专题09 圆（真题5个考点+模拟8个考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（安徽专用）

专题09 圆(真题5个考点+模拟8个考点） 一．求角度（共1小题） 1．（2023·安徽·中考真题）如图，正五边形内接于，连接，则（   ）    A． B． C． D． 二．求弧长（共1小题） 2．（2024·安徽·中考真题）若扇形的半径为6，，则的长为（    ） A． B． C． D． 三．利用垂径定理求值（共4小题） 3．（2022·安徽·中考真题）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（    ） A． B．4 C． D．5 4．（2021·安徽·中考真题）如图，圆O的半径为1，内接于圆O．若，，则 ． 5．（2023·安徽·中考真题）已知四边形内接于，对角线是的直径．    (1)如图1，连接，若，求证；平分； (2)如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长． 6．（2021·安徽·中考真题）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E． （1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长； （2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：． 四．垂径定理的推论（共1小题） 7．（2020·安徽·中考真题）已知点在上．则下列命题为真命题的是（  ） A．若半径平分弦．则四边形是平行四边形 B．若四边形是平行四边形．则 C．若．则弦平分半径 D．若弦平分半径．则半径平分弦 五．圆与三角形的综合（共3小题） 8．（2024·安徽·中考真题）如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，． (1)求证：； (2)设，垂足为M，若，求的长． 9．（2022·安徽·中考真题）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD． (1)如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长； (2)如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE，求证：CE⊥AB． 10．（2020·安徽·中考真题）如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的两点与相交于点是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点， 求证：； 若求平分． 一．求角度（共4小题） 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，与相切于点B，的延长线交于点C，D为优弧上任意一点，若，则（　　） A． B． C． D． 2．（2024·安徽六安·一模）如图 ，为的直径，C是上的一点，若，则的度数（    ）． A． B． C． D． 3．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，正方形与等边内接于，，则等于（　　） A． B． C． D． 4．（2024·安徽合肥·三模）如图，等边的一边为的一条弦，交于，平分，则的度数为 ． 二．求弧长（共4小题） 5．（2024·安徽合肥·三模）如图，的顶点，落在上，经过圆心，与相交于点，已知，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 6．（2024·安徽六安·二模）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·安徽·二模）如图，内接于，，，则劣弧BC的长为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽六安·二模）如图，在中，，以为直径的，交于 E点，交 于 D 点．若，则劣弧 的长为 ． 三．求弦长或半径（共8小题） 9．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，内接于，，的半径为1，则弦的长为 （     ） A．1 B．2 C． D． 10．（2024·安徽合肥·二模）如图，半圆的直径，点在弦上，，，，交半圆于，则的长为 ． 11．（2024·安徽合肥·二模）如图，以的边为直径作，交边于点D，过点C作交于点E，连接，，．若，，则 ． 12．（2024·安徽合肥·一模）如图，是的弦，半径于点C，，则线段的长为 ．    13．（2024·安徽安庆·一模）如图，四边形的四个顶点都在上，平分连接，且． (1)求证：； (2)若，求的半径． 14．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，在中，、为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 15．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在中，是直径，，点E在上，，与的延长线交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 16．（2024·安徽池州·三模）如图，是的直径，为上一点，为上一点，且，延长交于，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 四．利用垂径定理求值（共4小题） 17．（2024·安徽六安·三模）如图，已知的半径为2，，是的弦，是的直径，，弦与交于点E，且点E是的中点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，在半径为5的中，弦与弦互相垂直，垂足为点E，如果，那么的长为（   ） A． B．3 C．4 D． 19．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，为的直径，弦于点F，于点E，若，，则的长度是（　　） A．9 B． C． D． 20．（2024·安徽滁州·模拟预测）图1是一张圆形纸片；如图2，将圆形纸片作两次对折，且折痕，垂足为点；如图3，把纸片展开后，再将圆形纸片沿弦折叠，使两点，重合，折痕与相交于点，连接，，，．下列四个结论中错误的是（    ） A．四边形是菱形 B．为等边三角形 C． D． 五．求最值（共4小题） 21．（2024·安徽蚌埠·二模）如图，在正方形中，，M，N分别为边 ， 的中点，E为边上一动点，以点 E为圆心，的长为半径画弧，交 于点F，P为的中点，Q为线段上任意一点，则 长度的最小值为（    ）    A． B． C． D． 22．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，在中，，点D是斜边上的动点，将沿直线翻折得到，连接，则周长的最小值为（    ） A． B． C．9 D． 23．