交直线n于点C．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据得到，然后求出，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 题型08 三角形的外角的定义及性质 【典例1】如图，平分，，，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义，根据角三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， 故选． 【变式1】如图，在等腰中，，过点作，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形外角的定义及性质可知，最后利用平行线的性质可知即可． 【详解】解： ∵在等腰中，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为， 故选． 【变式2】如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质．由平行线的性质推出，由三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：∵， ， ， ． 故选：B． 题型09 利用网格求三角形面积 【典例1】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为（    ）    A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】分别求出的面积和的面积，即可求解． 【详解】解：， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键． 【变式1】如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中面积相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查网格中三角形的面积，分别求出各图中三角形的面积，即可解答． 【详解】解：图中面积为， A、图中三角形的面积为，与面积相等； B、图中三角形的面积为，与面积不相等； C、图中三角形的面积为，与面积不相等； D、图中三角形的面积为，与面积不相等． 故选：A 【变式2】如图所示的网格是正方形网格，，，，是网格线交点，若每个小方格的边长为1，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形的面积公式．直接利用三角形的面积可求得，采用割补法“用大的矩形面积减去三个小三角形的面积”可求得，据此求解即可． 【详解】解：由网格图可得， ， 故有． 故答案为：8． 【变式3】如图，点A、B、C、D、F在网格中的格点处，与相交于点E，设小正方形的边长为1，则阴影部分的面积等于 ． 【答案】4.5 【分析】本题主要考查三角形的面积，由网格图求解和的面积，再利用可求解． 【详解】解：由图可知：四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4.5． 1．一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意； B、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意； C、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意； D、不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接，是三角形，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查三角形图形的知识，根据三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。判断是否三条线段首尾顺次相接是解决本题的关键。 2．下列说法中错误的是（      ） A．三角形的三个内角中至少有两个角是锐角 B．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形 C．一个三角形的三个内角中至少有一个内角不大于 D．如果三角形的两个内角之和小于，那么这个三角形是钝角三角形 【答案】B 【分析】根据三角形的分类及定义，三角形分为锐角．直角和钝角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角其余两角是锐角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角其余两角是锐角的三角形是钝角三角形． 【详解】解：A．三角形的三个内角中至少有两个角是锐角，选项说法正确，不符合题意； B．三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，选项说法错误，符合题意 C．一个三角形的三个内角中至少有一个内角不大于，选项说法正确，不符合题意 D．如果三角形的两个内角之和小于，那么剩下的一个角肯定大于，所以为钝角三角形，选项说法正确，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了三角形的分类及定义，关键是确定锐角的个数及特殊角． 3．下列说法正确的是（　　） A．三角形的三条中线交于一点 B．三角形的角平分线是射线 C．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 D．三角形的一条角平分线能把三角形分成两个面积相等的三角形 【答案】A 【分析】根据三角形的中线，角平分线，高线的定义和性质，逐一进行判断即可． 