第2章 轴对称图形知识归纳与题型突破（单元复习 12类题型清单）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（苏科版）

第2章 轴对称图形知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形 如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.这时,我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称. 2.轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称,这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 3.轴对称与轴对称图形的区别和联系 关系 名称 轴对称 轴对称图形 区 别 意义不同 两个图形之间的对称关系 具有特殊形状的图形 对象不同 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 在两个图形之间 过图形的某条直线 对称轴的数量不同 只有一条 不一定只有一条 联系 (1)沿对称轴折叠 ,两个图形重合; (2)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 (1)沿对称轴折叠,图形的两部分重合; (2)如果把轴对称图形的两部分看作两个图形,那么这两个图形成轴对称 二、轴对称的性质 轴对称图形具有以下的性质： （1）成轴对称的两个图形全等； （2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线； 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 这样就得到了以下性质： 1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 2.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3.线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。 4.对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。 轴对称图形性质的应用： 可以通过对称轴的一边从而画出另一边。可以通过画对称轴得出的两个图形全等。 扩展到轴对称的应用以及函数图像的意义。 三、设计轴对称图案 几何图形都可以看作由点组成.对于某些图形,只要画出图形中的- -些特殊点(如线段端点)的对称点,连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形. 画轴对称图形的步骤简单归纳如下: (1)找一 在原图形上找特殊点(如线段的端点); (2)画一画 各个特殊点关于对称轴的对称点;(3)连一依次连接各对称点. 如果两个图形成轴对称,其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此,我们只要找到一对对应点,作出连接它们的线段的垂直平分线,就可以得到这两个图形的对称轴. 同样,对于轴对称图形,只要找到任意一-组对应点,作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴. 在轴对称图形(包括关于某直线对称的两个图形)中,对称轴两边的图形是全等形,它们的对应边相等,对应角相等,对称点的连线被对称轴垂直平分.解决实际问题,需分析实际情况,再解答.如镜子中的图形与实际图形左.右对称,水中倒影与实际图形上、下对称. 四、线段、角的轴对称性 由于线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等,角平分线上的点到角的两边的距离相等，因此可利用此性质解决距离相等的问题，解题时应注意两者的区别. 利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,可解决实际问题,如确定位置问题，主要运用了作线段垂直平分线解决问题的方法,因此,对现实生活中的问题要注意与数学的联系. 利用垂直平分线的性质可以解决生活中由同一点到几个不同地点距离相等的问题. 1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 2.角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴. 角平分线上的点到角两边的距离相等. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 五、等腰三角形的轴对称性 1.等腰三角形的有关定义 有两边相等的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角. (1)顶角是 直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形. (2)等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底，还是腰，角没有明确是顶角还是底角,需要分类讨论. 2.等腰三角形的性质 (1)性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). 应用模式:在△ABC中, :AB=AC.∠B=∠C. ①这是等腰三角形的重要性质,它是证明角相等常用的方法,它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便.②应用这个性质时,必须在同-一个三角形中. 3.等腰三角形的判定 (1)有两边相等的三角形是等腰三角形. (2)如果-一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边").“等角对等边"是证明一个三角形是等腰三角形的常用方法. 4.等边三角形的性质 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 5.等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 03 题型归纳 题型一　轴对称图形的识别 例题：（2024·浙江宁波·模拟预测）以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（    ）． A． B． C． D． 巩固训练 1．（22-23八年级上·四川阿坝·期末）在以下关于体育运动的图标中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东潍坊·模拟预测）潍坊是中国乃至世界剪纸艺术的重要发源地之一．潍坊的剪纸艺术被列入联合国教科文组织的非物质文化遗产名录，以其精美的构图和精细的剪刀技巧而闻名．下面出自潍坊地区的四幅剪纸图片中是轴对称图形的是（     ） A． B．C． D． 题型二　根据成轴对称图形的特征进行判断 例题：（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 巩固训练 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，和关于直线l对称，点P为直线l上一点，则下列说法中错误的是（ ）    A． B．l垂直平分 C． D． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，与关于直线对称，P为上任一点（，P，不共线），下列结论中不正确的是（   ） A． B．垂直平分线段 C．与面积相等 D．直线，的交点不一定在直线上 3．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．垂直平分 题型三　根据成轴对称图形的特征进行求解 例题：如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点 ，的对应角是 ； (2)若，，则的长为 ； (3)若，，求的度数． 巩固训练 1．（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，与关于直线对称，其中，，，． (1)线段与的关系是什么？ (2)求的度数； (3)求的周长 2．（23-24八年级上·新疆昌吉·期末）已知点在内．如图1，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接、，． (1)若，求的度数 (2)如图2，若，当的周长最小值为6时，求的度数． 3．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知点P在内．    (1)如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接． ①若，则是什么特殊三角形？为什么？ ②若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值． 题型四　设计或画轴对称图案 例题：（23-24七年级下·甘肃白银·期末）在的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中按要求再涂黑一个（或两个）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图形．       A．涂黑一个         B．涂黑一个          C．涂黑两个 巩固训练 1．（23-24九年级上·甘肃平凉·期末）如图所示， (1)观察图①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征： (2)借助图⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所给出的两个共同特征．（注意：新图案与图①～④的图案不能重合） 2．（23-24八年级上·吉林四平·期中）下列正方形网格图中，部分方格涂上了阴影，请按照不同要求作图． 如图①，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有两条对称轴． 如图②，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有四条对称轴． 3．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，每个图中均已将两个小正方形涂色，请你按要求对各图中剩下的空白小正方形进行涂色： (1)在图1中选择一个空白小正方形涂色，使涂色部分成为轴对称图形，共有___种选法； (2)在图2中选择两个空白小正方形涂色，使涂色部分成为只有一条对称轴的轴对称图形； (3)在图3中选择两个空白小正方形涂色，使涂色部分成为有两条对称轴的轴对称图形； (4)在图4中选择三个空白小正方形涂色，使涂色部分成为轴对称图形． 题型五　利用线段的垂直平分线性质求解 例题：（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）在中，，，现分别以点和点为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，分别交和于点和，连接，则的周长为 巩固训练 1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，中，的垂直平分线交于点E，若的周长14，的周长24，则 ．    2．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，边的垂直平分线，分别交，于点D，E两点，连接，，，则的度数是 ． 3．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线分别交于点E、F，，则的周长为 ． 题型六　线段的垂直平分线的判定 例题：如图，已知，点P为的平分线上一点，，，垂足分别为E、F (1)求证∶ (2)若，求证：点P在的垂直平分线上． 巩固训练 1．如图，为平分线上一点，于，于．    (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 2．如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)求证：垂直平分； (2)若的面积是4，则 ． 题型七　利用角的平分线性质求解 例题：（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，平分，于点，连接，若，，则的面积是 ．    巩固训练 1．（23-24八年级下·福建三明·期末）如图，在中，，平分，，则点D到边的距离是 ．    2．（2024·重庆·三模）如图，四边形中，平分，于点E，，则的长为 ．    3．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，则 ． 题型八　角平分线的判定 例题：（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图，于E，于F，若．    (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 巩固训练 1．（22-23八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知是外角的平分线，交的延长线于点交的延长线于点，求证：点在的平分线上． 2．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示，，在两边上且，是内部的一条射线且于点， (1)求证平分； (2)分别作和的平分线，相交于，求证P同时也在的平分线上． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，在中，的平分线与的邻补角的平分线交于点，于点，于点． (1)若，求点到直线的距离． (2)求证：点在的平分线上． 题型九　利用等腰三角形的定义求解 例题：等腰三角形一边长等于2，一边长等于3，则它的周长是（     ） A．5 B．7 C．8 D．7或8 巩固训练 1．在等腰△ABC中，∠A＝70°，则∠C的度数不可能是（     ） A．40° B．55° C．65° D．70° 2．已知等腰三角形一边长为4，周长为10，则另两边长分别为（       ） A．4，2 B．3，3 C．4，2或3，3 D．以上都不对 题型十　根据等腰三角形中三线合一求解 例题：如图，中，，于点D，，若，则的度数为 _____． 巩固训练 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分，点E在边上，且．若，则的大小为 ． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，已知，点M，N在边上，．若，则的长为 ． 3．