（2024·安徽合肥·三模）如图，在中，，，点是内一点，过点作，，，垂足分别为，，． （1）若点是的重心，则的长为 ； （2）连接，若，则的最小值为 ． 24．（2022·安徽安庆·一模）如图，在中，，、，点是内部的一个动点，连接，且满足． （1） ； （2）当线段最短时，的面积为 ． 六．证切线（已知垂直证半径）（共4小题） 25．（2024·陕西榆林·二模）如图，在中，，点在边上，且，过点作交的延长线于点，以点为圆心，的长为半径作交于点． (1)求证：是的切线． (2)若的半径为，，求线段的长． 26．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，是的直径，点C，E在上，，点在线段的延长线上，且． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 27．（2024·安徽亳州·一模）如图， 是的半径，过点A作的切线，，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 28．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在中，以AB为直径作交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作于点G，交BA的延长线于点H． (1)求证：直线HG是的切线； (2)若，求CG的长． 七．证切线（已知半径证垂直）（共4小题） 29．（2024·安徽滁州·三模）如图，是的外接圆，是的直径，， ，为的延长线与的交点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 30．（2024·安徽合肥·三模）如图，是的弦，过点O作的垂线交于点C，垂足为点D过点C作的平行线交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 31．（2024·安徽六安·一模）如图，内接于，是的直径，交于点E，交于点F，且．      (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 32．（2024·安徽马鞍山·一模）如图1，等腰中，，以为直径的与所在直线、分别交于点、，于点． (1)求证：为的切线； (2)如图2，当时，若，，求的长． 八．圆的综合（共4小题） 33．（2024·安徽六安·三模）如图，四边形是边长为4的正方形，以边为直径作，点E在边上，连接交于点F，连接并延长交于点G．    (1)求证：； (2)若，求劣弧的长．(结果保留) 34．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知是半径为r的的直径，C，D分别为上的两个动点（A，B两点除外，且在直径的同侧），于点E，F是的中点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若不平行于，，求的长的最大值． 35．（2024·安徽安庆·三模）如图，是的直径，点是上一点，连接，，是的切线，点是上一点，过点作于点，交于点，交于点． (1)如图1，当点与点重合时，已知，求的度数； (2)如图2，连接，，当时，与交于点，已知，，求的长． 36．（2023·湖南·中考真题）如图，是的直径，是一条弦，D是的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G．    (1)求证：． (2)若，求的半径． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 圆(真题5个考点+模拟8个考点） 一．求角度（共1小题） 1．（2023·安徽·中考真题）如图，正五边形内接于，连接，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可． 【详解】∵， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键． 二．求弧长（共1小题） 2．（2024·安徽·中考真题）若扇形的半径为6，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了弧长公式，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意可得，的长为, 故选：C． 三．利用垂径定理求值（共4小题） 3．（2022·安徽·中考真题）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】D 【分析】连接，过点作于点，如图所示，先利用垂径定理求得，然后在中求得，再在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点，如图所示， 则，， ∵PA＝4，PB＝6， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 故选：D 【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键． 4．（2021·安徽·中考真题）如图，圆O的半径为1，内接于圆O．若，，则 ． 【答案】 【分析】先根据圆的半径相等及圆周角定理得出∠ABO=45°，再根据垂径定理构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形即可 【详解】解：连接OB、OC、作OD⊥AB ∵ ∴∠BOC=2∠A=120° ∵OB=OC ∴∠OBC=30°又 ∴∠ABO=45° 在Rt△OBD中，OB=1 ∴BD== ∵OD⊥AB ∴BD=AD= ∴AB= 故答案为： 【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理，正确使用圆的性质及定理是解题关键 5．（2023·安徽·中考真题）已知四边形内接于，对角线是的直径．    (1)如图1，连接，若，求证；平分； (2)如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用垂径定理的推论和圆周角的性质证明即可． (2)证明四边形平行四边形，后用勾股定理计算即可． 【详解】（1）∵对角线是的直径， ∴， ∴， ∴平分． （2）∵对角线是的直径， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形平行四边形， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理的推论，直径所对的圆周角是直角，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理的推论，平行四边形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 6．（2021·安徽·中考真题）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E． （1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长； （2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析． 