第2章 轴对称图形（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（苏科版）

第2章 轴对称图形（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．等腰三角形的一个外角是，则顶角是（　　） A． B．或 C． D． 2．下列图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，的周长为6，则的周长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 4．如图，在中，，，点D在边上（如图1），先将沿着翻折，使点A落在点处，交于点E（如图2），再将沿着翻折，点C恰好落在上的点处（如图3），则的度数为（      ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，平分，平分，将平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．10.5 6．如图，在中，交于D，平分交于E，F 为延长线上一点，交的延长线于点M，交的延长线于点 G，的延长线交于点 H，连接，则下列结论∶①；②；③；④若，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．如图，与关于直线l对称，且，，则的度数是 ． 8．如图，在中，，平分，，那么点D到线段的距离是 ． 9．如图，已知在中，点D为斜边的中点，，则 ． 10．有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为12m，则底边上的高是 m． 11．如图，在正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有 种． 12．如图，在中，，，的垂直平分线与相交于点，的垂直平分线与相交于点，则 ． 13．如图，的周长为，分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧交于点D、E，直线与边交于点F，与边交于点G，连接，的周长为，则的长为 ．    14．如图：点P为内一点，分别作出P点关于的对称点，，连接交于M，交于N，，则的周长为 ． 15．如图在中，D为中点，，，交于F，，， 则的长为 ． 16．如图，，C是延长线上一点，，动点M从点C出发沿射线以的速度移动，动点N从点O出发沿射线以的速度移动，如果点M、N同时出发，设运动的时间为，那么当 s时，是等腰三角形． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知等腰三角形的周长为 (1)腰长是底边长的2倍，求腰长； (2)若有一边长为，求其他两边长． 18．如图，在四边形中，，点分别在，上，．    (1)判断该图形是否是轴对称图形 （填“是”或“否”）； (2)求证：． 19．下列四个图都是由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，其中的两个小正方形被涂黑．请在各图中再将两个空白的小正方形涂黑使各图中涂黑部分组成的图形成为轴对称图形(另两个被涂黑的小正方形的位置必须全不相同)，并画出其对称轴．    20．如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 21．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的 (2)线段被直线l ； (3)的面积为 ； (4)在直线l上找一点 P， 使的长最短． 22．如图，和关于直线对称，和的交点在直线上．    (1)若，，求的长； (2)若，，，求的度数； (3)连接和，则和的位置关系，并说明理由． 23．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 24．已知，在直角三角形中，，是上一点，且． (1)如图，求证：； (2)将沿所在直线翻折，A点落在边所在直线上，记为点． 如图，若，求的度数； 若，请直接写出的度数用含的代数式表示． 25．如图，在四边形中，，，平分． (1)如图，若，，则 (2)问题解决：如图，求证：； (3)问题拓展：如图，在等腰中，，平分，求证：． 26．综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在、上分别取点、、、，使得，，连接、，交点为，则射线为的角平分线． 【验证】（1）试说明平分，且； 【应用】（2）如题图2，若、、、分别为、上的点，且，，试用（1）中的原理说明平分； 【猜想】（3）如题图3，是角平分线上一点，、分别为、上的点，且，请补全图形，并直接写出与的数量关系． 27．已知是等边三角形． (1)如图1，点D是边的中点，点P在直线上，若是轴对称图形，则的度数为＿＿． (2)如图2，点D在边上，与的外角平分线交于G，于H，当点D在边上移动时，请判断线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点D在延长线上，连接，E为上一点，，连接交于F，若，则线段的长为＿＿． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 轴对称图形（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．等腰三角形的一个外角是，则顶角是（　　） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的定义，根据三角形外角定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角是， ∴相邻的内角为， ∴顶角是， 故选：． 2．下列图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行分析即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，故此选项符合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 3．