（23-24八年级上·四川泸州·开学考试）如图，在等边中，，是延长线上一点，且，是上一点，且，则的长为 ． 题型十一　等腰三角形的性质与判定 例题：如图，已知在四边形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝BE，CE⊥BD，垂足为E． (1)求证：BD＝BC； (2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数． 巩固训练 1．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE． (1)求证：AC＝CD； (2)若AC＝AE，求∠ACB的度数． 2．如图，△ABC中，∠B＝∠C＝50°．点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E． (1)当∠BAD＝20°时，∠EDC＝ °； (2)当∠BAD＝____°时，△ABD ≌△DCE？请说明理由； (3)△ADE能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出∠BAD的度数；若不能，请说明理由． 题型十二　等边三角形的性质与判定 例题：如图，是上一点，点，分别在两侧，，且，． (1)求证； (2)连接，若，，求的长． 巩固训练 1．如图，在△ABC中，∠BAC=∠B=60°，D点为BC的中点，AB=4，则BD=__． 2．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． (1)求证：△OCD是等边三角形； (2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； (3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 轴对称图形知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形 如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.这时,我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称. 2.轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称,这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 3.轴对称与轴对称图形的区别和联系 关系 名称 轴对称 轴对称图形 区 别 意义不同 两个图形之间的对称关系 具有特殊形状的图形 对象不同 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 在两个图形之间 过图形的某条直线 对称轴的数量不同 只有一条 不一定只有一条 联系 (1)沿对称轴折叠 ,两个图形重合; (2)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 (1)沿对称轴折叠,图形的两部分重合; (2)如果把轴对称图形的两部分看作两个图形,那么这两个图形成轴对称 二、轴对称的性质 轴对称图形具有以下的性质： （1）成轴对称的两个图形全等； （2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线； 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 这样就得到了以下性质： 1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 2.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3.线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。 4.对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。 轴对称图形性质的应用： 可以通过对称轴的一边从而画出另一边。可以通过画对称轴得出的两个图形全等。 扩展到轴对称的应用以及函数图像的意义。 三、设计轴对称图案 几何图形都可以看作由点组成.对于某些图形,只要画出图形中的- -些特殊点(如线段端点)的对称点,连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形. 画轴对称图形的步骤简单归纳如下: (1)找一 在原图形上找特殊点(如线段的端点); (2)画一画 各个特殊点关于对称轴的对称点;(3)连一依次连接各对称点. 如果两个图形成轴对称,其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此,我们只要找到一对对应点,作出连接它们的线段的垂直平分线,就可以得到这两个图形的对称轴. 同样,对于轴对称图形,只要找到任意一-组对应点,作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴. 在轴对称图形(包括关于某直线对称的两个图形)中,对称轴两边的图形是全等形,它们的对应边相等,对应角相等,对称点的连线被对称轴垂直平分.解决实际问题,需分析实际情况,再解答.如镜子中的图形与实际图形左.右对称,水中倒影与实际图形上、下对称. 四、线段、角的轴对称性 由于线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等,角平分线上的点到角的两边的距离相等，因此可利用此性质解决距离相等的问题，解题时应注意两者的区别. 利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,可解决实际问题,如确定位置问题，主要运用了作线段垂直平分线解决问题的方法,因此,对现实生活中的问题要注意与数学的联系. 利用垂直平分线的性质可以解决生活中由同一点到几个不同地点距离相等的问题. 1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 2.角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴. 角平分线上的点到角两边的距离相等. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 五、等腰三角形的轴对称性 1.等腰三角形的有关定义 有两边相等的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角. (1)顶角是 直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形. (2)等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底，还是腰，角没有明确是顶角还是底角,需要分类讨论. 2.等腰三角形的性质 (1)性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). 应用模式:在△ABC中, :AB=AC.∠B=∠C. ①这是等腰三角形的重要性质,它是证明角相等常用的方法,它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便.②应用这个性质时,必须在同-一个三角形中. 3.等腰三角形的判定 (1)有两边相等的三角形是等腰三角形. (2)如果-一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边").