第04讲 第三章 函数的概念与性质 章节验收测评卷-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学核心题型总结与突破（人教A版2019必修第一册）

第04讲 第三章 函数的概念与性质 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）下列表示是同一个函数的是（   ）. A．与 B．与 C．与 D．与 3．（23-24高二下·内蒙古通辽·期末）设函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·山东青岛·期末）设函数，若存在最小值，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D．- 5．（23-24高二下·吉林长春·期末）二次函数在上最大值为1，则实数a值为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）函数，若对任意，，都有成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知，是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·浙江舟山·期末）已知函数的定义域为，且，的图像关于直线对称，，在上单调递增，则下列说法中错误的是（    ） A． B．的一条对称轴是直线 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一上·安徽亳州·阶段练习）已知函数在上是减函数，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·广东湛江·阶段练习）若不等式对于一切恒成立，则a的值可能是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）对于函数：，若使得，我们称为函数的一个不动点.则（    ） A．若有无数多个不动点，则 B．若为二次函数，且无不动点，则无不动点 C．若有唯一不动点，则有唯一不动点 D．若有且仅有两个不动点，，则，都是的不动点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，若幂函数的图像关于原点对称，且在上是严格减函数；则取值的集合是 ． 13．（2024·广西柳州·模拟预测）记实数的最小数为，若，则函数的最大值为 ． 14．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知函数，对于任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高一上·贵州铜仁·期中）已知函数. (1)若为奇函数，求a的值； (2)求在上的最值. 16．（23-24高二下·吉林白山·期末）已知幂函数（）为偶函数，且在区间上单调递增，函数满足. (1)求函数和的解析式； (2)对任意实数，恒成立，求的取值范围. 17．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)试判断的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围． 18．（23-24高二下·浙江·期末）已知函数，函数. (1)若，且，求，的值； (2)当时，若函数的值域和函数的值域相同，求的取值范围； (3)当时，记为在上的最大值，求的最小值. 19．（23-24高一下·云南昆明·期中）若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数． (1)已知函数，直接判断是否为区间上的增长函数； (2)已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值； (3)如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 第三章 函数的概念与性质 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数，则，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 2．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）下列表示是同一个函数的是（   ）. A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用相同函数的意义，逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的值域是R，而函数的值不可能为负数，A不是； 对于B，函数中，，解得，即的定义域为， 函数中，，解得或，即的定义域为，B不是； 对于C，函数的值域为，函数的值域是R，C不是； 对于D，，函数与是相同函数，D是. 故选：D 3．（23-24高二下·内蒙古通辽·期末）设函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，再结合函数解析式分两段得到不等式组，解得即可. 【详解】因为，所以， 不等式等价于或， 解得或或， 所以不等式的解集为. 故选：B 4．（23-24高二下·山东青岛·期末）设函数，若存在最小值，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D．- 【答案】A 【分析】当时，由一次函数单调性可知无最小值，不合题意；当时，结合二次函数性质可知，满足题意；当和时，根据函数存在最小值可确定分段处的函数值的大小关系，由此解得的范围；综合所有情况即可得到的最大值. 【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意； 当时，， 当时，，又时，， 存在最小值，满足题意； 当时，在，上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，解得：，； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，不等式无解； 综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为. 故选：A. 5．（23-24高二下·吉林长春·期末）二次函数在上最大值为1，则实数a值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据顶点的位置分两种情况讨论即可. 【详解】，则图像开口向上，对称轴为直线. 当时，即，时有最大值1,即，解得； 当时，即，时有最大值1,即，得； 故或. 故选：D． 6．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）函数，若对任意，，都有成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的单调性可求解． 【详解】因为对任意，都有成立， 所以是上的减函数， 则，解得． 故选：A． 7．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知，是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶函数构造方程组求出的解析式，再根据题意得到在单调递增，分类讨论即可求解. 【详解】由题意可得， 因为是奇函数，是偶函数， 所以， 联立，解得， 又因为对于任意的，都有成立， 所以， 所以成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， （1）若，则对称轴，解得； （2）若，则在单调递增，满足题意； （3）若，则对称轴恒成立； 综上，. 故选：D. 8．（23-24高二下·浙江舟山·期末）已知函数的定义域为，且，的图像关于直线对称，，在上单调递增，则下列说法中错误的是（    ） A． B．的一条对称轴是直线 C． D． 【答案】D 【分析】令，可求得，令，可得，利用已知可得关于对称，可判断B；可求得函数的周期为6，关于对称，计算可判断AD；由题意可得在上单调递减，可判断C. 