第01讲 3.1函数的概念及其表示(8大核心考点）-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学核心题型总结与突破（人教A版2019必修第一册）

第01讲 3.1函数的概念及其表示 目录 题型一：重点考查函数的定义域 1 题型二：重点考查函数的值域（一次函数，二次函数，反比例函数） 2 题型三：重点考查函数的值域（分式型，根式型） 3 题型四：重点考查根据值域求定义域 4 题型五：重点考查利用判别式法求值域（最值） 5 题型六：重点考查求函数解析式 6 题型七：重点考查分段函数 7 题型八：重点考查函数图象识别与画图 8 题型一：重点考查函数的定义域 典型例题 例题1．（23-24高二下·河北秦皇岛·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024高一·全国·专题练习）函数f（x）的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ） A．（0，1） B．（﹣∞，﹣1] C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1） 例题3．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知的定义域为，求的定义域； （2）若函数的定义域为，求的定义域． 精练核心考点 1．（2024高三·全国·专题练习）函数定义域为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河南·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 题型二：重点考查函数的值域（一次函数，二次函数，反比例函数） 典型例题 例题1．（多选）（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）下列函数中，值域为R的是（    ） A． B．   C． D． 例题2．（24-25高一上·上海·假期作业）求值域： (1)， (2)， 精练核心考点 1．（23-24高一上·北京·期中）给出下列4个函数：① ；② ；③ ﹔④ ．其中值域为的函数有 （写出所有正确的序号） 2．（23-24高一上·全国·课后作业）（1）函数的值域是 ； （2）函数的值域是 . 题型三：重点考查函数的值域（分式型，根式型） 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的值域为（    ）． A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·河北邯郸·期中）（1）求当时，的值域. （2）已知，求函数 的最小值. 例题3．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）求下列函数的值域 (1)； (2). 精练核心考点 1．（23-24高一上·浙江宁波·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·单元测试）求下列函数的值域： (1)； (2)． 3．（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）求下列函数的值城 (1)y＝ (2) 题型四：重点考查根据值域求定义域 典型例题 例题1．（多选）（23-24高一上·山西·期中）已知函数的值域为，则的定义域可能为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·河南开封·期末）已知函数 的值域为，则的定义域可以是 例题3．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知一个函数的解析式为，它的值域为，则这样的函数共有 个. 精练核心考点 1．（多选）（23-24高一上·广东深圳·期中）已知定义域为D的函数其值域为，则定义域D可能是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数的值域是，则它的定义域可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏连云港·期中）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有 个. 题型五：重点考查利用判别式法求值域（最值） 典型例题 例题1．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．0 例题2．（23-24高一上·重庆渝中·期中）若，，则当 时，取得最大值，该最大值为 . 例题3．（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）函数的值域是 . 精练核心考点 1．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知正实数满足则的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江宁波·期中）函数的值域是 ． 3．（23-24高一·全国·单元测试）函数 的值域 题型六：重点考查求函数解析式 典型例题 例题1．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知，则的解析式是（   ）. A． B． C． D． 例题2．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）已知函数满足，则 . 例题3．（23-24高一上·云南昭通·阶段练习）（1）若二次函数满足，且图象过原点，求的解析式; （2）已知是一次函数，且满足，求的解析式. 精练核心考点 1．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知定义在上的函数满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）已知函数，则 . 3．（23-24高一上·江苏连云港·期中）（1）已知是二次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求函数的解析式. 题型七：重点考查分段函数 典型例题 例题1．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数那么的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 例题2．（22-23高一上·广东湛江·期中）已知函数，若，则a的值是 ． 例题3．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知，若，则实数a的取值范围是 ． 精练核心考点 1．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知函数若，则的值为（    ） A． B．或2 C．