如图，在中，，的周长为6，则的周长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的定义及其性质，先判断出是线段的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质得到，进而根据三角形的周长求解即可． 【详解】解：∵， ∴是线段的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为6， ∴， ∴的周长是， 故选：C． 4．如图，在中，，，点D在边上（如图1），先将沿着翻折，使点A落在点处，交于点E（如图2），再将沿着翻折，点C恰好落在上的点处（如图3），则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查翻折后对应角相等，三角形的内角和等于，根据翻折后对应角相等得到，利用已知条件和三角形的内角和等于，建立等量关系可求的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠可得， ∴， 故选B． 5．如图，在中，，平分，平分，将平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．10.5 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角平分线的含义，平移的性质及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握三角形的三条角平分线的交于一点是解题的关键．连接，证明平分，则，由平移得，则，推出，得出，同理可得，的周长，即可得出结果． 【详解】解: 连接，如图所示 平分，平分， 平分， ， 由平移得， ， ， ∴， 同理可得； 的周长， 即图中阴影部分的周长为8； 故选A 6．如图，在中，交于D，平分交于E，F 为延长线上一点，交的延长线于点M，交的延长线于点 G，的延长线交于点 H，连接，则下列结论∶①；②；③；④若，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定，余角的性质等知识，利用余角的性质可判定①、②；利用角平分线的性质可判断③；利用全等三角形的判定可判定④． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 而无法判断， ∴无法判断，故①错误； ∵，， ∴，， ∴，故②正确； ∵平分， ∴E到、的距离相等，设这个距离为 ∴，故③正确； 在和中， ， ∴，故④正确， 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．如图，与关于直线l对称，且，，则的度数是 ． 【答案】/54度 【分析】本题考查轴对称的性质、三角形内角和定理，根据轴对称的性质可得，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由轴对称的性质得，，， ∴， 故答案为：． 8．如图，在中，，平分，，那么点D到线段的距离是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴D到的距离为， ∵平分， ∴D点到线段的距离为． 故答案为：3． 9．如图，已知在中，点D为斜边的中点，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查斜边上的中线，根据斜边上的中线等于斜边的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵在中，点D为斜边的中点， ∴． 故答案是：4． 10．有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为12m，则底边上的高是 m． 【答案】6 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等．作于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点D， 在中，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：6． 11．如图，在正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有 种． 【答案】3 【分析】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，关键是掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：如图所示：将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有3种． 故答案为：3． 12．如图，在中，，，的垂直平分线与相交于点，的垂直平分线与相交于点，则 ． 【答案】/24度 【分析】本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段的垂直平分线等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键． 根据线段的垂直平分线得出，推出，求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵ 的垂直平分线交 于点 ， 的垂直平分线交 于点 ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，的周长为，分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧交于点D、E，直线与边交于点F，与边交于点G，连接，的周长为，则的长为 ．    【答案】/厘米 【分析】本题考查了作图基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：由画图可知： 是的垂直平分线， ，， 的周长为，即， ， 的周长为，即， ， 故答案为：． 14．如图：点P为内一点，分别作出P点关于的对称点，，连接交于M，交于N，，则的周长为 ． 【答案】27 【分析】本题考查轴对称的性质，学会用转化的思想思考问题．证明的周长，可得结论． 【详解】解：如图：连接 ∵P点关于的对称点，，连接交于M，交于N， ，， 的周长， 故答案为：27． 15．