专题02 特殊平行四边形折叠问题分类训练（4种类型40道）-2024-2025学年九年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（北师大版）

专题02 特殊平行四边形折叠问题分类训练（4种类型40道） 专题目录 【类型1 菱形折叠问题】 1 【类型2 矩形折叠问题】 3 【类型3 利用斜中半解决折叠问题】 6 【类型4 正方形折叠问题】 9 【类型1 菱形折叠问题】 1．如图，在菱形纸片中，，折叠该纸片，使点C落在直线（P为中点）上的点处，得到经过点 D 的折痕，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 2．如图，菱形纸片中，，将纸片沿着直线折叠，使点A与点B重合，若，那么菱形的面积为（    ） A． B． C． D．8 3．如图，将边长为4，锐角为的菱形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点处，记为，则的长度为（    ） A． B． C．3 D． 4．如图所示的是一个对角线长分别为6和8的菱形，为对角线的交点，过点所在的直线折叠菱形，使点落在点处，点落在点处，折痕是.若，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一点．将沿直线折叠，得到，连接，．若四边形是菱形，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 6．如图，菱形的边，，,是上一点，，是边上一动点，将梯形沿直线折叠，的对应点．当的长度最小时，的长为（　　）    A． B． C． D． 7．如图，菱形ABCD中，E是AD的中点，将△CDE沿CE折叠后，点A和点D恰好重合，若菱形ABCD的面积为4，则菱形ABCD的周长是(　　     )    A．8 B．16 C．8 D．16 8．对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B'M=1，则CN的长为（　　）    A．7 B．6 C．5 D．4 9．如图，在菱形ABCD中，点E是BC边的中点，动点M在CD边上运动，以EM为折痕将△CEM折叠得到△PEM，联接PA，若AB=4，∠BAD＝60°，则PA的最小值是（ ） A． B．2 C． D． 10．如图，菱形纸片ABCD的对角线AC、BD相交于点O，折叠纸片使点A与点O重合，折痕为EF，若AB=5，BD=8，则△OEF的面积为（ ） A．12 B．6 C．3 D． 【类型2 矩形折叠问题】 11．如图，矩形纸片中，，，折叠纸片，使边落在对角线上，折痕为，则的长为（　  　）    A．1 B． C． D．3 12．如图，将长方形纸片折叠，使点 D 与点 B 重合，点 C 落在处，折痕为，若， ，则和的周长之和为 （　　） A．6 B．8 C．10 D．16 13．如图，在矩形中，，将矩形沿对角线折叠，点落在点交于点，则的面积为（    ） A． B． C． D．26 14．矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是（    ） A． B． C． D．3 15．如图，将矩形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点处．若，，则的长为（    ） A．10 B．9 C．8 D．12 16．如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．若与交点为，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 17．如图，在矩形中，，，点为的中点，将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 18．如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的点F处，若，，则（    ） A．4 B．3 C．5 D．8 19．如图，已知矩形纸片，，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，、分别交于点O、F，且，则的长为（　　）    A． B． C． D． 20．如图，在矩形中，，，连接，将沿折叠，使点对应点落在上，将沿折叠，使对应点也落在上，连接，，则四边形面积为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【类型3 利用斜中半解决折叠问题】 21．如图，在四边形中，，．若将沿折叠，点与边的中点恰好重合，则四边形的周长为 ．    22．如图，把三角形纸片折叠，使点、点都与点重合，折痕分别为，，得到，若厘米，则的长为 厘米． 23．如图，直角三角形纸片中，，，将其沿边上的中线折叠、使点A落在处，则的度数为 24．如图，在中，，点D为的中点．将沿折叠得到，连接．若，则线段 ．    25．如图，直角三角形纸片中，，点是边上的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有．若，那么折痕的长为 ．    26．如图，在中，，，，为边上一点，为的中点，将沿折叠得到、连接，当为直角三角形时，的长为 ．    27．在中，，，AD是斜边BC上的中线．将沿AD折叠，使点C落在点F处，线段DF交AB于点E．则的大小为 ． 28．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，BC＝10，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在点C′处，那么BC′的长为 ． 29．如图，在中，，，点是斜边上一动点，连接，将沿折叠，点的对应点是，当点落在边的垂直平分线上时，的度数为 ． 30．已知中，，，，为斜边上的中点，是直角边上的一点，连接，将沿折叠至，交于点，若的面积是面积的一半，则 ． 【类型4 正方形折叠问题】 31．将一张边长为10的正方形纸片进行折叠，折痕为，点落在边上的点处，当点为中点时，的长为 . 32．如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．若，则的长为 ． 33．如图，正方形的边长为，点E是边的中点，点F是边上不与点A、D重合的一个动点，将沿直线折叠，使点A落在点处．当为等腰三角形时，的长为 ． 34．正方形的边长为，E是边上的一个动点（不与A，D两点重合），将沿折叠得，若是等腰三角形，则 ． 35．如图，四边形是边长为4的正方形，F为边上一点且，E为边上一点，把沿着折叠，得到，若为直角三角形，则的长为 ．    36．如图，在边长为3的正方形纸片中，E是边上的一点，，连接，将正方形纸片折叠，使点D落在线段上的点G处，折痕．则的长为 ． 37．已知正方形中，，点E在边上，且．将沿折叠至，延长交边于点G，连结、．若，则三角形的周长是 ．    38．如图，在边长为4的正方形中，为边上一点，且，是边上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接．则当取得最小值时，的长度为 ． 39．如图，小实同学先将正方形纸片沿对折成两个完全重合的矩形，再把纸片展平，然后折出上方矩形的对角线，再把边沿折叠，使得A点落在上的H点处，若，则 ． 40．如图，将边长为2的正方形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点与点重合，与交于点，取的中点，连接，则周长的最小值是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 特殊平行四边形折叠问题分类训练（4种类型40道） 专题目录 【类型1 菱形折叠问题】 1 【类型2 矩形折叠问题】 11 【类型3 利用斜中半解决折叠问题】 21 【类型4 正方形折叠问题】 30 【类型1 菱形折叠问题】 1．如图，在菱形纸片中，，折叠该纸片，使点C落在直线（P为中点）上的点处，得到经过点 D 的折痕，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，记、的交点为，则，，，是等边三角形，由P为中点，可得，，由折叠的性质可知，，，则，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，记、的交点为，    ∵菱形，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∵P为中点， ∴，， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，翻折的性质等知识．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，翻折的性质是解题的关键． 2．如图，菱形纸片中，，将纸片沿着直线折叠，使点A与点B重合，若，那么菱形的面积为（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】此题考查了菱形的折叠问题、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，求出菱形的边长是解题的关键．利用折叠的性质和菱形的性质求出菱形的边长为，过点D作于点H，则，进一步求出，即可求出菱形的面积． 【详解】解：∵菱形纸片中，， ∴， ∵将纸片沿着直线折叠，使点A与点B重合， ∴， ∴，， 设菱形的边长为，则， ∴， ∴， 解得， 即菱形的边长为， 过点D作于点H，则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴菱形的面积为． 故选：A． 3．如图，将边长为4，锐角为的菱形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点处，记为，则的长度为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、菱形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识．过作于点，先求出，，则点与重合，再由折叠的性质得，设，则，然后由勾股定理得，即可得出答案． 【详解】解：如图，过作于点， ， 边长为4，锐角为的菱形， ，，， ， 是的中点， ， ， ， ，， 点与重合， ，， 由折叠的性质得：， 设， 则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 故选：B． 4．如图所示的是一个对角线长分别为6和8的菱形，为对角线的交点，过点所在的直线折叠菱形，使点落在点处，点落在点处，折痕是.若，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】略 5．如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一点．将沿直线折叠，得到，连接，．若四边形是菱形，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形的性质求出AC和AB，根据翻折的性质得到∠A=∠EFD=30°，AD=DF，根据菱形的性质得到△DEC与△DFC为等边三角形，求出OE，从而得到AE，即可求出BE． 【详解】解：如图，设CD与EF交点为O， ∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2， ∴AC=，AB=4， ∵翻折可知：∠A=∠EFD=30°，AD=DF， 又∵四边形DECF为菱形， ∴DE=DF=DA，∠DEC=∠DFC=2∠DFE=60°， ∴△DEC与△DFC为等边三角形， ∴DC=DE=DA， ∴DC=AC==， ∴OC=， ∴OE=OC=， ∴AE=2OE=3， ∴BE=AB-AE=4-3=1， 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，难度不大，解题的关键是掌握相应图形的性质，利用折叠得到相等线段和角． 6．如图，菱形的边，，,是上一点，，是边上一动点，将梯形沿直线折叠，的对应点．当的长度最小时，的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于，如图，根据菱形的性质可判断为等边三角形，则，，再利用勾股定理计算出，再根据折叠的性质得点在以点为圆心，为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点在上时，的值最小，然后证明即可． 【详解】解：作于，如图， 菱形的边，， 为等边三角形， ，， ， ， 在中，， 梯形沿直线折叠，的对应点， 点在以点为圆心，为半径的弧上， 当点在上时，的值最小， ， 而， ， ， .    故选B． 【点睛】考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了折叠的性质．解决本题的关键是确定A′在PC上时CA′的长度最小． 7．