【分析】（1）根据M是CD的中点，OM与圆O直径共线可得，平分 CD，则有，利用勾股定理可求得半径的长； （2）连接AC，延长AF交BD于G，根据，，可得，，利用圆周角定理可得，可得，利用直角三角形的两锐角互余，可证得，即有． 【详解】（1）解：连接OC， ∵M是CD的中点，OM与圆O直径共线 ∴，平分CD， ． 在中． ∴圆O的半径为 （2）证明：连接AC，延长AF交BD于G． ， 又 在中 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两锐角互余，勾股定理等知识点，熟练应用相关知识点是解题的关键． 四．垂径定理的推论（共1小题） 7．（2020·安徽·中考真题）已知点在上．则下列命题为真命题的是（  ） A．若半径平分弦．则四边形是平行四边形 B．若四边形是平行四边形．则 C．若．则弦平分半径 D．若弦平分半径．则半径平分弦 【答案】B 【分析】根据圆的有关性质、垂径定理及其推论、特殊平行四边形的判定与性质依次对各项判断即可． 【详解】A．∵半径平分弦， ∴OB⊥AC，AB=BC，不能判断四边形OABC是平行四边形， 假命题； B．∵四边形是平行四边形,且OA=OC, ∴四边形是菱形， ∴OA=AB=OB，OA∥BC， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠OAB=60º, ∴∠ABC=120º, 真命题； C．∵， ∴∠AOC=120º，不能判断出弦平分半径， 假命题； D．只有当弦垂直平分半径时，半径平分弦，所以是 假命题， 故选：B． 【点睛】本题主要考查命题与证明，涉及垂径定理及其推论、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，解答的关键是会利用所学的知识进行推理证明命题的真假． 五．圆与三角形的综合（共3小题） 8．（2024·安徽·中考真题）如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，． (1)求证：； (2)设，垂足为M，若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，掌握这些性质以及定理是解题的关键． （1）由等边对等角得出，由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出，等量代换得出，由角平分线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于可得出，即可得出，即． （2）由（1）知，，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得出，的值，进一步求出，，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又与都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 故， 即． （2）由（1）知，， ∴， 又，， ∴，， ∴圆的半径， ∴， 在中． ， ∴ 即的长为． 9．（2022·安徽·中考真题）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD． (1)如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长； (2)如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE，求证：CE⊥AB． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据直角三角形的性质（在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半）及勾股定理可求出OD，进而求出AD的长； （2）根据切线的性质可得OCCD，根据同一个圆的半径相等及等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC，由各个角之间的关系以及等量代换可得答案． 【详解】（1）解：∵OA=1=OC，COAB，∠D=30 ∴CD=2⋅ OC=2 ∴ ∴ （2）证明：∵DC与⊙O相切 ∴OCCD 即∠ACD+∠OCA=90 ∵OC= OA ∴∠OCA=∠OAC ∵∠ACD=∠ACE ∴∠OAC+∠ACE=90 ∴∠AEC=90 ∴CEAB 【点睛】本题考查切线的性质，直角三角形的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质，掌握相关性质定理是解题的关键． 10．（2020·安徽·中考真题）如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的两点与相交于点是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点， 求证：； 若求平分． 【答案】证明见解析；证明见解析． 【分析】利用证明利用为直径，证明结合已知条件可得结论； 利用等腰三角形的性质证明： 再证明 利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明： 从而可得答案． 【详解】证明： 为直径， ． 证明： 为半圆的切线， 平分． 【点睛】本题考查的是圆的基本性质，弧，弦，圆心角，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，三角形的全等的判定，切线的性质定理，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 一．求角度（共4小题） 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，与相切于点B，的延长线交于点C，D为优弧上任意一点，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由切线的性质求得，则，根据圆周角定理，得，于是得到问题的答案． 本题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2024·安徽六安·一模）如图 ，为的直径，C是上的一点，若，则的度数（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，等边对等角，根据得，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，正方形与等边内接于，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．由圆内接正多边形的性质证得，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，，再根据三角形外角的性质及平行线的性质求得，即可求出． 【详解】解：连接，，， 正方形与等边内接于， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 故选：D 4．