专题3.6 函数的概念与性质全章十一大基础题型归纳（基础篇）-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

专题3.6 函数的概念与性质全章十一大基础题型归纳（基础篇） 【人教A版（2019）】 题型1 函数的定义域的求解 1．（23-24高一下·广东湛江·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数定义域为，则函数的定义域为（   ）. A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 4．（23-24高一·全国·课后作业）求抽象函数的定义域. (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 题型2 函数的值域的求解 1．（23-24高一上·江苏南京·期中）下列函数中，值域是的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南怀化·三模）已知函数则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 4．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）求下列函数的值域： (1) (2) 题型3 同一函数的判断 1．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）下列表示是同一个函数的是（   ）. A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25高一上·上海·课后作业）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（23-24高一·全国·课后作业）判断下列各组函数是否为同一个函数： （1）； （2），； （3）． 4．（23-24高一·全国·课后作业）下列各组中的两个函数是否为同一个函数？ （1），； （2），； （3），； （4），. 题型4 函数单调性的判断及单调区间的求解 1．（2024高三·全国·专题练习）设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 2．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）函数的单调增区间是（   ）. A． B． C． D．， 3．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知函数 ，图象经过点 ，且 . (1)求的值； (2)用定义法证明函数 在区间 上单调递增. 4．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数． (1)画出函数的图象； (2)写出函数的单调减区间； (3)用定义证明函数在为增函数． 题型5 函数的最值问题 1．（2024高二下·湖南·学业考试）已知函数，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．6 D．10 2．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 3．（23-24高一上·宁夏吴忠·期中）已知 (1)根据单调性的定义证明函数在区间上是减函数 (2)若函数（）的最大值与最小值之差为1，求实数的值 4．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数 (1)当时，求的单调递增区间（只需判定单调区间，不需要证明）； (2)设在区间上最大值为，求的解析式. 题型6 函数奇偶性的判断 1．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，既是奇函数，又在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·西藏·模拟预测）若函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二上·新疆·学业考试）设函数，其中. (1)若，求的最小值； (2)若，判断的奇偶性，并说明理由. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，并且满足， (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明. 题型7 函数图象的判断与应用 1．（23-24高二下·福建厦门·期末）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽合肥·三模）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）设函数．    (1)将函数写成分段函数的形式并画出其图象； (2)写出函数的单调区间和值域． 4．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知为二次函数，且满足：对称轴为.    (1)求函数的解析式，并求图象的顶点坐标； (2)在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并直接写出函数的单调增区间. 题型8 求幂函数的函数值、解析式 1．（23-24高二下·重庆·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D．3 2．（23-24高一下·辽宁本溪·开学考试）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知幂函数的图象与坐标轴无交点. (1)求的解析式； (2)解不等式. 4．（23-24高一上·湖北·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式. 题型9 幂函数的定义域、值域问题 1．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（ ） A．定义域为 B．值域为 C．偶函数 D．减函数 2．（23-24高一上·湖北襄阳·期末）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知幂函数的图像经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围． 4．（23-24高一上·陕西商洛·期中）已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 题型10 二次函数模型的应用 1．（2024高一·全国·专题练习）某杂志能以每本1.20元的价格销售12万本，假设定价每降低0.1元，销售量就增加4万本，要使总销售收入不低于20万元，则杂志的价格最低为（    ） A．0.5元 B．0.8元 C．1元 D．1.1元 2．（23-24高一上·湖南益阳·期末）某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（    ） A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 3．（23-24高一上·河北石家庄·期末）据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气．漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品．某企业生产制冷杯每月的成本（单位：万元）由两部分构成：①固定成才（与生产产品的数量无关）：万元；②生产所需材料成本：万元，（单位：万套）为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低?一万套的最低成本为多少? (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该制冷杯每月的利润不低于万元? 4．（23-24高一下·湖北·开学考试）某甜品店今年年初花费21万元购得一台新设备，经估算该设备每年可为甜品店提供12万元的总收入，已知使用年所需的总维护费用为万元． (1)该甜品店第几年开始盈利？ (2)若干年后，该甜品店计划以2万的价格卖出设备，有以下两种方案： ①当年平均盈利最大时卖出； ②当盈利总额达到最大时卖出； 试问哪一方案较为划算？说明理由． 题型11 分段函数模型的应用 1．（23-24高二下·北京朝阳·期末）某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药小时后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量不少于4毫克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（    ） A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 2．（23-24高一上·陕西渭南·期末）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费；乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲、乙两厂的总费用（千元）与印制证书数量（千个）的函数图像分别如图中甲、乙所示，则下列说法正确的是（    ）    A．选择甲厂比较划算 B．选择乙厂比较划算 C．若该单位需印制证书数量为8千个，则选择乙厂比较划算 D．当该单位需印制证书数量小于2千个时，不管选择哪个厂，总费用都一样 3．（23-24高一下·江西景德镇·期中）杭州亚运会以“绿色，智能，节俭，文明”为办赛理念，展示杭州生态之美，文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场已知该种设备年固定研发成本为万元，每生产一台需要另投入元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求出最大利润. 4．（23-24高二下·山东德州·期中）某工厂生产某产品的固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足万箱时，；当产量不小于万箱时，，若每箱产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部每售完. (1)求销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式； (2)当产量为多少万箱时，该厂在生产中所获得利润最大？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.6 函数的概念与性质全章十一大基础题型归纳（基础篇） 【人教A版（2019）】 题型1 函数的定义域的求解 1．（23-24高一下·广东湛江·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据根式、分式以及零次方成立的条件分析求解. 【解答过程】令，解得且， 所以函数的定义域是. 故选：C. 2．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数定义域为，则函数的定义域为（   ）. A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用复合函数的定义域的意义列式求解即得. 【解答过程】函数定义域为，由函数有意义，得，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 【解题思路】（1）根据题意结合零次方底数不为0运算求解； （2）根据题意结合根式的意义分析求解； （3）根据题意结合分式的意义运算求解. 【解答过程】（1）要使函数有意义，需满足， 解得，所以的定义域为． （2）要使函数有意义，需满足解得． 所以函数的定义域为． （3）要使函数有意义，需满足，解得． 所以函数的定义域为． 4．（23-24高一·全国·课后作业）求抽象函数的定义域. (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 【解题思路】（1）根据函数解析式可知，可得出函数的定义域，再根据抽象函数的定义域求法，即可求出函数的定义域； （2）根据题意，可知，根据抽象函数的定义域求法，可求出函数的定义域，从而得出的定义域. 【解答过程】（1）解：由， 得，解得：， ∴函数的定义域为， 由，得， 即函数的定义域为. （2）解：∵函数的定义域为， ∴，则， 即函数的定义域为， 由，得， ∴的定义域为. 题型2 函数的值域的求解 1．（23-24高一上·江苏南京·期中）下列函数中，值域是的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据值域的定义结合函数解析式逐项分析判断. 【解答过程】对于选项A：当时，，即值域有0，故A错误； 对于选项B，因为，即值域没有1，故B错误； 对于选项C：函数的定义域为，所以函数值域不连续，故C错误． 对于选项D：因为的取值范围是，所以函数的值域为，故D正确． 故选：D． 2．（2024·湖南怀化·三模）已知函数则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由已知求得函数的定义域，换元后利用配方法求函数的值域． 【解答过程】， 由，解得. . 令， 函数. 当时，； 当时，， 函数的值域为. 故选：D. 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【解题思路】（1）（3）根据题意结合基本不等式求值域； （2）换元令，结合二次函数求值域. 【解答过程】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）令，则， 可得， 当时，等号成立， 所以函数的值域为. （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即，所以函数的值域为. 4．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）求下列函数的值域： (1) (2) 【解题思路】（1）由结合基本不等式得出值域； （2）由换元法结合二次函数的性质得出值域. 【解答过程】（1）解：，故. 当且仅当时“”成立，值域为. （2）设, 则. ， 对称轴为，由二次函数的性质可知，故值域为. 题型3 同一函数的判断 1．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）下列表示是同一个函数的是（   ）. A．与 B．与 C．与 D．与 【解题思路】利用相同函数的意义，逐项判断即得. 【解答过程】对于A，函数的值域是R，而函数的值不可能为负数，A不是； 对于B，函数中，，解得，即的定义域为， 函数中，，解得或，即的定义域为，B不是； 对于C，函数的值域为，函数的值域是R，C不是； 对于D，，函数与是相同函数，D是. 故选：D. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【解题思路】根据两个函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解. 【解答过程】对于A，的定义域为,而的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，A错误， 对于B,与的定义域均为，且对应关系相同，故为相同函数，B正确， 对于C，的定义域为,而的定义域为，定义域不相同，故不是相同函数,C错误， 对于D，的定义域为，与的定义域为,定义域不相同，故不是相同函数,D错误， 故选：B. 3．（23-24高一·全国·课后作业）判断下列各组函数是否为同一个函数： （1）； （2），； （3）． 【解题思路】当一组函数定义域与对应关系均相同时即为同一函数,以此为依据进行判断即可 【解答过程】（1）因为的定义域为,而的定义域为R,所以与不是同一个函数； （2）因为与的定义域均为R,所以定义域相同, 又,所以与是同一个函数； （3）因为与的定义域均为R,所以定义域相同, 又,所以与不是同一个函数. 4．（23-24高一·全国·课后作业）下列各组中的两个函数是否为同一个函数？ （1），； （2），； （3），； （4），. 【解题思路】（1）由定义域不同，对应法则也不同判断； （2）由对应法则不同判断； （3）由两函数定义域不同判断； （4）由定义域都为(−∞,0)∪(0,+∞)，且对应法则也相同，判断是同一函数， 【解答过程】（1）函数的定义域为R,函数定义域为[0,+∞)， 定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数； （2）函数，对应法则不同，即解析式不同， 两个函数不是同一函数，函数与不是同一函数； （3），由于的定义域为， 的定义域为R，两函数定义域不同，两个函数不是同一函数； （4）函数与的定义域都为(−∞,0)∪(0,+∞)， 且对应法则也相同，是同一函数. 题型4 函数单调性的判断及单调区间的求解 1．（2024高三·全国·专题练习）设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 【解题思路】通过举反例即可判断A、B、C选项，可以借助单调性的定义证明D选项. 【解答过程】对于A选项，若，则，在上不是减函数，故A错误； 对于B选项，若，则，在上不是增函数，故B错误； 对于C选项，若，则，在上不是增函数，故C错误； 对于D选项，函数在上为增函数，则对于任意的，设，必有，即， 对于，则有 则在上为减函数，故D正确． 故选：D. 2．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）函数的单调增区间是（   ）. A． B． C． D．， 【解题思路】首先求出函数的定义域，再根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即可. 【解答过程】函数的定义域为， 又的图象是由向右平移个单位而来， 的单调递增区间为，， 所以的单调递增区间为，. 故选：D. 3．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知函数 ，图象经过点 ，且 . (1)求的值； (2)用定义法证明函数 在区间 上单调递增. 【解题思路】（1）根据条件得到方程组，可求出答案； （2），且，变形判断符号可得结论. 【解答过程】（1）由题意得， 解得 （2）由（1）可知， ，且， ， 因为，所以， 又，所以， 所以，即，所以， 所以函数在区间上单调递增. 4．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数． (1)画出函数的图象； (2)写出函数的单调减区间； (3)用定义证明函数在为增函数． 【解题思路】（1）根据分段函数的解析式，即可求解其函数图象， （2）由单调性的定义，结合图象即可求解， （3）利用单调性的定义，即可求证. 【解答过程】（1）函数大致图象如图所示：    （2）由（1）图可知函数的单调减区间为； （3）证明：设， 则， ∵， ∴，∴， ∴， ∴在上为增函数． 题型5 函数的最值问题 1．（2024高二下·湖南·学业考试）已知函数，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．6 D．10 【解题思路】方法一：运用基本不等式可求得最小值. 方法二：求出函数在上的单调性，根据单调性判断函数的最值. 【解答过程】方法一：当时，， 所以得最小值是6. 方法二：因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 故选：C. 2．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【解题思路】将原函数分离常数，由题意，结合反比例函数的性质建立方程，解之即可. 【解答过程】由， 而函数在上单调递减，所以函数在上单调递减， 又其在上的最小值为8， 所以，解得. 故选：C. 3．（23-24高一上·宁夏吴忠·期中）已知 (1)根据单调性的定义证明函数在区间上是减函数 (2)若函数（）的最大值与最小值之差为1，求实数的值 【解题思路】（1）且，利用作差法证明即可； （2）由（1）求出函数的最值，再根据题意即可得解. 【解答过程】（1）且， 则， 因为，所以， 又因为，所以， 因此， 所以在是减函数； （2）由（1）可知，是减函数， 所以时，取得最大值为， 时，取得最小值为， 因为最大值与最小值之差为1， 所以，解得. 4．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数 (1)当时，求的单调递增区间（只需判定单调区间，不需要证明）； (2)设在区间上最大值为，求的解析式. 【解题思路】（1）当时，将函数写为分段函数的形式，结合的单调性，写出函数的单调递增区间. （2）对分成三种情况，结合函数的解析式，讨论函数的最大值，由此求得的解析式. 【解答过程】（1）当时，， 当时，易得单调递增； 当时，， 因为对勾函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 又当时，，所以在上单调递增， 综上，的单调递增区间为，. （2）因为， 当时，，则， 根据对勾函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以； 当时，，则，显然在上单调递增， 所以； 当时，， 当时，单调递增，故， 当时，， 若时，则；若时，则； 所以当时，； 若时，，又，， 当，即时，， 当，即时，； 综上，. 题型6 函数奇偶性的判断 1．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，既是奇函数，又在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用基本初等函数的奇偶性和单调性逐项判断，可得出合适的选项. 【解答过程】对于A选项，设，该函数的定义域为，， 所以，函数为偶函数，且当时，，即函数在上是增函数，A不满足要求； 对于B选项，函数为奇函数，且该函数在上为增函数，B不满足要求； 对于C选项，函数为偶函数，且该函数在上为增函数，C不满足要求； 对于D选项，函数为奇函数，且该函数在上为减函数，D满足要求. 故选：D. 2．（2024·西藏·模拟预测）若函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】变形得到，从而得到为奇函数，其他选项不合要求. 【解答过程】因为， 所以， 由于定义域为， 又， 故为奇函数，故为奇函数， 其他选项均不合要求. 故选：C． 3．（2024高二上·新疆·学业考试）设函数，其中. (1)若，求的最小值； (2)若，判断的奇偶性，并说明理由. 【解题思路】（1）代入后根据函数单调性即可得到最小值； （2）计算出和的关系即可判断. 【解答过程】（1）当时，， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增， 所以. （2）当时，，其定义域为， 关于原点对称，且， 则为偶函数. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，并且满足， (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明. 【解题思路】（1）利用赋值法即可得到函数的特殊值； （2）利用奇偶性的定义，结合赋值思想即可得出判断. 【解答过程】（1）令，则; （2）是奇函数，证明如下： 令，得， ， 故函数是R上的奇函数． 题型7 函数图象的判断与应用 1．（23-24高二下·福建厦门·期末）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数奇偶性和单调性即可求解. 【解答过程】因为， 所以为奇函数， 当时，为减函数，为增函数，故为增函数，故B选项正确. 故选：B. 2．（2024·安徽合肥·三模）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数奇偶性、在上的单调性、函数值的正负情况依次判断和排除ABC，即可得解. 【解答过程】由题定义域为关于原点对称，且， 故是奇函数，故A错； 当时，， 又是增函数，在上是增函数， 故在上是增函数，故BC错； 故选：D. 3．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）设函数．    (1)将函数写成分段函数的形式并画出其图象； (2)写出函数的单调区间和值域． 【解题思路】（1）去掉绝对值符号将函数写成分段函数，再画出函数图象； （2）结合函数图象得到函数的单调区间与最小值，即可求出函数的值域. 【解答过程】（1）因为， 所以， 所以的图象如下所示：    （2）由（1）中函数图象可知，的单调递增区间为，单调递减区间为， 又，所以的值域为. 4．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知为二次函数，且满足：对称轴为.    (1)求函数的解析式，并求图象的顶点坐标； (2)在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并直接写出函数的单调增区间. 【解题思路】（1）设出二次函数解析式，根据条件得到方程组，解得解析式，再计算顶点即可. （2）确定函数解析式，画出函数图象，根据图象得到单调区间. 【解答过程】（1）设函数为，所以，解得， 所以，所以，所以顶点坐标为. （2）， 图象如图所示：    函数的增区间为：和. 题型8 求幂函数的函数值、解析式 1．（23-24高二下·重庆·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D．3 【解题思路】先用待定系数法求出幂函数解析式，然后直接求出即可. 【解答过程】设幂函数，代入点， 得，解得， 所以， 则， 故选：C． 2．（23-24高一下·辽宁本溪·开学考试）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设幂函数，将点的坐标代入即可. 【解答过程】设幂函数，将点代入得，所以, 所以幂函数的解析式为. 故选：B. 3．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知幂函数的图象与坐标轴无交点. (1)求的解析式； (2)解不等式. 【解题思路】（1）利用幂函数的定义，结合图象特征求出即得. （2）由幂函数的单调性结合奇偶性求解不等式. 【解答过程】（1）由是幂函数，得，解得或， 由的图象与坐标轴无交点，得，则， 所以的解析式是. （2）显然函数是偶函数，且在上单调递减， 不等式， 因此，解得且， 所以原不等式的解集为且. 4．（23-24高一上·湖北·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式. 【解题思路】（1）根据幂函数定义求出的值，由偶函数性质求出符合题意的，得到解析式； （2）由一元二次不等式的解法对分，，三种情况讨论得到不等式的解集. 【解答过程】（1）由题意，因为为幂函数， 所以，解得或. 当时，，定义域为，关于原点对称， 显然成立，故为偶函数，符合题意； 当时，， 此时的定义域为，不关于原点对称， 故不是偶函数，不符合题意. 故函数. （2）因为，则不等式等价于，即. 当时，有，不等式的解集为； 当时，有，不等式的解集为； 当时，有，不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 题型9 幂函数的定义域、值域问题 1．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（ ） A．定义域为 B．值域为 C．偶函数 D．减函数 【解题思路】结合幂函数性质逐项判断即可得. 【解答过程】因为幂函数的图象过点，所以， 所以，所以， 对A、B：因为，定义域为，值域为， 故A正确、B错误； 对C：，且定义域为，故为奇函数，故C错误； 对D：在区间，上单调递减， 由可知在定义域上不是减函数，故D错误. 故选：A. 2．（23-24高一上·湖北襄阳·期末）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可. 【解答过程】由已知值域为，故A错误； 时，等号成立，所以的值域是，B错误； 因为定义域为， ，函数值域为，故C正确； ，，，所以，故D错误. 故选：C. 3．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知幂函数的图像经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）根据幂函数定义借助待定系数法计算即可得其解析式，计算即可得其定义域； （2）结合函数单调性与定义域要求计算即可得. 【解答过程】（1）设，则有，解得， 故，即，则其定义域为； （2）由，则在上单调递减， 故有，即，即. 4．（23-24高一上·陕西商洛·期中）已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 【解题思路】利用幂函数的性质及题设条件可确定表达式，进而确定其在指定区间上的值域. 【解答过程】因为在上为增函数，所以，解得， 又，所以，或． 又因为，所以是偶函数，所以为偶数． 当时，满足题意；当时，不满足题意， 所以， 又因为在上递增，所以，， 故时，的值域是． 题型10 二次函数模型的应用 1．（2024高一·全国·专题练习）某杂志能以每本1.20元的价格销售12万本，假设定价每降低0.1元，销售量就增加4万本，要使总销售收入不低于20万元，则杂志的价格最低为（    ） A．0.5元 B．0.8元 C．1元 D．1.1元 【解题思路】由题意设杂志的价格降低了x个0.1元，即可确定降价后的价格以及卖出的数量，可得总销售收入的表达式，解不等式即可求得x的范围，由此可得答案. 【解答过程】设杂志的价格降低了x个0.1元， 则此时价格为元，卖出万本， 设总销售收入为y万元， 则， 要使，即，即，解得， 当时，价格最低，为(元). 故选：A. 2．（23-24高一上·湖南益阳·期末）某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（    ） A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 【解题思路】求出的表达式，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的的值，求出的表达式，利用基本不等式可求得的最大值及其对应的的值，即可出结论. 【解答过程】由题意可得， 故当时，取得最大值， ， 当且仅当时，等号成立， 因此，当生产万件时，当月能获得最大总利润万元， 当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元. 故选：D. 3．（23-24高一上·河北石家庄·期末）据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气．漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品．某企业生产制冷杯每月的成本（单位：万元）由两部分构成：①固定成才（与生产产品的数量无关）：万元；②生产所需材料成本：万元，（单位：万套）为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低?一万套的最低成本为多少? (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该制冷杯每月的利润不低于万元? 【解题思路】（1）根据题意，可知平均每套所需的成本费用为，再利用基本不等式即可求出结果； （2）由题意可知月利润，解一元二次不等式即可求出结果. 【解答过程】（1）设平均每套的成本为元， 由题有， 当且仅当，即时，取等号， 所以企业每月产量万套时，平均每万套的成本最低，一万套的最低成本为万元. （2）设月利润为万元， 则有， 由题知，整理得到，解得， 所以，该企业每月生产不小于万套，才能确保该制冷杯每月的利润不低于万元. 4．（23-24高一下·湖北·开学考试）某甜品店今年年初花费21万元购得一台新设备，经估算该设备每年可为甜品店提供12万元的总收入，已知使用年所需的总维护费用为万元． (1)该甜品店第几年开始盈利？ (2)若干年后，该甜品店计划以2万的价格卖出设备，有以下两种方案： ①当年平均盈利最大时卖出； ②当盈利总额达到最大时卖出； 试问哪一方案较为划算？说明理由． 【解题思路】（1）表达出年后所得总利润，解不等式，求出答案； （2）设方案①的年平均利润为，表达出，由对勾函数单调性求出最大值，再求出方案②的总利润，比较后得到结论. 【解答过程】（1）设该甜品店年后所得总利润为万元， 则， 若开始盈利即， ∴，解得， ∴第四年开始盈利． （2）方案①：设年平均利润为， 则， 由对勾函数性质可得在上单调递增，上为单调递减． 又，， 时，，4年总利润为3万元， 时，，5年总利润为4万元，故选择第5年卖出， 方案②：，， 即时总利润最大为4万元， 故选择方案一或方案二是一样的，最终都是在即第5年总利润达到最大值4万元， 加上卖设备的2万元，一共6万元利润． 题型11 分段函数模型的应用 1．（23-24高二下·北京朝阳·期末）某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药小时后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量不少于4毫克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（    ） A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 【解题思路】首先求出函数解析式，再令求出相应的的取值范围，即可得解． 【解答过程】当时，则， 当时，设函数为， 将，代入可得，解得，所以， 所以， 要使，则或，解得或， 综上所述：， 所以有效所持续的时长为个小时． 故选：A． 2．（23-24高一上·陕西渭南·期末）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费；乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲、乙两厂的总费用（千元）与印制证书数量（千个）的函数图像分别如图中甲、乙所示，则下列说法正确的是（    ）    A．选择甲厂比较划算 B．选择乙厂比较划算 C．若该单位需印制证书数量为8千个，则选择乙厂比较划算 D．当该单位需印制证书数量小于2千个时，不管选择哪个厂，总费用都一样 【解题思路】由图象写出甲乙厂费用函数解析式，数形结合判断印制证书数量与甲、乙两厂总费用大小关系，即可判断各项的正误. 【解答过程】由图知：甲厂费用函数为，乙厂费用函数为， 当时，，可得；当时，，可得； 结合图象知：当或时乙厂划算；当时甲厂划算；当或时甲乙费用相同； 所以A、B、D错，C对. 故选：C. 3．（23-24高一下·江西景德镇·期中）杭州亚运会以“绿色，智能，节俭，文明”为办赛理念，展示杭州生态之美，文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场已知该种设备年固定研发成本为万元，每生产一台需要另投入元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求出最大利润. 【解题思路】（1）依题意可得，根据的解析式计算可得； （2）利用二次函数的性质、基本不等式分别求出、上的最值，进而确定年利润最大时对应生产的台数及最大利润值. 【解答过程】（1）依题意可得， 又， 当时； 当时， 所以； （2）当时，， 由函数图象开口向下，对称轴方程为可知函数在上单调递增， 所以当时，， 当时， ， 当且仅当时，即时等号成立， 因为，所以当年产量为万台时，该公司获得年利润最大为万元. 4．（23-24高二下·山东德州·期中）某工厂生产某产品的固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足万箱时，；当产量不小于万箱时，，若每箱产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部每售完. (1)求销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式； (2)当产量为多少万箱时，该厂在生产中所获得利润最大？ 【解题思路】（1）分和两种情况讨论，分别求出函数解析式； （2）利用导数求出函数在时的最大值，利用基本不等式求出当时的最大值，即可得解. 【解答过程】（1）由题意可知，销售收入为万元， 当产量不足万箱，即时， . 当产量不小于万箱，即时， . 综上可得. （2）设， 当时，， 则当时，当时， 可知在上单调递增，在上单调递减. 则， 当时，由基本不等式可知， 当且仅当，即时取等号. 又，所以当产量为万箱时，所获利润最大值为万元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$