精品解析：山西省太原市2024届高三下学期模拟考试（二）数学试卷

2024年高三年级模拟考试（二） 数学试卷 （考试时间：下午3∶00-5∶00） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页． 2．回答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考试编号填写在答题卡上． 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效． 4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题自要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合B，再根据集合的运算得解. 【详解】，则. 故选：B. 2. 在复平面内，对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算化简复数，即可求解. 【详解】,故对应的点为， 故选：D 3. 已知，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，将两边平方，由数量积的运算求出，再由夹角公式计算可得. 【详解】因为，，， 所以，则，即， 解得， 设与的夹角为，则，又， 所以，即与的夹角为. 故选：C 4. 某校高二年级学生中有60%的学生喜欢打篮球，40%的学生喜欢打排球，80%的学生喜欢打篮球或排球．在该校高二年级的学生中随机调查一名学生，若该学生喜欢打篮球，则他也喜欢打排球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用条件概率公式计算即可. 【详解】设在该校高二年级的学生中随机调查一名学生，若该学生喜欢打篮球为事件A, 在该校高二年级的学生中随机调查一名学生，则他也喜欢打排球为事件B, , . 故选：A. 5. 已知，分别是等差数列和等比数列，其前项和分别是和，且，，，则（ ） A. 9 B. 9或18 C. 13 D. 13或37 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，当时求出，即可求出，再由等差数列求和公式及下标和性质计算可得，当时根据等比数列求和公式求出，从而求出，即可求出，再由等差数列求和公式及下标和性质计算可得. 【详解】设等比数列的公比为，由且， 当时，则，符合题意，则，又，所以， 所以； 当时，则，即，解得（舍去）或， 所以，则，又，所以， 所以； 综上可得或. 故选：B 6. 已知圆锥的顶点为P，底面圆的直径，，则该圆锥内切球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件先判定为正三角形，再作出圆锥及其内切球的轴截面，利用正三角形的性质计算球半径，最后根据球的体积公式计算即可. 【详解】由圆锥的性质易知为以P为顶点的等腰三角形， 又，所以，则为正三角形，边长为， 如图所示，作出圆锥及其内切球的轴截面， 设中点分别为，内切球球心为O， 由正三角形内心的性质易知 即内切球球半径为1，所以体积. 故选：C 7. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（ ） A. 5 B. 4或5 C. 6 D. 4或6 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，由正弦定理算出，利用同角三角函数的关系求出，二倍角公式与两角和的正弦公式求出，再由正弦定理求. 【详解】△ABC中，，，， 由正弦定理，有， 为△ABC的内角，则有，所以， ，， ， 由正弦定理，有. 故选：A 8. 已知函数，若方程恰有三个不同实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出函数的图象，转化为两个函数有三个交点，利用数形结合计算特殊位置即可. 【详解】 如图所示，作出函数的图象， 方程恰有三个不同实数根，等价于上述两个函数图象有三个交点， 易知， 显然与必有一个交点， 所以要满足题意需与有两个交点， ①先求与相切时的值， 设切点为，则， 令， 即单调递增， 又，所以， 当过点时，， 此时满足条件的 ②再求与相切时的值， 联立，， 易知切点横坐标为，显然时，，符合要求， 当过点时，， 此时满足条件的， 综上：. 故选：C 【点睛】思路点睛：关于分段函数的零点个数问题，可以转化为两个函数的交点问题，利用数形结合的思想及直线斜率的变化计算特殊位置即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题自要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的周期 C. 图象关于点对称 D. 在区间上递减 【答案】BC 【解析】 【分析】由图象求出，求出可判断A；由求出，再由求出可判断B；利用可判断C；求出的范围根据的单调性判断出的单调性可判断D. 【详解】对于A，由图象可得，，， 所以，因为，所以，或， 因为点附近的图象呈下降趋势，所以，故A错误； 对于B，可得，又， 所以，所以， 得，由图知，， 所以，所以， 可得，所以，，故B正确； 对于C，因为，故C正确； 对于D，当时，， 因为在上单调递增， 所以在区间上单调递增，故D错误. 