（2024·安徽合肥·三模）如图，等边的一边为的一条弦，交于，平分，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形，圆周角定理，三角形的外角，在等边中，连接，由圆周角定理可知，，得，再根据角平分线及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：在等边中， 连接，由圆周角定理可知，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 二．求弧长（共4小题） 5．（2024·安徽合肥·三模）如图，的顶点，落在上，经过圆心，与相交于点，已知，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，有圆周角定理得出，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，由三角形外角的定义及性质得出，证明是等边三角形，得出，最后再由弧长公式计算即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 6．（2024·安徽六安·二模）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长计算，先根据圆周角定理得到角度，然后根据弧长公式计算即可求得结果，熟练掌握圆周角定理及弧长计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的半径为5， ∴的长为， 故选：C． 7．（2024·安徽·二模）如图，内接于，，，则劣弧BC的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质及弧长公式，解题的关键是连接辅助线求出弧所对的圆心角度数．连接，，根据圆周角定理求出圆心角，求出，根据弧长公式求解即可． 【详解】解：连接，， ， ， ， ， 劣弧BC的长为， 故选：A． 8．（2024·安徽六安·二模）如图，在中，，以为直径的，交于 E点，交 于 D 点．若，则劣弧 的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆周角定理的应用，考查了弧长的有关计算，连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，连接，，设，根据弧长公式得到，于是得到结论． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， 连接，， ∴，， ∴的长为； 故答案为：． 三．求弦长或半径（共8小题） 9．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，内接于，，的半径为1，则弦的长为 （     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外接圆和外心，根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得的度数，然后根据勾股定理即可求得的长，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：如图，在圆上找一点不同于的点，连接、、、， 的半径为1，内接于，， ， ， ， ， 故选：C． 10．（2024·安徽合肥·二模）如图，半圆的直径，点在弦上，，，，交半圆于，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、解直角三角形，连接，由题意得，，解直角三角形得出，最后由勾股定理即可得出答案． 【详解】解：如图，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11．（2024·安徽合肥·二模）如图，以的边为直径作，交边于点D，过点C作交于点E，连接，，．若，，则 ． 【答案】10 【分析】根据边为直径作，得到，设，结合得到，继而得到，利用，得到，利用勾股定理解答即可． 本题考查了圆周角定理，正切函数，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握圆周角定理，正切函数，勾股定理是解题的关键． 【详解】∵边为直径作， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得 (舍去), ∴， 故答案为：10． 12．（2024·安徽合肥·一模）如图，是的弦，半径于点C，，则线段的长为 ．    【答案】 【分析】连接，先根据垂径定理求出的长，设的半径为r，在中，利用勾股定理求出r的值，根据圆周角定理得到，再由勾股定理可得，然后在中，由勾股定理可求出． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， 设的半径为r， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 解得：， ∴； ∵是直径， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理以及三角形中位线定理等知识，作出恰当的辅助线是解答此题的关键 13．（2024·安徽安庆·一模）如图，四边形的四个顶点都在上，平分连接，且． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考由圆周角定理，垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是由圆周角定理、垂径定理推出，由垂径定理、勾股定理得到关于圆半径的方程． （1）由角平分线定义得到，由圆周角定理推出，由垂径定理推出，得到，由圆心角、弧、弦的关系推出； （2）连接与交于，由垂径定理得到，由勾股定理求出，设半径为，由勾股定理得到，求出，即可得到圆的半径长． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接与交于， ， ， ， ， ， ， ， ∴的半径是． 14．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，在中，、为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理和勾股定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． （1）由，可得，又由“同弧所对的圆周角相等”可得，进而可得，由此可得． （2）连接，设，则，，，由垂径定理可得，在中，根据勾股定理列方程即可求出r的值． 【详解】（1）证明：如图，连接， 于E，于F， 又， ， ∵， ， ， ， ， 又， ， ； （2）解：如图，连接，设，则， ∴， ∴， 于E，， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍去）． 即的半径为． 15．