“等角对等边"是证明一个三角形是等腰三角形的常用方法. 4.等边三角形的性质 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 5.等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 03 题型归纳 题型一　轴对称图形的识别 例题：（2024·浙江宁波·模拟预测）以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形，即可判断，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，不符合题意； 、不是轴对称图形，不符合题意； 、是轴对称图形，符合题意； 、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：． 巩固训练 1．（22-23八年级上·四川阿坝·期末）在以下关于体育运动的图标中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、图标不属于轴对称图形，故此选项不符合题意； B、图标不属于轴对称图形，故此选项不符合题意； C、图标不属于轴对称图形，故此选项不符合题意； D、图标属于轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了轴对称图形，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的美术字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的美术字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 3．（2024·山东潍坊·模拟预测）潍坊是中国乃至世界剪纸艺术的重要发源地之一．潍坊的剪纸艺术被列入联合国教科文组织的非物质文化遗产名录，以其精美的构图和精细的剪刀技巧而闻名．下面出自潍坊地区的四幅剪纸图片中是轴对称图形的是（     ） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据定义，仔细观察图形即可解题． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 题型二　根据成轴对称图形的特征进行判断 例题：（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键． 根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可． 【详解】解：和关于直线对称， ∴，故①正确， 和关于直线对称，点D与点关于直线对称的对称点， ∴，故②正确； 和关于直线对称， 线段、、被直线垂直平分， 直线垂直平分，故③正确； 和关于直线对称， 线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误， ∴正确的有①②③， 故选：A． 巩固训练 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，和关于直线l对称，点P为直线l上一点，则下列说法中错误的是（ ）    A． B．l垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由轴对称的性质可知，，l垂直平分，，， ∴A、B、C正确，故不符合要求；D错误，故符合要求； 故选：D． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，与关于直线对称，P为上任一点（，P，不共线），下列结论中不正确的是（   ） A． B．垂直平分线段 C．与面积相等 D．直线，的交点不一定在直线上 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，掌握轴对称的性质：轴对称图形的对应角相等，对应边相等，轴对称的三角形全等由此面积相等是解题的关键． 【详解】解：与关于直线对称，为上任意一点， 垂直平分， ∴，与面积相等，故A，B，C选项不符合题意； 直线，关于直线对称，因此交点一定在上，故D选项符合题意． 故选：D． 3．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．垂直平分 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上．据此分析即可． 【详解】解：如图是一个轴对称图形，直线是其对称轴， A． ∵与是一组对应边， ∴，故此选项不符合题意； B．∵与是一组对应角， ∴，故此选项不符合题意； C．∵与是一组对应角， ∴平分，故此选项不符合题意； D．∵直线是对称轴， ∴垂直平分，故此选项符合题意． 故选：D． 题型三　根据成轴对称图形的特征进行求解 例题：如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点 ，的对应角是 ； (2)若，，则的长为 ； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)E， (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了轴对称，成轴对称的两个图形的全等性： （1）观察图形可直接得出答案； （2）根据成轴对称的两个图形的全等性可得，根据全等三角形对应边相等即可求解； （3）根据，，推出，根据对称性得到，推出． 【详解】（1）解：∵和关于直线对称， ∴图中点C的对应点是点E，的对应角是； 故答案为：E，． （2）解：∵和关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． （3）解：∵，， ∴， 根据对称性知，， ∴． 巩固训练 1．（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，与关于直线对称，其中，，，． (1)线段与的关系是什么？ (2)求的度数； (3)求的周长 【答案】(1)垂直平分 (2) (3) 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，掌握关于某条直线对称的两个图形全等是解题的关键． （1）利用关于某条直线对称的两个图形的对称点的连线被对称轴垂直平分，得出答案即可； （2）利用关于某条直线对称的三角形全等可以得到对应角相等，得出答案即可； （3）利用关于某条直线对称的三角形全等，对应边相等，计算的周长即可． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴垂直平分； （2）解：∵与关于直线对称， ∴， ∴； （3）解：∵与关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴的周长． 2．（23-24八年级上·新疆昌吉·期末）已知点在内．如图1，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接、，． (1)若，求的度数 (2)如图2，若，当的周长最小值为6时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了轴对称的性质： （1）利用轴对称的性质得，，进而可求解； （2）作点关于对称点，作点关于对称点，连接，，，，根据轴对称的性质得，，，，，，则的周长为，当共线时，的周长有最小值，进而可得，进而可得，进而可求解； 熟练掌握轴对称的性质及准确找到的周长的最小值时的位置是解题的关键． 【详解】（1）解：点关于射线的对称点是， ， 点关于射线的对称点是， ， ， ． （2）作点关于对称点，作点关于对称点，连接，，，，如图： 根据轴对称的性质得：，，，，，， 的周长为， 当共线时，的周长有最小值， ，的周长最小值为6， ， 为等边三角形， ， ． 3．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知点P在内．    (1)如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接． ①若，则是什么特殊三角形？为什么？ ②若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值． 【答案】(1)①是等边三角形，理由见解析；②，理由见解析 (2)的最小值为5． 【分析】（1）①由轴对称的性质可得，，．根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得出是等边三角形；②当时，，G、O、H在同一直线上，由此可得与的数量关系； （2）过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，则的最小值为，由已知条件可得，易得，，由此可得是等边三角形，即可得的长，即的最小值． 【详解】（1）解：①是等边三角形， ∵点P关于对称的点为G， ∴，， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． ②， 当时，， ∴G、O、H在同一直线上，． ∵， ∴； （2）解：过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，    ∴ 最小值为． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵点Q与关于对称， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的最小值为5． 【点睛】本题主要考查了轴对称--最短路线问题，轴对称的性质和等边三角形的判定和性质．熟练掌握轴对称的性质及等边三角形的判定和性质，熟悉“将军饮马”模型是解题的关键． 题型四　设计或画轴对称图案 例题：（23-24七年级下·甘肃白银·期末）在的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中按要求再涂黑一个（或两个）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图形．      A．涂黑一个        B．涂黑一个         C．涂黑两个 【答案】见解析 【分析】本题考查设计轴对称图形，根据轴对称图形的定义，进行作图即可． 【详解】解：答案不唯一，如下： A．涂黑一个，如图所示． B．涂黑一个，如图所示． C．涂黑两个，如图所示． 巩固训练 1．（23-24九年级上·甘肃平凉·期末）如图所示， (1)观察图①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征： (2)借助图⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所给出的两个共同特征．（注意：新图案与图①～④的图案不能重合） 【答案】(1)一、都是轴对称图形；二、阴影部分面积都等于四个小正方形的面积之和 (2)见详解 【分析】本题主要考查从不同图形中寻找共同特征的能力，考查观察能力、抽象概括能力、数学语言表述能力和空间观念； （1）可以从图形的对称性和图形阴影部分的面积来考虑； （2）根据两个特征设计出一个图案即可； 【详解】（1）所给的四个图案具有的共同特征：一都是轴对称图形；二，阴影部分面积都等于四个小正方形的面积之和； （2）同时具备上述两个特征的部分图案如下： 2．（23-24八年级上·吉林四平·期中）下列正方形网格图中，部分方格涂上了阴影，请按照不同要求作图． 如图①，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有两条对称轴． 如图②，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有四条对称轴． 【答案】见解析 【分析】本题考查利用轴对称设计图案． （1）直接利用轴对称图形的性质得出答案； （2）直接利用轴对称图形的性质得出答案． 【详解】所求图形如图所示。 3．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，每个图中均已将两个小正方形涂色，请你按要求对各图中剩下的空白小正方形进行涂色： (1)在图1中选择一个空白小正方形涂色，使涂色部分成为轴对称图形，共有___种选法； (2)在图2中选择两个空白小正方形涂色，使涂色部分成为只有一条对称轴的轴对称图形； (3)在图3中选择两个空白小正方形涂色，使涂色部分成为有两条对称轴的轴对称图形； (4)在图4中选择三个空白小正方形涂色，使涂色部分成为轴对称图形． 【答案】(1)6 (2)见解析（答案不唯一）； (3)见解析（答案不唯一）； (4)见解析（答案不唯一）． 【分析】（1）根据轴对称图形的概念求解找到所有可以添加的位置即可； （2）根据轴对称图形的概念求解即可作出相应图形； （3）根据轴对称图形的概念求解即可作出相应图形； （4）根据轴对称图形的概念求解即可作出相应图形． 【详解】（1）解：如图所示，选择一个空白小正方形涂色，使涂色部分成为轴对称图形，共有6种选法； 故答案为：6 （2）如图所示，    （3）如图所示，    （4）如图所示，    【点睛】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换定义与性质． 题型五　利用线段的垂直平分线性质求解 例题：（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）在中，，，现分别以点和点为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，分别交和于点和，连接，则的周长为 【答案】14 【分析】本题考查的是作图基本作图，线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】解：是线段的垂直平分线， ， 的周长． 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，中，的垂直平分线交于点E，若的周长14，的周长24，则 ．    【答案】5 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质定理．根据线段的垂直平分线的性质可得，，从而得到，然后根据的周长24，求出，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵的周长为14， ∴， ∴的周长是， ∴， ∴． 故答案为：5． 2．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，边的垂直平分线，分别交，于点D，E两点，连接，，，则的度数是 ． 【答案】85 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据线段垂直平分线的性质得出，再根据角的和差关系即可得出，最后根据三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：85． 3．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线分别交于点E、F，，则的周长为 ． 【答案】13 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．直接根据线段垂直平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：的垂直平分线分别交于点E、F， ， ， 的周长为， 故答案为：13． 题型六　线段的垂直平分线的判定 例题：如图，已知，点P为的平分线上一点，，，垂足分别为E、F (1)求证∶ (2)若，求证：点P在的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过证明，即可求证； （2）连接、，通过证明，得到，即可求证． 【详解】（1）证明：∵点P为的平分线上一点 ∴ ∵， ∴ 在和中 ∴ ∴ （2）证明：连接、，如下图： 由（1）可得： 又∵， ∴ ∴ ∴点P在的垂直平分线上 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质． 巩固训练 1．如图，为平分线上一点，于，于．    (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质得到，进而利用证明，即可证明； （2）根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵为平分线上一点，，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴垂直平分． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 2．如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)求证：垂直平分； (2)若的面积是4，则 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的性质得，再由，得，从而证明结论； （2）根据三角形的面积公式，代入计算即可． 【详解】（1）∵是的角平分线，分别是和的高， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 题型七　利用角的平分线性质求解 例题：（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，平分，于点，连接，若，，则的面积是 ．    【答案】18 【分析】此题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟记性质定理是解题的关键： 过点O作于点E，根据平分，，得到，根据面积公式求出三角形的面积． 【详解】解：如图，过点O作于点E，    ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故答案为：18． 巩固训练 1．（23-24八年级下·福建三明·期末）如图，在中，，平分，，则点D到边的距离是 ．    【答案】4 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．过点D作于点E，根据角平分线的性质定理，即可求解． 【详解】解：过点D作于点E，    ∵，平分，， ∴， 即点D到边的距离是4， 故答案为：4． 2．（2024·重庆·三模）如图，四边形中，平分，于点E，，则的长为 ．    【答案】 【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，过点C作交的延长线于点F，证明，则，证明，则，得到，即可得到的长． 【详解】解：过点C作交的延长线于点F，    ∵平分，于点E，于F， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为： 3．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，则 ． 【答案】/46度 【分析】连接，过E作于R，交于Q，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出，，根据全等求出，求出，即可求出答案． 【详解】解：连接，过E作于R，交于Q， ∵是线段的中垂线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意： ① 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ② 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 题型八　角平分线的判定 例题：（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图，于E，于F，若．    (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的判定： （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线的判定定理，即可求证； （2）根据得出，再由线段的和差关系求出答案，即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （2）解：在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 巩固训练 1．（22-23八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知是外角的平分线，交的延长线于点交的延长线于点，求证：点在的平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，过点D作，由角平分线的性质可得出，，故可得出，进而可得出结论． 【详解】过点作， 是的平分线，是的平分线，， ， ． 又， 点在的平分线上． 2．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示，，在两边上且，是内部的一条射线且于点， (1)求证平分； (2)分别作和的平分线，相交于，求证P同时也在的平分线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质及，证得，即可得出结论 （2）过P作，，，利用角平分线的点到角两边的距离相等得，再利用角平分线的逆定理即可得结论． 【详解】（1）， ， ， 在和中 ， 平分； （2）如图：过P作，，， ，平分，平分， ，， ， 点P在的平分线上． 平分， 点P在的平分线上． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，在中，的平分线与的邻补角的平分线交于点，于点，于点． (1)若，求点到直线的距离． (2)求证：点在的平分线上． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定； （1）过点作于，如图所示，根据角平分线的性质，即可求解； （2）根据角平分线的性质可得，等了代换得出，进而根据角平分线的判定定理得出点在的平分线上． 【详解】（1）解：过点作于，如图所示． 平分，， ， 即点到直线的距离为． （2）证明：平分，，， ． ， ． 又，， 点在的平分线上． 