如图，菱形ABCD中，E是AD的中点，将△CDE沿CE折叠后，点A和点D恰好重合，若菱形ABCD的面积为4，则菱形ABCD的周长是(　　     )    A．8 B．16 C．8 D．16 【答案】A 【详解】分析： 详解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=CD， 又∵CD=AC， ∴AD=CD=AC， 即△ADC是等边三角形， ∴ ∴ ∵菱形ABCD的面积 ∴ ∴菱形ABCD的周长为 故选A. 点睛：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，也考查了等边三角形的判定，菱形的性质等. 8．对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B'M=1，则CN的长为（　　）    A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】连接AC、BD，如图，利用菱形的性质得OC=AC=3，OD=BD=4，∠COD=90°，再利用勾股定理计算出CD=5，接着证明△OBM≌△ODN得到DN=BM，然后根据折叠的性质得BM=B'M=1，从而有DN=1，于是计算CD﹣DN即可． 【详解】解：连接AC、BD，如图， ∵点O为菱形ABCD的对角线的交点， ∴OC=AC=3，OD=BD=4，∠COD=90°， 在Rt△COD中，CD==5， ∵AB∥CD， ∴∠MBO=∠NDO， 在△OBM和△ODN中， ∴△OBM≌△ODN， ∴DN=BM， ∵过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕， ∴BM=B'M=1， ∴DN=1， ∴CN=CD﹣DN=5﹣1=4． 故选D．    【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了菱形的性质． 9．如图，在菱形ABCD中，点E是BC边的中点，动点M在CD边上运动，以EM为折痕将△CEM折叠得到△PEM，联接PA，若AB=4，∠BAD＝60°，则PA的最小值是（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】分析：当A、P、E三点共线的时候，AP的长度有最小值． 详解：连接AE，过A作BC的垂线交CB的延长线于M，易知∠ABM=60°，AB=4， ∴MB=2，AM=2，在Rt△AME中，， ∴AP的最小值为2，故选C．　 点睛：本题主要考查的是折叠的性质、两点之间线段最短的综合应用，难度在中等．解决这个问题的关键就是找出点P的位置． 10．如图，菱形纸片ABCD的对角线AC、BD相交于点O，折叠纸片使点A与点O重合，折痕为EF，若AB=5，BD=8，则△OEF的面积为（ ） A．12 B．6 C．3 D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BO=OD=BD= ×8=4， ∴∠AOB=90°， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AO=3， ∵折叠纸片使点A与点O重合，折痕为EF，AC⊥BD， ∴EF垂直平分AO，EF∥BD， ∴AE=BE，DF=AF，AM=OM=AO= ， ∴EF=BD= ×8=4， ∵EF⊥AO， ∴∠OME=90°， ∴△OEF的面积为×EF×OM= ×4×=3， 故选C． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，三角形中位线定理，菱形的性质等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题的关键． 【类型2 矩形折叠问题】 11．如图，矩形纸片中，，，折叠纸片，使边落在对角线上，折痕为，则的长为（　  　）    A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】由勾股定理求出的长，再由折叠的性质得，，则，设，则，，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：在矩形中，，， ，， ， 由折叠的性质得：，， ，， 设，则，， 在中：， 即， 解得：， 即， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 12．如图，将长方形纸片折叠，使点 D 与点 B 重合，点 C 落在处，折痕为，若， ，则和的周长之和为 （　　） A．6 B．8 C．10 D．16 【答案】C 【分析】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角边相等．由折叠特性可得，，，根据矩形的性质得出，，根据求出结果即可． 【详解】解：∵将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在处，折痕为， ∴由折叠特性可得，，，， ∵四边形为矩形， ∴，， ． 故选：C． 13．如图，在矩形中，，将矩形沿对角线折叠，点落在点交于点，则的面积为（    ） A． B． C． D．26 【答案】C 【分析】证明，设，则，，可得，再进一步求解即可 【详解】解：四边形为矩形， ，，， 矩形纸片沿对角线折叠， ∴， ∵， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， 的面积． 故选：C． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，熟练的利用方程求解是解本题的关键 14．矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】连接，交于点，根据翻折的性质知，，，垂直平分，说明，利用等积法求出的长，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：连接，交于点， 在矩形中，，， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴，，， ∴垂直平分， ∴，， ∵点为的中点，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，垂直平分线的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理等知识，利用等积法求出的长是解题的关键． 15．如图，将矩形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点处．