故选：BC. 10. 已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ） A. 是递增数列 B. 是等比数列 C. 当n是偶数时， D. ，，使得 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，求出数列的前几项即可判断；对于B，等比数列的定义证明即可；对于C，由B可知，是以为首项，为公比的等比数列，求解判断即可；对于D，由C可知，，结合，所以，分类讨论判断即可. 【详解】对于A：由，，，所以A错误； 对于B：当时，由，， 当时，， 综上所述：所以是以为首项，为公比的等比数列，B正确； 对于C：由B可知，是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以，为偶数， 所以当n是偶数时，，故C正确； 对于D：由C可知，，由， 所以，因为， 所以当时，， 当时，，而， 所以恒成立，故D错误； 故选：BC. 11. 已知两定点，，动点M满足条件，其轨迹是曲线C，过B作直线l交曲线C于P，Q两点，则下列结论正确的是（ ） A. 取值范围是 B. 当点A，B，P，Q不共线时，面积的最大值为6 C. 当直线l斜率时，AB平分 D. 最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析可知曲线C是以为圆心，半径的圆.对于A：根据圆的性质分析求解；对于B：设，联立方程，利用韦达定理可得，即可得面积最大值；对于C：利用韦达定理可得，进而分析角度关系即可；对于D：根据AB平分，结合切线分析求解即可. 【详解】设， 因为，即，整理可得， 可知曲线C是以为圆心，半径的圆. 对于选项A：因为，可知点B在曲线C内，且直线l与曲线C必相交， 且，则的最大值为，最小值为， 所以取值范围是，故A正确； 设， 联立方程，消去x可得， 则. 对于选项B：可得， 令，则， 可得， 因为在内单调递增，则的最小值为， 即，则， 可得的面积， 所以面积的最大值为，故B错误； 对于选项C：因为， 又因为， 则， 即，可知，所以AB平分，故C正确； 对于选项D：因为AB平分，则， 可知当与曲线C相切时，取到最大值， 此时，且为锐角，则， 即的最大值为，则的最大值为， 所以最大值为，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：根据题意结合两点间距离公式分析可知曲线C是以为圆心，半径的圆，结合圆的性质逐项分析判断. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调递增区间是_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】求导，令求解即可. 【详解】因为的定义域为，则， 且，令，则，解得， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 13. 为获得某校高一年级全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了一个样本，其中有30名男生和20名女生，计算得男生样本的均值为170，方差为15．女生样本的均值为160，方差为30，则由上述数据计算该校高一年级学生身高的均值是_____________，方差是_____________． 【答案】 ①. 166 ②. 45 【解析】 【分析】由样本均值、方差的计算公式，代入数据即可求得. 【详解】设样本中男生的身高为，女生的身高为， 则，该校高一年级学生身高的均值是， 方差为 . 故答案为：166，45. 14. 已知双曲线C：（，）的右焦点是，动点（）在C上．若过点P作C的切线与直线相交时，记其交点为Q，恒成立，则的取值范围为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】设切线方程为，与双曲线联立方程组，表示出两点的坐标，由恒成立，解出，得C的方程为，代入中，通过换元，构造新函数，利用导数求单调性，可得值域. 【详解】设切线方程为， 联立，则 ，可得， 有，则，有， 令，则，有， ， 则， 又，解得，， 则C的方程为，故，， 设，则， 当时， ， 设，则，则， 设，则 故在上单调递减，故， 因此； 当时， ， 设，则， 故在上单调递增，则， 因此， 综上所述， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：由切线方程与双曲线方程联立，结合已知条件求出双曲线方程，代入消元得，设，把算式转化为关于的函数，利用导数求值域. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一款便携式行李箱的密码是由数字1，2，3组成的一个五位数，这三个数字的每个数字在密码中至少出现一次，且它们出现的概率相等． （1）求该款行李箱密码的不同种数； （2）记X表示该款行李箱密码中数字1出现的次数，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） X 1 2 3 P 期望为 【解析】 【分析】（1）分只有一个数字出现三次且其余两个数字各出现一次和两个数字各出现两次且另一个数字出现一次讨论即可； （2）首先得到X的取值为1，2，3，分别写出其概率，再利用均值公式即可得到答案. 