如图在中，D为中点，，，交于F，，， 则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理等；连接，过点E作交的延长线于点G，由线段垂直平分线的性质得 ，由角平分线的性质得，由得由全等三角形的性质得，同理可得，即可求解；掌握相关的判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点E作交的延长线于点G， 为中点，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， （）， ， 同理可得：， ， ， ， 解得：， ， 故答案：． 16．如图，，C是延长线上一点，，动点M从点C出发沿射线以的速度移动，动点N从点O出发沿射线以的速度移动，如果点M、N同时出发，设运动的时间为，那么当 s时，是等腰三角形． 【答案】4或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用．熟练掌握等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用是解题的关键． 由题意知，当时，；当时，，，由是等腰三角形，可知当时，，即，计算求解即可；当时，证明是等边三角形，则，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，当时，； 当时，， ， ∵是等腰三角形， ∴当时，，即， 解得，， 当时，是等腰三角形， ∴是等边三角形， ∴，即， 解得，， 综上所述，的值为4或， 故答案为：4或． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知等腰三角形的周长为 (1)腰长是底边长的2倍，求腰长； (2)若有一边长为，求其他两边长． 【答案】(1)腰长为 (2)其他两边长， 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，熟悉相关性质是解题的关键． （1）设底边长，则腰长为，根据周长是，求出x的值即可； （2）分是腰长或者是底两种情况进行讨论，据此进行解答． 【详解】（1）解：设底边长，则腰长为． ， 解得：， ∴腰长； （2）解：因为长为的边可能是腰，也可能是底，所以要分两种情况计算： ①是底，设腰为y的情况：， 解得：，符合三角形三边关系． 则其他两边长，； ②是腰，设底为m的情况：， 解得：，不符合三角形三边关系． 综上可得其他两边长，． 18．如图，在四边形中，，点分别在，上，．    (1)判断该图形是否是轴对称图形 （填“是”或“否”）； (2)求证：． 【答案】(1)是 (2)见解析 【分析】（1）连接，证明得到，证明，即可得到答案； （2）由（1）得，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，连接，    在和中， ， ， ， 在和中， ， ， 该图形沿直线折叠后能够完全重合， 该图形是轴对称图形， 故答案为：是； （2）证明：由（1）得， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、轴对称图形的定义，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 19．下列四个图都是由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，其中的两个小正方形被涂黑．请在各图中再将两个空白的小正方形涂黑使各图中涂黑部分组成的图形成为轴对称图形(另两个被涂黑的小正方形的位置必须全不相同)，并画出其对称轴．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了轴对称图形的作法，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质，沿一条直线对折直线两旁部分完全重合．先找到合适的对称轴，然后再涂黑两个小正方形即可． 【详解】解∶如图，    20．如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据垂直平分线的性质，可知，根据等腰三角形三线合一即可知； （2）设，由（1）可知，然后根据三角形的内角和为列出方程即可求出x的值． 【详解】（1）解：连接， ∵垂直平分 ∴ ∵ ∴ ∵D是的中点 ∴； （2）设 ∵ ∴ ∴由三角形的外角的性质， ∵ ∴ 在三角形中， ∴ 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是正确理解等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，本题属于中等题型． 21．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的 (2)线段被直线l ； (3)的面积为 ； (4)在直线l上找一点 P， 使的长最短． 【答案】(1)图见解析 (2)垂直平分 (3)3 (4)图见解析 【分析】本题考查轴对称作图： （1）利用轴对称的性质，画出即可； （2）利用轴对称的性质，作答即可； （3）借助网格求面积即可； （4）利用将军饮马模型，画出点即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）∵和关于直线l成轴对称， ∴线段被直线l垂直平分； 故答案为：垂直平分； （3）由图可知：的面积为； （4）如图，点即为所求； 22．如图，和关于直线对称，和的交点在直线上．    (1)若，，求的长； (2)若，，，求的度数； (3)连接和，则和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)6 (2) (3)；理由见解析 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定，熟练掌握轴对称的性质是银题的关键． （1）根据轴对称的性质：对应边相等，求解即可； （2）根据轴对称的性质：对应角相等，以及三角形内角和等于180度，求解即可； （3）根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴互相垂直可得，，即可由平行线的判定即可得出结论． 