第2章 轴对称图形易错训练（单元复习 6类易错）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（苏科版）

第2章 轴对称图形易错训练 01 易错总结 目录 易错题型一　线段的垂直平分线与角平分线的判定定理证明易错 1 易错题型二　求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 9 易错题型三　当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 12 易错题型四　求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 14 易错题型五　求有关直角三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 21 易错题型六　三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 26 02 易错题型 易错题型一　线段的垂直平分线与角平分线的判定定理证明易错 例题：（23-24七年级下·山东威海·期中）如图，在中，D是的垂直平分线上一点，过点D作，垂足为点E，F，．求证：点D在的平分线上．    巩固训练 1．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，连接．求证：平分． 2．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 3．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．    (1)直接写出的度数 ； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的面积． 4．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）【发现】如图1，，为的中点，平分，过点作，垂足为，连接． （1）求证：是的平分线； （2）连接，求证：垂直平分线段； 【拓展】如图2，，和的平分线和相交于点，过点的直线与，分别相交于点，（点，在的同侧）． （3）判断是否为线段的中点，并说明理由； （4）若四边形的面积为16，的面积为2，则的面积是___________． 易错题型二　求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 例题：已知一个等腰三角形的三边长分别为，，，且为腰长．求这个等腰三角形的周长． 巩固训练 1．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（    ） A． B． C．或2 D．或 2．已知是等腰三角形．如果它的两条边长分别为和，那么它的周长是 ． 3．若等腰三角形的三边长分别为，5，，则此等腰三角形的周长可以是 ． 4．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的倍，那么各边的长分别是多少？ (2)能围成有一边长为的等腰三角形吗？ 易错题型三　当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 例题：等腰三角形的一个角的度数是，则它的底角的度数是 ． 巩固训练 1．等腰三角形有一内角为，则这个等腰三角形底角的度数为 ． 2．定义：在一个等腰三角形中，如果一个内角等于另一个内角的两倍，则称该三角形为“倍角等腰三角形”.“倍角等腰三角形”的顶角度数是（    ） A． B．或 C．或 D．或 3．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少，则这个等腰三角形的顶角度数是_____． 4．如图，在中，，，点P在的三边上运动，当为等腰三角形时，顶角的度数是________． 易错题型四　求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 例题：如图，在长方形中，，，点是的中点，点在边上运动，若是腰长为的等腰三角形，则的长为 ． 巩固训练 1．在△ABC中，∠B＝70°，过点A作一条直线，将△ABC分成两个新的三角形．若这两个三角形都是等腰三角形，则∠C的度数为 ． 2．在中，，有一个锐角为，，若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为 ． 3．如图，在中，已知：，，，动点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当为等腰三角形时，的值为 ． 4．已知中，，，若沿射线方向平移m个单位得到，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，若以点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是 ． 易错题型五　求有关直角三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 例题：如图，在中，，，，点P，Q分别是边AB，BC上的一个动点，点P从以每秒3个单位长度的速度运动，同时点Q从以每秒1个单位长度的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为t秒，若为直角三角形，则t的值为 ． 巩固训练 1．在中，，其中一个内角度数是，点D在直线BC边上，连接AD，若为直角三角形，则的度数为 ． 2．如图，是的角平分线，是的高，，，点F为边上一点，当为直角三角形时，则的度数为 ． 3．如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．    易错题型六　三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 例题：等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为 和 两部分,则此三角形的底边长为 (    ) A． B． C．或 D．无法确定 巩固训练 1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个三角形的顶角为（   ） A． B． C． D．或 2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 3．已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为的两部分，则这个等腰三角形的底长为 ． 4．在中，，上的中线把三角形的周长分成和两部分，则底边的长为______． 5．