【详解】A、三角形的三条中线交于一点，说法正确，符合题意； B、三角形的角平分线是线段，原说法错误，不符合题意； C、三角形的高所在的直线交于一点，当三角形为锐角三角形时，交点在三角形的内部，当三角形为直角三角形时，交点在直角顶点上，当三角形为钝角三角形时，交点在三角形的外部，原说法错误，不符合题意； D、三角形的一条中线能把三角形分成两个面积相等的三角形，原说法错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查三角形的三条重要线段．熟练掌握三角形中的中线，角平分线和高线是三条线段，三角形的中线平分三角形的面积，以及高线所在的直线交于一点，该点可能在三角形的内部，外部和三角形上，是解题的关键． 4．下列命题正确的有（    ） ①由三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形；②方程的正整数解的个数是3个；③三角形的角平分线是射线；④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据三角形的定义对①进行判断；将看成已知数求出，即可确定出②的正整数解；根据三角形的角平分线的定义和特征对③进行判断；根据三角形的高对④进行判断． 【详解】解：①由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形，故①错误； ②方程的正整数解的个数是2个，当时，；当时，，故②错误； ③三角形的角平分线是线段，故③错误； ④直角三角形的三条高的交点是三角形的直角顶点，故④错误． 综上所述，正确的有0个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了命题与定理、三角形有关线段、解二元一次方程等知识，解题的关键是掌握三角形的定义、三角形角平分线的定义和特征以及三种三角形高的特点． 5．如图，图中的三角形共有（     ） A．10个 B．12个 C．14个 D．16个 【答案】B 【分析】根据三角形的概念求解即可． 【详解】解：如图所示， 图中的三角形有：，，，，，，，，，，，，共12个， 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形的概念，解题的关键是熟练掌握三角形的概念． 6．图表示三角形分类，则Q表示的是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的分类，掌握三角形按边分类的方法是解题的关键． 根据三角形按边分类，即可求解． 【详解】解：∵三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形，等腰三角形分为：两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形． ∴Q表示的是等边三角形． 故选：A． 7．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A．3cm，3cm，6cm B．12cm，4cm，7cm C．5cm，6cm，2cm D．2cm，7cm，4cm 【答案】C 【分析】本题考查三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】A、，不能组成三角形，故本选项不符合题意， B、，不可以组成三角形，故本选项不符合题意， C、，能组成三角形，故本选项符合题意， D、，不能组成三角形，故本选项不符合题意， 故选：C． 8．如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得，，那么A，B之间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形的三边关系求出的范围，判断即可． 【详解】解：在中，，，， 则， A，B间的距离不可能是， 故选：D． 9．李师傅想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为和的细木条，需要将其中一根木条分为两截，如果不考虑损耗和接头部分，那么他可以把细木条分为两截的是（    ） A．的木条 B．的木条 C．两根都行 D．两根都不行 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系在实际中的应用，属于基本题型，熟练掌握三角形的三边关系是关键．根据三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边解答即可． 【详解】解：三角形的任意两边之和大于第三边， 两根长度分别为和的细木条做一个三角形的框架， 可以把的木条分为两截． 故选：B. 10．点E是长方形内任意一点，连接把长方形分成4个三角形，的面积分别记为．已知长方形的面积，则一定可求出的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了与三角形高有关的面积问题．注意掌握数形结合思想的应用．设边的高为，边的高为，边的高为，边的高为，根据长方形的性质可得，，再分别表示出，逐一判断即可． 【详解】解：设边的高为，边的高为，边的高为，边的高为， 长方形中，， ， ∴， 已知长方形的面积，即已知， 不可求，故A选项不符合题意； 不可求，故B选项不符合题意； 不可求，故C选项不符合题意； 可求，故D选项符合题意； 故选：D． 11．将按如图所示折叠，使C与B重合，折痕为，连接，则是的一条（    ） A．角平分线 B．高线 C．中线 D．垂直平分线 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质，三角形的中线，根据折叠得到，即可得出结论． 【详解】解：由折叠可知：， ∴是的一条中线， 故选C． 12．已知是的中线，且，则等于（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．根据中线平分三角形的面积即可求解． 【详解】解：是的中线，且， ， 故选：B． 13．