专题03 特殊平行四边形综合题分类训练（4种类型40道）-2024-2025学年九年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（北师大版）

专题03 特殊平行四边形综合题分类训练（4种类型40道） 专题目录 【类型1 菱形综合题】 1 【类型2 矩形综合题】 20 【类型3 斜中半综合题】 41 【类型4 正方形综合题】 59 【类型1 菱形综合题】 1．如图，在边长为4的菱形中，，点、分别为、边上的动点，连接、、．若，则以下结论正确的是（    ） ①；②是等边三角形；③四边形的面积是；④面积有最大值为． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】①连接，根据菱形的性质及，可以得到为等边三角形，结合，可得，可利用判定，从而得到；②根据，，即可得到为等边三角形；③根据及，可以得到，再求等边三角形面积即可；④当时，最短， 等边的面积最小，由，可以得到的面积最大值为； 【详解】解：①连接，    ∵四边形为菱形， ， ∴，， ∴、均为等边三角形，， 又∵， 即：， ∴， 在和中， ∴ ∴，故①正确； ②∵，， ∴为等边三角形，故②正确； ③如图，过作于， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵ ，故③正确； ④∵为等边三角形， 当时，最短，的面积最小， 此时， ∴， 同理可得：此时， ∵， ∴ ， 当的面积最小，的面积最大，最大值为，故④错误； ∴正确的结论为：①②③． 故选B 【点睛】本题考查菱形性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，面积最值问题，作出正确的辅助线及熟练掌握图形判定性质是解决本题的关键． 2．如图，在菱形中，，为上一点，为的延长线上一点，且．连接，交于点．下列结论： ； ； ；若，则，其中结论正确的序号有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积，由四边形是菱形，可得为等边三角形，，进而可得，由即可证明；连接，证明，得到，，进而可得为等边三角形，即可判断；由可得，即可判断；掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，为等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴，故正确； ∴，， 连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 即， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； ∴结论正确的序号有， 故选：． 3．如图，已知菱形的边长为4，，分别是，边上的动点，，，与相交于点，则下列结论：①，②为等边三角形；③；④若，则．其中正确个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查运用菱形的性质求解，主要的知识点有：全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质等等解题的关键是对几何图形的性质能够灵活应用． ①首先证为等边三角形，得，，结合已知条件可证；②得，，得，进而可得结论；③证明则可得结论；④过点G分别作的垂线，垂足为N、M，由角平分线的性质得到，求出，进而得到，，据此可得． 【详解】解：在四边形是菱形中，∵， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴为等边三角形，故②正确； ∵，， 又∵， ∴， 由①得，， ∴，故③正确； 如图所示，过点G分别作的垂线，垂足为N、M， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，故④正确； 故选：D． 4．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，点E，F分别是，的中点，连接，，，分别与，相交于点M，N，连接，，下列结论：（1）是等边三角形；（2）四边形是菱形；（3）；（4）．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由菱形的性质得出、是等边三角形，得出，，得出，再证明是的中位线，得出，得出，得出（1）正确；由直角三角形斜边上的中线性质得出，，得出，得出（2）正确；由菱形的性质得出，再由，得出（3）正确；证明，同理：，再证出，得出（4）正确；即可得出结论． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，，， 、是等边三角形， 是等边三角形ABC的高， 点E是的中点， 是等边三角形的高， ， 同理：， ， 点E，F分别是，的中点， 是的中位线， ，， ，即是等边三角形， （1）正确； 点E，F分别是，的中点，， ，， ， 四边形是菱形， （2）正确； 四边形是菱形， ， ， ， （3）正确； 是等边三角形的中线， ， 同理：， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， （4）正确； 正确的结论有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，有一定难度． 5．如图，在菱形中，，，，分别是，的中点，，相交于点，连接，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据菱形的性质和，可知是等边三角形，是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，即可判断①；根据可证，根据全等三角形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质可判断②；根据为直角三角形，可知，进一步可知，即可判断③；根据勾股定理可得，再根据三角形面积的求法即可判断④．从而得出答案． 【详解】解：在菱形中，， ， ， 是等边三角形，是等边三角形， ，， ，分别是，的中点， ， ， ，， ， 故①正确； 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确； 为直角三角形， ， ， 与不全等， 故③错误； ∵菱形，， ∴ ，，， 根据勾股定理，得， ， 故④正确， 故正确的有①②④，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 6．如图，在菱形中，，点分别在上，且，连接交于点，延长到使，连接，则以下四个结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先证明是等边三角形，再根据菱形的性质可得，再求出，然后利用“边角边”即可证明，从而判定①正确；根据全等三角形对应角相等可得，由三角形的外角性质求出，再求出，从而判定②正确；根据三角形的外角性质和平行线的性质求出，由证明，根据全等三角形的性质得出，，然后求出，从而判定出△AMH是等边三角形，得出③正确；根据全等三角形的面积相等可得的面积等于四边形的面积，然后判定出④正确． 【详解】解：在菱形中， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故③正确； 过点A作于点G，则 由勾股定理得， ∵， ∴的面积等于四边形的面积， 又∵的面积， ∴，故④正确， 综上所述，正确的是①②③④． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角所对直角边等于斜边一半以及勾股定理等知识，正确识别图形，从图形中准确确定出全等三角形并找出全等的条件是解题的关键． 7．如图，菱形中，，与交于点O，E为延长线上一点，且，连结，分别交，于点F、G，连结，则下列结论：①；②；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④．其中正确的结论是（）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由证明，得出 ，证出是的中位线，得出 ，①正确；先证明四边形是平行四边形，证出、是等边三角形，得出，因此，得出四边形是菱形，③正确； 证是的中位线，得，则，再由，则，④正确；连接，由等边三角形的性质和角平分线的性质得到三边的距离相等，则，则边形，②错误；即可得出结论． 【详解】解：连， ∵四边形是菱形， 在和中 ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴，故①正确； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴、是等边三角形， ∴平行四边形是菱形，故③正确； ∴是的中位线， ， ∴， ∵， ∴，故④正确； 连接，如图： ∵是等边三角形，平分平分， ∴到三边的距离相等， ∴， ∴，故②错误； 正确的是①③④， 故选：C．    【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理以及三角形面积等知识；本题综合性强，难度较大． 8．如图，在菱形中，，是边上一点，且，有下列结论： 是等边三角形； ； 周长的最小值为； 面积的最大值为． 其中正确结论有（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据等边三角形与菱形的性质解答即可． 【详解】解：连接，    ∵菱形中，， ∴与是等边三角形， ∴，， ∵，∴， 在和中 ， ∴， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形，故正确； ∴，∴， ∵， ∴， 即，故正确； ∵的周长， ∴等边三角形的边长最小时，的周长最小， 当时，最小， 周长的最小值为，故正确； ∵菱形边长为4，； ∴与为正三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 过作，交延长线于点，设，则，         ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的面积， 当时， 的面积最大值为：， 故正确； 综上正确的有共个， 故选：． 【点睛】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 9．如图，在菱形中，连接，，点E、F分别是上的点，且，连接交于点H，连接交于点O． 则下列结论： ①；②； ③平分； ④若，则．其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，四点共圆计算判断即可． 【详解】∵菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 故②正确； 过点A作于点M， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， 故④正确； ∵菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴A、H、C、D四点共圆， ∴， 故平分； 故③正确； 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，四点共圆，熟练掌握相关知识是解题的关键． 10．如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为，与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】连接，得到是等边三角形，根据三线合一的性质得到，由折叠得，求出的度数即可判断①；利用30度角的性质求出，勾股定理求出，即可判断②；连接，连接，由等边对等角求出，得到，即可判断③；过点F作于点M，先求出，由折叠得，，设，则，求出，再得到，根据求出四边形的面积，即可判断④． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵E是边的中点， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，即，故②正确； 连接， 由折叠得， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 过点F作于点M， ∵， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∴，故④错误； 故选：B． 【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，三线合一的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 【类型2 矩形综合题】 11．如图，在矩形中， 的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接，，，，下列结论：①；②；③；④若，则 其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】易证是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可判断①；易证是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，利用“边角边”证明，得到，从而判断②；由于，所以，从而判断③；因为，所以可设，，由勾股定理表示出，求得，过作于，求得，从而判断④． 【详解】解：平分， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 故①正确； ，， 是等腰直角三角形， 点为的中点， ，， ， 在和中， ， ． ， ， ， ， ， 故②错误； ， ， 故③正确； ， 设，， ， ，， ， ， ， ， ， 过作于， ， ， ， ， ， 故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等．熟练掌握相关知识是解决问题的关键． 12．如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与交于点E，F，连接，交于点M，连接．若，，则下列结论中：①为等边三角形；②；③四边形是菱形；④．正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据，，易得是的垂直平分线，证明，得到，，从而得到，根据，则，根据点是的中点，证明，得到，，易证，得到，，进而得到，即可求出即可判断①②；由，得到，易证四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是菱形；即可判断③；根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，则，根据，，等量代换，即可判断④． 【详解】解： ，， 是的垂直平分线， ， ， ， ，， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ，，故②正确； ， ， ，， ， ， 是等边三角形，故①正确； ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形；故③正确； ， ， ，， ，故④正确． 综上所述，正确的有①②③④，共4个． 故选：D． 【点睛】本题考查矩形，菱形，垂直平分线的性质，等边三角形和全等三角形等知识，解题的关键是掌握矩形的性质，菱形的判定和性质，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，全等三角形判定和性质． 13．如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与、交于点E、F，连结交于点M，连结、．若，，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①；②四边形是菱形；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．根据矩形的性质可得，先证明，再证明是等边三角形，即可判断①选项；由和是等边三角形，可得，即可判断②选项；由含角的直角三角形的性质即可判断③选项；先证明，可知，设，根据含角的直角三角形的性质，可得，根据，，可得，进一步即可判断④选项． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ， ，， 在等边中，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 平分， ，， 垂直平分， 如图，连接， 在矩形中，为的中点， ，，三点在同一直线上， 在线段的垂直平分线上， ， ， 是等边三角形， ， 故①符合题意； 由①得和是等边三角形， ， 四边形是菱形； 故②符合题意； 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ； 故③不符合题意； 在和中， ， ， ， 垂直平分， ， 设， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， 故④不符合题意， 综上所述，正确的结论有①②， 故选：B 14．如图，，，点在上，四边形是矩形，连接，交于点，连接交于点．下列4个判断：①；②；③；④若点是线段的中点，则为等腰直角三角形，其中，判断正确的是（    ） A．①② B．②③④ C．①③④ D．③④ 【答案】C 【分析】先根据矩形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可判断①；先根据等腰三角形的性质可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，然后根据角的和差即可判断②；先证出，从而可得，再设，从而可得，由此即可判断③；先证出，从而可得，再根据等腰三角形的定义可得为等腰三角形，然后根据角的和差可得，由此即可得判断④． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， （等腰三角形的三线合一），则①正确； ， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ，则②错误； ， （等腰三角形的三线合一）， 在和中，， ， ， 设， ， ， ， ， ，则③正确； ， ， 点是线段的中点， ， 在和中，， ， ， 为等腰三角形， ， ，即， 为等腰直角三角形，则④正确； 综上，判断正确的是①③④， 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，二次根式的除法运算等知识点，较难的是④，正确找出两个全等三角形是解题关键． 15．如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义可得，可得出是等腰直角三角形，证出，证明，可得，求出，从而判断出①正确；求出，，然后根据等角对等边可得，判断出②正确；求出，，证明，可得，判断出③正确；判断出不是等边三角形，从而得到，即，得到④错误． 【详解】解：在矩形中，平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 平分，故①正确； ，， ， ， ，， ， ， ， ，故②正确； ， ， 又，， 在和中， ， ， ，，故③正确； ，， 不是等边三角形， ， 即，故④错误； 故选：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 16．如图，四边形是矩形，点在边上，平分且，垂足为点，连接并延长交于点，连接交于点，连接交于点，有下列结论：①；②垂直且平分；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由矩形的性质可得，，得出，由等腰三角形的性质得出，故①正确；由得，由线段垂直平分线的性质可得②正确；由，，得不可能是等边三角形，得，故③错误；由等腰三角形的性质可判断④；由全等三角形的性质及长方形的性质可得为等腰直角三角形，求出，再根据平行线的性质可得，可判定⑤正确． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ，故①正确； ，，， ， 在的垂直平分线上， 在和中， ， ， ， 点在的垂直平分线上， 垂直且平分，故②正确； 平分， ， ， ， 又， 不可能是等边三角形， ， 错误；故③错误； ，， ， ， ， ，故④错误； ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 故⑤正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 17．如图，在矩形中，对角线相交于点O，，点F在线段上从点A至点O运动，连接，以为边作等边三角形，点E和点A分别位于两侧，下列结论：①；②；③；其中正确结论的序号为（    ）      A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据，，得出为等边三角形，再由为等边三角形，得，即可得出结论①正确； ②如图，连接，利用证明，再证明，即可得出结论②正确； ③通过等量代换即可得出结论③正确； 【详解】解：①∵矩形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故结论①正确； ②如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴，   ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故结论②正确； ③∵， ∴，即， 故结论③正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查了矩形性质，等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形判定和性质、等边三角形判定和性质等相关知识是解题关键． 18．如图，在矩形中，O为的中点，过点O的一条直线分别与交于点E，F，连接交于点M，连接，若，，则下列结论：①，；②；③四边形是菱形；④.其中正确结论的个数是（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据矩形的性质和，证明为等边三角形，再证明，得到是的角平分线，故可证明①；根据，可得，即可证明四边形是平行四边形，再证明即可得到，故可证明③； 根据，故无法证明，故②错误；根据含有角的直角三角形的三边关系和勾股定理可得，故可证明④． 【详解】解：四边形是矩形，O为的中点， ， 为等腰三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 故①正确； , ， ， ， ，， ， 即， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形， 故③正确； ， 无法证明， 故②错误； ， ， 在中，， ， ， 在中，， ． 故正确的为①③④，为3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用上述性质是解题的关键． 19．如图，矩形中，对角线，相交于点，，，，交于点，交于点，延长交于点，则下列结论： ；四边形是菱形； ； ，其中结论正确的序号是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质和等边三角形的判定得出是等边三角形，进而判断正确；根据证明与全等，进而判断正确；根据全等三角形的性质判断正确，根据勾股定理和含角的直角三角形的性质即可判断． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，故正确； ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是菱形，故正确； ∴，故正确； ∵，，， ∴， ∴由勾股定理得：，故错误； 综上可知：正确， 故选：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，菱形的判定定理，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等，理解题意，综合运用这些性质是解题的关键． 20．如图所示，在矩形纸片中，，，点E、F分别是矩形的边、上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点B落在矩形边上，对应点记为点G，点A落在M处，连接、、，与交于点N．则下列结论成立的是（        ） ①； ②当点G与点D重合时，； ③的面积S的取值范围是； ④当时，．    A．①③ B．③④ C．①②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】 由折叠的性质得，然后利用直角三角形斜边中线的性质可判断①正确； 四边形是菱形，可得，设，利用勾股定理求出x的值，利用面积法求出的长可判断②； 求出面积的最大值即可判断③． 利用勾股定理求出AE即可判断④． 【详解】 解：如图，连接，．    由折叠的性质得， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，故①正确． ∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， 由翻折的性质可知，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 当D，G重合时，如图，    设，则有， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵四边形是菱形， ∴， ∵不变， ∴当最大时，的面积最大， ∵当D，G重合时，的面积最大， ∴的面积最大值， ∴，故③错误， 如图2中，当时，， ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质等知识，掌握相关知识找到临界点是解题的关键． 【类型3 斜中半综合题】 21．两块三角板 (中，，中，，)按如图方式放置，下列结论正确的是 (填写所有正确结论的序号)． ①；②；③；④． 【答案】①②④ 【分析】如图，记的中点为，连接，则，四点共圆，由，可得，由，可得，则，可判断①的正误；由题意知，，，则，可判断②的正误；如图，作于，设，则，由，可得，则，，，，，则，可判断③的正误；证明，则，可判断④的正误． 【详解】解：如图，记的中点为，连接， 又∵，， ∴， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，①正确，故符合要求； 由题意知，，， ∴，即，②正确，故符合要求； 如图，作于， 设，则， ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，③错误，故不符合要求； ∵，， ∴， ∴，④正确，故符合要求； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了圆，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，同弧所对的圆周角相等，正弦、余弦、正切，相似三角形的判定与性质．熟练掌握圆，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，同弧所对的圆周角相等，正弦、余弦、正切，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 22．如图，已知：中，，，D为线段上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，F为中点，直线交射线于点G，下列说法：①若连接，则；②；③；④若，则，其中正确的序号有 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理． 利用 “”证明，得到，从而，即可判断说法①；通过特殊值法，取时，得到，即可判断选项②；连接，利用直角三角形中线的性质证明，即可判断说法③；设，则，通过勾股定理求得，，即可判断说法④． 【详解】连接， ∵， 由题意可得，即， ∴， ∵，由旋转有， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，故说法①正确； 如图，当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故说法②错误； 连接， ∵，F为中点， ∴， ∵，F为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故说法③正确； 设，则， ∴， ∵在中，， ∴， 在中，，， ∴ ∵在中， ∴， ∵，， ∴， ∴，故说法④正确． 综上所述，说法正确的是①③④． 故答案为：①③④ 23．如图1，在凸四边形中，，．现有以下结论：      ①若为中点，连接，过作的垂线交于点，连接，如图2，则有； ②当点为凸四边形的一个动点，有最大值时，线段一定过的中点； ③当点为凸四边形的一个动点，则的面积为； ④． 其中正确的结论有 ． 【答案】①②③ 【分析】作平分，证明和即可判断①；连接，利用三角形三边关系可得，则当、、三点共线时，有最大值，此时过的中点，即可判断②；作交的延长线于，证明得到，根据即可判断③；根据，可得，从而得到当时，，即可判断④，得到答案． 【详解】解：如图，作平分，     ， ，，平分， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，故①正确，符合题意； 如图，连接，假设为的中点，   ， ，为的中点， ， ， 当、、三点共线时，有最大值，此时过的中点，故②正确，符合题意； 如图，作交的延长线于，   ， 则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故③正确，符合题意； ， ， 当时，， 不一定等于，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形三边关系的应用、三角形面积公式、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解此题的关键． 24．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点．有下列个结论：①；②；③ ；④，其中说法正确的是 ． 【答案】①③④ 【分析】由等腰三角形“三线合一”得，根据三角形中位线定理可得；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得，即可得；连接，可证四边形是平行四边形，即可得，由三角形面积关系得出，即可得出结论． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是平行四边形， ，，，，，， ， ， 点为中点， ，故①正确； 、、分别是、、的中点， ，， ，， ， ， 而不一定成立，故②不正确； ，， 四边形是平行四边形， ， 即，故③正确； ，， ，， ，故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，三角形面积，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形性质等知识；熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形的性质是解题关键． 25．如图，在四边形中，．若的角平分线交于E，连接，且边平分，得到如下结论：①；②；③若，则；④若，则的取值范围为，那么以上结论正确的是 ． 【答案】①③④ 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得，又、都是角平分线，可以推出，从而得到，然后延长交的延长线于点，先证明，再根据全等三角形对应边相等得到，然后证明，从而可以证明①③④正确，②不正确． 【详解】， 、分别是、的平分线， ， ， ， 如图，延长交延长线于， ， ， 平分， ， 在与中， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，故①正确， ， ，即点为的中点， ∵为不一定相等， ∴为不一定相等，故②错误， 若，则是斜边上的中线，则，故③正确， ， ∴的取值范围为，故④正确． 综上所述，正确的有①③④．故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，角平分线的定义等，证明并作出辅助线是解题的关键． 26．如图，在中，，点D为的中点，，绕点D旋转．、分别与边、交于E、F两点．下列结论：①；②；③；④AD与EF可能互相平分．其中，正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】先由证明，得出，再由勾股定理即可得出，从而判断①；设，，先由三角形的面积公式得出，，再根据二次函数的性质即可判断②；由勾股定理得到的表达式，利用二次函数性质求得最小值为，而，所以，从而③错误；如果四边形为平行四边形，则与互相平分，此时，，又为中点，所以当、分别为、的中点时，与互相平分，从而判断④． 【详解】解：中，，点为中点， ，， ， ， ． 在与中， ， ， ， 在中，． 故①正确； 设，，则． ， 当时，有最大值， 又 ， ． 故②正确； ， 当时，取得最小值， （等号当且仅当时成立）， 而， ． 故③错误； 当、分别为、的中点时， ∵，点D为的中点， ∴， ∵、分别为、的中点 ∴，， ∴ ∴四边形为正方形，此时与互相平分． 故④正确． 综上所述，正确的有：①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，二次函数的性质等知识，综合性较强，有一定难度． 27．如图，是平行四边形的边的垂直平分线，垂足为点，与的延长线交于点，连接、、，且与交于点，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④．其中结论正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等高模型等知识．根据菱形的判定、相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故①正确； ∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误． 设的面积为，则的面积为，的面积为，的面积的面积， ∴四边形的面积为，的面积为， ．故④正确， 故答案为：①②④． 28．如图，在中，对角线、相交于，，、、分别是、、的中点，下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④平分．其中正确的是 ．(填序号) 【答案】①③④ 【分析】由平行四边形的性质可得，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断②错误，由，可证四边形是平行四边形，可得③正确．由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确． 【详解】解：四边形是平行四边形 ，，，， 又， ，且点 是中点， ， 故①正确， 、分别是、的中点， ，， 点是斜边上的中点， ， ，无法证明， 故②错误， ， 四边形是平行四边形 故③正确， ， ， ， ， ， 平分，故④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键． 29．如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，点是延长线上一点，连接，，交于点，，，下列结论：①；②；③若点是线段的中点，连接，则是等腰直角三角形；其中正确的是 （填序号）．    【答案】①②③ 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质和矩形的性质，根据题意知点为的中点，结合等腰三角形的三线合一即可判定①正确；根据题意得，利用矩形的性质可证明可判定②正确；由，得，，进一步可得到和，则有和即可证明③正确． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线，相交于点， ∴点为的中点， ∵， ∴，则①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，则②正确；    ∵， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，对角线，相交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，则③正确； 故答案为：①②③． 30．如图，是等腰直角三角形，，点D在线段上，过D作于E，于F，点G，H分别是的中点，若，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①；②的最小值是；③的面积始终保持不变；④是等腰三角形． 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等．证明四边形是矩形，可得，可判断①；连接，根据矩形的性质可得当时，最小，此时点D与点H重合，即的最小值的长，可判断②；设，则，可得到的面积随x的变化而变化，可判断③；再由直角三角形的性质可判断④． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 即，故①正确； 如图，连接， ∵点G，H分别是的中点，是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴点G，D，A三点共线，，且， ∴， ∴当时，最小，此时点D与点H重合，即的最小值的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是，故②错误； ∵四边形是矩形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴的面积为， ∴的面积随x的变化而变化，故③错误； ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，故④正确． 故答案为：①④ 【类型4 正方形综合题】 31．如图，正方形中，均为中点，则下列结论中：．其中正确的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，垂直定义等知识点的综合运用，根据正方形性质得出，证，推出，求出即可判断；延长、相交于点，证明可得，进而得到，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，据此即可得，即可判断；延长至，使得，证，推，推出是等腰直角三角形，即可判断，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵正方形，均为中点， ∴，，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 延长、相交于点，则， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； 延长至，使得，连接，如图， ∵， ∴， 又∵分别是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，故③正确，④错误； ∴正确， 故答案为：． 32．如图，正方形中，E、F分别为的中点，交于点，连接．则下列结论中：①；②；③；④，所有正确的结论是（只需填写序号） ． 【答案】①②③④ 【分析】根据正方形性质得出；，证明，推出，求出即可判断①；取的中点，的中点，连接，证明是的垂直平分线，推出是等腰三角形，即可判断②；由②知：得到，又根据，得到，又根据，得到，就可以得到③正确；延长至N，使得，证，推出，求出是等腰直角三角形，即可判断④； 【详解】如图1， ∵正方形，E，F均为中点， ∴；， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴①正确； 如图2， 取的中点，的中点，连接， 则：，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴是等腰三角形， ∴， ∴②正确； 由②知： ∴ 又∵ ∴ 又∵， ∴ 又 ∴；故③正确； 如图3，延长至N，使得，连接， ∵ ∴ 又∵E，F分别是的中点， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴，故④正确； ∴故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线等知识点的综合运用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，综合性比较强，有一定的难度． 33．如图，正方形中，E是延长线上一点，在上取一点F，使点B关于直线的对称点G落在上，连接交于H，连接交于I．连接，则下列结论，①；②；③；④若，则．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】①过点作于点，证明和全等得，由此可依据“”判定和全等，再根据全等三角形的性质可对结论①进行判断；②过点作于于于，根据角平分线性质得，进而得，则平分，从而得，再根据，得，由此得 ，据此可对结论②进行判断；③连接，过点作于交于点，证明和全等得，再证明和全等得，然后证明为等腰直角三角形得，则，进而得，据此可对结论③进行判断；④根据得，由此可求出的长，进而可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①过点作于点，如图1所示： ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵点关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， 故结论①正确； ②过点作于于于，如图2所示： ∵，， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故结论②正确； ③连接，过点I作于交于点T，如图3所示： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， 即， 由勾股定理得：， ， 即， 故结论③不正确； ④∵， ， ， ∵四边形为矩形， ， 在中， 由勾股定理得：， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，角平分形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 34．如图，正方形的面积为16，对角线，相交于点，点，分别在边，上运动，，平分，与边交于点．则下列结论： ①； ②四边形的面积保持4不变； ③； ④的最小值为． 其中正确说法的序号是 ．（把你认为正确的序号都填上） 【答案】①②③④ 【分析】依据正方形的性质以及全等三角形的判定与性质、勾股定理，通过推理计算即可得到正确的结论，进而得出答案． 【详解】解：正方形的对角线，相交于点， ，，， 又， ， ， ，故①正确； 与的面积相等， 四边形的面积与的面积相等， 又的面积等于正方形面积的四分之一， 四边形的面积保持4不变，故②正确； 如图所示，连接， 平分， ， 又，， ， ， ， ， 中，， ，故③正确； ，， 是等腰直角三角形， ， 当有最小值时，的值最小， 是等腰直角三角形， 当时，的最小值等于的一半， 即的最小值等于2， 的最小值为，故④正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识的综合运用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形、直角三角形解决问题． 35．如图，在正方形中，，为对角线上与不重合的一个动点，过点作于点，于点，连接．则以下结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的是 ．（填写序号） 【答案】①②③④ 【分析】连接，交于点，由题意得 ，即可得四边形为矩形，得，用即可得，即可判断①；根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质得，即可判断②，延长，交于，交于点，由①得，，根据题意和角之间的关系得，即可判断③，根据垂线段最短得当时，最小，根据勾股定理得，即可得的最小值为，即可判断④． 【详解】解：如图所示，连接，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ，即①正确； ， ， ， ， 即②正确， 延长，交于，交于点， 由①得，， ， ， ， ， ， ， 即， ，即③正确； ∵为对角线上的一个动点， 当时，最小， ， ， ， 由①知，， ∴的最小值为，即④正确， 综上，①②③④正确， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握矩形的对角线相等． 36．如图，正方形中，对角线、交于点O，的平分线交于E，交于F，于H，交于G，交于P，连接，以下结论：①；②四边形是菱形；③；④；⑤，其中正确的是 ． 【答案】①②③④ 【分析】由是的平分线，可得，由，可得是等腰三角形，，，由，则是线段的垂直平分线，，求，则则，由，可证四边形是菱形，进而可判断②的正误；由，，，可证，进而可判断①的正误；由，，可得，进而可判断③的正误；根据，可得，设，则，，证明，则，根据，可判断⑤的正误；由勾股定理得，，同理，，，，则，由，，可求，根据，可判断④的正误． 【详解】解：∵正方形， ∴，，，，， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴是等腰三角形，，， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，②正确，故符合要求； ∴，， ∵，，， ∴，①正确，故符合要求； ∴， ∴，即，③正确，故符合要求； ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，⑤错误，故不符合要求； 由勾股定理得，， 同理，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，④正确，故符合要求； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线，垂直平分线的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，角平分线，垂直平分线的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 37．如图，正方形和正方形中，在同一条直线上，，为的中点，延长交于点，连接，连接分别交于点，下列说法：①；②；③；④；⑤平分，其中正确的结论有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等、平行线的性质等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． ① 由正方形的性质和两个正方形边长关系，可证，结论①得证； ② 由正方形的性质和两个正方形边长关系，可得到为、的中点，，都是等腰直角三角形，且，可得，，可证，再结合，即可证． ③ 通过，，可证为的中点，过点作于，得到，设正方形的边长为，利用，，即可得到两者面积之比． ④ 通过，，可证为的中点，，从而可证明． ⑤ 利用前面的证明结果，通过证明，即可证明不平分． 【详解】解：① 四边形和都是正方形，，为的中点， ，，， ， ， （） 故结论①符合题意． ② 四边形和都是正方形，， 正方形的边长为正方形边长的， 为、的中点， 又 为的中点， ， ，都是等腰直角三角形，且， ，， ， 又 ， ， ， ， ， ， 故结论②符合题意． ④ （结论②的证明中已证）， ， ，， ， ， ，即为的中点， 又 (结论①的证明中已证) ， ， 故结论④符合题意． ③ 为的中点（结论④的证明过程中已证），过点作于，如图所示， 设正方形的边长为，则正方形边长为， 则， ， ， ， 故结论③ 不符合题意． ⑤　 ，， ， ， 又 ， ， ， 不平分， 故结论⑤不符合题意； 综上所述，结论①②④符合题意． 故答案为：①②④． 38．如图，正方形的边长为4，点E、F分别在边、上，且，平分，连接，分别交、于点G、M，P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接，有下列四个结论：①；②垂直平分；③的最小值为；④．其中正确的结论是 （请填写序号）． 【答案】①②③ 【分析】①先根据正方形的性质证得和全等，即可得到，同时减去即可得到结论；②再利用证得和全等，即可得出垂直平分；③连接与交于点，交于点，连接，根据题意当点与点重合时，的值最小，即的最小值是的长，根据正方形的性质求出的长，从而得出 ，即的最小值；④先求出的长，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，即，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又为公共边， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， 故②正确； 如图，连接与交于点，交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 即， ∵垂直平分， ∴， 当点与点重合时， 的值最小， 此时，即的最小值是的长， ∵正方形的边长为， ， ， 即的最小值为 故③正确； ∵垂直平分， ， 又， ， 故④错误； 综上，正确的是：①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，最短路径问题等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 39．如图，在正方形外取一点E，连接，，，过点A作的垂线交于P．若，，则下列结论： ①； ②点D到直线的距离为； ③； ④正方形的面积为； 以上结论中，正确的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识点，理清图中三角形与角的关系是解题的关键． 根据正方形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，可判断①正确；如图：过D作交延长线于，根据等腰直角三角形的性质求出，再利用勾股定理列式求出的长，再根据勾股定理求得即可判断出②．根据列式计算即可判断③；先计算出、，然后根据勾股定理求得即可判定④ 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，即，故①正确； 如图：过D作交延长线于， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴, ∵过点A作的垂线交于P． ∴,解得：（舍弃负值）， ∴点D到直线的距离为；故②错误； ∵， ∴， ∴, ∵， ∴, ∴,故③错误； ∵,,即， ∴,即正方形的面积为，故④正确； 综上，正确的有①④， 故答案为①④ 40．正方形的边长为8，点、分别在边、上，将四边形沿折叠，使点落在处，点落在点处，交于．以下结论：①当为中点时，三边之比为；②连接，则；③当三边之比为时，为中点；④当在上移动时，周长不变．其中正确的有 （写出所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【分析】①当为中点时，设，则，根据勾股定理列出方程求解，可推出①正确；②连接交于点Q，过点E作，证明，即可得出②正确；③当三边之比为时，假设，根据，可求出a的值，进一步求得，即可判断③错误；④过点A作，垂足为H，连接，，先证明，可得，再证明，可得，由此可得的周长为16，即可得④正确； 【详解】∵为中点，正方形的边长为8， ∴， 由翻折可知：， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴当为中点时，三边之比为， 故①正确； 如图，连接交于点Q，过点E作，垂足为M，交于点N， ， ， 由翻折可知：垂直平分， 在和中， ， ， 故②正确； 当三边之比为时，假设，则， ∵， ∴， 解得： ∴， ∴此时点不是中点， 故③错误； 如图，过点A作，垂足为H，连接，， 由翻折可知：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为： ， ∴当在上移动时，周长不变， 故④正确； 故答案为①②④． 【点睛】本题属于几何综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形的性质是解决本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 特殊平行四边形综合题分类训练（4种类型40道） 专题目录 【类型1 菱形综合题】 1 【类型2 矩形综合题】 4 【类型3 斜中半综合题】 7 【类型4 正方形综合题】 10 【类型1 菱形综合题】 1．如图，在边长为4的菱形中，，点、分别为、边上的动点，连接、、．若，则以下结论正确的是（    ） ①；②是等边三角形；③四边形的面积是；④面积有最大值为． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 2．如图，在菱形中，，为上一点，为的延长线上一点，且．连接，交于点．下列结论： ； ； ；若，则，其中结论正确的序号有（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知菱形的边长为4，，分别是，边上的动点，，，与相交于点，则下列结论：①，②为等边三角形；③；④若，则．其中正确个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，点E，F分别是，的中点，连接，，，分别与，相交于点M，N，连接，，下列结论：（1）是等边三角形；（2）四边形是菱形；（3）；（4）．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在菱形中，，，，分别是，的中点，，相交于点，连接，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在菱形中，，点分别在上，且，连接交于点，延长到使，连接，则以下四个结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，菱形中，，与交于点O，E为延长线上一点，且，连结，分别交，于点F、G，连结，则下列结论：①；②；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④．其中正确的结论是（）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，在菱形中，，是边上一点，且，有下列结论： 是等边三角形； ； 周长的最小值为； 面积的最大值为． 其中正确结论有（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 9．如图，在菱形中，连接，，点E、F分别是上的点，且，连接交于点H，连接交于点O． 则下列结论： ①；②； ③平分； ④若，则．其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 10．如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为，与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【类型2 矩形综合题】 11．如图，在矩形中， 的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接，，，，下列结论：①；②；③；④若，则 其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 12．如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与交于点E，F，连接，交于点M，连接．若，，则下列结论中：①为等边三角形；②；③四边形是菱形；④．正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与、交于点E、F，连结交于点M，连结、．若，，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①；②四边形是菱形；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．如图，，，点在上，四边形是矩形，连接，交于点，连接交于点．下列4个判断：①；②；③；④若点是线段的中点，则为等腰直角三角形，其中，判断正确的是（    ） A．①② B．②③④ C．①③④ D．③④ 15．如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 16．如图，四边形是矩形，点在边上，平分且，垂足为点，连接并延长交于点，连接交于点，连接交于点，有下列结论：①；②垂直且平分；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 17．如图，在矩形中，对角线相交于点O，，点F在线段上从点A至点O运动，连接，以为边作等边三角形，点E和点A分别位于两侧，下列结论：①；②；③；其中正确结论的序号为（    ）      A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 18．如图，在矩形中，O为的中点，过点O的一条直线分别与交于点E，F，连接交于点M，连接，若，，则下列结论：①，；②；③四边形是菱形；④.其中正确结论的个数是（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 19．如图，矩形中，对角线，相交于点，，，，交于点，交于点，延长交于点，则下列结论： ；四边形是菱形； ； ，其中结论正确的序号是（    ）    A． B． C． D． 20．如图所示，在矩形纸片中，，，点E、F分别是矩形的边、上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点B落在矩形边上，对应点记为点G，点A落在M处，连接、、，与交于点N．则下列结论成立的是（        ） ①； ②当点G与点D重合时，； ③的面积S的取值范围是； ④当时，．    A．①③ B．③④ C．①②③④ D．①②④ 【类型3 斜中半综合题】 21．两块三角板 (中，，中，，)按如图方式放置，下列结论正确的是 (填写所有正确结论的序号)． ①；②；③；④． 22．如图，已知：中，，，D为线段上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，F为中点，直线交射线于点G，下列说法：①若连接，则；②；③；④若，则，其中正确的序号有 ． 23．如图1，在凸四边形中，，．现有以下结论：      ①若为中点，连接，过作的垂线交于点，连接，如图2，则有； ②当点为凸四边形的一个动点，有最大值时，线段一定过的中点； ③当点为凸四边形的一个动点，则的面积为； ④． 其中正确的结论有 ． 24．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点．有下列个结论：①；②；③ ；④，其中说法正确的是 ． 25．如图，在四边形中，．若的角平分线交于E，连接，且边平分，得到如下结论：①；②；③若，则；④若，则的取值范围为，那么以上结论正确的是 ． 26．如图，在中，，点D为的中点，，绕点D旋转．、分别与边、交于E、F两点．下列结论：①；②；③；④AD与EF可能互相平分．其中，正确的结论是 ．（填序号） 27．如图，是平行四边形的边的垂直平分线，垂足为点，与的延长线交于点，连接、、，且与交于点，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④．其中结论正确的是 ．（填序号） 28．如图，在中，对角线、相交于，，、、分别是、、的中点，下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④平分．其中正确的是 ．(填序号) 29．如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，点是延长线上一点，连接，，交于点，，，下列结论：①；②；③若点是线段的中点，连接，则是等腰直角三角形；其中正确的是 （填序号）．    30．如图，是等腰直角三角形，，点D在线段上，过D作于E，于F，点G，H分别是的中点，若，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①；②的最小值是；③的面积始终保持不变；④是等腰三角形． 【类型4 正方形综合题】 31．如图，正方形中，均为中点，则下列结论中：．其中正确的是 ． 32．如图，正方形中，E、F分别为的中点，交于点，连接．则下列结论中：①；②；③；④，所有正确的结论是（只需填写序号） ． 33．如图，正方形中，E是延长线上一点，在上取一点F，使点B关于直线的对称点G落在上，连接交于H，连接交于I．连接，则下列结论，①；②；③；④若，则．其中正确的是 ．（填序号） 34．如图，正方形的面积为16，对角线，相交于点，点，分别在边，上运动，，平分，与边交于点．则下列结论： ①； ②四边形的面积保持4不变； ③； ④的最小值为． 其中正确说法的序号是 ．（把你认为正确的序号都填上） 35．如图，在正方形中，，为对角线上与不重合的一个动点，过点作于点，于点，连接．则以下结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的是 ．（填写序号） 36．如图，正方形中，对角线、交于点O，的平分线交于E，交于F，于H，交于G，交于P，连接，以下结论：①；②四边形是菱形；③；④；⑤，其中正确的是 ． 37．如图，正方形和正方形中，在同一条直线上，，为的中点，延长交于点，连接，连接分别交于点，下列说法：①；②；③；④；⑤平分，其中正确的结论有 ． 38．如图，正方形的边长为4，点E、F分别在边、上，且，平分，连接，分别交、于点G、M，P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接，有下列四个结论：①；②垂直平分；③的最小值为；④．其中正确的结论是 （请填写序号）． 39．如图，在正方形外取一点E，连接，，，过点A作的垂线交于P．若，，则下列结论： ①； ②点D到直线的距离为； ③； ④正方形的面积为； 以上结论中，正确的序号是 ． 40．正方形的边长为8，点、分别在边、上，将四边形沿折叠，使点落在处，点落在点处，交于．以下结论：①当为中点时，三边之比为；②连接，则；③当三边之比为时，为中点；④当在上移动时，周长不变．其中正确的有 （写出所有正确结论的序号）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$