重难点提优02 切线的性质及判定综合问题（4大题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（苏科版）

专题提优2 切线的性质及判定综合应用 题型01 由切线的性质求角的度数 1．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于（　　） A．55° B．70° C．110° D．125° 【分析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解． 【解答】解：连接OA，OB， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA⊥OA，PB⊥OB， ∵∠ACB＝55°， ∴∠AOB＝110°， ∴∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°． 故选：B． 【点评】本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB的度数． 2．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝24°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于E，则∠E为（　　） A．23° B．34° C．42° D．48° 【分析】连接OC，根据切线的性质证明∠OCE＝90°，而∠COE＝2∠CDB＝48°，则∠E＝90°﹣∠COE＝42°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OC， ∵CE与⊙O相切于点C， ∴CE⊥OC， ∴∠OCE＝90°， ∵∠CDB＝24°， ∴∠COE＝2∠CDB＝2×24°＝48°， ∴∠E＝90°﹣∠COE＝90°﹣48°＝42°， 故选：C． 【点评】此题重点考查切线的性质定理、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 3．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，OA与BC交于点D，AB＝AD，若∠C＝20°，则∠OAB等于（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【分析】由AB与⊙O相切于点B，证明∠OBA＝90°，由OB＝OC，得∠OBC＝∠C＝20°，求得∠ABD＝∠OBA﹣∠OBC＝70°，因为AB＝AD，所以∠ADB＝∠ABD＝70°，则∠OAB＝40°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AB与⊙O相切于点B， ∴AB⊥OB， ∴∠OBA＝90°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠C＝20°， ∴∠ABD＝∠OBA﹣∠OBC＝90°﹣20°＝70°， ∵AB＝AD， ∴∠ADB＝∠ABD＝70°， ∴∠OAB＝180°﹣∠ADB﹣∠ABD＝180°﹣70°﹣70°＝40°， 故选：C． 【点评】此题重点考查切线的性质定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，求得∠ABD＝70°是解题的关键． 题型02 由切线的性质求线段的长度 1．如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC，CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，连接AO并延长，交CD于点E，若⊙O的半径为5，CD＝8，则弦AC的长为 　 　． 【分析】由题意可求OA⊥AB，根据垂径定理可求CE＝4，根据勾股定理可求EO＝3，再根据勾股定理可求AC的长． 【解答】解：如图：连接OC ∵直线AB与⊙O相切于点A， ∴OA⊥AB， ∵CD∥AB， ∴AE⊥CD． ∵CD＝8， ∴． 在Rt△OCE中，， ∴AE＝AO+OE＝8， 则． 故答案为：4． 【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，垂径定理，熟练运用垂径定理是本题的关键． 2．如图，一个边长为4cm的等边三角形的高与⊙O直径相等，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为　 　． 【分析】连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，求出等边三角形的高即可得出圆的直径，继而得出OC的长度，在Rt△OFC中，可得出FC的长，利用垂径定理即可得出CE的长 【解答】解：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F， ∵△ABC为等边三角形，边长为4cm， ∴△ABC的高为2cm， ∴OCcm， 又∵∠ACB＝60°， ∴∠OCF＝30°， 在Rt△OFC中，可得FCcm， 即CE＝2FC＝3cm． 故答案为：3cm． 【点评】本题主要考查了切线的性质，等边三角形的性质和解直角三角形的有关知识，题目不是太难，属于基础性题目，熟记垂径定理和勾股定理是解题关键． 3．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为　 　． 【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形； 【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x． 在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2， ∴x2＝42+（8﹣x）2， ∴x＝5， ∴PC＝5，BP＝BC﹣PC＝8﹣5＝3． 如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形． ∴PM＝PK＝CD＝2BM， ∴BM＝4，PM＝8， 在Rt△PBM中，PB4． 综上所述，BP的长为3或4． 【点评】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． 题型03 切线的判定方法应用 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； 【分析】（1）连接OD，根据垂直平分线的性质，得到EB＝ED，再根据等边对等角的性质，得到∠B＝∠EDB，∠ODA＝∠A，最后利用三角形内角和定理，得到∠EDB+∠ODA＝90°，即可得到直线DE与⊙O的位置关系． 【解答】解：DE是⊙O的切线；连接OD， ∵EF垂直平分BD， ∴EB＝ED， ∴∠B＝∠EDB， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠A， ∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠EDB+∠ODA＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线； 【点评】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，圆的切线的判定定理，熟练掌握圆的切线的判定定理是解题关键． 2．如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP＝CB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，OP＝1，求BC的长． 【分析】（1）连接OB，如图，先利用垂直的定义得到∠A+∠APO＝90°，再利用等腰三角形的性质和等量代换得到∠APO＝∠CBP，则可证明∠OBC＝90°，然后根据切线的性质可判断BC是⊙O的切线； （2）设BC＝x，则PC＝x，利用勾股定理得到32+x2＝（x+1）2，然后解方程即可． 【解答】（1）证明：连接OB，如图， ∵OP⊥OA， ∴∠AOP＝90°， ∴∠A+∠APO＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠OBA， ∵CP＝CB， ∴∠CPB＝∠CBP， 而∠CPB＝∠APO， ∴∠APO＝∠CBP， ∴∠OBC＝∠CBP+∠OBA＝∠APO+∠A＝90° ∴OB⊥BC， ∴BC是⊙O的切线； （2）解：设BC＝x，则PC＝x， 在Rt△OBC中，OB＝3，OC＝CP+OP＝x+1， ∵OB2+BC2＝OC2， ∴32+x2＝（x+1）2，解得x＝4， 即BC的长为4． 【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； 有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 3．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点C，∠BAC的平分线交⊙O于点D，DE⊥AC，垂足为E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若直径AB＝10，弦AC＝6，求DE的长． 【分析】（1）欲证明DE是⊙O的切线，只要证明∠ODE＝90°即可； （2）作OF⊥AC，垂足为F．只要证明四边形ODEF是矩形，求出OF即可解决问题； 【解答】（1）证明：连接OD． ∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD＝∠CAD， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠ODA＝∠CAD， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC，即∠AED＝90°， ∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：作OF⊥AC，垂足为F． ∴AF AC＝3， 在Rt△AFO中，AF2+OF2＝AO2，AOAB＝5， ∴32+OF2＝52，∴OF＝4， ∵∠AED＝∠ODE＝∠OFE＝90°， ∴四边形ODEF是矩形， ∴DE＝OF＝4． 【点评】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 题型04 切线的判定与性质综合应用 1．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD．已知PC＝PD＝BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO＝CD；（4）弧AC＝弧AD．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】（1）利用切线的性质得出∠PCO＝90°，进而得出△PCO≌△PDO（SSS），即可得出∠PCO＝∠PDO＝90°，得出答案即可； （2）利用（1）所求得出：∠CPB＝∠BPD，进而求出△CPB≌△DPB（SAS），即可得出答案； （3）利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA（ASA），进而得出COPOAB； （4）利用四边形PCBD是菱形，即可得到∠ABC＝∠ABD，弧AC＝弧AD． 【解答】解：（1）连接CO，DO， ∵PC与⊙O相切，切点为C， ∴∠PCO＝90°， 在△PCO和△PDO中， ， ∴△PCO≌△PDO（SSS）， ∴∠PCO＝∠PDO＝90°， ∴PD与⊙O相切， 故（1）正确； （2）由（1）得：∠CPB＝∠BPD， 在△CPB和△DPB中， ， ∴△CPB≌△DPB（SAS）， ∴BC＝BD， ∴PC＝PD＝BC＝BD， ∴四边形PCBD是菱形， 故（2）正确； （3）连接AC， ∵PC＝CB， ∴∠CPB＝∠CBP， ∵AB是⊙O直径， ∴∠ACB＝90°， 在△PCO和△BCA中， ， ∴△PCO≌△BCA（ASA）， ∴AC＝CO， ∴AC＝CO＝AO， ∴∠COA＝60°， ∴∠CPO＝30°， ∴COPOAB， ∴PO＝AB， ∵AB是⊙O的直径，CD不是直径， ∴AB≠CD， ∴PO≠DC， 故（3）错误； （4）由（2）证得四边形PCBD是菱形， ∴∠ABC＝∠ABD， ∴弧AC＝弧AD， 故（4）正确； 故选：C． 【点评】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键． 2．在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点F，点E是弧AD上一点，连BE交CD于点N，点P在CD的延长线上，PN＝PE． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）连接DE，若DE∥AB，OF＝3，BF＝2，求PN的长． 【分析】（1）连接OE，由等腰三角形的性质得出∠PEN＝∠PNE＝∠BNF，∠OEB＝∠OBE．证出∠OEB+∠PEN＝90°，即PE⊥OE，即可得出结论； （2）连接CE，证出CE为⊙O的直径．由垂径定理得出CF＝DF，得出DE＝2OF＝6．求出OC＝OB＝5，CE＝10，由勾股定理得出CD＝8．设PD＝x，则PC＝x+8．在Rt△PDE和Rt△PCE中，由勾股定理得出方程，解方程求出PD，由勾股定理即可得出答案． 【解答】（1）证明：连接OE，如图1所示： ∵PN＝PE， ∴∠PEN＝∠PNE＝∠BNF， ∵OE＝OB， ∴∠OEB＝∠OBE． ∵AB⊥CD， ∴∠OBE+∠BNF＝90°， ∴∠OEB+∠PEN＝90°， 即∠OEP＝90°， ∴PE⊥OE， ∴PE是⊙O的切线． （2）解：连接CE，如图2所示： ∵DE∥AB，AB⊥CD， ∴∠EDC＝90° ∴CE为⊙O的直径． ∵AB⊥CD， ∴CF＝DF，∴DE＝2OF＝6． ∵OF＝3，BF＝2，∴OC＝OB＝5，CE＝10， ∴CD8， 由（1）知PE⊥CE．设PD＝x，则PC＝x+8． 在Rt△PDE和Rt△PCE中，由勾股定理，得：PD2+DE2＝PE2＝PC2﹣CE2， 即x2+62＝（x+8）2﹣102， 解得：x， ∴PD． ∴PE， ∴PN＝PE． 【点评】本题考查切线的判定、勾股定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AC上的点，以AD为直径作⊙O，交AB于点F．连接BD并延长交⊙O于点E，连接CE，CE＝BC． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若CD＝2，，求阴影部分的面积． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和直角三角形两个锐角互余即可证明CE是⊙O的切线； （2）根据CD＝2，，利用勾股定理求出半径，进而可以求阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：如图，连接OE， ∴OE＝OD， ∴∠OED＝∠ODE， ∵∠CDB＝∠ODE， ∴∠OED＝∠CDB， ∵∠CDB+∠CBD＝90°， ∴∠OED+∠CBD＝90°， ∵CE＝BC， ∴∠CED＝∠CBD， ∴∠OED+∠CED＝90°， ∴∠OEC＝90°， ∵OE是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线； （2）解：∵CD＝2，CE， ∴OC＝OD+CD＝OD+2， 在Rt△OCE中，根据勾股定理得： OC2＝OE2+CE2， ∴（OD+2）2＝OD2+（2）2， ∴OD＝2， ∴OD＝OE＝CD＝2， ∴D的OC的中点， ∴OD＝DE＝CD， ∴△OED是等边三角形， ∴∠DOE＝60°， ∴阴影部分的面积＝扇形DOE的面积﹣等边三角形OED的面积2． 【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握切线的判定． 提优练习 1．如图，∠MPN＝60°，点O是∠MPN的角平分线上的一点，半径为4的⊙O经过点P，将⊙O向左平移，当⊙O与射线PM相切时，⊙O平移的距离是（　　） A．2 B． C． D．2 【分析】设⊙O'为⊙O向左平移后与PM相切的圆，切点为B，连接O'B交PO于D，过O作OA⊥PM于A，OC⊥O'B于C，则OO'即为平移的距离，O'B＝OP＝4，O'B⊥PM，先由直角三角形的性质得OAOP＝2，再由矩形的性质得BC＝OA＝2，则O'C＝O'B﹣BC＝2，由平行线的性质得∠DOO'＝∠OPN＝30°，求出∠DO'O＝30°，然后由直角三角形的性质即可得出答案． 【解答】解：设⊙O'为⊙O向左平移后与PM相切的圆，切点为B，连接O'B交PO于D，过O作OA⊥PM于A，OC⊥O'B于C，如图所示： 则OO'即为⊙O平移的距离，O'B＝OP＝4，O'B⊥PM， ∵∠MPN＝60°，PO是∠MPN的平分线， ∴∠MPO＝∠OPN∠MPN＝30°， ∵OA⊥PM， ∴OAOP＝2， ∵OA⊥PM，OC⊥O'B，O'B⊥PM， ∴四边形OABC是矩形， ∴BC＝OA＝2， ∴O'C＝O'B﹣BC＝2， 由平移的性质得：OO'∥PN， ∴∠DOO'＝∠OPN＝30°， ∵O'B⊥PM， ∴∠O'BP＝90°， ∴∠BDP＝90°﹣∠MPO＝60°， ∵∠BDP＝∠DOO'+∠DO'O， ∴∠DO'O＝∠BDP﹣∠DOO'＝30°， ∴OCO'C，OO'＝2OC， 即⊙O平移的距离为， 故选：B． 【点评】本题考查了切线的性质、平移的性质、直角三角形的性质、平行线的性质、矩形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的性质和平移的性质是解题的关键． 2．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为2cm的⊙P的圆心在直线AB上，且位于点O左侧的距离10cm处．如果⊙P以2cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（　　）秒钟后⊙P与直线CD相切． A．3 B．7 C．3或7 D．6或14 【分析】根据题意CD与⊙P相切分⊙P在直线CD左侧时⊙P在直线CD右侧时，求出⊙P运动的路程，即可根据速度求得时间． 【解答】解：①由题意可知CD与⊙P1相切于点E， ∴P1E⊥CD， ∵⊙P半径为2cm， ∴P1E＝2cm， ∵∠AOD＝30°，P1E⊥CD， ∴P1O＝4cm， ∴PP1＝PO﹣P1O＝10﹣4＝6（cm）， ∴t＝3秒． ②当圆心P在直线CD的右侧时，PP2＝PO+P2O＝10+4＝14（cm）， 则需要运动的时间为7秒． 综上所述，⊙P与直线CD相切时经过的时间为3或7秒钟， 故选：C． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系和含30°角的直角三角形的性质，由含30°角的直角三角形的性质求出P1O是解决问题的关键． 3．如图，AB是⊙O的直径，DC是⊙O的切线，切点是点D，过点A的直线与DC交于点C， 则下列结论错误的是（　　） A．∠AOD＝2∠ADC B．如果AD平分∠BAC，那么AC⊥DC C．如果CO⊥AD，那么AC也是⊙O的切线 D．如果AD＝2CD，那么ADAO 【分析】A．由切线性质得∠ADC＝90°﹣∠ADO，再由等腰三角形性质与三角形的内角和定理得∠AOD＝180°﹣2∠ADO，便可得出∠AOD与∠ADC的数量关系； B．由角平分线与等腰三角形的性质得AC∥OD，便可判断B的正误； C．证明△OAC≌△ODC，得∠OAC＝∠ODC＝90°，便可判断C的正误； D．当AD＝2CD，且AC⊥CD时，AC∥OD，可得∠CAD＝∠ODA＝30°，过点O作OK⊥AD于点K，便可ADOA；若AD＝2CD，但AC与CD不垂直时，∠ADC就不不一定等于30°，此时ADAO，便可判断D的正误． 【解答】解：A．∵DC是⊙O的切线， ∴∠ODC＝90°， ∴∠ADC＝90°﹣∠ADO， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠AOD＝180°﹣2∠ADO＝2（90°﹣∠ADO）， ∴∠AOD＝2∠ADC， 故选项正确，不合题意； B．∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠OAD， ∵∠OAD﹣∠ODA， ∴∠CAD＝∠ODA， ∴AC∥OD， ∵DC是⊙O的切线，OD为半径， ∴OD⊥CD， ∴AC⊥DC， 故选项正确，不合题意； C．∵CO⊥AD， ∴， ∴∠AOC＝∠DOC， ∵OA＝OD，OC＝OC， ∴△OAC≌△ODC（SAS）， ∴∠OAC＝∠ODC＝90°， ∴AC也是⊙O的切线， 故选项正确，不合题意； D．当AD＝2CD，且AC⊥CD时，AC∥OD， 则∠CAD＝∠ODA＝30°， ∵AO＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA＝30°， 过点O作OK⊥AD于点K， ∴AK＝DKOA， 此时AD， 若AD＝2CD，但AC与CD不垂直时，∠ADC就不一定等于30°， 此时ADAO， 故选项错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了圆的有关性质与定理，直角三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，综合应用这些知识解题是关键． 4．如图，在矩形ABCD中，AD＝8，E是边AB上一点，且AEAB．已知⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF：2．当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是（　　） A．8 B．4 C．12 D．12或4 【分析】过点G作GN⊥AB，垂足为N，可得EN＝NF，由EG：EF：2，得：EG：EN：1，依据勾股定理即可求得AB的长度． 【解答】解：边BC所在的直线与⊙O相切时， 如图，过点G作GN⊥AB，垂足为N， ∴EN＝NF， 又∵EG：EF：2， ∴EG：EN：1， 又∵GN＝AD＝8， ∴设EN＝x，则GEx，根据勾股定理得： （x）2﹣x2＝64，解得：x＝4，GE＝4， 设⊙O的半径为r，由OE2＝EN2+ON2 得：r2＝16+（8﹣r）2， ∴r＝5．∴OK＝NB＝5， ∴EB＝9， 又AEAB ∴AB＝12． 同理，当边AD所在的直线与⊙O相切时，连接OH， ∴OH＝AN＝5， ∴AE＝1． 又AEAB， ∴AB＝4． 故选：D． 【点评】本题考查了切线的性质以及勾股定理和垂径定理的综合应用，解答本题的关键在于做好辅助线，利用勾股定理求出对应圆的半径． 5．如图，已知AB是⊙O的直径，AD、BD是半圆的弦，∠PDA＝∠PBD，∠BDE＝60°，若PD，则PA的长为　 　． 【分析】根据已知可证△AOD为等边三角形，∠P＝30°，PA＝AD＝OA，再证明PD是切线，根据切割线定理即可得出结果． 【解答】解：∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BDE＝60°， ∴∠PDA＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∴∠PBD＝∠PDA＝30°， ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠PBD＝30°， ∴∠ADO＝60°， ∴△ADO为等边三角形，∠ODP＝90°， ∴AD＝OA，∠AOD＝60°，PD为⊙O的切线， ∴∠P＝30°， ∴PA＝AD，PD2＝PA•PB， ∴（PA•3PA ∴PA＝1； 故答案为：1． 【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、切线的判定与性质；证明三角形是等边三角形是解决问题的关键． 6．如图，正方形ABCD的边长为4，M为AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作圆P，当圆P与正方形ABCD的边相切时，CP的长为　 　． 【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形． 【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x． 在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2， ∴x2＝22+（4﹣x）2， ∴x＝2.5， ∴CP＝2.5； 如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形． ∴PM＝PK＝CD＝2BM， ∴BM＝2，PM＝4， 在Rt△PBM中，PB2， ∴CP＝BC﹣PB＝4﹣2． 综上所述，CP的长为2.5或4﹣2． 故答案为：2.5或4﹣2． 【点评】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，动点P以每秒1cm的速度从点C沿折线C﹣D﹣A匀速运动，到点A运动停止．以P为圆心作半径为cm的⊙P，当⊙P与对角线BD相切时，点P的运动时间为　 　s． 【分析】由矩形的性质和直角三角形的性质得出∠ADB＝30°，∠BDC＝60°，分两种情况①当⊙P与对角线BD相切，点P在CD上时；②当⊙P与对角线BD相切，点P在AD上时；由直角三角形的性质即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝∠A＝90°，CD＝AB＝4， ∴BD82AB， ∴∠ADB＝30°，∠BDC＝60°， ①当⊙P与对角线BD相切，点P在CD上时，如图1所示： 设QD为E，连接PE，则PE⊥BD， ∴∠DPE＝30°， ∴DEPE＝1， ∴PD＝2DE＝2， ∴CP＝42， ∵动点P以每秒1cm的速度从点C沿折线C﹣D﹣A匀速运动， ∴点P的运动时间为42（秒）， ②当⊙P与对角线BD相切，点P在AD上时，如图2所示： 设QD为F，连接PF，则PF⊥BD， ∵∠ADB＝30°， ∴PD＝2PF＝2， ∴CD+PD＝6， ∵动点P以每秒1cm的速度从点C沿折线C﹣D﹣A匀速运动， ∴点P的运动时间为6秒； 综上所述，⊙P与对角线BD相切时，点P的运动时间为42（秒）或6秒； 故答案为：42或6． 【点评】本题考查了切线的性质、矩形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和直角三角形的性质是解题的关键． 8．如图，BD是∠ABC的角平分线，点O是BD上一点，⊙O与AB相切于点M，与BD交于点E、F． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接EM，若EM∥BC，求∠ABC的度数． 【分析】（1）连接OM，过点O作ON⊥BC于N，先根据切线的性质得OM⊥AB，再由角平分线的性质得ON＝OM，进而根据切线的判定可得出结论； （2）设∠ABE＝α，根据角平分线的定义得ABE＝∠CBE＝α，∠ABC＝2α，再由EM∥BC得∠MEB＝∠CBE＝α，由OE＝OM得∠MEB＝∠OME＝α，由此得∠MOB＝2α，然后根据∠MOB+∠MBE＝90°求出α＝30°，进而可得∠ABC的度数． 【解答】（1）证明：连接OM，过点O作ON⊥BC于N，如图所示： ∵点O为⊙O的圆心，AB为⊙O的切线，切点为M， ∴OM为⊙O的半径，且OM⊥AB， ∵BD为∠ABC平分线，点O为BD上的点，且OM⊥AB，ON⊥BC， ∴ON＝OM， 即ON为⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线； （2）解：设∠ABE＝α， ∵BD为∠ABC平分线， ∴∠ABE＝∠CBE＝α，∠ABC＝2∠ABE＝2α， ∵EM∥BC， ∴∠MEB＝∠CBE＝α， ∵OE＝OM， ∴∠MEB＝∠OME＝α， ∴∠MOB＝∠MEB+∠OME＝2α， ∵OM⊥AB， ∴∠MOB+∠MBE＝90°， 即2α+α＝90°， ∴α＝30°， ∴∠ABC＝2α＝60°． 【点评】此题主要考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质和判定，等腰三角形的性质，灵活运用三角形的内角和定理进行运算是解决问题的关键． 9．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC于E． （1）求证：DE与⊙O相切； （2）若AB＝10，AD＝6，求DE的长； （3）在（2）的条件下，直接写出CD的长为 　 　． 【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到∠ODB＝∠CBD，证明OD∥BE，根据平行线的性质得到OD⊥DE，根据切线的判断定理证明结论； （2）过D作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH＝DE，根据三角形的面积公式求出DH，进而得出DE； （3）根据圆周角定理得到，得到CD＝AD，得到答案． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠OBD＝∠CBD， ∴∠ODB＝∠CBD， ∴OD∥BE， ∵BE⊥DE， ∴OD⊥DE， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE与⊙O相切； （2）解：过D作DH⊥AB于H， ∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，DH⊥AB， ∴DH＝DE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AB＝10，AD＝6， ∴BD8， ∵AB•DHAD•AB， ∴DH， ∴DE＝DH； （3）解：∵BD平分∠ABC， ∴， ∴CD＝AD＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查的是切线的判定、角平分线的性质、勾股定理的应用，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 10．如图，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上．在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD＝∠A． （1）求证：直线CD是⊙O的切线； （2）若AC＝CD，BD＝2，求AB的长． 【分析】（1）连接OC，得到∠OBC＝∠OCB，圆周角定理得到∠ACB＝90°，得到∠A+∠ABC＝90°，进而得到∠DCB+∠OCB＝90°，根据切线的判定即可证得结论； （2）根据等腰三角形的和三角形外角定理证明∠OBC＝∠BOC，推出△OBC是等边三角形，得到∠D＝30°，根据含30度直角三角形的性质求出OB，即可求出AB． 【解答】（1）证明：连接OC，则：OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90°， ∵∠BCD＝∠A， ∴∠DCB+∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°， ∴OC⊥CD， ∵OC是⊙O的半径， ∴直线CD是⊙O的切线； （2）解：由（1）知∠OCD＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠OCA， ∴∠BOC＝∠A+∠OCA＝2∠A， ∵AC＝CD， ∴∠A＝∠D， ∵∠BCD＝∠A， ∴∠BCD＝∠D， ∴∠OBC＝∠BCD+∠D＝2∠D＝2∠A， ∴∠OBC＝∠BOC， ∴OC＝BC， ∵OB＝OC， ∴OB＝OC＝BC， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠COD＝60°， ∴∠D＝30°， ∴OCOD， ∴OB+2＝2OB， ∴OB＝2， ∴AB＝2OB＝4． 【点评】本题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，含30度直角三角形的性质，综合运用这些知识是解决问题的关键． 11．已知点E是以AC为直径的⊙O上一个动点（与A、C不重合），连接CE并延长到点B，使得BE＝CE，连接AB，AB所在的直线与⊙O交于点D，EF⊥AB于点F． （1）如图1，求证EF为⊙O的切线； （2）若EF＝4，AC＝10，求BD长． 【分析】（1）根据三角形中位数定理得出OE∥AB，再根据平行线的性质得出OE⊥EF，由切线的判定方法即可得出结论； （2）分两种情况进行解答，即线段AB与⊙O相交于点D，线段BA的延长线与⊙O相交于点D，画出相应的图形，利用圆周角定理，勾股定理，垂径定理求出AB，AD即可． 【解答】（1）证明：如图1，连接OE， ∵OA＝OC，BE＝CE， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE∥AB， ∵EF⊥AB， ∴EF⊥OE， ∵OE是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）解：当线段AB与⊙O相交于点D，如图2﹣1，连接OE，AE，过点O作OM⊥AB，则AM＝DMAD， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠AEC＝90°， 即AE⊥BC， 又∵BE＝CE， ∴AB＝AC＝10， ∵EF⊥AB，OM⊥AB，OE∥AB， ∴四边形OEFM是矩形， ∴OM＝EF＝4， 在Rt△AOM中，OA＝5，OM＝4， ∴AM3， ∴AD＝2AM＝6， ∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4； 当线段BA的延长线与⊙O相交于点D，如图2﹣2， 此时BD＝AB+BD＝10+6＝16， 综上所述，BD＝4或BD＝16． 【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理，垂径定理以及勾股定理，掌握切线的判定方法，圆周角定理以及垂径定理是正确解答的关键． 12．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC． （1）求证：AC是⊙O的切线： （2）若BF＝8，DF，求⊙O的半径； （3）若∠ADB＝60°，BD＝1，求阴影部分的面积．（结果保留根号） 【分析】（1）连接OA、OD，如图，利用垂径定理的推论得到OD⊥BE，再利用CA＝CF得到∠CAF＝∠CFA，然后利用角度的代换可证明∠OAD+∠CAF＝90°，则OA⊥AC，从而根据切线的判定定理得到结论； （2）设⊙O的半径为r，则OF＝8﹣r，在Rt△ODF中利用勾股定理得到（8﹣r）2+r2＝（）2，然后解方程即可； （3）先证明△BOD为等腰直角三角形得到OB，则OA，再利用圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝120°，则∠AOE＝60°，接着在Rt△OAC中计算出AC，然后用一个直角三角形的面积减去一个扇形的面积去计算阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：连接OA、OD，如图， ∵D为BE的下半圆弧的中点， ∴OD⊥BE， ∴∠ODF+∠OFD＝90°， ∵CA＝CF， ∴∠CAF＝∠CFA， 而∠CFA＝∠OFD， ∴∠ODF+∠CAF＝90°， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD， ∴∠OAD+∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°， ∴OA⊥AC， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径为r，则OF＝8﹣r， 在Rt△ODF中，（8﹣r）2+r2＝（）2，解得r1＝6，r2＝2（舍去）， 即⊙O的半径为6； （3）解：∵∠BOD＝90°，OB＝OD， ∴△BOD为等腰直角三角形， ∴OBBD， ∴OA， ∵∠AOB＝2∠ADB＝120°， ∴∠AOE＝60°， 在Rt△OAC中，ACOA， ∴阴影部分的面积••． 【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 13．如图，形如量角器的半圆O的直径DE＝12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t（s），当t＝0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm． （1）当t＝　 　（s）时，⊙O与AC所在直线第一次相切；点C到直线AB的距离为 　 　； （2）当t为何值时，直线AB与半圆O所在的圆相切； （3）当△ABC的一边所在直线与圆O相切时，若⊙O与△ABC有重叠部分，求重叠部分的面积． 【分析】（1）求出路程EC的长，即可以求时间t＝1，作C到AB的距离CF，利用直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半可以得：CF＝6； （2）根据C到AB的距离为6cm，圆的半径为6cm，所以O与C重合，即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切，t＝8÷2＝4秒； （3）有两种情况： ①当半圆O与AB边相切于F时，如图2，重叠部分的面积是半圆面积的一半； ②当半圆O与AC相切于C时，如图4，连接OG，重叠部分的面积是扇形OCG的面积+△BOG的面积． 【解答】解：（1）∵DE＝12， ∴OE＝OD＝6， ∵OC＝8， ∴EC＝8﹣6＝2， ∴t＝2÷2＝1， ∴当t＝1s时，⊙O与AC所在直线第一次相切； 如图1，过C作CF⊥AB于F， Rt△BCF中，∵∠ABC＝30°，BC＝12， ∴CFBC＝6， 故答案为：1，6； （2）如图2，过C作CF⊥AB于F， 同理得：OF＝6， 当直线AB与半圆O所在的圆相切时， 又∵圆心O到AB的距离为6，半圆的半径为6， 且圆心O又在直线BC上， ∴O与C重合， 即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切， 此时，点O运动了8cm，所求运动时间t＝8÷2＝4； 如图3，当点O运动到B点的右侧时，且OB＝12，过O作OQ⊥AB，交直线AB于Q， 在Rt△QOB中，∠OBQ＝30°，则OQOB＝6， 即OQ与半圆O所在的圆相切，此时点O运动了12+12+8＝32cm， 所求运动时间t＝32÷2＝16， 综上所述，当t为4秒或16秒时，直线AB与半圆O所在的圆相切； （3）有两种情况： ①当半圆O与AB边相切于F时，如图2， 重叠部分的面积Sπ×62＝9π； ②当半圆O与AC相切于C时，如图4，连接OG， ∵BC＝DE＝12， ∴C与D重合，E与B重合， ∵OG＝OB， ∴∠ABC＝∠OGB＝30°， ∴∠COG＝60°， 过O作OH⊥AB于H， ∵OB＝6， ∴OHOB＝3， 由勾股定理得：BH3， ∴BG＝2BH＝6， 此时重叠部分的面积S3＝6π+9； 综上所述，重叠部分的面积为9πcm2或（6π+9）cm2． 【点评】本题考查了切线的判定与性质，熟练掌握切线的判定是关键：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；本题有难度，尤其是第3问，容易漏解，要注意利用数形结合的思想． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题提优2 切线的性质及判定综合应用 题型01 由切线的性质求角的度数 1．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于（　　） A．55° B．70° C．110° D．125° 2．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝24°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于E，则∠E为（　　） A．23° B．34° C．42° D．48° 3．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，OA与BC交于点D，AB＝AD，若∠C＝20°，则∠OAB等于（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 题型02 由切线的性质求线段的长度 1．如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC，CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，连接AO并延长，交CD于点E，若⊙O的半径为5，CD＝8，则弦AC的长为 　 　． 2．如图，一个边长为4cm的等边三角形的高与⊙O直径相等，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为　 　． 3．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为　 　． 题型03 切线的判定方法应用 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由 2．如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP＝CB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，OP＝1，求BC的长． 3．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点C，∠BAC的平分线交⊙O于点D，DE⊥AC，垂足为E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若直径AB＝10，弦AC＝6，求DE的长． 题型04 切线的判定与性质综合应用 1．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD．已知PC＝PD＝BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO＝CD；（4）弧AC＝弧AD．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点F，点E是弧AD上一点，连BE交CD于点N，点P在CD的延长线上，PN＝PE． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）连接DE，若DE∥AB，OF＝3，BF＝2，求PN的长． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AC上的点，以AD为直径作⊙O，交AB于点F．连接BD并延长交⊙O于点E，连接CE，CE＝BC． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若CD＝2，，求阴影部分的面积． 提优练习 1．如图，∠MPN＝60°，点O是∠MPN的角平分线上的一点，半径为4的⊙O经过点P，将⊙O向左平移，当⊙O与射线PM相切时，⊙O平移的距离是（　　） A．2 B． C． D．2 2．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为2cm的⊙P的圆心在直线AB上，且位于点O左侧的距离10cm处．如果⊙P以2cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（　　）秒钟后⊙P与直线CD相切． A．3 B．7 C．3或7 D．6或14 3．如图，AB是⊙O的直径，DC是⊙O的切线，切点是点D，过点A的直线与DC交于点C， 则下列结论错误的是（　　） A．∠AOD＝2∠ADC B．如果AD平分∠BAC，那么AC⊥DC C．如果CO⊥AD，那么AC也是⊙O的切线 D．如果AD＝2CD，那么ADAO 4．如图，在矩形ABCD中，AD＝8，E是边AB上一点，且AEAB．已知⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF：2．当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是（　　） A．8 B．4 C．12 D．12或4 5．如图，已知AB是⊙O的直径，AD、BD是半圆的弦，∠PDA＝∠PBD，∠BDE＝60°，若PD，则PA的长为　 　． 6．如图，正方形ABCD的边长为4，M为AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作圆P，当圆P与正方形ABCD的边相切时，CP的长为　 　． 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，动点P以每秒1cm的速度从点C沿折线C﹣D﹣A匀速运动，到点A运动停止．以P为圆心作半径为cm的⊙P，当⊙P与对角线BD相切时，点P的运动时间为　 　s． 8．如图，BD是∠ABC的角平分线，点O是BD上一点，⊙O与AB相切于点M，与BD交于点E、F． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接EM，若EM∥BC，求∠ABC的度数． 9．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC于E． （1）求证：DE与⊙O相切； （2）若AB＝10，AD＝6，求DE的长； （3）在（2）的条件下，直接写出CD的长为 　 　． 10．如图，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上．在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD＝∠A． （1）求证：直线CD是⊙O的切线； （2）若AC＝CD，BD＝2，求AB的长． 11．已知点E是以AC为直径的⊙O上一个动点（与A、C不重合），连接CE并延长到点B，使得BE＝CE，连接AB，AB所在的直线与⊙O交于点D，EF⊥AB于点F． （1）如图1，求证EF为⊙O的切线； （2）若EF＝4，AC＝10，求BD长． 12．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC． （1）求证：AC是⊙O的切线： （2）若BF＝8，DF，求⊙O的半径； （3）若∠ADB＝60°，BD＝1，求阴影部分的面积．（结果保留根号） 13．如图，形如量角器的半圆O的直径DE＝12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t（s），当t＝0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm． （1）当t＝　 　（s）时，⊙O与AC所在直线第一次相切；点C到直线AB的距离为 　 　； （2）当t为何值时，直线AB与半圆O所在的圆相切； （3）当△ABC的一边所在直线与圆O相切时，若⊙O与△ABC有重叠部分，求重叠部分的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$