【小问1详解】 当密码中只有一个数字出现三次且其余两个数字各出现一次时， 其不同种数为， 当密码中有两个数字各出现两次且另一个数字出现一次时， 其不同种数为， ∴该款行李箱密码的不同种数为． 【小问2详解】 由题意得X所有可能的取值为1，2，3， ， ， ， ∴X的分布列为 X 1 2 3 P ∴X的数学期望． 16. 已知抛物线C：（）的焦点为F，过点且斜率为1的直线经过点F． （1）求抛物线C的方程； （2）若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点M时，满足？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在； 【解析】 【分析】（1）根据点斜式求解直线方程，即可求解焦点坐标，进而可得， （2）联立直线与抛物线方程得韦达定理，结合向量垂直的坐标运算，即可求解. 【小问1详解】 由题意过点且斜率为1的直线方程为，即，令，则， ∴点F的坐标为，∴， ∴．抛物线C的方程为． 【小问2详解】 由（1）得抛物线C：，假设存在定点， 设直线AB的方程为（），，， 由，得， ∴，，， ∵，∴， ∴ ， ∴或（舍去）， 当时，点M的坐标为，满足，， ∴存在定点． 17. 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，是边长为8的正三角形，，且，点G，H分别是BC，BF的中点． （1）设AE与平面DGH相交于点M，求的值； （2）求平面BDM与平面CDM夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）延长FE交HM的延长线于点N，连接DN，取AE的中点K，连接KH，得 ，且，又，得平面CDEF，得，可得CDNF是平行四边形，则，得； （2）取AD的中点O，连接OE，可得平面ABCD，以O为原点，OA，OG，OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面BDM和平面CDM的一个法向量，利用向量夹角的余弦公式，即可求出平面BDM与平面CDM夹角的余弦值 【小问1详解】 延长FE交HM的延长线于点N，连接DN，取AE的中点K，连接KH， ∵，H是BF的中点， ∴，且， ∵G，H分别是BC，BF的中点， ∴， 平面，平面， ∴平面， 平面， 又平面平面， ∴， ∴， ∵ABCD是正方形， ∴， ∴CDNF是平行四边形， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 取AD的中点O，连接OE， ∵是正三角形， ∴， ∵平面平面ABCD， ∴平面ABCD， 以O为原点，OA，OG，OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设是平面BDM的一个法向量， 则，∴， 取，则，， ∴， 设是平面CDM的一个法向量， 则，∴， 取，则，， ∴， ∴， ∴平面BDM与平面CDM夹角的余弦值为． 18. 已知函数． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）若函数在上有零点，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据点斜式即可求解直线方程， （2）构造，求导，对分类讨论，求解导函数的正负，即可根据单调性求解. 【小问1详解】 当时，,， ∴，， 在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 在上有零点等价于在上有零点， 则，， ①当时， ∵，∴在上递减， ∴，∴在上无零点，∴不合题意； ②当时， （ⅰ）当时，即时， ∵， ∴在上递增， ∴，∴在上无零点，∴不合题意； （ⅱ）当时，即时，令，则， 令，则；令，则， ∴在上递减，在上递增， ∴， 取时， ∵， ∴， ∴， ∴，使得， ∴符合题意； 综上，a的取值范围为． 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 19. 已知两个非零向量，，将向量绕着它的起点沿逆时针方向旋转（）弧度后，其方向与向量的方向相同，则叫做向量到的角．已知非零向量到的角为，数量叫做向量与的运算，记作，即．根据此定义，不难证明以下性质： ①； ②； ③． （1）利用以上性质证明：； （2）设到的角为，定义．当时，则表示△OAB面积；当时，则表示△OAB面积的相反数．利用上述定义和性质证明： ①如图，四边形ABCD的两边AD，BC延长相交于点E，对角线AC，BD的中点为F，G，求证：四边形ABCD的面积等于△EFG的面积的4倍； ②在平面直角坐标系中，记向量，，△ABC各顶点坐标分别为，，，求证：△ABC面积为． 【答案】（1） 由题意得 ； （2）①设（）， ， ∴四边形ABCD的面积等于△EFG的面积的4倍； ②∵，， ∴，，， ∵，，， ∴，， ∴ ， ∴△ABC面积为． 