河南省焦作市第一中学2023-2024学年高三上学期11月月考数学试题

2023-2024学年河南省焦作一中高三（上）月考数学试卷（11月份） 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1．已知集合M＝{x|﹣2≤x≤3}，N＝{x|log2x≤1}，则M∩N＝（　　） A．[﹣2，3] B．[﹣2，2] C．（0，2] D．（0，3] 2．若a＞0，b＞0，则“ab＜1”是“a+b＜1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若tanα＝，则＝（　　） A．﹣ B．﹣7 C． D．7 4．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则的值为（　　） A． B． C．1 D．﹣8 5．定义方程f（x）＝f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“躺平点”．若函数g（x）＝lnx，h（x）＝x3﹣1的“躺平点”分别为α，β，则α，β的大小关系为（　　） A．α≥β B．α＞β C．α≤β D．α＜β 6．已知x，y为非零实数，向量，为非零向量，则“|+|＝||+||”是“存在非零实数x，y，使得x+y＝0“的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．在△ABC中，，且，M是BC的中点，O是线段AM的中点，则的值为（　　） A．0 B． C． D．2 8．如图，M为△ABC的外接圆的圆心，AB＝4，AC＝6，N为边BC的中点，则＝（　　） A．5 B．10 C．13 D．26 二、多选题（每小题5分，共4小题20分） （多选）9．已知实数a满足（i为虚数单位），复数z＝（a+1）+（a﹣1）i，则（　　） A．z为纯虚数 B．z2为虚数 C．z+＝0 D．z•＝4 （多选）10．已知不等式x2+2ax+b﹣1＞0的解集是{x|x≠d}，则b的值可能是（　　） A．﹣1 B．3 C．2 D．0 （多选）11．关于函数f（x）＝sin|x|+|cosx|有下述四个结论，则（　　） A．f（x）是偶函数 B．f（x）的最小值为﹣1 C．f（x）在[﹣2π，2π]上有4个零点 D．f（x）在区间（，π）单调递增 （多选）12．如图，正方形ABCD与正方形DEFC边长均为1，平面ABCD与平面DEFC互相垂直，P是AE上的一个动点，则（　　） A．CP的最小值为 B．当P在直线AE上运动时，三棱锥D﹣BPF的体积不变 C．PD+PF的最小值为 D．三棱锥A﹣DCE的外接球表面积为3π 三、填空题（每小题5分，共4小题20分） 13．已知曲线y＝mex+xlnx在x＝1处的切线方程为y＝3x+n，则n＝　 　． 14．已知数列{an}是等差数列，a1＞0，a3+3a7＝0，则使Sn＞0的最大整数n的值为 　 　． 15．某区域规划建设扇形观景水池，同时紧贴水池周边建设一圈人行步道．要求总预算费用24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元（不考虑宽度厚度等因素），则水池面积最大值为 　 　平方米． 16．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1﹣x）＝f（x），则f（x）的最小正周期为 　 　；若对任意的x1，x2∈，当x1≠x2时，都有＞π，则关于x的不等式f（x）≤sinπx在区间上的解集为 　 　． 四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分， 17．已知向量＝（2sinx，2sin（x+）），向量＝（cosx，（cosx﹣sinx）），记f（x）＝•（x∈R）． （1）求f（x）表达式； （2）解关于x的不等式f（x）≥1． 18．记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列． （1）求{an}的通项公式； （2）证明：++…+＜2． 19．△ABC中，sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC． （1）求A； （2）若BC＝3，求△ABC面积的最大值． 20．已知数列{an}满足a1＝，an+1＝． （1）若bn＝﹣1，证明数列{bn}为等比数列，并求通项公式bn； （2）数列{cn}的前n项和为Sn，cn＝，求S2n． 21．