或2 D．或 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的值域为 ． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最大值是 ． 题型八：重点考查函数图象识别与画图 典型例题 例题1．（23-24高二下·吉林长春·期末）函数的图像为（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数 (1)在坐标系中作出函数的图象； (2)若时函数值等于，求a的取值集合． 例题3．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知函数. (1)画出函数的图象； (2)当时，求实数的取值范围， 精练核心考点 1．（23-24高一下·广东茂名·期末）已知函数，则的大致图象为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）画出函数的大致图象． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）作出下列函数的草图． (1)； (2)； (3)； (4)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 3.1函数的概念及其表示 目录 题型一：重点考查函数的定义域 1 题型二：重点考查函数的值域（一次函数，二次函数，反比例函数） 3 题型三：重点考查函数的值域（分式型，根式型） 5 题型四：重点考查根据值域求定义域 9 题型五：重点考查利用判别式法求值域（最值） 11 题型六：重点考查求函数解析式 14 题型七：重点考查分段函数 17 题型八：重点考查函数图象识别与画图 19 题型一：重点考查函数的定义域 典型例题 例题1．（23-24高二下·河北秦皇岛·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数形式得到，解出即可. 【详解】由题意得，解得， 则其定义域为. 故选：A. 例题2．（2024高一·全国·专题练习）函数f（x）的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ） A．（0，1） B．（﹣∞，﹣1] C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1） 【答案】B 【分析】问题转化为恒成立，则，求解即可 【详解】f（x）的定义域是R，则恒成立， 即恒成立，则，解得， 所以实数m的取值范围为. 故选：B. 例题3．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知的定义域为，求的定义域； （2）若函数的定义域为，求的定义域． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由的定义域，要求的定义域，解不等式组即可； （2）由的定义域为，可得，则要求的定义域，解不等式组即可. 【详解】（1）∵的定义域为，∴要求的定义域， 即解不等式组，解得或， 故的定义域为． （2）∵的定义域为，∴， 则，即的定义域为， ∴要求的定义域，即解不等式组， 解得，故的定义域为． 精练核心考点 1．（2024高三·全国·专题练习）函数定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据具体函数的解析式列不等式，解不等式可得解. 【详解】由题知，解得， 所以函数的定义域为， 故选：C. 2．（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知的解集为R，分，两种情况讨论，即可求解. 【详解】函数的定义域为R，可知的解集为R， 若，则不等式为恒成立，满足题意； 若，则，解得． 综上可知，实数k的取值范围是． 故选：B． 3．（23-24高一上·河南·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域求出的定义域，然后求解的定义域即可. 【详解】因为函数的定义域是，所以，所以， 所以的定义域是，故对于函数，有，解得， 从而函数的定义域是. 故选：A. 题型二：重点考查函数的值域（一次函数，二次函数，反比例函数） 典型例题 例题1．（多选）（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）下列函数中，值域为R的是（    ） A． B．   C． D． 【答案】AC 【分析】对每个函数求值域即可． 【详解】和的值域都为R； 的值域为； 的值域为 ． 故选：AC． 例题2．（24-25高一上·上海·假期作业）求值域： (1)， (2)， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过配方，由二次函数的值域即可求解； （2）根据题意，由二次函数的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为， 所以函数的值域为. （2）因为，其中对称轴为，且， 则时，函数有最小值为， 当时，函数有最大值为， 所以函数值域为. 精练核心考点 1．（23-24高一上·北京·期中）给出下列4个函数：① ；② ；③ ﹔④ ．其中值域为的函数有 （写出所有正确的序号） 【答案】②④ 【分析】直接求各函数的值域即可判定. 【详解】由一次函数的性质可知①的值域为R； 由二次函数的性质可知，即其值域为； 由反比例函数的性质可知③的值域为； 由分段函数的性质及绝对值的意义可知，即其值域为； 综上可知：②④正确. 故答案为：②④ 2．（23-24高一上·全国·课后作业）（1）函数的值域是 ； （2）函数的值域是 . 【答案】 【分析】（1）利用不等式的性质即可得解； （2）利用配方法即可得解. 【详解】（1）， ，， 的值域为， （2）， 的值域为. 题型三：重点考查函数的值域（分式型，根式型） 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的值域为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得，再代入运算即可. 【详解】由，得， 所以． 故选：C. 例题2．（23-24高一上·河北邯郸·期中）（1）求当时，的值域. （2）已知，求函数 的最小值. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据题意化简得，结合基本不等式，即可得到结果； （2）根据题意，将函数化简变形为，再结合基本不等式，即可得到结果. 【详解】（1）， 当且仅当时等号成立，则函数值域为. （2）因为， ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最小值为，此时. 例题3．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）求下列函数的值域 (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法和二次函数的性质求值域； （2）利用换元法和基本不等式求值域. 