【详解】， 令，可得，解得； 令，，则， ∴，∴为奇函数； ∵的图像关于对称，, ∴关于对称，故B正确； ∴，∴， ∴，即的周期为6， ∵关于对称，可得关于对称 ∴，，，，， 所以，， 故A正确，D错误； ∵，又在上单调递增 ∴在上单调递减，所以，即，故C正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一上·安徽亳州·阶段练习）已知函数在上是减函数，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据不等式的性质，整理不等式，利用减函数的性质，可得答案. 【详解】由，则， 因为函数在上是减函数，所以， 则，. 故选：CD. 10．（23-24高一上·广东湛江·阶段练习）若不等式对于一切恒成立，则a的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意利用参变分离可得，结合对勾函数单调性求其最小值，进而可得结果. 【详解】因为，且，可得， 因为在内单调递减，则， 可得，即， 结合选项可知ABC正确，D错误. 故选：ABC. 11．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）对于函数：，若使得，我们称为函数的一个不动点.则（    ） A．若有无数多个不动点，则 B．若为二次函数，且无不动点，则无不动点 C．若有唯一不动点，则有唯一不动点 D．若有且仅有两个不动点，，则，都是的不动点 【答案】BC 【分析】根据题意函数的定义即可判定. 【详解】A：显然不正确,如； B：因为二次函数，故或，当时，，当时，，故无不动点； C：若，其中唯一存在，记，则，若，则， 从而也为的不动点，故只能，即为的不动点， 又易知的不动点显然为的不动点，所以有唯一不动点. D：由C不难知且，故D不正确. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，若幂函数的图像关于原点对称，且在上是严格减函数；则取值的集合是 ． 【答案】 【分析】由幂函数的性质可知α是奇数，且，则答案可求. 【详解】因为， 幂函数的图像关于原点对称，且在上单调递减， 所以α是奇数，且，所以． 故答案为：. 13．（2024·广西柳州·模拟预测）记实数的最小数为，若，则函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】由题意在同一个坐标系中，分别作出三个函数的图像，再按要求得到的图象，结合图像易得函数的最大值． 【详解】 如图所示，在同一个坐标系中，分别作出函数的图象， 而的图象即是图中勾勒出的实红线部分， 要求的函数的最大值即图中最高点的纵坐标. 由联立解得，，故所求函数的最大值为． 故答案为：． 14．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知函数，对于任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意可得函数在上单调递减，作出的图象，结合图象，列出不等式组，求解即可． 【详解】解：因为对于任意两个不相等的实数，都有不等式成立， 所以函数在上单调递减， 又因为当时，， 作出的图象，如图所示： 由此可得函数在和上单调递减， 又因为当时，，且函数在上单调递减， 所以，解得． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高一上·贵州铜仁·期中）已知函数. (1)若为奇函数，求a的值； (2)求在上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，无最小值 【分析】（1）由奇函数的定义判断即可； （2）利用定义判断函数的单调性，进而可求得函数的最值． 【详解】（1）由题意， ∵为奇函数，∴， 即 解得； （2）由（1）可知， ，. ∵， ∴，，∴， 即在上是增函数. ∴，无最小值. 综上所述：，无最小值. 16．（23-24高二下·吉林白山·期末）已知幂函数（）为偶函数，且在区间上单调递增，函数满足. (1)求函数和的解析式； (2)对任意实数，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据幂函数的性质得到，求出的范围，再由确的值，再代入检验，即可求出的解析式，再利用换元法求出解析式； （2）参变分离可得，恒成立，结合二次函数的性质求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）依题意幂函数为偶函数，且在区间上单调递增， 可得，解得， 由于，故， 当时，，此时为奇函数，不符合题意， 当或时，，此时为偶函数，符合题意， 故； 由，可得，令， 所以， 故. （2）由，恒成立， 可得，恒成立. 又，所以当时，取得最小值， 故，即的取值范围为. 17．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)试判断的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）由赋值法即可求解， （2）利用单调性的定义即可求证， （3）由函数的单调性，列不等式即可求解. 【详解】（1）令，得，解得； （2）在上单调递减，证明如下： 不妨设， 所以 ， 又，所以，所以，所以， 即， 所以在上单调递减； （3）由（2）知在上单调递减， 若，即， 所以， 解得或，即的取值范围是． 18．（23-24高二下·浙江·期末）已知函数，函数. (1)若，且，求，的值； (2)当时，若函数的值域和函数的值域相同，求的取值范围； (3)当时，记为在上的最大值，求的最小值. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意，列出方程组，即可求解； （2）求得，令，得到， 结合函数的值域和函数相同，列出不等式，即可求解； （3）根据题意，得到，得出，且时，取得最小值，求得，结合函数的性质，求得和，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 因为，且，可得， 解得. （2）解：当，函数， 令，则， 因为函数的值域和函数相同，可得，解得， 所以实数的取值范围为. （3）解：由函数， 当时，可得，， 且当时，时，取得最小值，此时， 可得，， 所以，得， 所以的最小值为. 19．（23-24高一下·云南昆明·期中）若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数． (1)已知函数，直接判断是否为区间上的增长函数； (2)已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值； (3)如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)是增长函数 (2) (3) 【分析】（1）根据所给定义判断即可； （2）把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解； （3）根据题设条件，写出函数的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求. 【详解】（1）的定义域为，，，， 即，所以为区间上的增长函数； （2）依题意，，恒成立， 即在上恒成立， 整理得在上恒成立， 因为，所以关于的一次函数是增函数， 所以当时，， 所以，解得， 所以正整数的最小值为； （3）由题意可得：当时，， 因为函数是定义域为的奇函数， 所以当时，则， 故， 当时，，， 故为上的增长函数， 所以符合题意； 当时，则可得函数大致图象如图： 易知图象与轴交点为，， 而，， 因为在区间上单调递减，则，不能同在区间上， 所以， 又因为当时，，当时，， 若时，令，则，故，不合题意； 所以，解得且， 若且，则有： 当时，则成立； 当时，则， 可得，，即成立； 当时，则，即成立； 故当且时，符合题意， 综上所述：当时，对均有成立， 故实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：（1）以函数为背景定义的创新试题，认真阅读，分析转化成常规函数解决； （2）分段函数解析式中含参数，相应区间也含有相同的这个参数，要结合函数图象综合考察，并对参数进行分类讨论. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$