有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据，如下表所示． 平均气温/℃ ﹣3 ﹣4 ﹣5 ﹣6 ﹣7 销售额/万元 20 23 27 30 50 （1）根据以上数据，用最小二乘法求出回归方程； （2）预测平均气温为﹣9℃时，该商品的销售额为多少万元． ． 22．已知函数f（x）＝ln（a﹣x），已知x＝0是函数y＝xf （x）的极值点． （1）求a； （2）设函数g（x）＝．证明：g（x）＜1． 参考答案 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1．已知集合M＝{x|﹣2≤x≤3}，N＝{x|log2x≤1}，则M∩N＝（　　） A．[﹣2，3] B．[﹣2，2] C．（0，2] D．（0，3] 【分析】先化简集合N，再根据交集的运算即可求出． 解：集合M＝{x|﹣2≤x≤3}＝[﹣2，3]，N＝{x|log2x≤1}＝（0，2]，则M∩N＝（0，2]． 故选：C． 2．若a＞0，b＞0，则“ab＜1”是“a+b＜1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】判断充分条件、必要条件时均可以列举出满足条件的数，或使之不成立的数． 解：∵a＞0，b＞0， ⇒ ∵ab＜1， 令a＝4，b＝，则a+b＞1， ∴充分性不满足． ⇐ 当a+b＜1时，0＜a＜1且0＜b＜1， 所以ab＜1， ∴a＞0，b＞0，ab＜1a+b＜1的必要不充分条件， 故选：B． 3．若tanα＝，则＝（　　） A．﹣ B．﹣7 C． D．7 【分析】由已知利用二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式将用tanα表示，再求值即可． 解：因为tanα＝， 所以＝ ＝＝ ＝7． 故选：D． 4．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则的值为（　　） A． B． C．1 D．﹣8 【分析】根据向量的线性运算，向量数量积的性质与定义，即可求解． 解：根据题意可知： ＝（）•（） ＝（）•（） ＝ ＝＝． 故选：B． 5．定义方程f（x）＝f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“躺平点”．若函数g（x）＝lnx，h（x）＝x3﹣1的“躺平点”分别为α，β，则α，β的大小关系为（　　） A．α≥β B．α＞β C．α≤β D．α＜β 【分析】根据题意，对g（x）＝lnx求导，构造函数，研究其单调性和零点，利用零点存在性定理求出α的范围，利用同样的方法求出β的范围，比较得到答案． 解：根据题意，对于g（x）＝lnx，其定义域为（0，+∞）， 则其导数， 由题意得：，令，x∈（0，+∞）， 则α为函数的零点，， 所以在x∈（0，+∞）上单调递增， 又t（1）＝﹣1＜0，，由零点存在性定理，α∈（1，e）． 对于h（x）＝x3﹣1，其导数h'（x）＝3x2， 由题意得：β3﹣1＝3β2， 令s（x）＝x3﹣1﹣3x2，则β为函数s（x）＝x3﹣1﹣3x2的零点，s'（x）＝3x2﹣6x， 令s'（x）＞0得：x＞2或x＜0，令s'（x）＜0得：0＜x＜2， 所以s（x）＝x3﹣1﹣3x2单调递增区间为（﹣∞，0），（2，+∞），单调递减区间为（0，2）， s（x）在x＝0处取得极大值，s（0）＝﹣1＜0，在x＝2处取得极小值， 故s（x）在（﹣∞，2）上无零点， 因为函数在（2，+∞）上单调递增，且s（3）＝27﹣1﹣27＜0，s（4）＝64﹣1﹣48＞0， 由零点存在性定理：β∈（3，4） 所以α＜β． 故选：D． 6．已知x，y为非零实数，向量，为非零向量，则“|+|＝||+||”是“存在非零实数x，y，使得x+y＝0“的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据题意，由|+|＝||+||化简得到、共线且方向相同；若存在非零实数x、y，使得，可以得到、共线，由此结合充要条件的定义得到答案． 解：若，则， 整理得到，即＝1，故、共线且方向相同； 若存在非零实数x、y，使得，可得、共线，但不一定方向相同． 因此“|+|＝||+||”是“存在非零实数x，y，使得．”的充分不必要条件． 故选：A． 7．在△ABC中，，且，M是BC的中点，O是线段AM的中点，则的值为（　　） A．0 B． C． D．2 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，计算平面向量的数量积即可． 