第三章 函数的概念与性质（单元复习 16类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记（人教A版2019必修第一册）

第三章 函数的概念与性质（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01：函数的概念 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 知识点02：求函数解析式 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． 2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 知识点03：函数的单调性 1.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 1.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 2、函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 知识点04：函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 知识点05：复合函数的单调性（同增异减） 一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数： ：令：和 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 知识点06：函数的奇偶性 1、定义： 1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 1.3判断函数的奇偶性： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 知识点07一：幂函数的概念 1、定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 2、幂函数的特征 ①中前的系数为“1” ②中的底数是单个的自变量“” ③中是常数 知识点08：幂函数的图象与性质 1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象） 当时，我们得到五个幂函数： ；；；； 2、五个幂函数的性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减 在上单调递减 定点 03 题型归纳 题型一函数的定义域　 例题1．（23-24高一上·四川乐山·期中）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·上海·期末）函数的定义域为区间，则函数的定义域为 ． 例题3．（23-24高一上·江西新余·期中）若已知函数定义域为，则实数的取值范围是 ． 巩固训练 1．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏南京·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 题型二 求函数值域　 例题1．（23-24高一上·浙江·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·河南平顶山·期中）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高一上·四川内江·阶段练习）函数的值域为 ． 例题4．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为 巩固训练 1．（23-24高三·北京·强基计划）函数的值域为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 2．（23-24高一上·福建泉州·期中）函数，的值域为 ． 3．（23-24高三·全国·课后作业）函数的值域为 . 4．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）函数在上的值域是 . 题型三 求函数解析式　 例题1．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）已知是一次函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 例题3．（2024高一·江苏·专题练习）求下列函数的解析式： (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知是一次函数，且，求； (4)已知为二次函数，且，求； (5)定义在区间上的函数满足，求的解析式． 巩固训练 1．（23-24高一上·广东江门·期中）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知二次函数满足，且.求的解析式. 3．（2023高一·江苏·专题练习）（1）已知函数，求； （2）已知，求； （3）已知，求． 题型四 利用定义法证明函数的单调性　 例题1．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)证明：在上单调递增； (2)求在上的最大值与最小值. 例题2．（23-24高三上·甘肃定西·阶段练习）已知函数的图象经过，两点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义法加以证明. 例题3．（2024高一·全国·专题练习）已知定义域为R，对任意都有，且当时，.试判断的单调性，并证明； 巩固训练 1．（24-25高一上·全国·假期作业）函数，判断函数在上的单调性，并加以证明. 2．（2024高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，当时，，且，试判断函数在定义域上的单调性. 3．（23-24高一上·河南安阳·期末）已知函数，且. (1)求. (2)用定义证明函数在上是增函数. (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 题型五 根据单调性求参数　 例题1．（2024·山东·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·海南海口·阶段练习）若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（多选）（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）若函数在上单调递增，则的取值可以是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为 ． 3．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知在区间上是增函数，则的取值范围是 ． 题型六 根据单调性解不等式 例题1．（23-24高二上·四川眉山·期末）已知函数为上的增函数，则满足的实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·山东聊城·期末）定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递减，若，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 ． 例题3．（23-24高一上·河南·期中）定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24高一上·重庆·期中）若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）若函数单调递增，求满足不等式的的取值范围为 . 3．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数的定义域为，且在区间上是增函数，，求实数的取值范围. 题型七 求函数的最值 例题1．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知函数． (1)证明函数在区间上是严格减函数； (2)求函数在区间上的最值． 例题2．（23-24高一下·浙江杭州·期末）设函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论； (2)若，求函数的值域． 巩固训练 1．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间上的最大值和最小值． 2．（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数. (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求在区间上的最大值和最小值. 题型八 根据函数的最值求参数 例题1．（23-24高一上·广东广州·阶段练习）定义一种运算，设（为常数，且，则使函数的最大值为4的的值可以是（    ） A．或4 B．6 C．4或6 D． 例题2．（23-24高一上·全国·课后作业）二次函数的最大值是3，则（   ） A． B．1 C． D． 例题3．（23-24高一上·浙江绍兴·期中）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，若函数在上的最小值为0，求的值． 巩固训练 1．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖北荆州·期中）已知函数在上的最大值为，则实数的值为 . 3．（23-24高一上·浙江温州·期中）设函数，存在最大值，则的取值范围是 . 题型九 函数图象问题 例题1．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高三上·河北保定·期末）函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高一上·新疆昌吉·期中）已知为二次函数，且满足，．    (1)求函数的解析式，求函数在[0,5]上的最小值； (2)在给出的平面直角坐标系中画出的图象； 巩固训练 1．（23-24高三上·江西·期中）函数的大致图象不可能为（    ） A．   B．   C．   D．   2．（多选）（22-23高一上·广东东莞·期中）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广东广州·期中）函数 (1)画出函数的图象； (2)当时，写出的单调区间，并求函数在区间上的值域（直接写值域，不要过程）.    题型十 判断函数的奇偶性 例题1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）下列函数中的奇函数是（    ） A． B． C． D． 例题2．（多选）（23-24高一上·广西南宁·期中）给定四个函数，其中是奇函数的有（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高一·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性 (1)； (2)； (3) 巩固训练 1．（2024高一·全国·课后作业）下列函数中，是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（21-22高一上·新疆阿克苏·期末）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性 (1)； (2) 题型十一 由函数的奇偶性求解析式 例题1．（23-24高一上·北京·期中）函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为，则 ；当时，函数的解析式为 . 例题2．（23-24高一上·广东湛江·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)在给出的直角坐标系中画出函数的图象并写出的单调区间． 例题3．（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)画出函数的图象，并写出的单调区间； (2)求出的解析式. 巩固训练 1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在R上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 ． 2．（23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，， (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最小值和最大值． 3．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，. 现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示： (1)请补全函数的图象； (2)根据图象写出函数的单调递增区间； (3)求出函数在上的解析式． 题型十二函数奇偶性的应用 例题1．（2024·河南开封·二模）若函数是奇函数，则实数（    ） A．0 B． C．1 D． 例题2．（23-24高一上·辽宁阜新·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．2 例题3．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数为偶函数，则实数 ． 巩固训练 1．（23-24高一上·北京·期中）已知定义域为 的奇函数，则的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．无法确定 2．（23-24高一上·吉林延边·期中）设是定义在上的奇函数，则 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若是偶函数，则 题型十三分段函数问题 例题1．（23-24高一上·福建三明·期末）函数若，则实数的取值是（    ） A．3 B． C．3或 D．5或 例题2．（2024·四川乐山·一模）已知，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）函数，若是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是 . 例题4．（23-24高一上·山东枣庄·阶段练习）已知函数，若的值域是R，则实数m的取值范围是 . 巩固训练 1．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东日照·期末）已知函数，若，则实数的值为 ． 3．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若函数是上的减函数，则实数的取值范围是 ． 4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）函数，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 题型十四函数不等式（有解）恒成立问题 例题1．（23-24高三上·重庆长寿·期末）已知函数，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·四川成都·期中）命题，若是假命题，则实数a的取值范围是 ． 例题3．（23-24高一上·湖南长沙·期中）已知函数，. (1)当时，解不等式； (2)若，使得，求实数的取值范围. 巩固训练 1．（23-24高一上·河北沧州·期中）若存在，使得不等式成立，则实数a的取值范围是 . 2．（2024高二下·浙江杭州·学业考试）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 3．（23-24高一上·上海青浦·期末）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 题型十五幂函数问题 例题1．（23-24高二下·江苏苏州·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A．或1 B．或2 C．1 D． 例题2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题：函数在区间上单调递增，命题：，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 . 例题3．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知幂函数的图像经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围． 巩固训练 1．（23-24高二下·浙江·期中）幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·湖南长沙·三模）已知函数则不等式的解集为 . 3．（23-24高一上·广东·阶段练习）已知幂函数 为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数m的值. 题型十六 函数性质的综合应用 例题1．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数，不等式的解集是. (1)求函数的解析式； (2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围. 例题2．（23-24高二下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）函数是定义在上的单调递增的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)求满足的的范围； 例题3．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求的解集； (2)若，解不等式的解集． (3)若，对于，恒成立，求的取值范围． 例题4．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)试判断的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围． 巩固训练 1．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并证明； (3)解不等式． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在上且，，当a，，时，有． (1)试判断函数在上是增函数还是减函数，并证明该结论． (2)设，求证：． (3)若，求x的取值范围． 3．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求时，函数的解析式； (2)若函数的最小值为2，求实数的取值. 4．（23-24高一下·安徽·开学考试）已知函数的定义域为，，且当时，. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)解不等式：； (3)已知，，若对，，使得成立，求实数b的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 函数的概念与性质（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01：函数的概念 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 知识点02：求函数解析式 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． 2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 知识点03：函数的单调性 1.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 1.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 2、函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 知识点04：函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 知识点05：复合函数的单调性（同增异减） 一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数： ：令：和 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 知识点06：函数的奇偶性 1、定义： 1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 1.3判断函数的奇偶性： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 知识点07一：幂函数的概念 1、定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 2、幂函数的特征 ①中前的系数为“1” ②中的底数是单个的自变量“” ③中是常数 知识点08：幂函数的图象与性质 1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象） 当时，我们得到五个幂函数： ；；；； 2、五个幂函数的性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减 在上单调递减 定点 03 题型归纳 题型一函数的定义域　 例题1．（23-24高一上·四川乐山·期中）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式有意义列式计算即可. 【详解】由题知，解得， 所以函数的定义域为． 故选：B. 例题2．（23-24高一上·上海·期末）函数的定义域为区间，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】利用抽象函数定义域的求解方法可得答案. 【详解】因为函数的定义域为区间，所以， 令，解得，所以函数的定义域为. 故答案为： 例题3．（23-24高一上·江西新余·期中）若已知函数定义域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得对任意恒成立，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】解：由题意可得对任意恒成立， 所以， 解得， 所以实数取值范围是. 故答案为： 巩固训练 1．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数定义域的性质，结合二次根式的性质，分母不为零的性质进行求解即可. 【详解】由函数的定义域为，可得 函数的定义域为，函数， 可得 解得， 所以函数定义域为． 故选：D． 2．（23-24高二下·江苏南京·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用函数的定义域为,转化为恒成立,然后通过分类讨论和两种情况分别求得a的取值范围，可得解. 【详解】的定义域为，是使在实数集上恒成立. 若时,要使恒成立,则有 且, 即,解得. 若时，化为，恒成立，所以满足题意， 所以 故答案为：. 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】 【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可. 【详解】∵函数的定义域为，即，可得， ∴函数的定义域为， 令，解得， 故函数的定义域为. 故答案为： 题型二 求函数值域　 例题1．（23-24高一上·浙江·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数后，利用二次函数的性质求解最值，即可结合不等式的性质求解. 【详解】由可得， 由于函数，所以， 故， 故选：B 例题2．（23-24高一上·河南平顶山·期中）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数整理成，然后利用二次函数的性质即可求解 【详解】，， 故，故函数值域为. 故选：B 例题3．（23-24高一上·四川内江·阶段练习）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用换元法，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】设，则，， 所以， 因为，在上单调递减， 所以，所以函数的值域为． 故答案为：. 例题4．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为 【答案】 【分析】利用反比例函数的定义域和值域都是，来求分式函数的值域. 【详解】因为，又因为，所以， 所以函数的值域为． 故答案为：. 巩固训练 1．（23-24高三·北京·强基计划）函数的值域为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】利用判别式可求函数的值域. 【详解】设题中函数为，则， 当时，； 当时，视其为关于x的二次方程， 判别式， 综上，故值域为． 故选：C. 2．（23-24高一上·福建泉州·期中）函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】对函数解析式配方后，即可求出最小值，再考虑区间端点函数值的大小，即可求解. 【详解】因为， 则又 故函数的值域为 故答案为： 3．（23-24高三·全国·课后作业）函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据题意可得，可求出结果. 【详解】令，则， 所以. 故答案为：. 4．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）函数在上的值域是 . 【答案】 【分析】将函数变形为，当时，；当时，，利用对勾函数的性质和不等式的性质可解. 【详解】函数， 当时，； 当时，， 根据对勾函数的性质可知： 当时，，则，所以， 当时，，则，所以， 综上所述，函数在上的值域是. 故答案为： 题型三 求函数解析式　 例题1．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）已知是一次函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设函数，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由题意，设函数， 因为，， 所以，， 则，解得， 所以. 故选：D. 例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法令求解析式即可． 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以. 故选：B. 例题3．（2024高一·江苏·专题练习）求下列函数的解析式： (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知是一次函数，且，求； (4)已知为二次函数，且，求； (5)定义在区间上的函数满足，求的解析式． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) (5) 【分析】利用配凑法、换元法、待定系数法、解方程组法求解各题，注意定义域. 【详解】（1）因为， 所以. （2）解法一（换元法）：令，，则， 所以， 所以. 解法二（配凑法）：， 因为，所以. （3）设， 则， 所以，解得或， 所以或. （4）设， 则， 所以，解得， 所以. （5）对任意的有， 由，① 得，② 联立①②解得，. 巩固训练 1．（23-24高一上·广东江门·期中）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式利用换元法即可得出函数的解析式. 【详解】令，则且，所以，因此. 故选：A. 2．（2024高三·全国·专题练习）已知二次函数满足，且.求的解析式. 【答案】 【分析】设，利用建立恒等式求解即可. 【详解】设二次函数， 因为，所以， 由，得， 得， 所以，得， 故. 3．（2023高一·江苏·专题练习）（1）已知函数，求； （2）已知，求； （3）已知，求． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）利用换元法或配凑法求函数解析式； （2）利用配凑法求函数解析式； （3）利用方程组法求函数解析式. 【详解】（1）法一（换元法）　令，∴，∴，∴． 法二（配凑法），∴． （2）∵，∴． （3）∵，∴用代替得， 消去得， ∴函数的解析式为． 题型四 利用定义法证明函数的单调性　 例题1．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)证明：在上单调递增； (2)求在上的最大值与最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最小值是1，最大值是 【分析】（1）根据单调性的定义，先任取，且，然后作差，变形判断符号可得结论； （2）由在上递增，可求出其最大值和最小值. 【详解】（1）证明：，且，则 由，得，， 所以，即. 所以函数在区间上单调递增. （2）因为函数在区间上单调递增， 所以函数在区间的两个端点上分别取得最小值和最大值， 即时取得最小值，最小值为， 时取得最大值，最大值为. 故的最小值是1，最大值是 例题2．（23-24高三上·甘肃定西·阶段练习）已知函数的图象经过，两点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义法加以证明. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 【分析】（1）待定系数法求解析式. （2）利用函数单调性的定义证明函数的单调性，即任取，，设，求与的大小关系. 【详解】（1）因为函数的图象经过，两点， 所以，， 解得，. 故的解析式为. （2）在上单调递增. 证明如下： 设，，且， . 因为，，所以， 因为，所以，则，即. 故在上单调递增. 例题3．（2024高一·全国·专题练习）已知定义域为R，对任意都有，且当时，.试判断的单调性，并证明； 【答案】在上为减函数，证明见解析 【分析】 利用赋值法，结合函数的单调性定义即可证明. 【详解】任取，且， 因为，， 所以，故， 因为，所以，又因为当时，，所以， 所以，所以，即，所以在上为减函数. 巩固训练 1．（24-25高一上·全国·假期作业）函数，判断函数在上的单调性，并加以证明. 【答案】函数在上单调递减，证明见解析 【分析】利用单调性的定义证明，先对函数变形，然后任取，设，再对函数值作差，化简后判断符号，即可得结论. 【详解】函数在上单调递减，证明如下： 函数， 任取，设， 则， 因为，， 所以， 故，即， 故函数在上单调递减. 2．（2024高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，当时，，且，试判断函数在定义域上的单调性. 【答案】在上单调递增 【分析】 由题意，设，结合和定义法证明函数的单调性，即可求解. 【详解】设是区间上的任意两个实数，且， 所以， 因为且，所以，所以， 所以，即， 所以在上单调递增. 3．（23-24高一上·河南安阳·期末）已知函数，且. (1)求. (2)用定义证明函数在上是增函数. (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）由题意列式计算，即可求得答案； （2）根据函数单调性的定义，即可证明结论； （3）根据函数的单调性，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知函数，且， 故，则 （2）证明：由（1）知， 任取且， 则， 因为且，可得，则， 所以，即， 所以函数在上为单调递增函数. （3）函数在上为单调递增函数， 所以， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 题型五 根据单调性求参数　 例题1．（2024·山东·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得解得，再由，进而求得的取值范围. 【详解】由函数的对称轴是， 因为函数在区间上是增函数，所以，解得， 又因为，因此，所以的取值范围是. 故选：A． 例题2．（23-24高一上·海南海口·阶段练习）若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形换元得到，，考虑，和三种情况，结合对勾函数性质得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】， 令，故，， 当，即时，在上单调递增，满足要求， 当，即时，在上单调递增，满足要求， 当，即时，由对勾函数性质得到在上单调递增， 故，解得， 综上，实数的取值范围是. 故选：C 例题3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意先分段，由单调递减依次得，，但还需保证，由此即可求解. 【详解】由题意当时，单调递减，则，即， 当时，单调递减，则， 要保证单调递减，则还需，解得， 综上所述，a的取值范围是. 故选：A. 巩固训练 1．（多选）（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）若函数在上单调递增，则的取值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先判断出在上的单调性，然后根据条件列出关于的不等式组，由此求解出的取值范围，则正确选项可知. 【详解】因为当时，函数为单调递增函数， 又函数在上是单调函数，则需满足，解得， 所以实数的范围为，所以满足范围的选项是BC， 故选：BC. 2．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求出二次函数的对称轴，从而得到不等式，求出答案. 【详解】的对称轴为， 由题意得，解得， 故实数的取值范围为 故答案为： 3．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知在区间上是增函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先将分式函数用常数分离法转化成简分式，再根据函数的单调性即可求得参数范围. 【详解】由， 因为在区间上是增函数，所以，解得． 故答案为： 题型六 根据单调性解不等式 例题1．（23-24高二上·四川眉山·期末）已知函数为上的增函数，则满足的实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性可得，即可由不等式求解. 【详解】由于为上的增函数，故由可得， 因此且， 解得且， 故选：C 例题2．（23-24高一上·山东聊城·期末）定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递减，若，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求出的单调性及对称性，然后根据单调性、对称性将转化为的关系，再根据恒成立思想采用分离参数的方法求解出. 【详解】定义在R上的函数满足为偶函数，所以关于对称， 因为在上单调递减，所以在上单调递增， 所以越靠近对称轴函数值越小， 所以由得， 由于，所以， 可得，即时恒成立， 可得， 由于在时单调递增，， 在时单调递减，， 所以恒成立，则实数a的取值范围 故答案为：. 【点睛】结论点睛：对称性的常用结论如下 （1）若函数满足或或，则的一条对称轴为； （2）若函数满足或或，则的一个对称中心. 例题3．（23-24高一上·河南·期中）定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件和所求的特征，考虑构造函数，将不等式转化为，再利用函数在上的单调性即可求得. 【详解】由题意，且，则将两边同除以，即得：， 令，则可知函数在上为增函数. 由两边同除以得：，因，则得：，故得：. 故选：D. 【点睛】思路点睛：本题主要考查利用题设不等式构造函数，利用其单调性求不等式解集.属于较难题. 解题思路是，观察题设不等式的特征和所求不等式的联系，通过等价转化构造新函数，通过判断其单调性，将抽象不等式转化为具体不等式求解. 巩固训练 1．（23-24高一上·重庆·期中）若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用单调性脱去法则求解不等式即得. 【详解】由函数在上是减函数，，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 2．（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）若函数单调递增，求满足不等式的的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用函数的单调性，解出不等式即可. 【详解】因为单调递增，且， 所以，解得：,即. 故答案为：. 3．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数的定义域为，且在区间上是增函数，，求实数的取值范围. 【答案】. 【分析】根据已知结合单调性与定义域的定义与性质即可得出，即可解出答案. 【详解】因为在区间上单调递增， 所以当时，总有成立；反之也成立， 即若，则. 因为， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 题型七 求函数的最值 例题1．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知函数． (1)证明函数在区间上是严格减函数； (2)求函数在区间上的最值． 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为8，最小值为 【分析】（1）根据函数单调性的定义即可求证， （2）根据二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）任取，， 由，可得，，所以，又， 所以，即， 所以函数在区间上是严格减函数． （2）由于函数在单调递减，在单调递增， 又， 所以的最大值为8，最小值为 例题2．（23-24高一下·浙江杭州·期末）设函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论； (2)若，求函数的值域． 【答案】(1)函数在上单调递增；证明见解析 (2) 【分析】 （1）    通过定义法作差判断正负求解； （2）    由，由复合函数的单调性知函数在上单调递增，在上单调递减，即可求解． 【详解】（1）函数在上单调递增； 证明：任取，且， 则 因为， 所以， 所以， 得， 所以函数在上单调递增； （2）解：因为， 则，， 所以， 由（1）的证明过程知，函数在上单调递减， 所以由复合函数的单调性可得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又， 显然，故， 所以函数的值域为： 巩固训练 1．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2)22，6 【分析】（1）根据解析式可判断出函数的单调性，结合函数单调性定义即可证明； （2）判断函数在所给区间上的单调性，即可求得答案. 【详解】（1）函数在区间上单调递增， 证明：设，且， 则 ， 因为，且，故，， 故， 即，故函数在区间上单调递增； （2）由（1）可知该函数在区间上单调递增， 故. 2．（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数. (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)在单调递增，证明见解析 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）先转化，判断其单调性，再利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证； （2）利用（1）中结论即可得解. 【详解】（1）因为， 因为在单调递减， 所以在单调递增. 定义法证明如下： 任取，，则， ， 所以，故在单调递增. （2）由（1）得在区间上单调递增， 所以，， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 题型八 根据函数的最值求参数 例题1．（23-24高一上·广东广州·阶段练习）定义一种运算，设（为常数，且，则使函数的最大值为4的的值可以是（    ） A．或4 B．6 C．4或6 D． 【答案】A 【分析】根据定义，先计算在上的最大值，然后利用条件函数最大值为，确定的取值即可． 【详解】在上的最大值为， 所以由，解得或， 所以时，， 所以要使函数最大值为4，则根据定义可知， 当时，即时，，此时解得，符合题意； 当时，即时，，此时解得，符合题意； 故或. 故选：A 例题2．（23-24高一上·全国·课后作业）二次函数的最大值是3，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到，然后再根据二次函数的最大值可求出的值． 【详解】因为二次函数有最大值， 所以． 又二次函数的最大值为， 由题意得或， 因为，所以 故选：A. 例题3．（23-24高一上·浙江绍兴·期中）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，若函数在上的最小值为0，求的值． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为； (2)或 【分析】（1）写出分段函数形式，画出其图象，数形结合得到单调区间； （2）结合函数对称轴，分，和三种情况，结合函数单调性和图象，表达出在上的最小值，得到方程，求出的值. 【详解】（1）当时，， 画出函数图象，如下：    故函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）当时， 因为，所以， 开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递减， 在上的最小值为， 令，解得，舍去； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 故在上的最小值为， 令，解得（舍去）； 当时，因为， 所以， 此时图象如下：    函数在上的最小值为或， 当，解得（负值舍去），符合题意； 当，即，，符合题意； 综上，或. 巩固训练 1．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对反比例型函数分离常数，由时的最小值为得到n，求出m范围. 【详解】由， 因为在上的最小值为， 所以时，， 所以， 易知反比例型函数在单调递减. 所以在处取到的最小值为， 即 ， 所以. 故选：D 2．（23-24高一上·湖北荆州·期中）已知函数在上的最大值为，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据二次函数的对称性讨论最值取值情况即可得实数的值. 【详解】函数的对称轴为直线，因为 当时，，得（舍去）， 当时，，得， 综上，实数的值是. 故答案为：. 3．（23-24高一上·浙江温州·期中）设函数，存在最大值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】对进行分类讨论，根据函数的单调性以及最大值求得的取值范围. 【详解】①当时，函数在上单调递减，因此不存在最大值； ②当时，，当时，， 故函数存在最大值； ③当时，故函数在上单调递增，在上单调递减， 故时，， 当时，函数在上单调递增，此时 ， 于是时函数存在最大值.又，解得 ； ④当时，函数在上单调递减， ， 在上单调递增，此时 故当，解得， 又，故； 综上，的取值范围是时函数存在最大值. 故答案为： 【点睛】含参数的函数的最值问题，往往需要结合函数的单调性以及对参数进行分类讨论来进行求解，分类标准的制定，可以根据函数解析式的结构来进行制定，分类标准要做到不重不漏. 题型九 函数图象问题 例题1．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式，判断其单调性以及单调区间，结合特殊点，可得答案. 【详解】由函数， 当时，根据函数与函数在上单调递增， 则函数在的单调递增，故排除BC； 当时，，故排除A，则D正确. 故选：D. 例题2．（23-24高三上·河北保定·期末）函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合基本不等式判断函数在的最值，再结合图像判断. 【详解】时，恒成立，故C错误； 且时，，当且仅当时取等， 故在有最大值2，故B、D错误； 故选：A. 例题3．（23-24高一上·新疆昌吉·期中）已知为二次函数，且满足，．    (1)求函数的解析式，求函数在[0,5]上的最小值； (2)在给出的平面直角坐标系中画出的图象； 【答案】(1),最小值为 (2)见解析 【分析】（1）设函数的解析式为，，根据题意，列出方程组，求得，，的值，即可； （2）令，求得或，保留轴上方的函数图象不变，将轴下方的函数图象翻折至上方，即可． 【详解】（1）设函数的解析式为，， 因为，，所以，解得， 所以， 对称轴为，故当时，， （2）由（1）知， 令，则，解得或， 所以函数的图象如图所示：    巩固训练 1．（23-24高三上·江西·期中）函数的大致图象不可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】分，和三种情况讨论即可. 【详解】当时，，此时A满足； 当时，当时，为增函数；当时，， 其中为对勾函数的一部分，此时D满足； 当时，当时，为对勾函数的一部分； 当时，为减函数，此时B满足； 故选：C 2．（多选）（22-23高一上·广东东莞·期中）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据取不同类型的值,结合函数的图象以及性质分类讨论即可. 【详解】时,,图象为A,故A正确; 时,, 当时,由对勾函数的性质可知, 函数在单调递减, 单调递增, 当时,函数为减函数,且,图象为D,故D正确; 时,, 当时,函数为增函数, 且, 当时,由对勾函数的性质可知, 在单调递增,单调递减, 且图象在第三象限, 所以函数在单调递减,单调递增,且图象在第二象限, ,图象为C,故C正确; 故选:ACD. 3．（23-24高一上·广东广州·期中）函数 (1)画出函数的图象； (2)当时，写出的单调区间，并求函数在区间上的值域（直接写值域，不要过程）.    【答案】(1)函数图象见解析 (2)单调增区间为，，单调减区间为，； 【分析】（1）根据给定的分段函数，作出函数图象即可. （2）借助图象得到的单调区间，利用函数的单调性求出在区间上的值域即可. 【详解】（1）函数在上的图象是直线在的部分， 在上的图象是抛物线在的部分， 在上的图象是直线在的部分，函数的图象如图，    （2）函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调增区间为，，单调减区间为， 而，，，， 因此，， 所以函数在上的值域为. 题型十 判断函数的奇偶性 例题1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）下列函数中的奇函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性的定义和判定方法，即可求解. 【详解】对于A中，函数的定义域为，且， 所以函数为偶函数，不符合题意； 对于B中，函数的定义域为， 且，所以函数为奇函数，符合题意； 对于B中，函数的定义域为，且， 所以函数为偶函数，不符合题意； 对于B中，函数，所以函数为非奇非偶函数函数，不符合题意. 故选：B. 例题2．（多选）（23-24高一上·广西南宁·期中）给定四个函数，其中是奇函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】应用奇偶性定义判断各函数的奇偶性，即得答案. 【详解】由且定义域为R，则为奇函数，A对； 由且定义域为，则为奇函数，B对； 由，显然不为奇函数，C错； 由，显然不为奇函数，D错. 故选：AB 例题3．（23-24高一·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性 (1)； (2)； (3) 【答案】(1)既不是奇函数也不是偶函数 (2)当时，为奇函数；当时，既是奇函数又是偶函数． (3)既不是奇函数也不是偶函数 【分析】（1）（2）（3）根据函数的定义域及函数奇偶性的定义判断． 【详解】（1）∵的定义域为，不关于原点对称， ∴既不是奇函数也不是偶函数． （2）函数f(x)的定义域为，关于原点对称， ①当时， ， ∴是奇函数； ②当时，函数变形为，此时， ∴且， ∴既是奇函数又是偶函数． 综上可知，当时，为奇函数；当时，既是奇函数又是偶函数． （3）， ∵的定义域不是关于原点对称的区间， ∴既不是奇函数也不是偶函数． 巩固训练 1．（2024高一·全国·课后作业）下列函数中，是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数定义逐项判断作答. 【详解】对于A，函数的定义域为R，，不是偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为R，，不是偶函数，B不是； 对于C，函数的定义域为R，，是偶函数，C是； 对于D，函数的定义域为R，，不是偶函数，D不是. 故选：C 2．（多选）（21-22高一上·新疆阿克苏·期末）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用奇偶性定义判断各函数的奇偶性即可. 【详解】A：，不为奇函数； B：且定义域为，为奇函数； C：且定义域为R，为奇函数； D：，不为奇函数. 故选：BC 3．（23-24高一·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性 (1)； (2) 【答案】(1)偶函数 (2)奇函数 【分析】（1）（2）根据定义即可判断函数的奇偶性. 【详解】（1）由题意，在中，定义域为， ， ∴是偶函数. （2）由题意，在中，定义域为， ， ∴是奇函数. 题型十一 由函数的奇偶性求解析式 例题1．（23-24高一上·北京·期中）函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为，则 ；当时，函数的解析式为 . 【答案】 【分析】根据偶函数的性质计算可得. 【详解】因为函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为， 所以， 设，则，所以，又， 所以， 即当时，函数的解析式为. 故答案为：； 例题2．（23-24高一上·广东湛江·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)在给出的直角坐标系中画出函数的图象并写出的单调区间． 【答案】(1) (2)的递增区间为，单调递减区间为， 【分析】（1）设，得到，代入时的解析式化简可得时的解析式，又定义在实数集上的奇函数有，所以分段函数的解析式可求； （2）利用二次函数的顶点及与轴的交点作出简图，然后由图象得单调区间； 【详解】（1）当时，， ； 又函数是上的奇函数， 的解析式为：； （2）函数的图象如图所示， 根据的图象可知，的递增区间为，单调递减区间为， 例题3．（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)画出函数的图象，并写出的单调区间； (2)求出的解析式. 【答案】(1)图象见解析；增区间为，减区间为； (2) 【分析】（1）先作出函数在区间上的图象，结合奇函数的对称性可得出该函数在区间上的图象，根据图象可得出函数的单调递增区间和递减区间； （2）设，可得出，由奇函数的性质得出，可得出函数在上的解析式，进而可得出该函数在上的解析式. 【详解】（1）函数是上的奇函数，其图象关于原点对称，且当时， ，则函数的图象如下图所示：    由图象知，增区间为，减区间为 （2）设，则，则. 因此，时，， 所以函数在上的解析式为. 巩固训练 1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在R上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 ． 【答案】 【分析】利用奇函数的定义计算即可得答案. 【详解】函数在上为奇函数，且当时，， 当时，， 所以. 故答案为：. 2．（23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，， (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最小值和最大值． 【答案】(1)； (2)最小值为，最大值为． 【分析】（1）当时，，时，由即可得解； （2）由配方法求二次函数在闭区间上的最值即可. 【详解】（1）依题意，函数是定义在R上的奇函数， 当时，， 当时，， 又是奇函数，， ∴的解析式为． （2）依题意可知当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则， ， 所以在区间上的最小值和最大值分别为和． 3．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，. 现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示： (1)请补全函数的图象； (2)根据图象写出函数的单调递增区间； (3)求出函数在上的解析式． 【答案】(1)作图见解析 (2)和 (3) 【分析】（1）利用偶函数的关于图像关于轴对称，即可作出函数的图象； （2）根据图像写出单调区间即可； （3）利用时，，求得，再根据偶函数即可求解. 【详解】（1）如图所示: （2）结合图象可得：函数的单调递增区间为和； （3）当时，， 若时，则， 所以， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 所以， 故函数在上的解析式为. 题型十二函数奇偶性的应用 例题1．（2024·河南开封·二模）若函数是奇函数，则实数（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质计算可得. 【详解】当时，则， 则，解得， 此时， 当时，所以，符合题意. 所以. 故选：C 例题2．（23-24高一上·辽宁阜新·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用偶函数的定义可计算的值，再根据解析式计算函数值即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 所以且，则， 所以，则. 故选：D． 例题3．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数为偶函数，则实数 ． 【答案】 【分析】根据偶函数的定义可得出关于实数的等式组，解之即可. 【详解】因为， 该函数的定义域为， 因为函数为偶函数，则， 即， 可得对任意的恒成立，故，解得. 故答案为：. 巩固训练 1．（23-24高一上·北京·期中）已知定义域为 的奇函数，则的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．无法确定 【答案】B 【分析】由奇函数定义域的对称性求得，由奇函数的性质求得，然后求值． 【详解】因为是奇函数，则，，，， 所以， 故， 所以. 故选：B． 2．（23-24高一上·吉林延边·期中）设是定义在上的奇函数，则 【答案】-24 【分析】根据奇函数的性质可得，求出，利用，求出，最后代值即可. 【详解】是定义在的奇函数， ， 即， ，且， 解得，或 当时，定义域为，不合题意，舍去； 当时，定义域为，合题意， ， . 故答案为：. 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若是偶函数，则 【答案】 【分析】根据偶函数的对称性以及二次函数对称性分析求解. 【详解】因为，则， 若是偶函数，可知关于y轴对称， 则，解得. 故答案为：. 题型十三分段函数问题 例题1．（23-24高一上·福建三明·期末）函数若，则实数的取值是（    ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】D 【分析】对于求解与分段函数有关的方程时，应分段考虑再合并. 【详解】当时，，解得：； 当时，，解得：； 即实数的取值是5或. 故选：D. 例题2．（2024·四川乐山·一模）已知，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题，分，两种情况讨论求解即可. 【详解】解：当时，， 所以，即，解得， 当时，， 所以，即，解得， 所以，的取值范围是 故选：D 例题3．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）函数，若是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】. 【分析】分段函数在上的单调递增，只需要保证第一段和第二段都是递增的，而且在临界值时左端要小于或等于右端；即要保证：二次函数在时递增则对称轴大于等于1：即，一次函数递增则要求;再需要保证当时 便可求出的范围. 【详解】因为是上的增函数， 所以,解得， 取交集得的取值范围是. 故答案为: . 【点睛】本题主要考查函数的单调性的性质，函数在上的函数单调性，特别要注意临界位置的大小关系，很多学生容易忽略这点. 例题4．（23-24高一上·山东枣庄·阶段练习）已知函数，若的值域是R，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数解析式，可得当时，，然后利用二次函数的图象与性质讨论当时，函数的值域，然后根据整个函数的定义域为R，列出不等式，解之即可. 【详解】因为函数， 当时，在上为增函数，， 当时，， ①当，即时，， 要使函数的值域是R，则有，解得或， ②当，即时，， 要使函数的值域是R，则有，解得，结合，所以； 综合①②得或， 故答案为： 巩固训练 1．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，分与两种情况，解不等式，求出解集. 【详解】，故， 当时，有，解得或，即，或； 当时，，解得，即； 综上，不等式的解集是； 故选：B． 2．（23-24高一上·山东日照·期末）已知函数，若，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】根据分段函数的定义，分别在和范围内求出使时实数的值即可. 【详解】当时，，解得（舍）； 当时，，解得或（舍）， 所以实数的值为3， 故答案为：3. 3．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若函数是上的减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先考虑各部分函数的单调性，然后分析两段函数在处的函数值的大小关系，从而求解出的取值范围. 【详解】当时，在上递减，所以对称轴， 当时，在上递减，所以， 又因为当时，，所以， 综上可知：. 故答案为：. 【点睛】本题考查根据分段函数的单调性求解参数范围，难度一般.已知分段函数的单调性求解参数范围时，不仅要考虑到每一段函数的单调性还需要分析分段点处函数值的大小关系. 4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）函数，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先利用基本不等式求得当时的最小值，由恒成立，得代入数值即可求解. 【详解】当时，， 当且仅当即时取等号， 函数，若恒成立，则，即，解得， 故答案为：. 题型十四函数不等式（有解）恒成立问题 例题1．（23-24高三上·重庆长寿·期末）已知函数，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式恒成立，分离参数，可得，对恒成立，构造函数，结合函数的单调性求得其最小值，即可求得答案. 【详解】由题意知函数，对都有成立， 即对恒成立， 即，对恒成立， 设，由于在上单调递减，在上单调递增， 则，则，当且仅当时等号成立， 故，即实数的取值范围为， 故选：A 例题2．（23-24高一上·四川成都·期中）命题，若是假命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】得到为真命题，只需，，求出的单调性，得到，得到答案. 【详解】若是假命题，则为真命题， 故，只需， 其中， 故在上单调递减，在上单调递增， 其中，， 故， 所以， 故答案为： 例题3．（23-24高一上·湖南长沙·期中）已知函数，. (1)当时，解不等式； (2)若，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）当时，利用二次不等式的解法可得出不等式的解集； （2）由参变量分离法可知， ，使得，令，可得出，利用单调性求出函数上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，，由可得，解得或， 故当时，不等式的解集为或. （2）解：因为，使得， 因为，则， 令，则，则， 因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数，则， 故. 巩固训练 1．（23-24高一上·河北沧州·期中）若存在，使得不等式成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】分离参数后，根据不等式能成立，转化为利用对勾函数求函数的最大值即可. 【详解】存在，使得不等式成立， 则存在，使成立， 即时，， 令，， 由对勾函数性质知，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以， 故， 故答案为： 2．（2024高二下·浙江杭州·学业考试）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将原问题条件等价转换为对任意恒成立，故只需求出在上的最大值即可. 【详解】由题意对任意恒成立， 由复合函数单调性可知在上单调递减， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海青浦·期末）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得对任意的恒成立，故只需，结合基本不等式求解即可，注意取等条件. 【详解】由题意对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，故只需， 而由基本不等式可得，等号成立当且仅当， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为：. 题型十五幂函数问题 例题1．（23-24高二下·江苏苏州·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A．或1 B．或2 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义和性质求解即可. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 所以，解得. 故选：C. 例题2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题：函数在区间上单调递增，命题：，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意可得命题：，由是的充分不必要条件，可得是的真子集，即可得到答案. 【详解】因为函数在区间上单调递增，所以，解得：，又因为是的充分不必要条件，则是的真子集，即的取值范围是 故答案为： 例题3．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知幂函数的图像经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据幂函数定义借助待定系数法计算即可得其解析式，计算即可得其定义域； （2）结合函数单调性与定义域要求计算即可得. 【详解】（1）设，则有，解得， 故，即，则其定义域为； （2）由，则在上单调递减， 故有，即，即. 巩固训练 1．（23-24高二下·浙江·期中）幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】首先根据幂函数的单调性，确定得到取值，再回代函数确定函数的奇偶性，即可求解. 【详解】因为幂函数，在区间上是减函数， 所以，解得：， 因为，得， 当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去， 当时，函数是偶函数，关于轴对称，故舍去， 当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去， 所以. 故选：A 2．（2024·湖南长沙·三模）已知函数则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由函数解析式可得在上单调递增，令，不等式为变为，利用单调性可得不等式的解集. 【详解】函数在上单调递增， 又在上单调递增，又， 所以在上单调递增. 设，可得在上单调递增. 又，所以原不等式可化为， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·广东·阶段练习）已知幂函数 为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数m的值. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）利用幂函数的定义，结合性质求出即可得解. （2）根据给定条件，利用偶函数的性质计算即得. 【详解】（1）由为幂函数，得，得或， 而为偶函数，则， 所以的解析式为. （2）由为偶函数且，得，即或， 所以或. 题型十六 函数性质的综合应用 例题1．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数，不等式的解集是. (1)求函数的解析式； (2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集，可得对应方程的解，进而可得参数值及函数解析式； （2）方法一：分离参数，根据函数单调性可得最值及参数范围；方法二：结合二次函数的最值情况分情况讨论可得参数范围. 【详解】（1）因为的解集是， 则的两根是和， 由根于系数关系可得， 解得， 所以； （2）方法一：关于的不等式在上有解，等价于，使得， 则，， 因为函数在上单调递减， 所以当时，取到最大值，， 所以， 故的取值范围是； 方法二：由题知，即关于的不等式在上有解，令，等价于在区间上的最小值， 图象的对称轴是，根据二次函数图象对称轴和区间位置关系可知， ①当，即时，此时的最小值，则，解得； ②当，即时，的最小值，此时恒成立，所以得； ③当，即时，，则由，解得； 综上所述，的取值范围是. 例题2．（23-24高二下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）函数是定义在上的单调递增的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)求满足的的范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据奇函数性质以及先求出、的值即可求得函数的解析式，再进行验证即可. （2）依据奇函数性质将不等式变形为，再结合单调性和定义域即可求解. 【详解】（1）由已知可知，解得， 又，解得， 所以， 因为， 所以为奇函数，任取， 则， 因为，故， 所以，故，即， 所以函数在上单调递增， 所以函数的解析式为. （2）因为为奇函数，由已知可变形为， 又在上是增函数， 所以，. 例题3．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求的解集； (2)若，解不等式的解集． (3)若，对于，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）根据一元一次不等式的解法，得到且，再结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）化简不等式为，分类讨论，即可求解； （3）根据题意，转化为时，恒成立，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）因为不等式的解集为，可得且， 因为，所以，等价于， 解得，即不等式的解集为. （2）当时，不等式，即为， ①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为. （3）由题意，当时，恒成立，即恒成立， 即时，恒成立， 由基本不等式得，当且仅当即时，等号成立， 所以，所以实数取值范围是. 例题4．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)试判断的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）由赋值法即可求解， （2）利用单调性的定义即可求证， （3）由函数的单调性，列不等式即可求解. 【详解】（1）令，得，解得； （2）在上单调递减，证明如下： 不妨设， 所以 ， 又，所以，所以，所以， 即， 所以在上单调递减； （3）由（2）知在上单调递减， 若，即， 所以 解得或，即的取值范围是． 巩固训练 1．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并证明； (3)解不等式． 【答案】(1) (2)在为增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质，即可求出，再由求出，即可求出当时函数解析式，再由奇函数的性质求出时解析式； （2）利用定义法证明函数的单调性即可； （3）结合奇偶性与单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得， 因为，所以，所以， 所以当时，， 当时，， 则， 综上所述，； （2）函数在上为增函数． 证明：任取，且， 则 ， ， ，即， 故在上为增函数； （3）因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又由（2）知在上为增函数， 所以，解得， 故原不等式的解集为． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在上且，，当a，，时，有． (1)试判断函数在上是增函数还是减函数，并证明该结论． (2)设，求证：． (3)若，求x的取值范围． 【答案】(1)增函数，证明见解析； (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性即可； （2）由（1）可得，结合和函数的单调性即可证明； （3）由（1），利用函数的单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】（1）任取，，且，则，又． 于是． 据已知，，则，即， ∴在上是增函数． （2）由（1）得在上的最大值为，则， 又，则， 综上，． （3）由，得． 又，则． 由（1）知在上是增函数， ∴． 即x的取值范围是． 3．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求时，函数的解析式； (2)若函数的最小值为2，求实数的取值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，得到，再利用函数是定义在上的奇函数求解； （2）易得，再利用二次函数的性质求解. 【详解】（1）解：设，则， 因为当时，， 所以， 又函数是定义在上的奇函数， 所以； （2）函数， 其对称轴方程为， 当时，，解得，成立； 当时，，解得，不成立； 当时，，解得，不成立； 故a的值为. 4．（23-24高一下·安徽·开学考试）已知函数的定义域为，，且当时，. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)解不等式：； (3)已知，，若对，，使得成立，求实数b的取值范围. 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）通过赋值法，利用奇函数的定义进行判断即可； （2）考查函数的单调性，利用单调性转化不等式求解即可； （3）根据题意知，即，分类讨论求得，解出不等式即可. 【详解】（1）为奇函数. 令，则， 解得. 令，则， 即， 又的定义域关于原点对称，所以为奇函数. （2）令， 则， 因为，所以，， 则， 因为， 所以. 因为当时，，为奇函数， 所以当时，， 所以，即， 因为，所以在为减函数. 因为，所以， 解得， 即不等式的解集为. （3）因为，， 使得成立， 所以，由上可知，即. 因为的对称轴为，. ①当，即时，在上单调递增， 则，所以，解得，所以； ②当，即时，在上单调递减， 则， 所以，解得，所以； ③当时，在上先减再增， 则，所以， 解得或，所以； 综上所述，实数b的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$