已知中，，在AB边上有一点D，若CD将分为两个等腰三角形，则________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 轴对称图形易错训练 01 易错总结 目录 易错题型一　线段的垂直平分线与角平分线的判定定理证明易错 1 易错题型二　求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 9 易错题型三　当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 12 易错题型四　求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 14 易错题型五　求有关直角三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 21 易错题型六　三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 26 02 易错题型 易错题型一　线段的垂直平分线与角平分线的判定定理证明易错 例题：（23-24七年级下·山东威海·期中）如图，在中，D是的垂直平分线上一点，过点D作，垂足为点E，F，．求证：点D在的平分线上．    【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先证明，可得，再根据角平分线的判定定理求解即可． 【详解】证明：连接，    ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， 平分， ∴点D在的平分线上． 巩固训练 1．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，连接．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】 此题考查了角平分线的性质，理解角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键．过点作于点，于点，先通过计算得出，根据角平分线的性质得，，进而得，据此根据角平分线的性质可得出结论 【详解】证明：如图，过点作于点，于点， ，， ， ， ， ，即为的平分线． 又，， ． 是的平分线， ， ， 点在的平分线上， 平分． 2．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)点O在的垂直平分线上，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键． （1）连接，根据垂直平分线的性质可得，则，根据垂直平分线的判定可证明结论 （2）证明，又由及四边形内角为即可得到的度数． 【详解】（1）点O在的垂直平分线上，理由如下： 连接， ∵边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； （2）∵， ∴， ∵， ∴ 3．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．    (1)直接写出的度数 ； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据邻补角的定义和垂直的定义可得、，进而得到,然后根据即可解答； （2）如图：过点分别作于，与，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、平分、，最后根据角平分线的判定定理即可解答； （3）根据结合已知条件可得，最后运用三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）证明：如图：过点分别作于，与，      ∵平分， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴， ∴平分． （3）解：∵， ∴， 即，解得， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的性质与判定定理、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键． 4．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）【发现】如图1，，为的中点，平分，过点作，垂足为，连接． （1）求证：是的平分线； （2）连接，求证：垂直平分线段； 【拓展】如图2，，和的平分线和相交于点，过点的直线与，分别相交于点，（点，在的同侧）． （3）判断是否为线段的中点，并说明理由； （4）若四边形的面积为16，的面积为2，则的面积是___________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）E为线段的中点，理由见解析；（4）6 【分析】本题主要考查角平分线性质定理与判定定理、线段垂直平分线的性质及全等三角形的判定和性质； （1）由题意得和，根据角平分线的判定定理即可判定； （2）根据题意证得，得，根据线段垂直平分线的性质即可判定； （3）过点E作的垂线，交的延长线于点F，交于点G，有．作于点P，由角平分线的性质可得，证得，即可求证；（4）因为和，有，根据，得到即可． 【详解】证明：（1）∵， ∴． 又∵，平分， ∴． ∵E为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是的平分线； （2）∵平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴点A，E都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分线段； （3）E为线段的中点； 理由：过点E作的垂线，交的延长线于点F，交于点G，如图， ∵， ∴． 作于点P，由角平分线的性质可得． 在与中， ， ∴， ∴， ∴E为线段的中点； （4）在和中， ， ∴， 则 同理可证，则 ∴． 又∵， ∴ ∴， ∴． 易错题型二　求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 例题：已知一个等腰三角形的三边长分别为，，，且为腰长．求这个等腰三角形的周长． 【答案】这个等腰三角形的周长为10． 【分析】因为没有明确指出哪条边是底边哪个是腰，所以要分情况讨论． 【详解】解：①当时，解得， 则这个等腰三角形三条边长分别为3、3、4，能构成三角形， 此时这个等腰三角形的周长为； ②当时，解， 则这个等腰三角形三条边长分别为1、2、1，不能构成三角形（舍去）． 综上所述，这个等腰三角形的周长为10． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；在没有明确给出腰和底边时，要注意和已知条件联系起来分情况讨论进而求解． 巩固训练 1．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（    ） A． B． C．或2 D．或 【答案】D 【分析】分为腰长和底边长，两种情况进行讨论即可． 【详解】解：当为腰长时， ∵等腰的周长为20， ∴的底边长为：， ∴“优美比”为； 当为底边长时， 的腰长为：， ∴“优美比”为； 故选D． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义．熟练掌握等腰三角形的两腰相等，是解题的关键．注意，分类讨论． 2．已知是等腰三角形．如果它的两条边长分别为和，那么它的周长是 ． 【答案】17 【分析】分两种情况讨论：①当等腰三角形的腰长为，底边长为时；②当等腰三角形的腰长为，底边长为时，利用三角形的三边关系分别求解，即可得到答案． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当等腰三角形的腰长为，底边长为时， ， 不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为，底边长为时， ， 能构成三角形， 周长为， 故答案为：17． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 3．若等腰三角形的三边长分别为，5，，则此等腰三角形的周长可以是 ． 【答案】11或13或17 【分析】先根据题中已知等腰三角形的三边的长，而没有指明哪个是腰，哪个是底边，故应该分三种情况进行分析求解即可． 【详解】解：①当是底边时，则腰长为，5， ∴， ∴， 即三角形三边长分别为5，5，7，根据三角形三边关系，可以构成三角形， ∴等腰三角形的周长； ②当5是底边时，则腰长为，， ∴，解得， 即三角形三边长分别为3，3，5，根据三角形三边关系，可以构成三角形， ∴等腰三角形的周长； ③当是底边时，则腰长为5，， ∴，解得， 即三角形三边长分别为5，5，4，根据三角形三边关系，可以构成三角形， ∴等腰三角形的周长． 综上所述，三角形的周长可以是11，14或17． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、解一元一次方程以及三角形三边关系等知识，解题的关键是分类讨论，并用三边关系定理检验． 4．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的倍，那么各边的长分别是多少？ (2)能围成有一边长为的等腰三角形吗？ 【答案】(1) (2)能 【分析】（1）设该等腰三角形的底边长为x，则腰长为，列出方程求解即可； （2）根据三角形三边之间的关系，分两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：设该等腰三角形的底边长为x，则腰长为， ， 解得：， ∴， ∴该三角形的三边长分别为． （2）解：当底边长为时， 腰长为， ∵， ∴能围成底边长为，腰长为时的等腰三角形； 当腰长为时， 底边长为， ∵， ∴不能围成腰长为的等腰三角形； 综上：能围成有一边长为的等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了三角形三边之间的关系，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形两腰相等，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 易错题型三　当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 例题：等腰三角形的一个角的度数是，则它的底角的度数是 ． 【答案】或 【分析】分的角是是底角和顶角的情况分析，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：当的角是底角时，则底角为， 当的角是顶角时，则底角为， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 巩固训练 1．等腰三角形有一内角为，则这个等腰三角形底角的度数为 ． 【答案】或 【分析】由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】分两种情况： 当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数； 当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角度数是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解答此题时要注意的角是顶角和底角两种情况，不要漏解，分类讨论是正确解答本题的关键． 2．定义：在一个等腰三角形中，如果一个内角等于另一个内角的两倍，则称该三角形为“倍角等腰三角形”.“倍角等腰三角形”的顶角度数是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】设等腰三角形的顶角为，则底角为，分两种情况：当顶角为底角的2倍时，当底角为顶角的2倍时，分别列出方程求出x的值即可． 【详解】解：设等腰三角形的顶角为，则底角为， 当顶角为底角的2倍时，， 解得：； 当底角为顶角的2倍时，， 解得：； 综上分析可知，“倍角等腰三角形”的顶角度数是或，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是注意进行分类讨论． 3．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少，则这个等腰三角形的顶角度数是_____． 【答案】或或 【分析】设另一个角是，表示出一个角是，然后分①是顶角，是底角，②是底角，是顶角，③与都是底角根据三角形的内角和等于与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可． 【详解】解：设另一个角是，表示出一个角是， ①是顶角，是底角时，， 解得， 所以，顶角是； ②是底角，是顶角时，， 解得， 所以，顶角是； ③与都是底角时，， 解得， 所以，顶角是； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错． 4．如图，在中，，，点P在的三边上运动，当为等腰三角形时，顶角的度数是________． 【答案】或或 【分析】作出图形，然后分点P在上与上两种情况讨论求解． 【详解】解：①如图1， 点P在上时，，顶角为， ②∵，， ∴， 如图2，点P在上时，若， 顶角为， 如图3，若， 则顶角为， 综上所述，顶角为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，注意要分情况讨论求解． 易错题型四　求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 例题：如图，在长方形中，，，点是的中点，点在边上运动，若是腰长为的等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或或 【分析】根据矩形的性质得出，，求出，画出符合题意的三种情况，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：，为的中点， ， 四边形是矩形，， ，， 有三种情况：，作的垂直平分线，交于， 此时在的垂直平分线上， 即，则， ， 即此种情况不存在； 当时，由勾股定理得：； 当时，有和两种情况，过作于， 由勾股定理得：， 即；， 所以的长是或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理和等腰三角形的性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想． 巩固训练 1．在△ABC中，∠B＝70°，过点A作一条直线，将△ABC分成两个新的三角形．若这两个三角形都是等腰三角形，则∠C的度数为 ． 【答案】20°或27.5°或35° 【分析】分三种情况讨论：①当∠B为等腰三角形的顶角时；②当∠ADB为等腰△ADB的顶角时；③当∠DAB为等腰△ADB的顶角时；综合三种情况即可． 【详解】解：设过点A且将△ABC分成两个等腰三角形的直线交BC于点D，分三种情况讨论． ①当∠B为等腰△ADB的顶角时，如图1， ∵∠BAD＝∠BDA＝×（180°﹣70°）＝55°， 又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC， ∴∠C＝∠ADB＝27.5°； ②当∠ADB为等腰△ADB的顶角时，如图2， ∵AD＝BD，∠B＝70°， ∴∠BAD＝∠B＝70°， ∴∠ADB＝180°﹣70°×2＝40°， 又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC， ∴∠C＝∠ADB＝20°； ③当∠DAB为等腰△ADB的顶角时，如图3， 则∠ADB＝∠B＝70°， 又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC， ∴∠C＝∠ADB＝35°． 故答案为：20°或27.5°或35°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，三角形外角性质等，解题的关键是综合运用这些性质和定理． 2．在中，，有一个锐角为，，若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为 ． 【答案】或9或3 【分析】分∠ABC=60、∠ABC=30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可． 【详解】解：当∠ABC=60°时，则∠BAC=30°， ∴， ∴， 当点P在线段AB上时，如图， ∵， ∴∠BPC=90°，即PC⊥AB， ∴； 当点P在AB的延长线上时， ∵，∠PBC=∠PCB+∠CPB， ∴∠CPB=30°， ∴∠CPB=∠PCB， ∴PB=BC=3， ∴AP=AB+PB=9； 当∠ABC=30°时，则∠BAC=60°，如图， ∴， ∵， ∴∠APC=60°， ∴∠ACP=60°， ∴∠APC=∠PAC=∠ACP， ∴△APC为等边三角形， ∴PA=AC=3． 综上所述，的长为或9或3． 故答案为：或9或3 【点睛】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等边三角形的判定和性质等，分类求解是本题解题的关键． 3．如图，在中，已知：，，，动点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当为等腰三角形时，的值为 ． 【答案】或或 【分析】根据勾股定理先求出的长，再分三类：当时，当时，当时，分别进行讨论即可得到答案． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， 为等腰三角形， 当时，如图所示， ， 则， 即， 当时，如图所示， ， 则， 当时，如图所示，设，则， ， 在中，由勾股定理得： ， 即， 解得， ， 综上所述：的值为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，运用分类讨论的思想是解题的关键． 4．已知中，，，若沿射线方向平移m个单位得到，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，若以点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是 ． 【答案】或或 【分析】分，，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 沿射线方向平移m个单位得到， ∴，， 点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况 ①当时：如图，此时；    ②当时：如图，    则：， 在中，，即：， 解得：； ③当时，如图：    此时， ∵， ∴， ∴； 综上：，或； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查平移的性质，勾股定理，等腰三角形的性质．根据题意，准确的画图，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 易错题型五　求有关直角三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 例题：如图，在中，，，，点P，Q分别是边AB，BC上的一个动点，点P从以每秒3个单位长度的速度运动，同时点Q从以每秒1个单位长度的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为t秒，若为直角三角形，则t的值为 ． 【答案】或或 【分析】先利用直角三角形的性质可得，，再根据点P，Q的运动路径和速度求出的取值范围为，然后分和两种情况，分别利用直角三角形的性质求解即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， ，， 点从点运动到点所需时间为（秒），最后返回到点所需时间为（秒）； 点从点运动到点所需时间为（秒）， 当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动， ， 由题意，分以下两种情况： （1）如图，当时，为直角三角形， ①当时，，，，， 在中，，即， 解得，符合题设； ②当时，， 在中，，即， 解得，不符题设，舍去； （2）如图，当时，为直角三角形， ①当时，，，，， 在中，，即， 解得，符合题设； ②当时，， 在中，，即， 解得，符合题设； 综上，的值是或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识点，正确判断出的取值范围，并分情况讨论是解题关键． 巩固训练 1．在中，，其中一个内角度数是，点D在直线BC边上，连接AD，若为直角三角形，则的度数为 ． 【答案】、或 【分析】根据题意分为若及进行讨论，再利用等腰三角形的性质及直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图1，在中，，若，    点在直线边上，为直角三角形，且当时， ； 如图2，在中，，若， 点在直线边上，为直角三角形，且当时，    ； 如图3，在中，，若，    点在直线边上，为直角三角形，且当时， ； 如图4，在中，，若，    点在直线边上，为直角三角形，且当时， ， ； 故答案为：、或 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答． 2．如图，是的角平分线，是的高，，，点F为边上一点，当为直角三角形时，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】分情况讨论：①当时，②当时，根据角平分线和三角形高线的定义分别求解即可． 【详解】解：如图所示，当时， ∵是的角平分线，， ∴， ∴中，； 如图，当时，    同理可得， ∵， ∴， ∴， 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查角平分线和高线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 3．如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．    【答案】50或25/25或50 【分析】根据三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，当为直角三角形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴ ∵平分 ∴ 当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1，    ∵， ∴； ②当时，如图2，    ∴， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 故答案为：50或25． 【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，熟知“三角形的外角的性质”是解答此题的关键． 易错题型六　三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 例题：等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为 和 两部分,则此三角形的底边长为 (    ) A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据题意作出图形，设，然后分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据等腰三角形的定义和三角形中线的性质得：． 可设， ∴． 由题意得： 或， 解得：或． 当时，即此时等腰三角形的三边为，，， ，符合三角形的三边关系， 此情况成立； 当时，即此时等腰三角形的三边为，，， ，符合三角形的三边关系， 此情况成立． 综上可知这个等腰三角形的底边长是或． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的定义，三角形中线的性质．利用分类讨论的思想是解题关键． 巩固训练 1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个三角形的顶角为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】如图1，三角形是锐角三角时，    ∵， ∴顶角； 如图2，三角形是钝角时，    ∵， ∴顶角， 综上所述，顶角等于或． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观． 2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可． 【详解】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是； ②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是．    故答案为或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，注灵活运用相关性质是解答本题的关键． 3．已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为的两部分，则这个等腰三角形的底长为 ． 【答案】9cm或21cm 【分析】本题可分别设出等腰三角形的腰和底的长，然后根据一腰上的中线所分三角形两部分的周长来联立方程组，进而可求得等腰三角形的底边长．注意此题一定要分为两种情况讨论，最后还要看所求的结果是否满足三角形的三边关系． 【详解】解：设该三角形的腰长是x cm，底边长是y cm． 根据题意得，一腰上的中线将这个三角形的周长分为27 cm和18 cm两部分， ∴或， 解得或， 经检验，都符合三角形的三边关系． 因此这个等腰三角形的腰长为9cm或21cm． 故答案为：9cm或21cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确两部分是哪一部分含有底边，所以一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 4．在中，，上的中线把三角形的周长分成和两部分，则底边的长为______． 【答案】或 【分析】分两种情况：；，可得的长，再由另一部周长即可求得底边的长． 【详解】解：由题意得： ； 当时， 即， ， ， ； 当时， 即， ， ， ； 综上，底边的长为或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，中线的含义，涉及分类讨论． 5．已知中，，在AB边上有一点D，若CD将分为两个等腰三角形，则________． 【答案】100°，70°，40°或者10° 【分析】分BD=CD、BC=CD、BD=BC三种情况讨论即可求解． 【详解】第一种请况：BD=CD时，如图， ∵BD=CD，∠B=20°， ∴∠B=∠DCB=20°， ∴∠ADC=∠B+∠DCB=40°， （1）当DA=DC时，∠A=∠ACD， ∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∠ADC=40°， ∴∠A=∠ACD=70°； （2）当DA=AC时，即有∠ADC=∠ACD=40°， ∴∠A=180°-∠ADC-∠ACD=100°； （3）当CD=CA时，∠A=∠ADC=40°； 第二种请况：BC=CD时，如图， ∵∠B=20°，BC=CD， ∴∠B=∠BDC=20°， ∴∠ADC=180°-∠BDC=160°， ∵△ADC是等腰三角形， ∴有∠A=∠ACD， ∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°， ∴∠A=10°； 第三种情况：BC=BD时，如图， ∵BC=BD， ∴∠BDC=∠BCD， ∵∠B=20°，∠B+∠BCD+∠BDC=180°， ∴∠BCD=∠BDC=80°， ∴∠ADC=180°-∠BDC=100°， ∵△ADC是等腰三角形， ∴有∠A=∠ACD， ∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°， ∴∠A=40°； 综上所述：∠A的度数为：70°，100°，40°，10°， 故答案为：70°，100°，40°，10°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，掌握三角形的性质是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$