解：根据题意建立平面直角坐标系，如图所示： 由题意知，A（0，0），B（，0），C（0，），M（，），O（，）， 所以＝（﹣，﹣），＝（，﹣），＝（﹣，）， 所以+＝（，）， 所以•（+）＝﹣×﹣×＝﹣． 故选：C． 8．如图，M为△ABC的外接圆的圆心，AB＝4，AC＝6，N为边BC的中点，则＝（　　） A．5 B．10 C．13 D．26 【分析】由N是BC边的中点，可得 ＝（+），利用M是△ABC的外接圆的圆心，可得•＝||||cos∠BAM＝||2＝×42＝8，同理可得＝||2＝18，即可得出结论． 解：∵N是BC边的中点，可得 ＝（+）， ∵M是△ABC的外接圆的圆心， ∴•＝||||cos∠BAM＝||2＝×42＝8， 同理可得＝||2＝18， ∴＝（+）•＝+＝×8+×18＝13． 故选：C． 二、多选题（每小题5分，共4小题20分） （多选）9．已知实数a满足（i为虚数单位），复数z＝（a+1）+（a﹣1）i，则（　　） A．z为纯虚数 B．z2为虚数 C．z+＝0 D．z•＝4 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，求出a，即可依次求解． 解：， 则3+ai＝（1﹣i）（2+i）＝3﹣i， 故a＝﹣1， z＝（a+1）+（a﹣1）i＝﹣2i，z为纯虚数，故A正确； z2＝（﹣2i）2＝﹣4∈R，故B错误； ，故C正确； ，故D正确． 故选：ACD． （多选）10．已知不等式x2+2ax+b﹣1＞0的解集是{x|x≠d}，则b的值可能是（　　） A．﹣1 B．3 C．2 D．0 【分析】由不等式x2+2ax+b﹣1＞0的解集是{x|x≠d}，得到Δ＝0，求出b的取值范围即可． 解：∵不等式x2+2ax+b﹣1＞0的解集是{x|x≠d}， ∴Δ＝4a2﹣4（b﹣1）＝0，即b＝a2+1≥1， 故选：BC． （多选）11．关于函数f（x）＝sin|x|+|cosx|有下述四个结论，则（　　） A．f（x）是偶函数 B．f（x）的最小值为﹣1 C．f（x）在[﹣2π，2π]上有4个零点 D．f（x）在区间（，π）单调递增 【分析】利用奇偶性定义可判断A； 由f（x+2π）＝sin|x+2π|+|cos（x+2π）|＝sin|x|+|cosx|＝f（x），确定2π为函数f（x）的一个周期，求出一个周期内函数的最小值，可判断B； 由于函数为偶函数，故研究x∈[0，2π]时函数的零点情况，从而可得[﹣2π，2π]函数零点情况，可判断C； 确定（，π）上函数的解析式，可判断D． 解：对于A，函数定义域为R， f（﹣x）＝sin|﹣x|+|cos（﹣x）|＝sin|x|+|cosx|＝f（x）， 所以f（x）为偶函数，故A正确； 对于B，f（x+2π）＝sin|x+2π|+|cos（x+2π）|＝sin|x|+|cosx|＝f（x）， 所以2π是函数f（x）＝sin|x|+|cosx|的一个周期， 当时，， 此时f（x）的最小值为1， 当时，， 此时f（x）的最小值为﹣1， 当时，， 此时f（x）的最小值为﹣1， 所以f（x）的最小值为﹣1，故B正确； 对于C，当x∈[0，]时，f（x）＝， 令f（x）＝0，可得x＝，， 又f（x）为偶函数， 所以f（x）[﹣2π，2π]上有4个零点，故C正确； 对于D，当时，sin|x|＝sinx，|cosx|＝﹣cosx|， 则， 当， 所以函数f（x）在上不具备单调性，故D错误； 故选：ABC． （多选）12．如图，正方形ABCD与正方形DEFC边长均为1，平面ABCD与平面DEFC互相垂直，P是AE上的一个动点，则（　　） A．CP的最小值为 B．当P在直线AE上运动时，三棱锥D﹣BPF的体积不变 C．PD+PF的最小值为 D．三棱锥A﹣DCE的外接球表面积为3π 【分析】由题可知，可判断A；根据条件可知△PBF的面积不变，D到平面PBF的距离也不变，可判断B；将△ADE翻折到与平面ABFE共面，即可判断C；由正方体的性质可判断D． 解：对于A，连接DP，CP，易得，故A错误； 对于B，P在直线AE上运动时，△PBF的面积不变，D到平面PBF的距离也不变，故三棱锥D﹣BPF的体积不变，故B正确； 对于C，如图，将△ADE翻折到与平面ABFE共面，则当D、P、F三点共线时，PD+PF取得最小值，故C错误； 对于D，将该几何体补成正方体，则外接球半径为，外接球表面积为3π，故D正确． 故选：BD． 三、填空题（每小题5分，共4小题20分） 13．已知曲线y＝mex+xlnx在x＝1处的切线方程为y＝3x+n，则n＝　﹣1　． 【分析】求出原函数的导函数，再由函数在x＝1处的导数值为3求得m值，然后利用函数在x＝1时的函数值相等列式求解n． 解：由y＝mex+xlnx，得y′＝mex+lnx+1， 则y′|x＝1＝me+1＝3，即me＝2， 又me＝3+n，∴3+n＝2，即n＝﹣1． 故答案为：﹣1． 14．已知数列{an}是等差数列，a1＞0，a3+3a7＝0，则使Sn＞0的最大整数n的值为 　10　． 【分析】由等差数列通项公式求出a1＝﹣5d，d＜0，从而Sn＝na1＝＝﹣5nd+＝，由此能求出使Sn＞0的最大整数n的值． 解：数列{an}是等差数列，a1＞0，a3+3a7＝0， ∴a1+2d+3（a1+6d）＝0， 解得a1＝﹣5d，d＜0， ∴Sn＝na1＝＝﹣5nd+＝， ∵d＜0，n＞0， ∴Sn＞0时，n＜11， ∴使Sn＞0的最大整数n的值为10． 故答案为：10． 15．某区域规划建设扇形观景水池，同时紧贴水池周边建设一圈人行步道．要求总预算费用24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元（不考虑宽度厚度等因素），则水池面积最大值为 　400　平方米． 【分析】求出扇形的面积，得到关于θ，r的不等式，利用基本不等式求出面积的最大值． 解：由题意，扇形的弧长AB为l＝θr， 扇形的面积为S＝θr2， 由题意400×θr2+1000（2r+θr）≤24×104； 化简得θr2+5（2r+θr）≤1200（*）； 又θr+2r≥2， 所以θr2+10≤1200； 设t＝，t＞0， 则+10t≤1200， 解得﹣60≤t≤40， 所以当θr＝2r＝40时，面积S＝θr2的最大值为400． 故答案为：400． 16．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1﹣x）＝f（x），则f（x）的最小正周期为 　2　；若对任意的x1，x2∈，当x1≠x2时，都有＞π，则关于x的不等式f（x）≤sinπx在区间上的解集为 　　． 【分析】利用奇函数的定义结合已知的恒等式，可得f（2﹣x）＝f（﹣x），利用周期的定义即可得到答案；将已知的不等式变形，利用函数单调性的定义得到函数y＝f（x）﹣πx在上为增函数，从而f（x）﹣πx≥0，令g（x）＝sinπx，由y＝sinπx﹣πx是单调递减函数，得到g（x）﹣πx≤0，从而f（x）≥g（x），作出f（x）与g（x）的图像，即可得到答案． 解：因为f（1﹣x）＝f（x），且f（x）是定义在R上的奇函数， 所以f（﹣x）＝﹣f（x）， 则f（1﹣x）＝﹣f（﹣x）， 则f（2﹣x）＝﹣f（1﹣x）＝f（﹣x）， 所以f（x）的最小正周期为2； 因为对任意的x1，x2∈，当x1≠x2时，都有＞π， 不妨设x1＞x2， 则f（x1）﹣f（x2）＞πx1﹣πx2， 故f（x1）﹣πx1＞f（x2）﹣πx2， 故函数y＝f（x）﹣πx在上为增函数， 所以当x∈时，f（x）﹣πx≥f（0）﹣π×0＝0， 令g（x）＝sinπx， 则y＝sinπx﹣πx， 因为y'＝πcosπx﹣π≤0， 所以y＝sinπx﹣πx是单调递减函数， 当x∈时，g（x）﹣πx＝sinπx﹣πx≤g（0）﹣0＝0， 即当x∈时，f（x）﹣πx≥g（x）﹣πx， 故f（x）≥g（x）， 由对称性以及周期性作出函数f（x）和g（x）的图象，如图所示， 所以f（x）≤sinπx在区间上的解集为． 四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分， 17．已知向量＝（2sinx，2sin（x+）），向量＝（cosx，（cosx﹣sinx）），记f（x）＝•（x∈R）． （1）求f（x）表达式； （2）解关于x的不等式f（x）≥1． 【分析】（1）由向量的数量积运算以及三角恒等变换化简，得函数f（x）的表达式； （2）由正弦函数的性质，整体代换可得不等式的解集． 解：（1）因为，， ＝＝＝， 所以； （2）由（1）得2， 所以， 即， 解得 ， 所以不等式解集为． 18．记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列． （1）求{an}的通项公式； （2）证明：++…+＜2． 【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式； （2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果． 解：（1）已知a1＝1，{}是公差为的等差数列， 所以，整理得，①， 故当n≥2时，，②， ①﹣②得：， 故（n﹣1）an＝（n+1）an﹣1， 化简得：，，........