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在中，是直径，，点E在上，，与的延长线交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了垂径定理及其推论、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理及其推论、圆周角定理是解题的关键． （1）连接，利用圆周角定理、等角对等边等知识，即可证明； （2）分别连接，相交于点G，证明，则是的中位线，得到，，则，由勾股定理得到，求出，即可得到的长． 【详解】（1）证明：如图1，分别连接， ， ∴， 是直径， ， ，， ， ， ， ； （2）如图2，分别连接，相交于点G， ∵， ∴ ∴于G， ∴是的中点， ∴是的中位线， ∴ 设，则， 在中，， 在中， ， ， 解得， ． 16．（2024·安徽池州·三模）如图，是的直径，为上一点，为上一点，且，延长交于，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，三角形外角的性质．熟练掌握圆周角定理及其推论是解题的关键． （1）根据圆周角定理得到，则，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到，从而得到结论； （2）连接、，如图，利用（1）的结论和圆周角定理得到，则，所以，然后利用勾股定理计算的长． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接、，如图， 由（1）得， ， ， ， ， ， 而， ． 四．利用垂径定理求值（共4小题） 17．（2024·安徽六安·三模）如图，已知的半径为2，，是的弦，是的直径，，弦与交于点E，且点E是的中点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】连接、，根据垂径定理可得，．根据圆周角定理可得，进而可得．在中，求出的长，再求出的长，即可求出的值． 本题主要考查了垂径定理和圆周角定理，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解题的关键． 【详解】连接、 ∵是的直径, 点E是的中点， ，， ， ， ， ，， ， ， 故选：B． 18．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，在半径为5的中，弦与弦互相垂直，垂足为点E，如果，那么的长为（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正方形的判定与性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练的应用垂径定理求值是解本题的关键．如图，连接 过作于 过作于 再利用垂径定理求解 再证明四边形是正方形，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，连接 过作于 过作于 四边形是正方形， 故选A． 19．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，为的直径，弦于点F，于点E，若，，则的长度是（　　） A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质、灵活利用方程思想是解题关键，先利用垂径定理得出，，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴， 设，则有， ， ， 在中，， ∴． 故选：D． 20．（2024·安徽滁州·模拟预测）图1是一张圆形纸片；如图2，将圆形纸片作两次对折，且折痕，垂足为点；如图3，把纸片展开后，再将圆形纸片沿弦折叠，使两点，重合，折痕与相交于点，连接，，，．下列四个结论中错误的是（    ） A．四边形是菱形 B．为等边三角形 C． D． 【答案】D 【分析】由翻折性质以及垂径定理证明菱形即可判断A；由等边对等角作出判断即可；先判断为等边三角形，再根据勾股定理即可得出结论；利用扇形面积公式求出结果即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ． 由垂径定理知垂直平分， ，互相垂直平分， 四边形是菱形，故选项A正确，不符合题意； ， ， ． ， ， ，． 同理可得， ， 是等边三角形，故选项B正确，不符合题意； ， ，， ． ，， 是等边三角形， ， ， ，故选项C正确，不符合题意； 设圆的半径为，则， ， ，故选项D错误，符合题意． 故选：D 【点睛】本题圆的综合题型，主要考查了翻折变换的性质，勾股定理，平行线的判定，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，等边三角形的判定与性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系是关键． 五．求最值（共4小题） 21．（2024·安徽蚌埠·二模）如图，在正方形中，，M，N分别为边 ， 的中点，E为边上一动点，以点 E为圆心，的长为半径画弧，交 于点F，P为的中点，Q为线段上任意一点，则 长度的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，为的中点，可得，则在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当四点共线时，最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵正方形，， ∴，， ∵分别，的中点， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴在以为圆心，为半径的圆弧上运动， 当四点共线时，最小， 此时，， ∴， ∴， 即的最小值为：， 故选B 【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，正方形的性质，圆的确定，熟练的确定P的运动轨迹是解本题的关键． 22．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，在中，，点D是斜边上的动点，将沿直线翻折得到，连接，则周长的最小值为（    ） A． B． C．9 D． 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟练掌握各性质是解题的关键： 利用直角三角形30度角的性质及勾股定理求出，根据折叠的性质得到，推出的周长，当最短时，的周长最小，以点C为圆心，长为半径作圆，则点C，E，B三点共线时，最短，由此得到答案． 【详解】∵在中，， ∴，， 由翻折得：， 的周长， 则当最短时，的周长最小， 以点C为圆心，长为半径作圆，则点C，E，B三点共线时，最短， ∴， ∴的周长， 故选：B． 23．（2024·安徽合肥·三模）如图，在中，，，点是内一点，过点作，，，垂足分别为，，． （1）若点是的重心，则的长为 ； （2）连接，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）如图，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，根据三角形重心的定义得到点是的中点，点是的中点，根据等腰三角形的性质及勾股定理得，证明，根据相似三角形的性质得，可得结论； （2）如图，连接，，，，根据等腰三角形的性质得，继而得到，证明，得，说明四边形和四边形都是圆内接四边形，得，，∴，推出为定值，则点在以为弦，所含圆周角为的圆弧上运动，当时，取得最小值，此时点、、共线，利用等腰三角形的性质和勾股定理得到， 利用已知条件得到，设，则，证明，利用相似三角形的判定与性质得出结论． 