【详解】（1）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴ ． （2）解：∵和关于直线对称， ∴，与关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：， 理由：如图，    ∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称，点与点关于直线对称， ∴，， ． 23．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知识点是解题的关键． （1）连接、，根据线段垂直平分线的性质和判定即可； （2）由线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和四边形内角和定理进行求解． 【详解】（1）证明：连接、， 垂直平分，垂直平分， ，， 点P在线段的垂直平分线上； （2）解：垂直平分，垂直平分， ，，， ，， 在中，，， ， 即，， 在四边形中，， 24．已知，在直角三角形中，，是上一点，且． (1)如图，求证：； (2)将沿所在直线翻折，A点落在边所在直线上，记为点． 如图，若，求的度数； 若，请直接写出的度数用含的代数式表示． 【答案】(1)见解析 (2)①；②时，时 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，根据已知条件得到，即可得出结论． （2）①根据已知条件得到，由折叠性质得到，由（1）结论得到，即可得到答案；②先根据已知条件得到度数表达式， 再由折叠的性质得到度数表达式，利用直角三角形的性质得出度数表达式，分，两种情况，即可得出或． 本题主要考查了直角三角形和折叠．解题的关键是熟练掌握直角三角形角的性质，折叠的性质． 【详解】（1）， ， ， ， ， ； （2）①当时，， ， 由（1）知，， ， 由折叠知，， ； 当时，同的方法得，，， 当时，； 当时， ． 25．如图，在四边形中，，，平分． (1)如图，若，，则 (2)问题解决：如图，求证：； (3)问题拓展：如图，在等腰中，，平分，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（）若，可得，，再根据角平分线的性质即可求解； （）如图，过点分别作于，的延长线于点，由角平分线的性质可得，再由，可得，即可证明，得到； （）如图，在上取，由等腰三角形的性质可得，进而得到，再得到，即得，再由（）可得，，然后利用三角形外角性质可得，可得到，进而得到，即得，据此即可求证； 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定义及外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：若，则，， ∴，， ∵平分， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，过点分别作于，的延长线于点，则， ∵平分， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，在上取， ∵是等腰三角形，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（）可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 26．综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在、上分别取点、、、，使得，，连接、，交点为，则射线为的角平分线． 【验证】（1）试说明平分，且； 【应用】（2）如题图2，若、、、分别为、上的点，且，，试用（1）中的原理说明平分； 【猜想】（3）如题图3，是角平分线上一点，、分别为、上的点，且，请补全图形，并直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）补全图形见解析，或 【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． （1）先证明，得，再证，得，然后证，得，即可得出结论； （2）先证明，可得，由（1）可得平分； （3）过点分别作于，于，分两种情况进行求解即可． 【详解】解：（1），，， ，， ， ，， ， ， ，，， ， ， 即， 射线平分； （2）， ， ， ， ， 由（1）可得平分； （3）补全图形如下，过点分别作于，于， 是的平分线， ，， 当时， 在和中， ， ， ； 当时， 同理得， ； ， ， 综上所述，与的数量关系为或； 27．已知是等边三角形． (1)如图1，点D是边的中点，点P在直线上，若是轴对称图形，则的度数为＿＿． (2)如图2，点D在边上，与的外角平分线交于G，于H，当点D在边上移动时，请判断线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点D在延长线上，连接，E为上一点，，连接交于F，若，则线段的长为＿＿． 【答案】(1)或或或 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）如图1中，当是等腰三角形时，是轴对称图形．分四种情形分别求解即可． （2）结论：．如图2中，连接，作于，在上截取，使得，利用全等三角形的性质证明即可解决问题． （3）如图3中，在上截取，则，过点作，分别交的延长线于．想办法证明，推出，由此构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，点是中点， ∴， 如图1中，当是等腰三角形时，是轴对称图形． 当时，可得． 当时，可得． 当时，可得， 综上所述，满足条件的的值为或或或． 故答案为或或或． （2）解：结论：． 理由：如图2中，连接，作于，在上截取，使得， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∵是的外角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3中，在上截取，则，过点作，分别交的延长线于． ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，轴对称图形，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$