如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（    ）    A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边高的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】A 【分析】由题意可知支撑点应是三角形的重心，根据三角形的重心是三角形三边中线的交点即可判断． 【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心， ∴三角形的重心是三角形三边中线的交点． 故选：． 【点睛】此题考查了三角形重心这一知识点，知道三角形重心是三角形三边中线的交点是解题的关键． 14．如图，若，，则： ①； ②； ③平分； ④； ⑤； ⑥，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②⑤⑥ C．①③④⑥ D．③④⑥ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，根据平行线的性质和判定定理逐项分析判断①②⑤，结合三角形内角和定理可以判定⑥，结合题意和图形判断③④，即可进行解答． 【详解】①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， 故②正确； ∵， ∴， 故⑤正确， ∵在中，， 又∵，， ∴， 故⑥正确， ∵在中，无法确定， 又∵， ∴无法确定， ∴无法确定平分，故③错误， ∵在中，无法确定，且， ∴无法确定，故④错误； 故选：B． 15．将一个含角的直角三角板和一把等宽的直尺按如图所示的位置摆放，其中，若，则的度数是(    ) A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角和三角形内角和定理，由平行线的性质可得，根据邻补角求得，由三角形内角和定理可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故选：C． 16．如图，在中， 于点，平分交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及角平分线定义、垂直定义、三角形内角和定理及外角性质等知识，先由角平分线定义及已知角度得到，再由垂直定义及三角形内角和定理确定，最后由外角性质列式求解即可得到答案，熟练掌握三角形中常见定义与性质灵活求角度是解决问题的关键． 【详解】解： 平分交于点， ， ， ， 在中， 于点， ， 是的一个外角， ， 故选：B． 17．如图，在中，，，是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点落在同一平面内的点处，当平行于边时，的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，三角形内角和定理．根据平行线的性质，折叠的性质计算求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ， ， 由折叠的性质可得，； ， 故选：D． 18．如图，已知，、为上的两点，、为上的两点，延长于点，平分，直线平分，若．则下列结论：①；②；③；④设，；⑤．则其中正确的结论有（　　）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，理清图中各角之间的关系是解题的关键．利用平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理，逐项进行判断即可得出答案． 【详解】解：∵平分， ∴，故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴，故③正确； 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，，故④错误； 设，由④可知， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ，故⑤正确； 综上分析可知：正确的有4个． 故选：C． 19．如图，，，的大小关系为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的外角的定义及性质解答即可．本题考查了三角形外角的定义及性质，熟练运用三角形外角的定义及性质是解题的关键． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，    故选：． 20．看图填空． （1）图中共有 个三角形，分别是 ； （2）的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ； （3）中，顶点A所对的边是 ，边所对的顶点是 ； （4）是 的内角，是 的外角，的对边是 ． 【答案】 4 B、G，E / E / 【分析】本题考查三角形相关概念： （1）写出图中的三角形即可； （2）根据顶点，边，角的定义，作答即可； （3）根据对边，对角的定义，作答即可； （4）根据内角，外角，对边的的定义，作答即可． 【详解】解：（1）图中共有4个三角形，分别是：， 故答案为：4，； （2）的三个顶点分别是B、G，E，三条边分别是，三个角分别是； 故答案为：B、G，E；；； （3）中，顶点A所对的边是，边所对的顶点是； 故答案为：，； （4）是的内角，是的外角，的对边是； 故答案为：，，． 21．已知三角形三个内角的度数之比为2:5:7，则该三角形是 三角形（按角分类）． 【答案】直角 【分析】此题考查三角形内角和定理，解题关键在于利用内角和等于，已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为，则三个内角的度数分别为，根据三角形的内角和等于列方程求三个内角的度数，再判断即可． 