【详解】解：（1）如图，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接， ∵点是的重心， ∴是上的中线，是边上的中线， ∴点是的中点，点是的中点， ∵，，， ∴即， 此时点与点重合，即， ∴， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，连接，，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形和四边形都是圆内接四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴为定值， ∴点在以为弦，所含圆周角为的圆弧上运动， ∴当时，取得最小值，此时点、、共线，如图， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形重心的定义，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，勾股定理，掌握相似三角形的判定与性质及同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键． 24．（2022·安徽安庆·一模）如图，在中，，、，点是内部的一个动点，连接，且满足． （1） ； （2）当线段最短时，的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型． （1）由得到，即可得到； （2）首先证明点在以为直径的上，连接与交于点，此时最小，利用勾股定理求出即可得到，即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）设的中点为，连接， 则 (直角三角形斜边中线等于斜边一半)， ∴点在以为直径的上，连接交于点，此时最小， 在中，， ∴， ∴． ∴， 故答案为：． 六．证切线（已知垂直证半径）（共4小题） 25．（2024·陕西榆林·二模）如图，在中，，点在边上，且，过点作交的延长线于点，以点为圆心，的长为半径作交于点． (1)求证：是的切线． (2)若的半径为，，求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（）过点作，垂足为．由题意得，进而得，由，得，问题得证； （）由勾股定理求得，证明，即可求解． 【详解】（1）证明：过点作，垂足为． ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即为的半径， ∴是的切线． （2）解：的半径为，， ∴，， 在中，由勾股定理可得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，角平分线性质定理，切线的判定等知识．熟练掌握切线的判定及相似三角形的判定及性质是解题的关键． 26．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，是的直径，点C，E在上，，点在线段的延长线上，且． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用圆周角定理得到，结合已知推出，再证明，推出，即可证明结论成立； （2）设半径为x，则，在中，利用正弦函数求得半径的长，再在中，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）证明：连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴与相切； （2）解：设半径为x，则， ∵，， ∴， 在中，，， ∴，即， 解得， 经检验，是所列方程的解， ∴半径为，则， 在中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键． 27．（2024·安徽亳州·一模）如图， 是的半径，过点A作的切线，，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了切线的判定以及锐角三角函数的应用，熟知知识点是解决问题的关键． （1）过点O作于D，结合角平分线，根据切线的判定即可证明； （2）过点C作交AB的延长线于E，先证明，则，令，，由两次勾股定理即可得到x与a的关系式，即可求出的余弦值． 【详解】（1）证明：如图，过点O作于D． 是⊙O的切线， ， ， ， 是⊙O的切线； （2）过点C作交的延长线于E． ，， ， 四边形是矩形， ，， ，设， ， ， 由（1）得， ， 令， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 解得或（舍去），即， 28．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在中，以AB为直径作交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作于点G，交BA的延长线于点H． (1)求证：直线HG是的切线； (2)若，求CG的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接OD，利用三角形中位线的定义和性质可得，再利用平行线的性质即可证明； （2）先通过平行线的性质得出，设，再通过解直角三角形求出半径长度，再利用三角形中位线定理和相似三角形的判定和性质分别求出BC，BG的长度，即可求解． 【详解】（1）连接OD， ， ， ∵D是AC的中点，AB为直径， ， ， 直线HG是的切线； （2）由（1）得， ∴， ， ， 设， ， ， 在中，， ， 解得， ∴， ∵D是AC的中点，AB为直径， ， ， ， ，即， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形中位线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质及解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键． 七．证切线（已知半径证垂直）（共4小题） 29．（2024·安徽滁州·三模）如图，是的外接圆，是的直径，， ，为的延长线与的交点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，求弧长，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）连接并延长交于点，根据圆周角定理及等腰三角形的性质证，再根据平行线的性质和切线的判定求证即可； （2）先证是等边三角形，得到扇形的圆心角的度数和半径，再利用弧长公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接，如图所示， ∵， ，， ∵， ， ，， ， ， ， ， ∵， ， 即， ∵是的半径， 是的切线． （2）解：， ， ， 是等边三角形，， ， ， 的长是． 