题型九　利用等腰三角形的定义求解 例题：等腰三角形一边长等于2，一边长等于3，则它的周长是（     ） A．5 B．7 C．8 D．7或8 【答案】D 【解析】 【分析】 题目给出等腰三角形有两条边长为2和3，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】 解：分两种情况： 当腰为2时，2+2＞3，所以能构成三角形，周长是2+2+3=7； 当腰为3时，3+2＞3，所以能构成三角形，周长是：2+3+3=8． 故选：D． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 巩固训练 1．在等腰△ABC中，∠A＝70°，则∠C的度数不可能是（     ） A．40° B．55° C．65° D．70° 【答案】C 【解析】 【分析】 根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理即可求解． 【详解】 解：当∠A＝70°为顶角时，则两底角为：； 当∠A＝70°为底角时，另一个底角为70°，顶角为180°-70°-70°=40° ∴∠C的度数不可能是65°． 故选：C． 【点睛】 本题考查等腰三角形的分类讨论及三角形内角和定理，在不明确所给的角是等腰三角形的什么角时，需分类讨论是解题关键． 2．已知等腰三角形一边长为4，周长为10，则另两边长分别为（       ） A．4，2 B．3，3 C．4，2或3，3 D．以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】 分两种情况讨论：若腰长为4；若底边长为4，即可求解． 【详解】 解：若腰长为4，则底边长为10-4-4=2， 此时另两边长分别为4，2；可以构成三角形，满足题意； 若底边长为4，则腰长为， 此时另两边长分别为3，3；可以构成三角形，满足题意； 综上所述，另两边长分别为4，2或3，3． 故选：C 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键． 题型十　根据等腰三角形中三线合一求解 例题：如图，中，，于点D，，若，则的度数为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】 如图（见详解），根据等腰三角形的三线合一性质，过点A作于点E，可证，即可求出的度数． 【详解】 解：如图，过点A作于点E， ∵AB=AC， ∴E是BC的中点，且AE平分． ∵， ∴BD=BE． 在和中， ， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查等腰三角形的三线合一性质以及直角三角形全等的判定定理，正确运用定理进行判定是解题的关键． 巩固训练 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分，点E在边上，且．若，则的大小为 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的等边对等角的性质，三线合一的性质，以及三角形内角和问题，由等腰三角形的性质和三角形三角和定理分别求出，，由等腰三角形三线合一的性质得出，再根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，已知，点M，N在边上，．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是等腰三角形的性质及含30度角的直角三角形，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质及含30度角的直角三角形． 首先过点P作于点D，利用直角三角形中所对边等于斜边的一半得出的长，再利用等腰三角形的性质求出的长． 【详解】如图，过点P作于点D， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴． 3．（23-24八年级上·四川泸州·开学考试）如图，在等边中，，是延长线上一点，且，是上一点，且，则的长为 ． 【答案】3 【分析】过点作于，先根据含的直角三角形的性质求出，再根据等腰三角形的三线合一性质求出，即可得出．本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含的直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于；如图所示： 则， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， ； 故答案为：3． 题型十一　等腰三角形的性质与判定 例题：如图，已知在四边形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝BE，CE⊥BD，垂足为E． (1)求证：BD＝BC； (2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数． 【答案】(1)见解析； (2)25° 【解析】 【分析】 （1）由AD∥BC得到∠ADB＝∠CBE，∠A＝90°，CE⊥BD，则∠BEC＝∠A＝90°，又由已知AD＝BE，根据ASA可证明△ABD≌△ECB，可得结论； （2）由（1）知BD＝BC，根据等边对等角可求得∠BDC的度数，再根据外角的性质求得∠DCE的度数． (1) 证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBE， ∵∠A＝90°，CE⊥BD， ∴∠BEC＝∠A＝90°， 在△ABD和△ECB中， ， ∴△ABD≌△ECB（ASA）， ∴BD＝CB； (2) 解：∵BD＝CB， ∴△BCD是等腰三角形， ∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣∠DBC）＝（180°﹣50°）＝65°， ∵∠BEC＝∠BDC＋∠DCE＝90°， ∴∠DCE＝90°－∠BDC ＝90°﹣65°＝25°． 【点睛】 此题主要考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，证明△ABD≌△ECB是解题的关键． 巩固训练 1．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE． (1)求证：AC＝CD； (2)若AC＝AE，求∠ACB的度数． 【答案】(1)见解析 (2)∠ACB的度数为22.5° 【解析】 【分析】 （1）利用同角的余角相等得∠ACB＝∠DCE，再根据AAS证明△ABC≌△DEC，即可证明结论； （2）由AC＝CD，知△ACD是等腰直角三角形，得∠CAD＝45°，再根据AC＝AE，得∠ACE（180°﹣∠CAD）（180°﹣45°）＝67.5°，从而得出答案． (1) 证明：∵∠BCE＝∠ACD＝90°， ∴∠ACB＝∠DCE， 在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（AAS）， ∴AC＝CD； (2) 解：由（1）知，AC＝CD， ∵∠ACD＝90°， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴∠CAD＝45°， ∵AC＝AE， ∴∠ACE（180°﹣∠CAD）（180°﹣45°）＝67.5°， ∴∠ACB＝∠BCE﹣∠ACE＝90°﹣67.5°＝22.5°， ∴∠ACB的度数为22.5°． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，证明△ABC≌△DEC是解题的关键． 