专题04 特殊平行四边形解答压轴题分类训练（3种类型30道）-2024-2025学年九年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（北师大版）

专题04 特殊平行四边形解答压轴题分类训练（3种类型30道） 专题目录 【类型1 菱形压轴题】 1 【类型2 矩形压轴题】 34 【类型3 正方形压轴题】 57 【类型1 菱形压轴题】 1．已知平行四边形中， 对角线相交于点O， ． (1)如图1， 若 ，，求的长； (2)如图2，过点C作于点F， 连接， 过点 A作交于点E，求证： (3)如图3，在（1）的条件下，点P 是直线上的一个动点， 且 ，连接 ，当 的值最小时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明是等边三角形，可得，进而得到平行四边形是菱形，再由勾股定理求出的长，即可求解； （2）过点C作，交于点G，证明，可得，，再证明，可得是等腰直角三角形，从而得到是等腰直角三角形，即可求证； （3）连接，，可得，再证明，可得，，即当点在时，的值最小，此时，然后根据直角三角形的性质以及勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点C作，交于点G， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，连接， 由（1）得：， ∵且 ， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即当点在时，的值最小， 如图，此时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质，三角形的全等、等腰三角形的性质以及勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 2．已知菱形的面积为，且，连接对角线，相交于点O，点E是边上一点，连接交于M．    (1)如图1，当，求的长； (2)如图2，将绕点A顺时针旋转，点E对应点F，连接交于点G，连接，求证：； (3)如图3，将沿射线方向平移，得到，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)证明过程见详解 (3) 【分析】（1）由菱形的性质得，证明是等边三角形，由等边三角形的性质及菱形面积是即可求出； （2）截取，连接，证明，得即可得结论； （3）设交于点O，取的中点E，连接，过点作，交延长线于，求出当三点共线时，有最小值，即有最小值． 【详解】（1）解： 菱形中，， 是等边三角形三角形，，， ， ， ，， ，， ，即， ，， ， ； （2）    截取，连接， 在和中， ， ， ， 将绕点A顺时针旋转， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，即； （3）设交于点O，取的中点E，连接，    由题知，，且， 四边形是平行四边形， ， 点B与点D关于直线轴对称，点O在直线上， ， ， 即， 由题知，O是的中点， ， ， ， 是的中点， ， 即， 当三点共线时，有最小值， 即有最小值， 过点作，交延长线于， ， ， ， ， ，， ， 又， ， 所以的最小值为． 【点睛】此题是四边形综合题，考查了菱形的性质、平移的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的三角形的性质、勾股定理、最小值等知识，熟练掌握菱形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键． 3．菱形的对角线交于点． (1)如图1，过菱形的顶点作于点，交于点，若，求四边形的面积； (2)如图2，过菱形的顶点作，且，线段交于点，交于点．若、、三点共线，求证：； (3)如图3，菱形中，，，点为射线上一动点，连接．将绕点逆时针旋转到，连接，直接写出线段的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先证明是等边三角形，再求出、 、 、的长，利用即可求得答案； （2）先证明和是等腰直角三角形，再证明，得到，连接，设，利用勾股定理进行证明即可； （3）以为边向下做等边，连接，在上取一点T，使得，再证明，可得，然后根据垂线段最短可知，当时，的值最小，最后解直角三角形求出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴ ， 与互相垂直平分， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ，， ∴ ，， 在中，由勾股定理得 ∵ ∴ 设 ，则 ， 在中，由勾股定理得 ， 即， 解得 ， ∴， ∴，   ， ， ∴四边形的面积是； （2）证明：∵， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，垂直平分，， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 如图4，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设， 在中， 由勾股定理得 ， 在中， ， ∵ ， ∴，则， ∴，   ， 在中， ∵ ∴，即； （3）解：如图5，以为边向下做等边，连接，在上取一点T，使得， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ， 当时，线段有最小值，此时有最小值， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设 ， ， 由勾股定理得 ， 在中，， + 由勾股定理得 ∴ 解得， ∴ 的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形、勾股定理、等边三角形、图形的旋转、全等三角形、菱形等知识点，难度较大，解题的关键在于作出正确的辅助线． 4．菱形中，，连接，点是边上一点，连接交于点． (1)如图1，若，当时，求的长； (2)以为边向右侧作等边，连接，． ①如图2，点是中点，连接，求证：； ②如图3，当时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)①见解析；② 【分析】（1）由菱形可知，，平分，进而得到，，在中，，在中，，； （2）①延长至，使，即，连接，易通过证明≌，得到，，进而可得，由平行线的性质可得，由等边三角形的性质可知，，于是，易得，则，根据等角加同角相等得，于是可通过证明≌，得到，由可得；②连接交于点，过点作于点，设，则，，易得为等边三角形，，利用含度角的直角三角形性质得，，进而得到，由平行线的性质得到，因此，利用含度角的直角三角形性质得，根据三角形面积公式求得，等等角加同角相等可得，于是根据证明，得到，，则，根据三角形面积公式求得，再进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，， ，，平分， ， ， ， ， ，， ， ，， ∴， ∴， ，； （2）①证明：如图，延长至，使，即，连接， 点为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②解：如图，连接交于点，过点作于点， 设，则， ， 四边形为菱形，， ，，，，， 为等边三角形， ， 在中，，， ， ， ，即， ， 在中，， ， 为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、含度角的直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行线的性质、三角形的面积，解题关键是熟知菱形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题． 5．已知在菱形中，，连接对角线．    (1)如图1，为边上一点，为边延长线上一点，且，连接，交于点． ①求证：； ②过点作，垂足为，求证：； (2)如图2，已知，将沿射线平移，得到，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2)6 【分析】（1）①根据菱形的性质和已知条件可得，是等边三角形，进而可得，结合，，根据全等三角形的判定可得，即可证明； ②作于，全等三角形的判定，进而求得，根据含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理求得CH＝BG；（2）设交于点，取的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，，当，，三点共线时，取得最小值，结合已知条件，即可求得的最小值． 【详解】（1）①证明：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴和均是等边三角形， ∴， ∴，， 故， 又∵，， ∴， ∴； ②证明：作于，如图：    ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设交于点，取的中点，连接，，    由平移可知，，且， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 是的中点， ， ， 当，，三点共线时，取得最小值， 此时，如图，    ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴最小值为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平移的性质，平行四边形的性质与判定，三角形的中位线性质，全等三角形的判定与性质、线段和最值等知识，涉及知识点较多，综合性强，综合运用以上知识是解题的关键． 6．菱形ABCD的对角线交于点O． (1)如图1，过菱形ABCD的顶点A作于点E，交OB于点H，若，四边形AECD的面积为，求菱形ABCD的边长； (2)如图2，菱形ABCD中，过顶点A作于点E，交DC延长线于点F，线段AF交OB于点H．若，求证：； (3)如图3，菱形ABCD中，，点P为射线AD上一动点，连接BP，将BP绕点B逆时针旋转到BQ，连接AQ，直接写出线段AQ的最小值． 【答案】(1)8 (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图1中，设AD=2m．根据四边形AECD的面积，构建方程求解； （2）如图2中，连接CH，在OC上取一点Q，使得OH=OQ，连接HQ．证明△BEH≌△AEC（），推出BH=AC=2OC，QH=QC=OH，设OH=m，则OQ=m，HQ=CQ=m，求出OH+OC，BH（用m表示），可得结论； （3）如图3中，以AB为边向下作等边△ABT，连接PT，过点T作TH⊥AD于点H，在TH上取一点J，使得AJ=JT．证明△ABQ≌△TBT（SAS），推出AQ=PT，当TP与TH重合时，TP的值最小，此时AQ的值最小． 【详解】（1）解：如图1中，设AD=2m． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD=2m， ∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵AE⊥CB， ∴BE=CE=m， ∴AE=m， ∵S四边形AECD=×（m+2m）×m=24， ∴m=4或-4（舍去）， ∴AD=8； （2）证明：如图2中，连接CH，在OC上取一点Q，使得OH=OQ，连接HQ． ∵AD⊥AD，AD=AF， ∴∠ADF=∠F=45°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABC=∠ADC=45°，AD∥CB， ∴AE⊥BC， ∴∠AEB=∠AEC=90°， ∵DA=DC， ∴∠DAC=∠DCA=67.5°， ∴∠EAC=∠EBH=22.5°， ∴△BEH≌△AEC（ASA）， ∴BH=AC=2OC， ∵BD垂直平分线段AC， ∴HA=HC， ∴∠HCA=∠HAC=22.5°， ∵OQ=OH， ∴∠OHQ=∠OQH=45°， ∵∠OQH=∠QHC+∠QCH， ∴∠QHC=∠HCQ=22.5°， ∴QH=QC=OH， 设OH=m，则OQ=m，HQ=CQ=m， ∴OC=m+m， ∴OH+OC=m+m+m=2m+m， ∵BH=OC=（m+m）=m+2m， ∴OH=BH-OC； （3）解：如图3中，以AB为边向下作等边△ABT，连接PT，过点T作TH⊥AD于点H，在TH上取一点J，使得AJ=JT． ∵∠PBQ=∠ABT=60°， ∴∠ABQ=∠TBP， ∵BP=BQ，BA=BT， ∴△ABQ≌△TBT（SAS）， ∴AQ=PT， ∴当TP与TH重合时，TP的值最小，此时AQ的值最小． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥CB， ∴∠BAD+∠ABC=180°， ∵∠ABC=45°，∠BAT=60°， ∴∠BAD=135°，∠TAH=75°， ∵∠AHT=90°， ∴∠ATH=15°， ∵JA=JT， ∴∠JAT=∠JTA=15°， ∴∠AJH=∠JAT+∠JTA=30°， 设AH=a，则AJ=JT=2a，HJ=a， ∵AT=AB=6， ∴a2+（2a+a）2=62， 解得a=， ∴， ∴AQ的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 7．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别是AB、BC上的动点，连接DE、DF、EF． (1)如图1，连接AF，若AF⊥BC，E为AB的中点，且EF＝5，求DF的长； (2)如图2，若BE＝BF，G为DE的中点，连接AF、AG、FG，求证：AG⊥FG； (3)如图3，若AB＝7，将△BEF沿EF翻折得到△EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），连接AP、BP及CP，请直接写出当PA＋PB＋PC值最小时PB的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）法一：如图1，过点D作DG⊥BC交BC的延长线于G，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，，在中，，E为AB的中点，AF⊥BC，BF＝EF＝BC，CG＝CD，DG＝CG，FG＝CF+CG，在中，DF＝，进而求出DF；法二：四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，，，AF⊥BC则∠AFB＝90°，在中，，，是的中点，，是等边三角形，可知EF＝BE＝AB，，AF＝5，在中， DF＝，进而求出DF； （2）法一：如图2，延长AG交CD于H，连接AC，FH；由四边形ABCD为菱形知AB＝BC＝CD，∠ABC=∠ADC＝60°，AB∥CD，∠AEG＝∠HDG，G为DE的中点有EG＝DG，得△AEG≌△HDG，AG＝HG，AE＝DH，BE＝BF，∠ABC＝60°，△BEF为等边三角形，有FC＝DH，AC＝AD，，知△AFC≌△AHD，AH＝AF，同理△ABF≌△ACH，∠BAF＝∠CAH，∠FAH＝∠FAC+∠CAH＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝60°，△AFH是等边三角形，AG＝HG，进而说明AG⊥FG．法二：如图4，延长AG交CD于H，连接FH，四边形ABCD是菱形，有AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝60°，∠BCD=120°知∠EAG＝∠DHG，∠AEG＝∠HDG，点G是DE中点，EG＝DG，由，知△AEG≌△HDG，AG＝HG，AE＝DH，BE＝CH，BE＝BF，∠ABC＝60°知△BEF是等边三角形，有∠BEF＝60°，EF＝BE，∠AEF=120°，∠AEF＝∠FCH，EF＝CH，由，得△AEF≌△FCH，有AF＝HF，AG＝HG，进而说明FG⊥AG； （3）解：如图a，在△ABC中，P为其中任意一点．连接AP，BP，得到△ABP．以点B为旋转中心，将△ABP逆时针旋转 60°，得到△EBD，BD＝BP，△DBP 为一个等边三角形，有PB＝PD，当E、D、P、C 四点共线时，PA+PB+PC最小；如图3，当B、P、G、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD．将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DGC，知△APC≌△DGC，CP＝CG，∠PCG＝60°，△PCG是等边三角形，PG＝CG＝CP，∠GPC＝∠CGP＝60°；菱形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝30°，∠PCB＝∠GPC﹣∠CBP＝60°﹣30°＝30°，∠PCB＝∠CBP＝30°，BP＝CP，同理DG＝CG，BP＝PG＝GD，连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD，在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，BC＝7，得OC、BO的值，BD＝2BO，BP＝BD，可求得BP的值． 【详解】（1）解：法一：如图1，过点D作DG⊥BC交BC的延长线于G， ∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60° ∴， ∴ ∵AF⊥BC ∴∠AFB＝90°， ∴ ∴△BEF为等边三角形 ∴BF＝EF＝BC ∴CF＝EF＝5 在中， ∴CG＝CD＝5，DG＝CG＝5 ∵FG＝CF+CG＝10 ∴DF＝＝5 法二：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60° ∴， ∵AF⊥BC ∴∠AFB＝90° 在中 ， ∵是的中点 ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∵EF＝5，EF＝BE＝AB ∴ ∴AF＝5 在中， DF＝＝5 ∴的值为． （2）证明：法一：如图2，延长AG交CD于H，连接AC，FH， ∵四边形ABCD为菱形 ∴AB∥CD，AB＝BC＝CD，∠ABC=∠ADC ∴∠AEG＝∠HDG， ∵G为DE的中点， ∴EG＝DG， 在△AEG和△HDG中，， ∴△AEG≌△HDG， ∴AG＝HG，AE＝DH， ∵BE＝BF，∠ABC＝60° ∴△BEF为等边三角形 ∴BE＝BF=EF， ∴FC＝DH，AC＝AD 在△AFC和△AHD中，， ∴△AFC≌△AHD ∴AH＝AF 同理：△ABF≌△ACH ∴∠BAF＝∠CAH ∴∠FAH＝∠FAC+∠CAH＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝60°， ∴△AFH是等边三角形 ∵AG＝HG ∴AG⊥FG． 法二：如图4 延长AG交CD于H，连接FH， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵∠ABC＝60° ∴∠BCD=120° ∴∠EAG＝∠DHG，∠AEG＝∠HDG， ∵点G是DE中点， ∴EG＝DG， 在△AEG和△HDG中，， ∴△AEG≌△HDG ∴AG＝HG，AE＝DH ∴BE＝CH， ∵BE＝BF，∠ABC＝60° ∴△BEF是等边三角形 ∴∠BEF＝60°，EF＝BE ∴∠AEF=120° ∴∠AEF＝∠FCH，EF＝CH 在△AEF和△FCH中， ∴△AEF≌△FCH ∴AF＝HF ∵AG＝HG ∴FG⊥AG （3）解：如图a 在△ABC中，P为其中任意一点．连接AP，BP，得到△ABP． 以点B为旋转中心，将△ABP逆时针旋转 60°，得到△EBD ∴BD＝BP， ∴△DBP 为一个等边三角形 ∴PB＝PD ∴PA+PB+PC＝DE+PD+PC ∴当E、D、P、C 四点共线时，为PA+PB+PC最小． 如图3，当B、P、G、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD． ∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DGC， ∴△APC≌△DGC， ∴CP＝CG，∠PCG＝60°， ∴△PCG是等边三角形， ∴PG＝CG＝CP，∠GPC＝∠CGP＝60°． ∵菱形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝30°， ∴∠PCB＝∠GPC﹣∠CBP＝60°﹣30°＝30°， ∴∠PCB＝∠CBP＝30°， ∴BP＝CP， 同理，DG＝CG， ∴BP＝PG＝GD． 连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD． 在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，BC＝7， ∴OC＝， ∴BO= ∴BD＝2BO＝ ， ∴BP＝BD＝ 即当PA+PB+PC值最小时PB的长为 ． 【点睛】本题考查了菱形，特殊的直角三角形，勾股定理，全等三角形，等腰三角形，和的最值，旋转，二次根式等知识点．解题的关键是灵活综合运用菱形的性质，旋转等知识． 8．如图，在中，，为上的点，延长至点，使，连接，过点作交于点，连接． （1）如图1，若，求证：四边形为菱形； （2）如图2，若，连接，过点作，，连接，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）四边形的面积为24． 【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ACE=∠FEC，利用ASA可证明△ACD≌△FED，可得AC=EF，可得四边形ACFE是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得结论； （2）如图，过点C作CH⊥AB于H，同（1）可证明四边形ACFE是平行四边形，可得AC=EF，即可证明BC=EF，利用勾股定理可求出AB的长，利用面积可求出CH的长，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAB=∠CBA=45°，根据平行线的性质可得∠AFE=∠CAB=45°，根据外角性质可得∠FEB+∠FBE=45°，根据可得∠FBE+∠CBG=45°，可得∠FEB=∠CBG，利用SAS可证明△BCG≌EFB，可得BF=CG，即可求出AF的长，根据S四边形ACFE=2S△ACF，利用三角形面积公式即可得答案． 【详解】（1）∵， ∴∠ACE=∠FEC， 在△ACD和△FED中，， ∴△ACD≌△FED， ∴AC=EF， ∴四边形ACFE是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． （2）如图，过点C作CH⊥AB于H， 同（1）可知四边形ACFE是平行四边形， ∴AC=EF， ∵AC=BC=6，， ∴BC=EF=6，AB==，∠CAB=∠CBA=45°， ∵S△ABC=，即， ∴CH=， ∵， ∴∠AFE=∠CAB=45°， ∴∠FEB+∠FBE=45°， ∵， ∴∠FBE+∠CBG=45°， ∴∠FEB=∠CBG， 在△BCG和EFB中，， ∴△BCG≌EFB， ∴BF=CG=， ∴AF=AB-BF=， ∴S四边形ACFE=2S△ACF===24． 【点睛】本题考查菱形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 9．在菱形中，，点是对角线上一动点，将线段绕点顺时针旋转到，连接，连接并延长，分别交、于点、． （1）如图1，若且，求菱形的面积； （2）如图2，求证：． 　　　　 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】（1）连接，可得，进而得、、三点共线，点M是菱形的旋转中心，可得，结合旋转的性质可得，MQ=NQ，根据直角三角形的性质得，BM=4，进而即可求解； （2）根据菱形的性质和旋转的性质以及SAS，可证，在上取点，使，可证，再证，即可得到结论． 【详解】（1）连接，如图1， ∵在菱形中，， 又∵， ∴、、三点共线，点M是菱形的旋转中心， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵CM=CN， ∴，MQ=NQ， ∵， ∴， ∴， ∵∠MBC=∠ABC=30°， ∴BM=4， ∴菱形=32； （2）四边形是菱形， ∴，，，， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 在上取点，使，如图2， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴∠DHN=∠CQN， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查菱形的性质定理，旋转的性质，直角三角形的性质以及三角形全等的判定和性质，数量掌握菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，添加合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＞AD，∠A＝60°， （1）如图1，过点D作DH⊥AB于点H，MC平分∠DCB交AB边于点M，过M作MN⊥AB交AD边于点N，AN：ND＝2：3，平行四边形ABCD的面积为60，求MN的长度． （2）如图2，E、F分别为边AB、CD上一点，且AE＝AD＝DF，连接BF、EC交于点O，G为AD延长线上一点，连接GE、GF和GO，若∠GFD＝∠EFB，求证：GO⊥EC． 【答案】（1）2；（2）见解析 【分析】（1）设AN=2x，DN=3x，得到AD=5x，解直角三角形得到AM=x，MNx，根据平行四边形的性质得到BC=AD，CD∥AB根据等腰三角形的性质得到BM=BC=AD=5x，根据平行四边形的面积列方程即可得到结论； （2）连接CG，BG，根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB∥CD，推出四边形AEFD是菱形，根据全等三角形的性质得到DG=BE，得到△ABG是等边三角形，求得BG=AB=CD，∠ABG=60°，推出四边形EBCF是平行四边形，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）∵AN：ND=2：3， ∴设AN=2x，则DN=3x， ∴AD=5x． ∵MN⊥AB， ∴∠AMN=90°． ∵∠A=60°， ∴AM=x，MNx． ∵DH⊥AB， ∴DHADx． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD，CD∥AB， ∴∠DCM=∠BMC． ∵MC平分∠DCB， ∴∠DCM=∠BCM， ∴∠CMB=∠BCM， ∴BM=BC=AD=5x， ∴AB=6x． ∵平行四边形ABCD的面积为60， ∴AB•DH=6x•x=60， ∴x=2（负值舍去）， ∴MN的长度为2； （2）连接CG，BG． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD． ∵AE=AD=DF， ∴四边形AEFD是菱形， ∴AD=EF=DF，AD∥EF， ∴∠BEF=∠A=∠CDG=60°． 在△FDG与△FEB中， ∵， ∴△FDG≌△FEB（ASA）， ∴DG=BE， ∴AG=AB， ∴△ABG是等边三角形， ∴BG=AB=CD，∠ABG=60°． 在△BGE与△CDG中， ∵， ∴△BGE≌△CDG， ∴GE=GC． ∵AD∥EF∥BC，AD=EF=BC， ∴四边形EBCF是平行四边形， ∴CO=OE， ∴GO⊥EC． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 【类型2 矩形压轴题】 11．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB＝3，AD＝4． (1)如图1，当∠DAG＝30°时，求BE的长； (2)如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长； (3)如图3，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，直接写出BE的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先确定出∠BAE＝30°，再利用含30°的直角三角形的性质即可得出结论； （2）连接GE，根据点E是BC的中点以及翻折的性质可以求出BE＝EF＝EC，然后利用“HL”证明△GFE和△GCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证FG＝CG，设GC＝x，表示出AG、DG，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理列式进行计算即可得解； （3）先判断出EF⊥AC时，△CEF的周长最小，最后用勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∵∠DAG＝30°， ∴∠BAG＝60° 由折叠知，∠BAE＝∠BAG＝30°， 在Rt△BAE中，∠BAE＝30°，AB＝3， ∴BE＝ （2）解：如图4，连接GE， ∵E是BC的中点， ∴BE＝EC， ∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE， ∴BE＝EF， ∴EF＝EC， ∵在矩形ABCD中， ∴∠C＝90°， ∴∠EFG＝90°， ∵在Rt△GFE和Rt△GCE中， ∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL）， ∴GF＝GC； 设GC＝x，则AG＝3+x，DG＝3﹣x， 在Rt△ADG中，42+（3﹣x）2＝（3+x）2， 解得x＝． （3）解：如图1，由折叠知，∠AFE＝∠B＝90°，EF＝BE， ∴EF+CE＝BE+CE＝BC＝AD＝4， ∴当CF最小时，△CEF的周长最小， ∵CF≥AC-AF， ∴当点A，F，C在同一条直线上时，CF最小， 由折叠知，AF＝AB＝3， 在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝AD＝4， ∴AC＝5， ∴CF＝AC﹣AF＝2， 在Rt△CEF中，EF2+CF2＝CE2， ∴BE2+CF2＝（4﹣BE）2， ∴BE2+22＝（4﹣BE）2， ∴BE＝． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是求出∠BAE＝30°，解（2）和（3）的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题． 12．如图，四边形ABCD为矩形，F为对角线BD上一点，点E在BA延长线上． （1）如图①，若F为矩形对角线AC、BD的交点，点E在BA延长线上且BE＝AC，连接DE，M是DE的中点，连接BM，FM若AD＝6，FM＝，求线段AE的长； （2）如图②，过点F作FE⊥BD交AD于点H，交BA延长线于点E，连接AF，当FD＝FE时，求证：HA+AB＝AF． 【答案】（1）3；（2）见解析 【分析】（1）由矩形的性质可得AC=BD，BF=DF，由中位线定理可得BE＝2MF，再由勾股定理可求AB的长，即可求AE的长； （2）如图②，过点F作FN⊥AF交AB的延长线于点N，由“ASA”可证△EFN≌△DFA，可得∠DAF=∠N，AF=FN，由等腰直角三角形的性质可得AN= ，由“ASA”可证△AHF≌△NBF，可证AH=BN，即可得结论． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形 ∴AC＝BD，BF＝DF， ∵M是DE的中点，BF＝DF， ∴BE＝2MF＝， ∵BE＝AC，AC＝BD ∴BD＝ ， ∴AB＝, ∴AE＝BE﹣AB＝3， （2）如图②，过点F作FN⊥AF交AB的延长线于点N， ∵EF⊥DF，EA⊥AD， ∴∠E+∠AHE＝90°，∠ADF+∠DHF＝90°， ∴∠E＝∠ADF， ∵∠AFN＝∠EFD＝90°， ∴∠AFD＝∠EFN，且∠E＝∠ADF，且EF＝DF， ∴△EFN≌△DFA（ASA） ∴∠DAF＝∠N，AF＝FN，且∠AFN＝90°， ∴AN＝AF， ∵∠AFN＝∠EFB＝90°， ∴∠AFH＝∠BFN，且∠DAF＝∠N，AF＝FN， ∴△AHF≌△NBF（ASA）， ∴AH＝BN（全等三角形对应边相等）， ∵AN＝AF， ∴AB+BN＝AB+AH＝ AF， 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 13．在矩形中，，平分，连接． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，点F是延长线上的一点，与交于点G，于点H，的延长线交于点P，连接，探究之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，取的中点Q，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质，角平分线的定义，推出均为等腰直角三角形，再利用平角的定义，求出的度数即可； （2）延长交于点，先证明，得到，，进而证明，得到，再根据，结合等量代换，即可得出结论； （3）取的中点，连接，勾股定理求出的长，斜边上的中线求出的长，根据，求出的最小值即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 延长交于点， 由（1）知：，，， ∴， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）取的中点，连接， 则：， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查矩形的性质，斜边上的中线，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判断和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 14．如图， 矩形的对角线交于点，是上任意一点，作，并截取，连接． (1)判断四边形的形状并说明理由； (2)若 ，且是中点， 连接． ①求四边形 的面积； ②则的最小值是 ． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析； (2)①；②． 【分析】（）由，可得四边形是平行四边形，再由矩形的性质可得，即可求证； （）①连接，由矩形的性质可得是等边三角形，，再根据菱形的性质可得是等边三角形，得到，利用菱形的面积公式计算即可得到四边形 的面积；②由菱形的性质可得点关于对称，连接，与相交于点，连接，则，即得，可得当点与点重合时，的值最小，最小值为的长，利用等边三角形的性质可得，，由勾股定理求出即可求解； 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ②∵四边形是菱形， ∴点关于对称， 连接，与相交于点，连接，则， ∴， ∴当点与点重合时，的值最小，最小值为的长， ∵是等边三角形，是中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，三角形的三边关系，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 15．在矩形中，，与相交于点，点分别是边上的动点，且线段经过点． (1)如图，求证：． (2)如图，将矩形沿折叠，点分别是点与点的对应点． ①若，求的长度． ②连接，直接写出面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2)①；②． 【分析】（）证明即可求证； （）①由折叠得由折叠可得，进而由可得，得到为等腰直角三角形，据此可得，即得，又由（）可得，即可得到，即可求解；②由折叠可得，，得到点在以点为圆心，长为半径的圆上，如图，过点作于，连接，过点作于，可得，即点三点共线时，最大，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理可得，即得到，最后利用三角形的面积公式计算即可求解； 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：①由折叠可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵由折叠可得 ， ∴点在以点为圆心，长为半径的圆上，如图，过点作于，连接，过点作于， 则，即点三点共线时，最大， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴边上的最大高为， ∴面积的最大值为． 16．如图，，，点A在上，四边形是矩形，连接，交于点E，连接交于点F． (1)求证：． (2)若点G是线段的中点，补全图形并求证：为等腰直角三角形． (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)补全图形见解析，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）证明，再利用等腰三角形的三线合一可得结论； （2）先证明，可得，再证明（）．可得，．再进一步可得结论； （3）证明，结合．可得，设，可得，再进一步可得答案； 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴． （2）证明：如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点G是线段的中点， ∴， 在和中，， ∴（）． ∴，． ∴为等腰三角形． ∵， ∴，即． ∴为等腰直角三角形． （3）解：∵，，， ∴（等腰三角形的三线合一）， 由（2）可知，． ∴，设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，矩形的性质，二次根式的除法运算，掌握基础几何图形的性质是解本题的关键. 17．如图，在矩形纸片中，E为边上的动点，F为边上的动点，连接． (1)若． ①如图①，点E与点D重合，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，设与相交于H，求的长； ②如图②，将矩形纸片沿折叠，使点B与点D重合，求折痕的长； (2)如图③，点E为的中点，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，且点G在矩形内部，延长交于点H，若，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）①由折叠性质和矩形的性质可得，设，根据即可求解； ②连接，过点E作，由折叠性质和矩形的性质可得，，设，根据勾股定理即可求解； （2）连接，设，，则，，由折叠性质和勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）解①：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 设， ∵， ∴， ∵， 即， 解得：， ∴； ②如图，连接，过点E作， 由折叠可得：，， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得：， ∴， 由①同理可求：， 设，则， ∵，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）连接 ∵，点E为的中点， 设，，则，， ∴； 由折叠性质可得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是矩形的折叠问题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作辅助线是关键． 18．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上，从点至点运动，连接，以为边作等边，点和点分别位于两侧． (1)当点运动到点时，求的长； (2)点在线段上从点至点运动过程中，求的最小值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）连接并延长至，使得，连接，证明是等边三角形，进而证明，即可证明是等边三角形，点在线段上，从点至点运动，则在线段上运动，当点运动到点时，点运动到点，即可求解； （2）根据垂线段最短，可知点在线段上从点至点运动过程中，运动到的中点时，取最小值，且最小值为，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接并延长至，使得，连接， ∵四边形为矩形，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴点在线段上，从点至点运动，则在线段上运动， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴当点运动到点时，点运动到点， 则有； （2）由（1）可知点在线段上从点至点运动过程中，运动到的中点时， 取最小值，且最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴此时． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质与判定等知识，得出点在线段上，从点至点运动，则在线段上运动是解题的关键． 19．如图，已知矩形中，，，点E、F分别为上的两个动点，且，请回答下列问题： (1)如图1，若点G是的中点，求证：四边形是菱形； (2)如图2，在点E、F的运动过程中，线段的长度是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2)线段的长度为定值 (3) 【分析】（1）证明得到，进而证得四边形是平行四边形，然后利用菱形的判定可得结论； （2）如图2，取的中点O，过O作，交于P，于Q，连接 ，，证明四边形是平行四边形得到．由（1）知四边形是菱形， 设，利用菱形的性质、矩形性质以及勾股定理分别求得， 即可求解； （3）过C作，且，连接，，四边形是平行四边形，得到，进而可得，当A、F、共线时取等号，此时最小，最小值为， 在中，利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵点G是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：线段的长度为定值， 如图2，取的中点O，过O作，交于P，于Q，连接 ，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， 由（1）知，四边形是菱形， ∴，， 设， 在矩形中，，，，， ∴，， 在中，由得， 解得， 在中，，， ∴， ∴，则， 故线段的长度为定值； （3）解：过C作，且，连接，， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴，当A、F、共线时取等号，此时最小，最小值为的长， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， 故的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、最短路径问题等知识，综合性强，需要学生有一定的综合能力和分析问题、解决问题的能力，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用转化思想求解是解答的本题的关键． 20．如图1，矩形中，，E为边上一点，将沿翻折，使点A恰好落在边上的点F处，． (1)求的长； (2)如图2，连接交于点P，M为上的点，连接交于点Q，． ①求点A到的距离； ②求的值． 【答案】(1) (2)①到的距离为  ② 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，折叠性质， 关键是正确构造直角三角形与全等三角形. （1）由折叠性质得， 设， 则， 由列出方程便可得答案； （2）①过作于， 过作于， 则， 由折叠性质知， ， 由三角形的面积法求得，进而得到点到的距离； ②过点作于点， 设， 则，由列出方程求得， 进而证明，求得， 求得， 再证明，得， 求得， 设， 则由列出方程求得进而求得. 【详解】（1）解：由折叠性质得，，设， 则， ∵， ， ， 解得， ∴； （2）①过作于， 过作于， 如图， 则， 由折叠性质知， ， ， ∴， ∴点到的距离为； ②过点作于点， 如图， 设， 则， ， ， 解得， ， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ， 设则 ， ， ， 解得 ， ． 【类型3 正方形压轴题】 21．如图，正方形的边长为6，点M为的中点，为等边三角形，过点E作的垂线分别与边相交于点F， G，点P，Q分别在线段上运动，且满足，连接． (1)求证：； (2)求的长； (3)当点Q在线段上时，求的值； (4)点B关于的对称点为，若点落在的边上时，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）连接，证明，可得，在中，根据直角三角形的性质可得，再由勾股定理，即可求解； （3）过点F作于点H，则，由（2）可得，，，从而得到，根据直角三角形的性质可得，再由勾股定理，可得，，然后根据，可得，从而得到，即可求解； （4）先证明是等边三角形， 然后两种情况当点落在边上时，当点落在边上时，即可求解． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，且，， ∴， ∴， ∵正方形的边长为6，点M为的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）解：如图，过点F作于点H，则， 由（2）得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）解：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 如图，当点落在边上时，此时， ∴， ∵是等边三角形， ∴； 如图，当点落在边上时，此时； 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的的性质，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，图形的折叠问题，等边三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识的联系与运用，利用分类讨论思想确定动点的位置是解答的关键． 22．在正方形中，E是边上一点． (1)将绕点A顺时针旋转得到，如图①所示，观察可知，与相等的线段是______，＝______． (2)如图2，在正方形中，P，Q分别是，边上的点，且，猜想线段，，的数量关系，并证明； (3)在图2中，连接分别交，于点M，N，请写出，，的数量关系． 【答案】(1)， (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据旋转的性质得到； （2）将绕点A顺时针旋转得到，证明，得到即可证明结论； （3）将绕点A按顺时针方向旋转得到，连接．根据题意证明，得到为直角三角形，根据勾股定理以及等量代换即可得到答案． 【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转得到，使重合， 故答案为：，． （2）解：．证明如下： 如图，将绕点A顺时针旋转得到，则． ， ， 点E，B，P共线． 由旋转的性质，知． ， ， ． 在和中， ， ， ， ． （3）解：．理由如下： 如图，将绕点A按顺时针方向旋转得到，连接． 四边形为正方形， ． 由旋转的性质，得． ， ， ． 在和中， ， ． ， 为直角三角形， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了三角形全等的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理． 23．如图所示，在正方形中，点为边的中点，连接，将沿着翻折，点的对称点为点，记与的交点为． (1)如图1所示，连接并延长交边于点，求证：点是的中点； (2)如图2所示，延长交边于点，求证：点是的中点； (3)如图3所示，若，过点作，分别交，于点，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质及折叠的性质证明，得到，即可得证； （2）连接，根据平行线的性质及直角三角形的性质得到，即可得证； （3）根据勾股定理得到，，设，则，在与中，，求解即可解答． 【详解】（1）证明：如图， ∵四边形是正方形，设， ∴，，， ∵点为边的中点， ∴， 又∵将沿着翻折，点的对称点为点， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴点是的中点； （2）如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； （3）解：∵在正方形中，点为边的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 设，则， ∵， 在与中， ∵， ∴ ∴， ∴，， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握这些性质与判定是解题的关键． 24．（1）如图1，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．直接写出与的数量关系____________． （2）如图2，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，求的大小． （3）如图3，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，当时，求出周长的最小值． 【答案】（1），理由见详解，（2），（3） 【分析】（1）取的中点，连接，利用同角的余角相等说明，再根据证明，得； （2）在上取，连接，由（1）同理可得，则，再说明是等腰直角三角形即可得出答案； （3）作，交的延长线于，交于，连接，则是等腰直角三角形，可知点与关于对称，则的最小值为的长，利用勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：（1） 理由如下：取的中点，连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ 、分别为正方形的边、的中点， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）在上取，连接，如图， 由（1）同理可得， ， ∵是等腰直角三角形 ∴， ， ， ，， ，而， ， ， ， ； （3）连接，作，交的延长线于，交于，连接，，如图， 由（2）知，， ， ∴， ∴， 是等腰直角三角形， 点与关于对称， ∴最小值为的长， ∵， ，， 由勾股定理得， 周长的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 25．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)下列选项中一定是“等补四边形”的是______． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 (2)如图1，在边长为4的正方形中，为边上一动点（不与重合），交于点，过作交于点． ①试判断四边形是否为“等补四边形”，并说明理由； ②如图2，连接，求的周长； ③若四边形是“等补四边形”，求的长． 【答案】(1)D (2)①四边形是等补四边形，见解析；②；③或者 【分析】（1）在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，符合等补四边形的定义，即可得到问题的答案； （2）①先证A、B、H、F四点共圆，利用圆周角定理可得，进而求出，利用等角对等边得出，最后利用“等补四边形”的定义即可证明； ②将绕A点逆时针旋转得到，证明，再证，得出，即可求出的周长； ③根据，四边形是“等补四边形”可得四边形有一组邻边相等，然后分、、、四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补， ∴正方形是等补四边形， 故选：D． （2）解：①四边形是“等补四边形”，理由如下： ∵为正方形的对角线， ∴， 又，， ∴A、B、H、F四点共圆， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是“等补四边形”． ②将绕A点逆时针旋转得到， ∴，， ∴E、D、L三点共线， 由①得， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴的周长； ③∵，四边形是“等补四边形”， ∴还需要一组邻边相等，分以下四种情况讨论： 情况1：， 连接， 由题意知∶，， 又， ∴， ∴， 则为正三角形， ∴， ∴， ∴，； 情况2：，则， ∴， 同情况1，； 情况3：，由②得的周长． 设，则，有， ∴， 即； 情况4：， 连接， 则， 则HF垂直平分AE， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴，这不可能，故这种情况不存在． 综上：或者． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识，目前题意，理解新定义，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 26．如图，正方形，点、分别在、上． (1)如图1，当时． ①求证：； ②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：； (2)如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)． 【分析】（1）①如图1，可证得四边形是平行四边形，进而可证，即可证得结论； ②在上截取，如图2，则是等腰直角三角形，，由，利用全等三角形性质和正方形性质即可得出结论； （2）如图3，过点作交于点，则四边形是平行四边形，作，交延长线于，利用证明，设，则，运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：①过点作，交的延长线于点， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②在上截取，如图2， 则是等腰直角三角形，， 由（1）知，， ， ，， ， ， ， ， 即； （2）解：如图3，过点作交于点， 则四边形是平行四边形， ，， ，，， ， ， 作，交延长线于， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，掌握正方形性质，等腰直角三角形判定和性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形判定和性质，勾股定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 27．如图，已知在正方形中，，点为线段上一点（点不与、重合），连接，过点作．交射线于点，以、为邻边作矩形． (1)求证：； (2)连接，设，的面积为．求关于的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)当时，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）过点E作于M，过点E作于N，得到，通过证明，即可得到答案； （2）通过“”可证，可得，证明即可解决问题． （3）分两种情形：当在线段上时，当在的延长线上时，如图，再分别求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点E作于M，过点E作于N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点E是正方形对角线上的点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图，连接，， ∵四边形是矩形，， ∴矩形是正方形； ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：当在线段上时， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； 当在的延长线上时，如图， 同理可得：， ∴， ∴， 综上：的度数为或； 【点睛】本题考查了四边形的综合问题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，三角形的内角和定理与外角的性质，化为最简二次根式，正确添加辅助线是解题的关键． 28．如图，点、、分别在正方形的边、、上，与相交于点． (1)如图1，当， ①求证：； ①平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：； (2)如图3，当，边长，，则的长为________（直接写出结果）． 【答案】(1)①见解析；①见解析 (2) 【分析】（1）①作交的延长线于点，证明四边形是平行四边形，则，，通过证得，即可证得结论；②在上截取一点，使得．则是等腰直角三角形，．再证明是三角形的中位线即可解决问题； （2）过点作交于点，则四边形是平行四边形，得出，，根据勾股定理求得，进而求得，作，交延长线于，通过证，证得，，，继而证得，证得，从而证得，设．则，根据勾股定理求得，进一步根据勾股定理求得． 【详解】（1）证明：①作交的延长线于点， ∵正方形， ∴，四边形是平行四边形，则，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； ②在上截取一点，使得．则是等腰直角三角形，． 同①， ， ，， ， ， ， ，即； （2）解：过点作交于点，则四边形是平行四边形， ，， ，，， ， ， 作，交延长线于， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即， 设．则， 在中，，解得， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理、勾股定理的应用，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键，属于中考压轴题． 29．已知正方形，点E，F分别在边，上． (1)如图1，过点A作交的延长线于点G，平分交于点E． ①求证：； ②试判断之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若，直线与的延长线分别交于点M，N，求证：． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质得出，进而证明即可； ②先由得，则； （2）将绕着点A顺时针旋转，得到，连接．由（1）知，则．再由、、均为等腰直角三角形，得出，然后证明，利用勾股定理得出，等量代换即可证明． 【详解】（1）①证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． ②解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：将绕着点A顺时针旋转，得到，连接． 由（1）可知：． 由（1）知， ． ， 、、均为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，， 【点睛】本题是四边形综合题，其中涉及到正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 30．问题情境：小明在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形． (1)当在上时，连接相交于点P，小明发现点P恰为的中点，如图①．针对小明发现的结论，请给出你的证明． (2)小明继续连接，并延长与相交P，如图②． ①中的结论是否成立？若成立请说明理由； ②根据小明发现的结论，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解答过程 (2)①成立，证明见解答过程；②是等腰直角三角形，理由见解答 【分析】（1）延长，交于，可推出，从而，进而得出，进一步得出结论； （2）①延长，交的延长线于点，设和交于点，同理（1）可证得，从而，从而得出点和点重合，进一步得出结论； ②由①可知，然后可得，进而问题可求解； 【详解】（1）证明：延长，交于，如图， ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； （2）①成立，点为的中点 证明：延长，交的延长线于点，设和交于点，如图， ∵四边形和四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴点和点重合，即：点为的中点． ②解：是等腰直角三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质等，熟练掌握各性质和判定定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 特殊平行四边形解答压轴题分类训练（3种类型30道） 专题目录 【类型1 菱形压轴题】 1 【类型2 矩形压轴题】 5 【类型3 正方形压轴题】 8 【类型1 菱形压轴题】 1．已知平行四边形中， 对角线相交于点O， ． (1)如图1， 若 ，，求的长； (2)如图2，过点C作于点F， 连接， 过点 A作交于点E，求证： (3)如图3，在（1）的条件下，点P 是直线上的一个动点， 且 ，连接 ，当 的值最小时，请直接写出的面积． 2．已知菱形的面积为，且，连接对角线，相交于点O，点E是边上一点，连接交于M．    (1)如图1，当，求的长； (2)如图2，将绕点A顺时针旋转，点E对应点F，连接交于点G，连接，求证：； (3)如图3，将沿射线方向平移，得到，连接，，请直接写出的最小值． 3．菱形的对角线交于点． (1)如图1，过菱形的顶点作于点，交于点，若，求四边形的面积； (2)如图2，过菱形的顶点作，且，线段交于点，交于点．若、、三点共线，求证：； (3)如图3，菱形中，，，点为射线上一动点，连接．将绕点逆时针旋转到，连接，直接写出线段的最小值． 4．菱形中，，连接，点是边上一点，连接交于点． (1)如图1，若，当时，求的长； (2)以为边向右侧作等边，连接，． ①如图2，点是中点，连接，求证：； ②如图3，当时，直接写出的值． 5．已知在菱形中，，连接对角线．    (1)如图1，为边上一点，为边延长线上一点，且，连接，交于点． ①求证：； ②过点作，垂足为，求证：； (2)如图2，已知，将沿射线平移，得到，连接，，请直接写出的最小值． 6．菱形ABCD的对角线交于点O． (1)如图1，过菱形ABCD的顶点A作于点E，交OB于点H，若，四边形AECD的面积为，求菱形ABCD的边长； (2)如图2，菱形ABCD中，过顶点A作于点E，交DC延长线于点F，线段AF交OB于点H．若，求证：； (3)如图3，菱形ABCD中，，点P为射线AD上一动点，连接BP，将BP绕点B逆时针旋转到BQ，连接AQ，直接写出线段AQ的最小值． 7．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别是AB、BC上的动点，连接DE、DF、EF． (1)如图1，连接AF，若AF⊥BC，E为AB的中点，且EF＝5，求DF的长； (2)如图2，若BE＝BF，G为DE的中点，连接AF、AG、FG，求证：AG⊥FG； (3)如图3，若AB＝7，将△BEF沿EF翻折得到△EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），连接AP、BP及CP，请直接写出当PA＋PB＋PC值最小时PB的长． 8．如图，在中，，为上的点，延长至点，使，连接，过点作交于点，连接． （1）如图1，若，求证：四边形为菱形； （2）如图2，若，连接，过点作，，连接，，求四边形的面积． 9．在菱形中，，点是对角线上一动点，将线段绕点顺时针旋转到，连接，连接并延长，分别交、于点、． （1）如图1，若且，求菱形的面积； （2）如图2，求证：． 　　　　 10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＞AD，∠A＝60°， （1）如图1，过点D作DH⊥AB于点H，MC平分∠DCB交AB边于点M，过M作MN⊥AB交AD边于点N，AN：ND＝2：3，平行四边形ABCD的面积为60，求MN的长度． （2）如图2，E、F分别为边AB、CD上一点，且AE＝AD＝DF，连接BF、EC交于点O，G为AD延长线上一点，连接GE、GF和GO，若∠GFD＝∠EFB，求证：GO⊥EC． 【类型2 矩形压轴题】 11．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB＝3，AD＝4． (1)如图1，当∠DAG＝30°时，求BE的长； (2)如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长； (3)如图3，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，直接写出BE的长． 12．如图，四边形ABCD为矩形，F为对角线BD上一点，点E在BA延长线上． （1）如图①，若F为矩形对角线AC、BD的交点，点E在BA延长线上且BE＝AC，连接DE，M是DE的中点，连接BM，FM若AD＝6，FM＝，求线段AE的长； （2）如图②，过点F作FE⊥BD交AD于点H，交BA延长线于点E，连接AF，当FD＝FE时，求证：HA+AB＝AF． 13．在矩形中，，平分，连接． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，点F是延长线上的一点，与交于点G，于点H，的延长线交于点P，连接，探究之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，取的中点Q，连接，求的最小值． 14．如图， 矩形的对角线交于点，是上任意一点，作，并截取，连接． (1)判断四边形的形状并说明理由； (2)若 ，且是中点， 连接． ①求四边形 的面积； ②则的最小值是 ． 15．在矩形中，，与相交于点，点分别是边上的动点，且线段经过点． (1)如图，求证：． (2)如图，将矩形沿折叠，点分别是点与点的对应点． ①若，求的长度． ②连接，直接写出面积的最大值． 16．如图，，，点A在上，四边形是矩形，连接，交于点E，连接交于点F． (1)求证：． (2)若点G是线段的中点，补全图形并求证：为等腰直角三角形． (3)求证：． 17．如图，在矩形纸片中，E为边上的动点，F为边上的动点，连接． (1)若． ①如图①，点E与点D重合，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，设与相交于H，求的长； ②如图②，将矩形纸片沿折叠，使点B与点D重合，求折痕的长； (2)如图③，点E为的中点，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，且点G在矩形内部，延长交于点H，若，求的值． 18．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上，从点至点运动，连接，以为边作等边，点和点分别位于两侧． (1)当点运动到点时，求的长； (2)点在线段上从点至点运动过程中，求的最小值． 19．如图，已知矩形中，，，点E、F分别为上的两个动点，且，请回答下列问题： (1)如图1，若点G是的中点，求证：四边形是菱形； (2)如图2，在点E、F的运动过程中，线段的长度是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值为______． 20．如图1，矩形中，，E为边上一点，将沿翻折，使点A恰好落在边上的点F处，． (1)求的长； (2)如图2，连接交于点P，M为上的点，连接交于点Q，． ①求点A到的距离； ②求的值． 【类型3 正方形压轴题】 21．如图，正方形的边长为6，点M为的中点，为等边三角形，过点E作的垂线分别与边相交于点F， G，点P，Q分别在线段上运动，且满足，连接． (1)求证：； (2)求的长； (3)当点Q在线段上时，求的值； (4)点B关于的对称点为，若点落在的边上时，请直接写出的度数． 22．在正方形中，E是边上一点． (1)将绕点A顺时针旋转得到，如图①所示，观察可知，与相等的线段是______，＝______． (2)如图2，在正方形中，P，Q分别是，边上的点，且，猜想线段，，的数量关系，并证明； (3)在图2中，连接分别交，于点M，N，请写出，，的数量关系． 23．如图所示，在正方形中，点为边的中点，连接，将沿着翻折，点的对称点为点，记与的交点为． (1)如图1所示，连接并延长交边于点，求证：点是的中点； (2)如图2所示，延长交边于点，求证：点是的中点； (3)如图3所示，若，过点作，分别交，于点，，求的值． 24．（1）如图1，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．直接写出与的数量关系____________． （2）如图2，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，求的大小． （3）如图3，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，当时，求出周长的最小值． 25．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)下列选项中一定是“等补四边形”的是______． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 (2)如图1，在边长为4的正方形中，为边上一动点（不与重合），交于点，过作交于点． ①试判断四边形是否为“等补四边形”，并说明理由； ②如图2，连接，求的周长； ③若四边形是“等补四边形”，求的长． 26．如图，正方形，点、分别在、上． (1)如图1，当时． ①求证：； ②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：； (2)如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长． 27．如图，已知在正方形中，，点为线段上一点（点不与、重合），连接，过点作．交射线于点，以、为邻边作矩形． (1)求证：； (2)连接，设，的面积为．求关于的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)当时，求的度数． 28．如图，点、、分别在正方形的边、、上，与相交于点． (1)如图1，当， ①求证：； ①平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：； (2)如图3，当，边长，，则的长为________（直接写出结果）． 29．已知正方形，点E，F分别在边，上． (1)如图1，过点A作交的延长线于点G，平分交于点E． ①求证：； ②试判断之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若，直线与的延长线分别交于点M，N，求证：． 30．问题情境：小明在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形． (1)当在上时，连接相交于点P，小明发现点P恰为的中点，如图①．针对小明发现的结论，请给出你的证明． (2)小明继续连接，并延长与相交P，如图②． ①中的结论是否成立？若成立请说明理由； ②根据小明发现的结论，请判断的形状，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 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