【解析】 【分析】（1）由新定义求证； （2） ①由，再由新定义求解； ②由，再由新定义求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】关键点点睛：本题关键在于充分理解新定义运算，结合向量的数量积运算求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年高三年级模拟考试（二） 数学试卷 （考试时间：下午3∶00-5∶00） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页． 2．回答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考试编号填写在答题卡上． 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效． 4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题自要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 某校高二年级学生中有60%的学生喜欢打篮球，40%的学生喜欢打排球，80%的学生喜欢打篮球或排球．在该校高二年级的学生中随机调查一名学生，若该学生喜欢打篮球，则他也喜欢打排球的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，分别是等差数列和等比数列，其前项和分别是和，且，，，则（ ） A. 9 B. 9或18 C. 13 D. 13或37 6. 已知圆锥的顶点为P，底面圆的直径，，则该圆锥内切球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（ ） A. 5 B. 4或5 C. 6 D. 4或6 8. 已知函数，若方程恰有三个不同实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题自要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的周期 C. 图象关于点对称 D. 在区间上递减 10. 已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ） A. 是递增数列 B. 是等比数列 C. 当n是偶数时， D. ，，使得 11. 已知两定点，，动点M满足条件，其轨迹是曲线C，过B作直线l交曲线C于P，Q两点，则下列结论正确的是（ ） A. 取值范围是 B. 当点A，B，P，Q不共线时，面积的最大值为6 C. 当直线l斜率时，AB平分 D. 最大值为 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调递增区间是_____________． 13. 为获得某校高一年级全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了一个样本，其中有30名男生和20名女生，计算得男生样本的均值为170，方差为15．女生样本的均值为160，方差为30，则由上述数据计算该校高一年级学生身高的均值是_____________，方差是_____________． 14. 已知双曲线C：（，）的右焦点是，动点（）在C上．若过点P作C的切线与直线相交时，记其交点为Q，恒成立，则的取值范围为_____________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一款便携式行李箱的密码是由数字1，2，3组成的一个五位数，这三个数字的每个数字在密码中至少出现一次，且它们出现的概率相等． （1）求该款行李箱密码的不同种数； （2）记X表示该款行李箱密码中数字1出现的次数，求X的分布列和数学期望． 16. 已知抛物线C：（）的焦点为F，过点且斜率为1的直线经过点F． （1）求抛物线C的方程； （2）若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点M时，满足？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 17. 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，是边长为8的正三角形，，且，点G，H分别是BC，BF的中点． （1）设AE与平面DGH相交于点M，求的值； （2）求平面BDM与平面CDM夹角的余弦值． 18. 已知函数． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）若函数在上有零点，求实数a的取值范围． 19. 已知两个非零向量，，将向量绕着它的起点沿逆时针方向旋转（）弧度后，其方向与向量的方向相同，则叫做向量到的角．已知非零向量到的角为，数量叫做向量与的运算，记作，即．根据此定义，不难证明以下性质： ①； ②； ③． （1）利用以上性质证明：； （2）设到的角为，定义．当时，则表示△OAB面积；当时，则表示△OAB面积的相反数．利用上述定义和性质证明： ①如图，四边形ABCD的两边AD，BC延长相交于点E，对角线AC，BD的中点为F，G，求证：四边形ABCD的面积等于△EFG的面积的4倍； ②在平面直角坐标系中，记向量，，△ABC各顶点坐标分别为，，，求证：△ABC面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $