专题03 与三角形有关的线和角的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（湘教版）

专题03 与三角形有关的线和角的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、利用三角形的三边关系化简 3 类型二、与三角形的高线、中线、角平分线有关的计算问题 4 类型三、三角形折叠中的角度问题 14 类型四、与三角形的外角有关的问题 21 压轴能力测评（12题） 30 解题知识必备 1.三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边. 2.三角形的三条重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 3.三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 4.三角形的外角 1．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 2.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 压轴题型讲练 类型一、利用三角形的三边关系化简 例题：（23-24七年级下·四川眉山·期中）若，，是的三边，试化简： ． 【变式训练1】（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）已知a，b，c是三角形的三边长，化简. 【变式训练2】（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）已知的三边分别为a,b,c． (1)若为整数，求的周长． (2)化简：． 类型二、与三角形的高线、中线、角平分线有关的计算问题 例题1：（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，是的中线，是的高，，，，． (1)求高的长； (2)求的面积． 例题2：（2024七年级下·全国·专题练习）如图，把的三边、和分别向外延长一倍，将得到的点顺次连接成，若的面积是5，则的面积是 ． 例题3：（23-24七年级下·广东惠州·期中）如图，已知平分，，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)当，，时，求点到直线的距离． 【变式训练1】（23-24七年级下·重庆万州·期末）如图，在锐角中，两条高线相交于点O． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，，，与的角平分线交于点M，求的度数； (3)如图3，对任意的锐角，与的角平分线交于点M，直接写出的度数是__________． 【变式训练2】（2024七年级下·江苏·专题练习）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．    【性质探究】 如图（1），用分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积． 【变式训练3】（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）在中，，D为直线上任意一点，连结，于点E，于点F． 【画图】（1）如图①，当点D在边上时，请画出中边上的高； 【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想之间的数量关系为__________；为了说明之间的数关系，小明是这样做的： 证明：∵__________， ∴__________． ∵，∴__________． 【运用】（3）如图②，当点D为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展】（4）如图③，当点D在的延长线上时，请直接写出之间的数量关系． 【变式训练4】（23-24七年级下·山东青岛·期末）【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． (1)【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． ①若是的中线，______． ②若，则______． (2)【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形． ①：直接写出，与之间的等量关系；_______ ②：若，则_______． 类型三、三角形折叠中的角度问题 例题：（23-24七年级上·吉林白山·期末）如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．    (1)若，求的度数； (2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【变式训练1】（23-24八年级上·广西桂林·期中）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：    (1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______； (3)如图3，如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿DE折叠使得点与点重合． ①若，则______； ②若，求证：； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系． 【变式训练2】（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）综合与探究    (1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数． (3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示． 【变式训练3】（22-23七年级下·河北石家庄·期末）（1）如图，将一张三角形纸片沿着折叠，使点落在边上的处，若，则 ______；    （2）如图，将一张三角形纸片沿着折叠点，分别在边和上，并使得点和点重合，若，则 ______； （3）如图，将长方形纸片沿着和折叠成如图所示的形状，和重合， ①的度数是多少？请说明理由； ②如果，求的度数． 类型四、与三角形的外角有关的问题 例题：（23-24七年级下·重庆万州·期末）如图所示，直线，直角的直角顶点A在直线上，边在直线上，的平分线与的外角的平分线交于点． (1)如图，__________； (2)如图，的平分线交于点，请判断与数量关系，并说明理由； (3)如图，，与交于点，将绕点顺时针以每秒的速度旋转，同时绕点顺时针以每秒的速度旋转，当旋转一周时两个三角形同时停止旋转．请直接写出，在旋转过程中边与的边平行时旋转的时间的值． 【变式训练1】（23-24七年级下·江苏徐州·期末）已知：，点在直线上，连接． (1)如图1，若．求证：； (2)若，的平分线与分别交于点． ①如图2，当点在边上（不与重合）时，求证：； ②当点在的延长线上时，“”是否依然成立？画出图形，并说明理由． 【变式训练2】（23-24七年级下·山西临汾·期末）综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】 （1）如图1，在中，点E是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 （2）如图2，在中，．延长至G，延长至H，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，求的度数和是多少？ 【变式训练3】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）在中，与的平分线相交于点P．        (1)如图1，，，求的度数． (2)如图2，如果，求的度数（用含的代数式表示）． (3)如图3，作的外角的平分线交的延长线于点D． ①试探究，之间的数量关系． ②在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，直接写出的度数． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（23-24七年级下·四川资阳·期末）如图，已知的面积为12，D、E、F分别是的边、、的中点，、、交于点G，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处．有以下四个结论： ①如图1，当点落在BC边上时，； ②如图2，当点落在△ABC内部时，； ③如图3，当点落在△ABC上方时，； ④当时，或，其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24七年级下·江西宜春·期中）如图，平分交于M，，F，D分别是延长线上的点，和的平分线交于点N．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 4．（22-23七年级下·广东深圳·阶段练习）如图，在中，平分，于F，，，则的度数为 ． 5．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，分别平分，为外角的平分线，交的延长线于点E，记．给出下列结论：①；②； ③；④．其中正确的是 ．（填序号） 6．（23-24九年级上·重庆开州·开学考试）已知的面积为a．如图①，延长的边到点D，延长到点E，使，，连接，若的面积为S，则 ．（用含a的式子表示） 如图②，像上面那样，将各边均顺次延长一倍，得到，此时，我们称向外扩展了一次； 如图③，再将②中的各边均顺次延长一倍，连接所得的端点，得到，称将向外扩展了二次．…，若将扩展n次后得到，的面积记作，则 （用含a的式子表示） 三、解答题 7．（23-24八年级上·全国·单元测试）在中，，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为10，求的周长． 8．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，分别为的中线、高，点E为的中点． (1)若求的度数； (2)若的面积为15，求的长． 9．（21-22九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中 (1)如图①，，、的平分线交于点，求的度数； (2)如图②，，、的三等分线交于点，，求的度数； (3)如图③，，、的等分线交于点，求的度数．（用含的式子表示） 10．（23-24七年级下·河北邢台·期末）如图1，图2，在中，是的角平分线． (1)若，的长为偶数，则符合条件的共有 个； (2)如图1，若F为线段上一点，过点F作于点E，，． ①求的度数； ②如图2，若F为线段延长线上一点，其余条件不变，直接写出的度数． 11．（22-23九年级下·山东青岛·阶段练习）有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】如图①，用，分别表示和的面积． 则， ， 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，，则______； (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则______，______； (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则______． 12．（23-24七年级下·河南南阳·期末）综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“折叠”为主题开展数学活动． (1)观察发现：如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为：______； (2)探究迁移：如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，其他条件不变．请写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：如图3，四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成图3的形状，点落在点处，点落在点处，若，，请直接写出的度数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 与三角形有关的线和角的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、利用三角形的三边关系化简 3 类型二、与三角形的高线、中线、角平分线有关的计算问题 4 类型三、三角形折叠中的角度问题 14 类型四、与三角形的外角有关的问题 21 压轴能力测评（12题） 30 解题知识必备 1.三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边. 2.三角形的三条重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 3.三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 4.三角形的外角 1．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 2.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 压轴题型讲练 类型一、利用三角形的三边关系化简 例题：（23-24七年级下·四川眉山·期中）若，，是的三边，试化简： ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系定理，绝对值的代数意义，不等式的性质．根据三角形三边关系得到，，然后再根据绝对值的代数意义进行化简即可．解题的关键是掌握：三角形的任意两边之和大于第三边． 【详解】解：∵，，是的三边， ∴，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【变式训练1】（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）已知a，b，c是三角形的三边长，化简. 【答案】 【分析】此题考查了三角形的三边关系的应用、化简绝对值、整式的加减等知识，根据三角形的三边关系化简绝对值，再进行整式加减即可. 【详解】解：∵a，b，c是三角形的三边长， ∴， ∴， ∴ 【变式训练2】（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）已知的三边分别为a,b,c． (1)若为整数，求的周长． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，理解三角形的三边关系成为解题的关键． （1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而c的值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：∵， ，即， ∵c为整数， ∴，的周长为． （2）解：的三边长为a，b，c， ， ． 类型二、与三角形的高线、中线、角平分线有关的计算问题 例题1：（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，是的中线，是的高，，，，． (1)求高的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形的高，中线： （1）根据，即可求解； （2）根据三角形中线的定义可得，再由三角形的面积公式计算，即可． 【详解】（1）解：∵是的高， ． ∴， ∵，，， ∴， 解得：； （2）解：∵是的中线，， ∴， ∴的面积． 例题2：（2024七年级下·全国·专题练习）如图，把的三边、和分别向外延长一倍，将得到的点顺次连接成，若的面积是5，则的面积是 ． 【答案】35 【分析】连接，由题意得：，由三角形的中线性质即可得出的面积． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意得， ∴， ∴， 同理， ∴， 故答案为：35． 【点睛】本题考查了三角形的中线性质、三角形的面积；熟记三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键． 例题3：（23-24七年级下·广东惠州·期中）如图，已知平分，，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)当，，时，求点到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的面积公式，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，根据平行线的判定定理即可得到结论； （2）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论； （3）过作于，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ， ； （3）解：过作于， ， ， ， ， 故点到直线的距离为． 【变式训练1】（23-24七年级下·重庆万州·期末）如图，在锐角中，两条高线相交于点O． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，，，与的角平分线交于点M，求的度数； (3)如图3，对任意的锐角，与的角平分线交于点M，直接写出的度数是__________． 【答案】(1)的度数为； (2)； (3) 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和定理，三角形的高． （1）利用垂直的性质求得，，再利用三角形内角和定理即可求解； （2）利用垂直的性质结合角平分线有关的三角形内角和定理，计算即可求解； （3）同（2）计算即可求解． 【详解】（1）解：∵锐角中，两条高线相交于点O， ∴，， ∴ ， 答：的度数为； （2）解：∵，， ∴， ， ∵与的角平分线交于点M， ∴，， ∴； ∴； （3）解：∵锐角中，两条高线相交于点O， ∴， ， ∵与的角平分线交于点M， ∴，， ∴ ； ∴． 【变式训练2】（2024七年级下·江苏·专题练习）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．    【性质探究】 如图（1），用分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查三角形的面积公式，理解等高的两个三角形的面积比等于底的比是解题的关键． （1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案． （2）根据和是等高三角形和和是等高三角形即可知道三角形的面积比即底的比，从而求出面积， 【详解】（1）解：如图，过点A作， 则 ．    （2）和是等高三角形， ， ； 和是等高三角形， ， ． 【变式训练3】（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）在中，，D为直线上任意一点，连结，于点E，于点F． 【画图】（1）如图①，当点D在边上时，请画出中边上的高； 【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想之间的数量关系为__________；为了说明之间的数关系，小明是这样做的： 证明：∵__________， ∴__________． ∵，∴__________． 【运用】（3）如图②，当点D为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展】（4）如图③，当点D在的延长线上时，请直接写出之间的数量关系． 【答案】（1）见详解；（2），，，；（3）与的数量关系为，理由见解析；（4） 【分析】本题考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积． （1）过点B作交于一点E，即可作答． （2），根据已有的过程结合面积之间的关系列式化简，即可作答． （3）同理得，因为点D为中点，所以，结合，化简得，即可作答． （4）同理结合面积之间的关系列式化简，，即可作答． 【详解】解：（1）依题意，边上的高如图所示： （2）； 证明：∵， ∴， ∵， ∴； （3）过点B作交于一点G， ∵， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， （4）过点B作交于一点， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 【变式训练4】（23-24七年级下·山东青岛·期末）【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． (1)【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． ①若是的中线，______． ②若，则______． (2)【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形． ①：直接写出，与之间的等量关系；_______ ②：若，则_______． 【答案】(1)① ② (2)① ②30 【分析】本题考查了三角形的中线，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键． （1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，得到，即可得出结果； ②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明； （2）①连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明， ②由①可得，同理可证得，根据，即可推得，即可求解． 【详解】（1）解：①证明：∵是的中线， ∴，点为的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 即， ∴ ②， 解：设边上的高为， 则，， ∵， ∴， 同理， 则， 即， ∴． （2）①证明：连接，，，如图： ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴，，，分别为，，，的中线， ∴，，，， ∴， ∵， 即； ②由①可得，同理可证得， ， 即， ∵， ∴． 类型三、三角形折叠中的角度问题 例题：（23-24七年级上·吉林白山·期末）如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．    (1)若，求的度数； (2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)不变， 【分析】本题主要考查了三角形的折叠问题，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，数形结合． （1）根据折叠得出，，根据，求出，即可求出结果； （2）根据，，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵将对折，得到折痕， ∴， ∵将对折，得到折痕， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：不变．理由如下： ∵，，， ∴， 即． ∴的大小不随点的运动而变化． 【变式训练1】（23-24八年级上·广西桂林·期中）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：    (1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______； (3)如图3，如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿DE折叠使得点与点重合． ①若，则______； ②若，求证：； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)①；②见解析 (4)F在E左侧；F在之间；F在D右侧． 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，据此求解即可； （3）①同（1）求得，由折叠的性质可得，据此计算即可求解；②证明，同①即可证明； （4）分点F在点E左侧，点F在D、E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴； 故答案为：； （3）解：①∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴； （4）解：当点F在点E左侧时，如图4-1所示，    ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ ； 当F在D、E之间时，如图4-2所示：    同理可得， ， ∴ ； 当点F在D点右侧时，如图4-3所示：    同理可得 ； 综上所述，F在E左侧；F在之间；F在D右侧． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键． 【变式训练2】（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）综合与探究    (1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数． (3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示． 【答案】(1)，理由见解析； (2) (3) 【分析】（1）由折叠的性质得出，，由平角的定义及三角形内角和定理可得出答案； （2）由（1）可知，，求出，则可得出答案； （3）由（2）可知，，求出，由周角的定义求出，则可得出答案． 【详解】（1）． 理由：由折叠得：，， ， ， ； （2）由（1）可知，， ， ， ， ， ， ； （3）由（2）可知，， ， ，， ， 又 ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【变式训练3】（22-23七年级下·河北石家庄·期末）（1）如图，将一张三角形纸片沿着折叠，使点落在边上的处，若，则 ______；    （2）如图，将一张三角形纸片沿着折叠点，分别在边和上，并使得点和点重合，若，则 ______； （3）如图，将长方形纸片沿着和折叠成如图所示的形状，和重合， ①的度数是多少？请说明理由； ②如果，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【分析】（1）利用对折性质可知是角平分线，由此即可求解； （2）根据三角形的内角和可知，根据折叠可知的度数，利用两个平角和等于，由此即可求解；； （3）①根据折叠可得，，且，代入计算即可； ②，代入计算即可． 【详解】解：（1）由对折性质可知，是角平分线， ∴， 故答案为：． （2）在中，，， ∴， 根据折叠的性质得，， ∴， ∵， ， 故答案为：． （3）①由折叠的性质可知：，，且， ， ②根据折叠的性质及上述知识可知， ． 【点睛】本题考查折叠问题中角的计算问题，掌握翻折的性质是本题的关键． 类型四、与三角形的外角有关的问题 例题：（23-24七年级下·重庆万州·期末）如图所示，直线，直角的直角顶点A在直线上，边在直线上，的平分线与的外角的平分线交于点． (1)如图，__________； (2)如图，的平分线交于点，请判断与数量关系，并说明理由； (3)如图，，与交于点，将绕点顺时针以每秒的速度旋转，同时绕点顺时针以每秒的速度旋转，当旋转一周时两个三角形同时停止旋转．请直接写出，在旋转过程中边与的边平行时旋转的时间的值． 【答案】(1)； (2)，见解析； (3)秒或秒或秒． 【分析】（1）先根据角平分线定义得到，再由三角形外角的性质推出，则； （2）过点P作，则，由平行线的性质推出，再由角平分线的定义得到，进而可得，则； （3）分图3-1，图3-2，图3-3三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图3所示，没有旋转时， ∵，， ∴， ∴； 如图3-1所示，当时，延长分别交于T、F，设交于S， ∴， ∵， ∴， 由题意得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图3-2所示，当时，延长交于S，设交于T， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得； 当时，延长交于T，延长交于S， 由题意得，，， ∴， 又∵， ∴， ， ∴， ∴ ∴此时； 综上所述，秒或秒或秒时，在旋转过程中边与的边平行． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【变式训练1】（23-24七年级下·江苏徐州·期末）已知：，点在直线上，连接． (1)如图1，若．求证：； (2)若，的平分线与分别交于点． ①如图2，当点在边上（不与重合）时，求证：； ②当点在的延长线上时，“”是否依然成立？画出图形，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②成立，作图见解析，理由见解析 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角： （1）根据同角的余角相等，即可得证； （2）①根据角平分线的性质结合三角形的外角，即可得证；②根据题意，补全图形，根据三角形的内角和定理结合对顶角相等，即可得证． 【详解】（1）解： ． ．   ． （2）①平分 ． ． ． ． ②成立． 如图． 平分 ． ． 且 ． 又 ． 【变式训练2】（23-24七年级下·山西临汾·期末）综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】 （1）如图1，在中，点E是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 （2）如图2，在中，．延长至G，延长至H，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，求的度数和是多少？ 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案 （2）先推导出，再推导出，进而可以求解 （3）延长，交于点M，延长、交于点N，可得，进而即可求解 【详解】解：（1）如图， ∵点E是内角平分线与外角的平分线的交点 ∴，， ∵，，， ∴， ∴； （2）如图， ∵，、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F， ∴， ∴； ∴； （3）延长，交于点M，延长、交于点N， 如图所示， ∵、平分 ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题关键． 【变式训练3】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）在中，与的平分线相交于点P．        (1)如图1，，，求的度数． (2)如图2，如果，求的度数（用含的代数式表示）． (3)如图3，作的外角的平分线交的延长线于点D． ①试探究，之间的数量关系． ②在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)①；②或或或 【分析】本题考查三角形的内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识，利用数形结合和分类讨论求解是解答的关键． （1）利用三角形内角和求出，再根据角平分线求出和，最后再利用三角形内角和求解； （2）同（1）中方法计算即可； （3）①根据角平分线的定义得到，，利用外角的性质可得，再结合即可证明； ②分四种情况分别讨论即可． 【详解】（1）解：在中， ，， ． ∵P是和的平分线的交点， ， （2）解：， ， ∵P是和的平分线的交点， ， ， ． （3）①∵是的外角的平分线， ． ∵平分， ． ， ， 即． ， ， 即． ②的度数是或或或． 由图得 ． 在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，可分为四种情况： （Ⅰ）， 则，； （Ⅱ）， 则，，； （Ⅲ），又 则，； （Ⅳ），又， 则，． 综上所述，的度数是或或或． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（23-24七年级下·四川资阳·期末）如图，已知的面积为12，D、E、F分别是的边、、的中点，、、交于点G，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】此题考查三角形的面积，涉及中线平分三角形的面积，得，，结合，得，即可作答． 【详解】解：∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， 又∵点D是的中点， ∴， 同理， ∴图中阴影部分的面积为， 故选B． 2．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处．有以下四个结论： ①如图1，当点落在BC边上时，； ②如图2，当点落在△ABC内部时，； ③如图3，当点落在△ABC上方时，； ④当时，或，其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和及平行线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．由折叠的性质及三角形外角的性质、三角形内角和可判断①②③；分点落在△ABC上方与下方两种情况，由平行线的性质、折叠的性质、三角形外角的性质与三角形内角和即可判断④． 【详解】解：当点落在BC边上时， 由折叠性质得：， 则， ， 故①正确； 当点落在△ABC内部时， 由折叠性质得：， 又， ， ， ； 故②正确； 当点落在△ABC上方时， 由折叠性质得：， 又， ， ， ； 即； 故③正确； 当时， 若点在下方，如图， ， ； 由折叠性质得：， 即； 而， ， ， 即； 若点在上方，如图， ， ； 由折叠性质得：， ， 综上，或； 故④正确． 故选：D． 3．（23-24七年级下·江西宜春·期中）如图，平分交于M，，F，D分别是延长线上的点，和的平分线交于点N．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，角平分线，平行线的判定与性质是解题的关键．根据角平分线的定义，可得，由，得到，结合，推出，即可判断①②③，过点N作，由可得，根据，，推出，再根据角平分线的定义，得到，即可判断④． 【详解】解：如图，过点N作， 平分交于M， ，， ， ， ，， ，， ，平分，故①②③正确； ， ， ，， ， ， 和的平分线交于点N， ，故④正确． 故选：D． 二、填空题 4．（22-23七年级下·广东深圳·阶段练习）如图，在中，平分，于F，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，外角的性质，掌握三角形的内角和定理，外角的性质是解题的关键． 由三角形外角的性质求出的度数，由角平分线定义求出的度数，再由三角形外角的性质求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：， ， 平分， ， ， 于， ， ． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，分别平分，为外角的平分线，交的延长线于点E，记．给出下列结论：①；②； ③；④．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①④ 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 由平分，平分，可得，由是的外角，可得，即，可判断①的正误；由分别平分，可得，则，由，可得，可判断②、③、④的正误． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵是的外角， ∴，即，①正确，故符合要求； ∵分别平分， ∴， ∴， 又∵， ∴，故②③错误,不符合要求，④正确，故符合要求． 故答案为：①④． 6．（23-24九年级上·重庆开州·开学考试）已知的面积为a．如图①，延长的边到点D，延长到点E，使，，连接，若的面积为S，则 ．（用含a的式子表示） 如图②，像上面那样，将各边均顺次延长一倍，得到，此时，我们称向外扩展了一次； 如图③，再将②中的各边均顺次延长一倍，连接所得的端点，得到，称将向外扩展了二次．…，若将扩展n次后得到，的面积记作，则 （用含a的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积和等积变形等知识点的应用，如图①连接，根据等底等高的三角形的面积相等求出的面积即可；如图②根据等底等高的三角形的面积相等求出的面积，相加得出；如图③，由图②得到向外扩展了一次得到的的面积，向外扩展了二次得到的的面积,…，找出规律即可； 【详解】解：如图①，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 如图②，同图①的方法得到，，， ∴， ∴的面积为； 如图③，由图②得：的面积为； ∴向外扩展了一次得到的的面积为； ∴向外扩展了二次得到的，可以看作是向外扩展了一次得到， ∴的面积为的面积； ∴向外扩展了二次得到的的面积，…， 同理：向外扩展了n次得到的的面积为， 故答案为：． 三、解答题 7．（23-24八年级上·全国·单元测试）在中，，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为10，求的周长． 【答案】(1)； (2)17 【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 是整数， ； （2）解：是的中线， ， 的周长为10， ， ， ， 的周长 8．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，分别为的中线、高，点E为的中点． (1)若求的度数； (2)若的面积为15，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的内角和，外角，三角形的中线和高线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）三角形的外角求出，三角形的内角和定理，求出即可； （2）三角形的中线平分面积求出，然后利用面积公式求出的长即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵是的高线， ∴， ∴； （2）∵的面积为15，点E为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 9．（21-22九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中 (1)如图①，，、的平分线交于点，求的度数； (2)如图②，，、的三等分线交于点，，求的度数； (3)如图③，，、的等分线交于点，求的度数．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了三角形内角和定理与角平分线的性质．解此题的关键是要注意数形结合思想的应用． （1）首先根据、的平分线交于点与的内角和为，求得的和，又由的内角和为，求得的度数； （2）首先根据、的三等分线分线交于点，可得：，，又由的内角和为，求得的和，又由的内角和为，求得的度数； （3）首先根据、的三等分线分线交于点，可得：，，又由的内角和为，求得的和，又由的内角和为，求得的度数． 【详解】（1）解：、的平分线交于点， ，， ， ， ， ， ； （2）解：，， ，， ， ， ， ， ； （3）解：、的等分线交于点， ，， ， ， ， ， ． 10．（23-24七年级下·河北邢台·期末）如图1，图2，在中，是的角平分线． (1)若，的长为偶数，则符合条件的共有 个； (2)如图1，若F为线段上一点，过点F作于点E，，． ①求的度数； ②如图2，若F为线段延长线上一点，其余条件不变，直接写出的度数． 【答案】(1)2 (2)①；② 【分析】本题考查了三角形三条边的关系， （1）先三角形三边的关系求出的取值范围，再根据的长为偶数求解即可； （2）①过点A作于M，先求出，由角平分线的定义得，进而可求出，求出，进而可求出的度数； ②过点A作于M，由①可知，根据可求出的度数． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵的长为偶数， ∴或6， ∴符合条件的共有2个， 故答案为：2； （2）①如图1，过点A作于M， 在中，， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过点A作于M， 由①可知， ∵， ∴， ∴． 11．（22-23九年级下·山东青岛·阶段练习）有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】如图①，用，分别表示和的面积． 则， ， 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，，则______； (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则______，______； (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键． （1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得； （3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得． 【详解】（1）解：如图，过点A作， 则， ∵，，， ∴； （2）解：∵和是等高三角形，， ∴， ∴； ∵和是等高三角形，， ∴， ∴； （3）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形，， ∴， ∴． 12．（23-24七年级下·河南南阳·期末）综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“折叠”为主题开展数学活动． (1)观察发现：如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为：______； (2)探究迁移：如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，其他条件不变．请写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：如图3，四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成图3的形状，点落在点处，点落在点处，若，，请直接写出的度数 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （2）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点，则对折后与重合，由（2）的结论可得：，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：结论：， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ． （2）， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点， 则对折后与重合， 由（2）的结论可得：，而，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形综合，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，轴对称的性质，熟记轴对称的性质并进行解题是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$