30．（2024·安徽合肥·三模）如图，是的弦，过点O作的垂线交于点C，垂足为点D过点C作的平行线交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是： （1）证明，根据切线的判定即可； （2）利用垂径定理求出，在中，利用正弦的定义求出，在中，利用余弦的定义求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 31．（2024·安徽六安·一模）如图，内接于，是的直径，交于点E，交于点F，且．      (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，只要证明，即可证明是的切线； （2）作于G，证明，求得，，在中，利用勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：作于G，则，      ∵， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设， 在中，， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，切线的判定，圆周角定理，三角形中位线定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 32．（2024·安徽马鞍山·一模）如图1，等腰中，，以为直径的与所在直线、分别交于点、，于点． (1)求证：为的切线； (2)如图2，当时，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证出，由切线的判定可得出结论； （2）证明，得出，证明，得出，求出的长，由勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：证明: 连接， ∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 如图所示, 连接， ∵， 由勾股定理可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ，即 ， 解得， ∵为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角形相似的性质和判定，勾股定理，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 八．圆的综合（共4小题） 33．（2024·安徽六安·三模）如图，四边形是边长为4的正方形，以边为直径作，点E在边上，连接交于点F，连接并延长交于点G．    (1)求证：； (2)若，求劣弧的长．(结果保留) 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据四边形是正方形，为直径，得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据三角形的内角和得到，根据圆周角定理得到，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，为的直径， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：连接，    ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是边长为4的正方形 ∴ ∴的长度为． 【点睛】本题考查了弧长的计算，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，圆周角定理，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 34．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知是半径为r的的直径，C，D分别为上的两个动点（A，B两点除外，且在直径的同侧），于点E，F是的中点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若不平行于，，求的长的最大值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，三角形的中位线定理，矩形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型． （1）连接，证明四边形是矩形即可解答； （2）延长交于点G，连接，首先证明点E是的中点，得出，进而在取得最大值时求出的最大值． 【详解】（1）解：证明：如图1，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； （2）解：如图2，延长交于点G，连接， ∵是半径为r的的直径，于点E， ∴E是的中点， 又∵F是的中点， ∴， 又∵的最大值为， ∴的长的最大值是5． 35．（2024·安徽安庆·三模）如图，是的直径，点是上一点，连接，，是的切线，点是上一点，过点作于点，交于点，交于点． (1)如图1，当点与点重合时，已知，求的度数； (2)如图2，连接，，当时，与交于点，已知，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质、圆周角定理、矩形的性质和判定等知识；掌握切线的判定与性质、圆周角定理、矩形的性质和判定是解决本题的关键． （1）连接，由题意可得，即，因为，所以，所以，因为，，所以，即． （2）过点作于点，故，因为，，所以，即，可得四边形是矩形，所以，即． 【详解】（1）如图，连接， ，是的切线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图，过点作于点， ， ∴． ∵，， ∴， ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 36．（2023·湖南·中考真题）如图，是的直径，是一条弦，D是的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G．    (1)求证：． (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据D是的中点，于点E，得到,得到即可得证． （2）根据，设，运用勾股定理，得到，结合，得到，运用勾股定理，得到，从而得到，在中，利用勾股定理计算x即可． 【详解】（1）∵D是的中点， ∴， ∵，是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵，是的直径， ∴， ∵， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴的半径为5． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数，熟练掌握垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 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