2．如图，△ABC中，∠B＝∠C＝50°．点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E． (1)当∠BAD＝20°时，∠EDC＝ °； (2)当∠BAD＝____°时，△ABD ≌△DCE？请说明理由； (3)△ADE能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出∠BAD的度数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)20 (2)15，理由见解析 (3)能，∠BAD＝15°或∠BAD＝30°，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）先利用平角的意义求出∠CDE，再用三角形外角的性质求出∠AED，最后用三角形的内角和定理求出∠DAE； （2）利用三角形内角和定理得出∠BAC＝80°，再由三角形外角的性质及等量代换确定∠AED＝∠DAE＝65°，AD＝DE，结合图形利用全等三角形的判定即可证明； （3）先求出∠BAC＝80°，再分三种情况，利用等腰三角形的性质求出∠DAE，即可得出结论． (1) ∵∠BAD＝20°，∠B＝50°， ∴∠ADC＝70°， ∵∠ADE＝50°， ∴∠EDC＝70°﹣50°＝20°， 故答案为：20； (2) 解：∠BAD＝15°时，△ABD ≌△DCE，理由如下： 在△ABC中，∠B＝∠C＝50°， ∴∠BAC＝80°， ∵∠BAD＝15°， ∴∠DAE＝65°， 又∵∠ADE＝50°， ∴∠AED＝∠DAE＝65°， ∴AD＝DE， 在△ABD中， ∠BAD＋∠ADB＝130°， ∵∠CDE＋∠ADB＝180°－∠ADE＝130°， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵∠B＝∠CAD＝DE， ∴△ABD≌△DCE； (3) 能，当∠BAD＝15°或30°时，△ADE能成为等腰三角形． 理由：在△ABC中，∠B＝∠C＝50°， ∴∠BAC＝80°， ①当DA＝DE时， ∵∠ADE＝50°， ∴∠CAD＝（180°﹣∠ADE）＝65°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°， ②当EA＝ED时， ∴∠DAC＝∠ADE＝50°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°， ③当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝50°， ∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝80°，此时，点D与点B重合，不符合题意， 综上所述，当∠BAD＝15°或30°时，△ADE能成为等腰三角形． 【点睛】 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，平角的意义，三角形外角的性质，等腰三角形的性质与判定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 题型十二　等边三角形的性质与判定 例题：如图，是上一点，点，分别在两侧，，且，． (1)求证； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）由平行线的性质，结合条件可证明，即可得出； （2）证明是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案． (1) 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 解： 由（1）知，， 又∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴． ∴的长为． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质、平行线的性质．掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键． 巩固训练 1．如图，在△ABC中，∠BAC=∠B=60°，D点为BC的中点，AB=4，则BD=__． 【答案】2 【解析】 【分析】 根据已知条件证明△ABC是等边三角形，得到BC=AB=4，即可求出BD． 【详解】 解：∵∠BAC=∠B=60°， ∴∠C=∠BAC=∠B=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴BC=AB=4， ∵D点为BC的中点， ∴BD=2， 故答案为：2． 【点睛】 此题考查了等边三角形的判定及性质定理，熟记三个角相等的三角形是等边三角形是解题的关键． 2．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． (1)求证：△OCD是等边三角形； (2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； (3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)△AOD是直角三角形，理由见解析 (3)当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形 【解析】 【分析】 （1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证； （2）根据全等易得∠ADC=∠BOC=α=150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状； （3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可． (1) 证明：∵△BOC≌△ADC， ∴OC=DC， ∵∠OCD=60°， ∴△OCD是等边三角形． (2) △AOD是直角三角形． 理由如下： ∵△OCD是等边三角形， ∴∠ODC=60°， ∵△BOC≌△ADC，α=150°， ∴∠ADC=∠BOC=α=150°， ∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°， ∴△AOD是直角三角形． (3) ∵△OCD是等边三角形， ∴∠COD=∠ODC=60°． ∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α， ∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α， ∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°， ∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α）-（α-60°）=50°． ①当∠AOD=∠ADO时，190°-α=α-60°， ∴α=125°． ②当∠AOD=∠OAD时，190°-α=50°， ∴α=140°． ③当∠ADO=∠OAD时， α-60°=50°， ∴α=110°． 综上所述：当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 【点睛】 题目综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$