【详解】（1）令，则，， 当时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）令，则，， 当时，； 当时，，因为，当且仅当，时等号成立，所以， 所以函数的值域为. 精练核心考点 1．（23-24高一上·浙江宁波·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知得，平方化简得，则，解不等式组可求得结果. 【详解】由，得或，则函数定义域为， 由，得， 所以，得， 显然，所以， 所以， 由，得， 所以，所以， ，解得或， 由，得，，解得， 由，得，，解得， 综上，或， 所以函数的值域为， 故选：D 2．（24-25高一上·上海·单元测试）求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用换元法将函数表示成，需要注意确定参数的取值范围，再利用基本不等式求解范围； （2）利用换元法及配方法将函数表示成，利用二次函数的性质求值域即可． 【详解】（1）解：设，则， 因为，所以， 所以． 因为，所以， 故函数的值域为． （2）解：设，则，， 所以， 显然的最大值是4， 所以函数的值域为． 3．（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）求下列函数的值城 (1)y＝ (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二次函数性质得分母范围，再求原函数的值域， （2）设，得到，利用二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）∵， 则，即原函数值域为， （2）设，则且，得． 因为，所以，即该函数的值域为． 题型四：重点考查根据值域求定义域 典型例题 例题1．（多选）（23-24高一上·山西·期中）已知函数的值域为，则的定义域可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据函数的值域为结合二次函数的对称性可求出相应的定义域， 【详解】令，解得， 令，解得， 根据的图象关于轴对称的性质， 可得的定义域可能为，或，故B、C、D正确. 故选：BCD. 例题2．（23-24高一上·河南开封·期末）已知函数 的值域为，则的定义域可以是 【答案】（答案不唯一） 【分析】解分式不等式得到范围，写出符合题意的定义域即可. 【详解】令，解得或， 则的定义域可以是， 故答案为：（答案不唯一）. 例题3．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知一个函数的解析式为，它的值域为，则这样的函数共有 个. 【答案】9 【分析】根据值域得的取值情况，列举可得答案. 【详解】一个函数的解析式为，它的值域为， 则必取，至少取一个，至少取一个， 这样函数的定义域可为共9 个， 则这样的函数共有个. 故答案为：. 精练核心考点 1．（多选）（23-24高一上·广东深圳·期中）已知定义域为D的函数其值域为，则定义域D可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先作出函数图象；再利用数形结合思想，注意区间端点，即可得出答案. 【详解】先作出函数在R上的图象，如图所示：    结合函数图象可知当函数值域为时，选项A、D正确. 故选：AD. 2．（多选）（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数的值域是，则它的定义域可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对四个选项依次求解相应的值域，得到答案. 【详解】A选项，当时，，故，A错误； B选项，当时，，故，B正确； C选项，当时，，故，C正确； D选项，当时，，故，D正确. 故选：BCD 3．（23-24高一上·江苏连云港·期中）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有 个. 【答案】 【分析】求出使得函数的值域为的定义域的个数，即可得解. 【详解】由，可得；由，可得； 由，可得. 所以，使得函数的值域为的定义域中至少含、中的一个， 至少含、中的一个，至少含、中的一个， 而、的放法种数等价于集合的非空子集个数，即、的放法种数为种， 同理可知，、的放法种数为，、的放法种数为， 因此，数解析式为，值域为的“同族函数”共有个. 故答案为：. 题型五：重点考查利用判别式法求值域（最值） 典型例题 例题1．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】D 【分析】将已知转化为关于的二次方程，根据，可求得最值. 【详解】根据题意， 若方程有解，则， 即， 所以， 当时，，此时，即， 也就是说当且仅当时，. 故选：D 例题2．（23-24高一上·重庆渝中·期中）若，，则当 时，取得最大值，该最大值为 . 【答案】 / / 【分析】令，则，代入整理得到，利用求出最值及此时的值. 【详解】令，则， 则， 即， 由，解得：， 故， 故，解得：，， 所以当且仅当，时，等号成立， 故答案为：， 例题3．（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）函数的值域是 . 【答案】 【分析】将函数式转化为方程，即该方程在上有解，讨论、，结合判别式法即可求值域 【详解】解：， 令，所以，整理得 所以关于的方程有实数解， 当时，原式为，解得，满足； 当时，所以，整理得， 解得， 此时，且， ∴综上，函数的值域为， 故答案为： 精练核心考点 1．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知正实数满足则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，代入已知等式，化为关于x的方程，由判别式非负，解得t的最大值. 【详解】设，则， 因为， 所以，即：， 所以， 解得：， 又因为，为正实数， 所以， 所以的最大值为. 故选：C. 2．（23-24高一上·浙江宁波·期中）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】利用判别式法即可求出函数的值域. 【详解】由题知函数的定义域为， 所以，将整理得， 所以，当时，； 当时，，解得， 所以，，即函数的值域是 故答案为： 3．（23-24高一·全国·单元测试）函数 的值域 【答案】 【分析】利用判别式法即可求得值域. 【详解】原函数可化为   ①时，方程不成立； ②时，由得，解得. 综上： 故函数值域为：. 题型六：重点考查求函数解析式 典型例题 例题1．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知，则的解析式是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法求出函数的解析式. 【详解】令，则，而，于是， 因此， 所以的解析式是. 故选：A 例题2．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）已知函数满足，则 . 【答案】 【分析】利用解方程组法和换元法即可求解. 【详解】由①， 得②， 由①②得，则， 令，则， 所以， 故. 故答案为：. 例题3．（23-24高一上·云南昭通·阶段练习）（1）若二次函数满足，且图象过原点，求的解析式; （2）已知是一次函数，且满足，求的解析式. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据待定系数法即可求解， （2）根据待定系数法即可求解. 【详解】解：（1）设 , , 且图象过原点, 解得 （2）设 ， 则, , 即 不论为何值都成立, 解得 精练核心考点 1．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知定义在上的函数满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可知，与已知的式子联立方程组可求出，从而可求出的值. 【详解】因为定义在上的函数满足， 所以，所以， 所以，解得， 所以， 故选：D 2．（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）已知函数，则 . 【答案】 【分析】利用换元法，结合已知函数解析式，即可求得. 【详解】令，则， 于是有，所以. 故答案为： 3．（23-24高一上·江苏连云港·期中）（1）已知是二次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求函数的解析式. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）设二次函数解析式，将分别代入化简计算，再用恒等思想既可计算得出结论； （2）用换元法，令代入计算即可. 【详解】（1）设 ， 则有： ， 所以 ， 所以 ， 所以 . （2） 令 ，则 ， 所以， 所以的解析式为. 题型七：重点考查分段函数 典型例题 例题1．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数那么的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】先计算，从而，由此能求出结果. 【详解】解：函数， ， . 故选：A. 例题2．（22-23高一上·广东湛江·期中）已知函数，若，则a的值是 ． 【答案】或4 【分析】利用分类讨论，分和两种情况，分别表示出，求解即可． 【详解】因为函数， 当时，，解得， 当时，，解得． 综上所述，a的值是或4． 故答案为：或4. 例题3．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知，若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分情况讨论，解出不等式即可． 【详解】当时，，解得； 当时，，解得； 综上所得， a的取值范围是. 故答案为：． 精练核心考点 1．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知函数若，则的值为（    ） A． B．或2 C．或2 D．或 【答案】C 【分析】分与两段讨论，分别建立方程求解即可. 【详解】①当时，由，解得， 其中不满足题意，故； ②当时，由，解得，满足，故； 综上所述，则的值为或. 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性可得值域. 【详解】当时，单调递增，此时， 当时，单调递减，此时， 综上所述， 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最大值是 ． 【答案】4 【分析】根据分段函数的性质，求出每段函数取值规律，即可求出最大值. 【详解】当时，，此时函数单调递增，则最大值为4； 当时，，此时函数单调递减，则； 故函数的最大值为4. 故答案为：4 题型八：重点考查函数图象识别与画图 典型例题 例题1．（23-24高二下·吉林长春·期末）函数的图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为， 且， 函数为奇函数，A选项错误； 当时， ，函数单调递增，故BC选项错误. 故选：D. 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数 (1)在坐标系中作出函数的图象； (2)若时函数值等于，求a的取值集合． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）直接根据函数解析式得出函数性质，作图即可. （2）根据分段函数性质对分类讨论，列出方程即可求解. 【详解】（1）函数的图象如下图所示： （2）当时，，可得：； 当时，，可得：； 当时，，可得； 综上所述，a的取值构成集合为. 例题3．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知函数. (1)画出函数的图象； (2)当时，求实数的取值范围， 【答案】(1)作图见解析； (2) 【分析】（1）根据函数解析式直接画出函数图象； （2）结合函数解析式分段得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）因为，所以的图象如图所示： （2）由题可得或或， 解得或或， 所以实数的取值范围为 精练核心考点 1．（23-24高一下·广东茂名·期末）已知函数，则的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断在上变化情况可得答案. 【详解】因为函数定义域为R，， 所以为奇函数，则其图象关于原点对称，所以排除A， 当时，，所以排除D， 因为由幂函数的性质可知当时，在直线的上方， 所以排除B， 故选：C 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）画出函数的大致图象． 【答案】作图见解析 【分析】根据绝对值性质去绝对值，再根据二次函数图象画出图象即可. 【详解】由题意知， 结合二次函数性质，函数图象如下： 3．（24-25高一上·全国·课前预习）作出下列函数的草图． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】（1）根据函数式列表，描点，连线； （2）根据函数式列表，描点，连线； （3）根据函数式列表，描点，连线； （4）根据函数式在第象限内列表，描点，连线，然后结合对称性得函数图象． 【详解】（1）列表： 0 1 1 描点，连线：    （2）列表： 0 1 2 3 3 0 0 3 描点，连线：    （3）列表： 0 1 1 0 1 描点，连线：    （4）列表： 1 2 2 1 描点，连线得第一象限内的图象，并作出其关于原点对称的曲线，如图．      学科网（北京）股份有限公司 $$