【详解】解：设一份为，则三个内角的度数分别为， ， 解得；， ∴， ∴该三角形是直角三角形； 故答案为：直角. 22．一个三角形的三个角的比是，最大的角是 度．这是一个 三角形． 【答案】 110 钝角 【分析】本题主要考查根据比的相关知识进行解答，三角形的内角和等于，度数之比为，则说明把180°平均分成三份，先求出一份的大小，再计算出较大角的度数，确定什么三角形即可． 【详解】解：(度)， 则这个三角形为钝角三角形． 故答案为：110；钝角． 23．自行车的三角架结构使其更牢固，运用数学原理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查了三角形的性质，根据三角形具有稳定性即可判断，掌握三角形具有稳定性是解题的关键． 【详解】自行车的三角架结构使其更牢固，运用数学原理是：三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 24．在中，，，那么的最大长度应小于 ，最小长度应大于 【答案】 /20厘米 /4厘米 【分析】本题考查三角形三边的关系，根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和，求得相应范围即可． 【详解】解：解：第三边应小于两边之和，故第三边的最大长度应小于； 第三边应大于两边之差，即最小长度应大于． 故答案为：；． 25．如图，四边形是由四边形平移得到的，若，则长度的取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题考查了平移的性质以及三角形三边关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据平移前后两个图形对应点连线平行且相等，对应线段和对应角分别相等，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可解答． 【详解】解：连接，如图所示，    ∵四边形是由四边形平移得到的， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 26．如图，沿虚线将正方形的一角剪掉后得到一个五边形．则五边形的周长比正方形的周长小，理由是 ． 【答案】三角形两边之和大于第三边 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，掌握三角形两边之和大于第三边是解题关键．根据三角形两边之和大于第三边解答即可． 【详解】解：如图， 这个五边形的周长为， 正方形的周长为． ∵三角形两边之和大于第三边， ∴， ∴，即五边形的周长小于正方形的周长． 故答案为：三角形两边之和大于第三边． 27．已知的三边长、、都是正整数，且满足，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，三角形三边关系的应用．熟练掌握完全平方公式的应用，三角形三边关系的应用是解题的关键． 由，可得，可求，由三角形三边关系可求，由是正整数，可得，进而可求周长． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∵是正整数， ∴， ∴的周长为 ， 故答案为：． 28．如图，是的中线，是的中线，于点．若，，则长为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了三角形的面积，三角形的中线，要理解三角形高的定义，根据三角形的面积公式求解． 根据是的中线，，算出同理，是的中线，得出，再根据三角形的面积公式求得即可． 【详解】解：∵是的中线，， ， 同理，是的中线，， ， 又∵， ， 故答案为：3． 29．如图，在中，，两条高交于点O，连接，则 ． 【答案】/42度 【分析】本题考查了三角形的三条高交于一点，三角形内角和定理．熟练掌握三角形的三条高交于一点是解题的关键． 如图，延长交于，则为边上的高，即，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，延长交于， ∵两条高交于点O， ∴为边上的高，即， ∴， 故答案为：． 30．如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，根据中线的定义得出，由的周长比的周长大，得，代入即可求解，熟练掌握三角形中线的有关计算是解题的关键． 【详解】∵是的中线， ∴， 由的周长为，的周长， ∵的周长比的周长大， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 31．如图，在中，是边上的中线，，，点，分别是垂足．已知，则与的长度之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查等面积法求线段比值，涉及中线等分三角形面积、三角形面积公式等知识，由是边上的中线，得到，进而由三角形面积公式代值表示，最后结合即可得到，恒等变形即可得到答案，熟记中线等分三角形面积、三角形面积公式是解决问题的关键． 【详解】解：在中，是边上的中线， ， ，， ， ， ，即与的长度之比是， 故答案为：． 32．如图，将长方形纸片沿EF折叠后，点A，B分别落在，B的位置，再沿边将折叠到处，已知，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定和性质，三角形内角和定理等知识，根据折叠的性质，得到，再根据平行线的性质，得到，过点作，根据平行线的性质，得到，，然后利用三角形内角和定理，求得，进而得到，即可求出的度数．熟练掌握折叠的性质是解题关键． 【详解】解： 由折叠的性质可知，，，，，， ， ， ， ， ， 过点作， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：15． 33．如图，在中，，，，则 °． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理的应用，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键，根据，得，进而求得 即 从而即可得解 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为： 34．如图，绕点C旋转得到，且点E在边上，M为与的交点．若，则下列各角：①；②；③；④．其中角的度数一定等于的是 ． 【答案】①② 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形外角定理，解题的关键是：熟练掌握旋转的性质． ①根据旋转的性质可得，通过等量代换，即可得证，②在应用外角定理，通过等量代换，即可得证，③不是的角平分线，即可证否，④题目已知条件对除构成三角形外，无特殊要求，即可正否， 【详解】解：根据旋转的性质得：， ， ，①符合题意， 在中，， 即：， 由旋转的性质可得：， ，②符合题意， ∵不是的角平分线， ，③不符合题意， 题目己知条件对除构成三角形外，无特殊要求，④不符合题意， 综上所述，①②符合题意， 故答案为：①②． 35．在中，，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为10，求的周长． 【答案】(1)； (2)17 【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 是整数， ； （2）解：是的中线， ， 的周长为10， ， ， ， 的周长 36．如图，中，是上的高，平分，，．    (1)求的度数． (2)若，，则求与的面积比是多少． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是： （1）先利用三角形内角和定理求出，利用角平分线定义求出，结合三角形高的定义，三角形内角和定理求出，然后利用角的和差关系求解即可； （2）利用三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴平分， ∴， ∵是上的高， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵，，是上的高， ∴与的面积比是． 37．如图，在中，点分别在边，上，，相交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据三角形外角的性质可知，解答即可．本题考查了三角形外角的性质，熟练运用三角形外角的性质是解题的关键． 【详解】证明：∵在中，是的一个外角， ∴， ∵在中，是的一个外角， ∴， ∴． 38．如图，在中，，平分，交于点F． (1)若，，求的度数； (2)在（1）的条件下，判断与是否垂直，并说明理由； (3)直接写出当与满足怎样的数量关系时，． 【答案】(1) (2)与不垂直，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的内角和、平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握这些定义和性质是解题的关键． （1）求出，再利用平行线性质即可求解； （2）利用平行求出，利用角平分线求出，利用内角和求出，判断即可； （3）利用平行求出，，利用角平分线求出，利用及，列式即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：与不垂直，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴与不垂直； （3）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， 要使， 即使， ∴， ∵， ∴， 化简得：． 39．如图，在中， ，，点D是边的中点，点E在边上（不与点B、C重合），连结，将沿翻折得到，点B的对应点为点F． (1)当时，的大小为 度． (2)当时，求的大小． (3)当时，直接写出的大小． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了轴对称，三角形的内角和定理与外角的性质，平行线的性质． （1）由三角形的内角和定理求出，进而由翻折可求出，根据三角形外角的性质即可求出，从而根据角的和差即可解答； （2）当时，，从而由折叠可得，由三角形的内角和定理与翻折求出，根据三角形外角的性质即可求出，从而根据角的和差即可解答； （3）分两种情况讨论，向下翻折或向下翻折，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵沿翻折得到， ∴， ∵ ∴． 故答案为：100 （2）解：当时，， 由折叠可得，又 ∴， ∴， ∴由折叠可得， ∵， ∴． （3）解：∵，， ∴． ①如图，若向下翻折时， 当时，， 由折叠可得，又 ∴， ∴， ∴由折叠可得， ∵， ∴； ②如图，若向上翻折时， 当时，， ∴， ∴ 由折叠可得， ∴， ∴， ∴由折叠可得， ∴； 综上所述，或． 40．在中 (1)如图①，，、的平分线交于点，求的度数； (2)如图②，，、的三等分线交于点，，求的度数； (3)如图③，，、的等分线交于点，求的度数．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了三角形内角和定理与角平分线的性质．解此题的关键是要注意数形结合思想的应用． （1）首先根据、的平分线交于点与的内角和为，求得的和，又由的内角和为，求得的度数； （2）首先根据、的三等分线分线交于点，可得：，，又由的内角和为，求得的和，又由的内角和为，求得的度数； （3）首先根据、的三等分线分线交于点，可得：，，又由的内角和为，求得的和，又由的内角和为，求得的度数． 【详解】（1）解：、的平分线交于点， ，， ， ， ， ， ； （2）解：，， ，， ， ， ， ， ； （3）解：、的等分线交于点， ，， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$