，，； 所以， 故（首项符合通项）． 所以． 证明：（2）由于， 所以， 所以＝． 19．△ABC中，sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC． （1）求A； （2）若BC＝3，求△ABC面积的最大值． 【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cosA的形式，进而求得A； （2）利用余弦定理可得到AC2+AB2+AB•AC＝9，利用基本不等式可求得AC•AB的最大值，进而得到结果． 解：（1）由正弦定理可得BC2﹣AC2﹣AB2＝AC•AB， 所以， 因为A∈（0，π）， 所以； （2）由余弦定理可得BC2＝AC2+AB2﹣2AC•ABcosA＝AC2+AB2+AC•AB＝9， 即AC2+AB2+AB•AC＝9， 因为AC2+AB2≥2AB•AC， 所以AC2+AB2+AB•AC≥3AB•AC， 即3AB•AC≤9， 故AB•AC≤3，当且仅当AB＝AC时等号成立， 所以S△ABC＝＝AB×AC≤×3＝，当且仅当AB＝AC时等号成立， 所以△ABC面积的最大值为． 20．已知数列{an}满足a1＝，an+1＝． （1）若bn＝﹣1，证明数列{bn}为等比数列，并求通项公式bn； （2）数列{cn}的前n项和为Sn，cn＝，求S2n． 【分析】（1）由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得所求； （2）求得cn＝，由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和． 解：（1）证明：由a1＝，an+1＝， 可得bn+1＝﹣1＝﹣1＝2（﹣1）＝2bn， 则数列{bn}是首项为﹣1＝1，公比为2的等比数列， 则bn＝2n﹣1； （2）cn＝bn+2＝， 则S2n＝（c1+c3+...+c2n﹣1）+（c2+c4+...+c2n）＝2n+2n+＝4n+． 21．有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据，如下表所示． 平均气温/℃ ﹣3 ﹣4 ﹣5 ﹣6 ﹣7 销售额/万元 20 23 27 30 50 （1）根据以上数据，用最小二乘法求出回归方程； （2）预测平均气温为﹣9℃时，该商品的销售额为多少万元． ． 【分析】（1）根据已知条件，结合最小二乘法，以及线性回归方程的性质，即可求解； （2）结合（1）的线性回归方程，即可求解． 解：（1）由表中数据可知，， ， ＝﹣67，， 故＝＝，＝30﹣（6.7）×（﹣5）＝﹣3.5， 故； （2）当x＝﹣9℃时，万元． 22．已知函数f（x）＝ln（a﹣x），已知x＝0是函数y＝xf （x）的极值点． （1）求a； （2）设函数g（x）＝．证明：g（x）＜1． 【分析】（1）确定函数f（x）的定义域，令t（x）＝xf（x），由极值的定义得到t'（x）＝0，求出a的值，然后进行证明，即可得到a的值； （2）将问题转化为证明，进一步转化为证明x+ln（1﹣x）＞xln（1﹣x），令h（x）＝x+（1﹣x）ln（1﹣x），利用导数研究h（x）的单调性，证明h（x）＞h（0），即可证明． 【解答】（1）解：由题意，f（x）的定义域为（﹣∞，a）， 令t（x）＝xf（x），则t（x）＝xln（a﹣x），x∈（﹣∞，a）， 则t'（x）＝ln（a﹣x）+x•＝， 因为x＝0是函数y＝xf（x）的极值点，则有t'（0）＝0，即lna＝0，所以a＝1， 当a＝1时，t'（x）＝，且t'（0）＝0， 因为t''（x）＝， 则t'（x）在（﹣∞，1）上单调递减， 所以当x∈（﹣∞，0）时，t'（x）＞0， 当x∈（0，1）时，t'（x）＜0， 所以a＝1时，x＝0是函数y＝xf（x）的一个极大值点． 综上所述，a＝1； （2）证明：由（1）可知，xf（x）＝xln（1﹣x）， 要证，即需证明， 因为当x∈（﹣∞，0）时，xln（1﹣x）＜0， 当x∈（0，1）时，xln（1﹣x）＜0， 所以需证明x+ln（1﹣x）＞xln（1﹣x），即x+（1﹣x）ln（1﹣x）＞0， 令h（x）＝x+（1﹣x）ln（1﹣x）， 则h'（x）＝（1﹣x）＝﹣ln（1﹣x）， 所以h'（0）＝0，当x∈（﹣∞，0）时，h'（x）＜0， 当x∈（0，1）时，h'（x）＞0， 所以x＝0为h（x）的极小值点， 所以h（x）＞h（0）＝0，即x+ln（1﹣x）＞xln（1﹣x）， 故， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $$