全等专训03 灵活选用判定方法证明三角形全等的经典题型-2020-2021学年八年级数学上册计算力提升训练（苏科版）

全等专训03 灵活选用判定方法证明三角形全等的经典题型 1．如图，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD，求证：AE=FC． 【答案】证明见解析. 【解析】由已知条件BE∥DF，可得出∠ABE=∠D，再利用ASA证明△ABE≌△FDC即可． 证明：∵BE∥DF，∴∠ABE=∠D， 在△ABE和△FDC中， ∠ABE=∠D，AB=FD，∠A=∠F ∴△ABE≌△FDC（ASA）， ∴AE=FC． “点睛”此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质等知识点的理解和掌握，此题的关键是利用平行线的性质求证△ABC和△FDC全等． 2．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F，连接AF．求证：AF平分∠BAC． 【答案】证明见解析. 【分析】先根据AB=AC，可得∠ABC=∠ACB，再由垂直，可得90°的角，在△BCE和△BCD中，利用内角和为180°，可分别求∠BCE和∠DBC，利用等量减等量差相等，可得FB=FC，再易证△ABF≌△ACF，从而证出AF平分∠BAC． 【解析】证明：∵AB=AC(已知)， ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). ∵BD、CE分别是高， ∴BD⊥AC,CE⊥AB(高的定义). ∴∠CEB=∠BDC=90°. ∴∠ECB=90°−∠ABC,∠DBC=90°−∠ACB. ∴∠ECB=∠DBC(等量代换). ∴FB=FC(等角对等边)， 在△ABF和△ACF中， ， ∴△ABF≌△ACF(SSS)， ∴∠BAF=∠CAF(全等三角形对应角相等)， ∴AF平分∠BAC. 3．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF. 【答案】见解析 【分析】（1）先求出∠EAC=∠BAF，然后利用“边角边”证明△ABF和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明； （2）根据全等三角形对应角相等可得∠AEC=∠ABF，设AB、CE相交于点D，根据∠AEC+∠ADE=90°可得∠ABF+∠ADM=90°，再根据三角形内角和定理推出∠BMD=90°，从而得证． 【解析】证明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC， ∴∠BAE=∠CAF=90°， ∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC， 即∠EAC=∠BAF， 在△ABF和△AEC中， ∵， ∴△ABF≌△AEC（SAS）， ∴EC=BF； （2）如图，根据（1），△ABF≌△AEC， ∴∠AEC=∠ABF， ∵AE⊥AB， ∴∠BAE=90°， ∴∠AEC+∠ADE=90°， ∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等）， ∴∠ABF+∠BDM=90°， 在△BDM中，∠BMD=180°﹣∠ABF﹣∠BDM=180°﹣90°=90°， 所以EC⊥BF． 4．已知△ABN和△ACM位置如图所示，∠B=∠C，AD=AE，∠1=∠2．求证：∠M=∠N． 【答案】见解析. 【分析】由AAS证得△ABD≌△ACE得出AB=AC，由∠1=∠2，得出∠BAN=∠CAM，由ASA证得△BAN≌△CAM，即可得出结论． 【解析】 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（AAS）， ∴AB=AC， ∵∠1=∠2， ∴∠BAN=∠CAM， 在△BAN和△CAM中， ， ∴△BAN≌△CAM（ASA）， ∴∠M=∠N． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 5．在 ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）如图1所示位置时判断 ADC与 CEB是否全等，并说明理由； （2）如图2所示位置时判断 ADC与 CEB是否全等，并说明理由． 【答案】（1）全等，见解析；（2）全等，见解析 【分析】（1）首先根据同角的余角证明∠DAC＝∠BCE，再利用AAS定理证明△DAC≌△ECB； （2）首先根据同角的余角证明∠DAC＝∠BCE，进而利用HL定理证明△ACD≌△CBE． 【解析】（1）如图1，全等， 理由：∵∠ACB＝90°，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E， ∴∠DAC+∠DCA＝∠BCE+∠DCA， ∴∠DAC＝∠BCE， 在△DAC与△ECB中， ∵ ， ∴△DAC≌△ECB（AAS）； （2）如图2，全等， 理由： ∵∠ACB＝90°，AD⊥MN， ∴∠DAC+∠ACD＝∠ACD+∠BCE， ∴∠DAC＝∠BCE， 在△ACD与△CBE中， ∵ ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及其性质定理的同时，还渗透了对旋转变换的考查；解题的关键是灵活运用全等三角形的判定定理解题． 6．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，B