第一章空间向量与立体几何单元测试-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

空间向量与立体几何测试 一、单选题 1．已知向量，，且，那么实数等于（　　） A．3 B．-3 C．9 D．-9 2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知正方体，点是的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．在长方体中，，，设交于点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，平行六面体中，为的中点，，，，则（    ） A． B． C． D． 7．在空间直角坐标系中，已知点，向量平面，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 8．已知向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知平面过点，其法向量，则下列点不在内的是（    ） A． B． C． D． 10．已知空间向量，，则下列选项中正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 11．在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．，，，点共面 B．正方体的外接球的表面积为 C．点到平面的距离为 D．直线与平面所成的角的正弦值为 三、填空题 12．在空间直角坐标系中，若点，，，，2，，则 13．已知向量，，若，则 . 14．正方体的棱长为4，E是的中点，则点到的距离是 ． 四、解答题 15．如图所示，在正方体中，化简向量表达式： (1)； (2)； (3). 16．如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)求证：； (2)求异面直线EF与所成角的余弦值. 17．如图，在三棱柱中，平面，，. (1)求证：； (2)若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的长. 18．如图，在正方体中，，，，点M，N分别是，的中点．    (1)试用，，表示． (2)求证：平面． 19．如图，在正方体中，为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D解析：∵，，且，∴， 解得，，∴．故选：D． 2．C解析：.故选：C 3．D解析：在正方体中， ，则， 又点是的中点，则，所以.故选：D. 4．C解析：如图，以，，所在直线分别为，，轴， 建立空间直角坐标系，则，， ，，，， 所以，即.故选:C. 5．D解析：以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 因为，，所以，，，， ，，则.故选：D 6．B解析：为的中点， ．故选：． 7．B解析：因为，所以，又向量平面， 所以是平面的一个法向量 所以点到平面的距离为.故答案为：. 8．A解析：根据题意在上的投影向量为，，故选：A. 9．BCD【详解】A．，，，在平面内； B．，，，不在平面内； C．，，，不在平面内； D．，，，不在平面内；选：BCD． 10．ACD解析：对A，，存在实数，使得，则，即，解得，，故A正确； 对B，，，即，解得，故B错误； 对C，当时，，， ，故C正确； 对D，当时，，， ，故D正确.故选：ACD. 11．ACD解析：正方体中，，而，分别为棱，的中点，则，所以，所以，，，四点共面.故A正确；设正方体的外接球的半径为，则，所以正方体的外接球的表面积.故B错误；以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.则，，，，，所以，，，.设平面的一个法向量为，则 令，得，，所以平面的一个法向量为.所以点到平面的距离.故C正确；设直线与平面所成的角为，则，D正确. 故选：ACD. 12．解析：空间直角坐标系中，点，，，，2，， 则．故答案为：． 13．27解析：，则，即，故，故.故答案为：. 14．解析：如图所示：建立空间直角坐标系，则，，， 则，， 则，故. 点到的距离是.故答案为：. 15．解析：（1） （2）由图知，所以 （3）由图知，所以由（2）可得 16．解析：（1）证明：如图，以D为原点，以射线DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 所以， 所以，故． （2）因为，所以． 因为，且， 所以． 17．解析：（1）解：由三棱柱可得四边形是平行四边形， 又，所以平行四边形是菱形，所以. 又因为平面，所以. 又，所以，， 所以平面，所以. 因为，所以平面.因为平面.所以. （2）解：由第（1）问可知平面，又平面， 所以三条直线两两垂直，如图建立空间直角坐标系. 设，则，，. 设平面法向量为.又， 所以，取，可得. 显然平面的法向量 因为平面与平面所成锐二面角的余弦值为，所以. 即.两边平方可得，所以,所以. 18．解析：（1）   因为，所以，同理，， 所以； （2）证明：因为，所以，即， 因为平面，平面，所以平面． 19．解析：（1）证明：在正方体中，因为，且， 所以四边形为平行四边形．所以． 又平面，所以平面． （2）不妨设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系， 则．所以． 设平面的法向量为，则即， 令，则，于是． 设直线与平面所成的角为， 则 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$