若，，则的长为（    ） A．10 B．9 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是翻折变换的性质，勾股定理，矩形的性质．根据矩形的性质得到，，，根据翻折变换的性质得到，，设，则，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：矩形，，， ，，， 将矩形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点上， ，， 设，则， 在中，， 解得， ． 故选：A 16．如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．若与交点为，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形与折叠，根据折叠的性质，推出，得到，进而证明，得即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可知：直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵对折至，折痕为， ∴， ∴， 故选：． 17．如图，在矩形中，，，点为的中点，将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，与相交于点，由折叠的性质得，根据勾股定理求出，再根据三角形的面积公式求出，得到，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，根据勾股定理求出的长度，最后根据计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，与相交于点，    由折叠可知，垂直平分，， ∴，， ∵，点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 故选：． 18．如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的点F处，若，，则（    ） A．4 B．3 C．5 D．8 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，先证明，，，再结合勾股定理可得答案； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠可知，， ∴， ∴， 故选A． 19．如图，已知矩形纸片，，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，、分别交于点O、F，且，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列方程求解是解决问题的关键． 根据折叠的性质可得出，进而、，再证，根据全等三角形的性质可得出，设，则，，，依据中，，解方程，即可确定的长． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，， 根据折叠可知：， ，． 在和中， ， ， ，， ， 设，则，，， ， 中，， 即， ， ， 故选：C． 20．如图，在矩形中，，，连接，将沿折叠，使点对应点落在上，将沿折叠，使对应点也落在上，连接，，则四边形面积为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、三角形面积计算等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键．先证四边形是平行四边形，得出，推出，由勾股定理求出，设，则，再由折叠的性质得，，，，，，得出，，，求出，然后由勾股定理求出，最后由三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，，， ， 由折叠性质得：，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 即， 在中，， 设，则， 由折叠的性质得：，，，，，， ，，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即， ， 故选：B． 【类型3 利用斜中半解决折叠问题】 21．如图，在四边形中，，．若将沿折叠，点与边的中点恰好重合，则四边形的周长为 ．    【答案】4 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质，直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．根据，，边的中点是，得到，根据沿折叠，点与边的中点恰好重合，得到，得到四边形的周长为，解答即可． 【详解】解：由，，边的中点为， ∴， ∵沿折叠，点与边的中点恰好重合， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：4． 22．如图，把三角形纸片折叠，使点、点都与点重合，折痕分别为，，得到，若厘米，则的长为 厘米． 【答案】 【分析】由折叠的性质可知，，，结合，可求的长，，可求的长，即可求解，本题考查了折叠的性质，解题的关键是：掌握底角为的等腰三角形的性质． 【详解】解：由折叠的性质可知：，， （厘米）， （厘米）， ∴（厘米） ， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∴（厘米） （厘米）， （厘米）， 故答案为：． 23．如图，直角三角形纸片中，，，将其沿边上的中线折叠、使点A落在处，则的度数为 【答案】/20度 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出角的度数． 由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得到，从而，进而求出，由折叠可得，根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵，是中线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得， ∴． 故答案为：． 24．如图，在中，，点D为的中点．将沿折叠得到，连接．若，则线段 ．    【答案】/ 【分析】连接，设与交于点O，由折叠的性质可知，再根据勾股定理可得的长度，最后利用三角形中位线得出答案． 【详解】解：连接，设与交于点O，    由折叠性质可知，，且， 又∵， ， 是的中点， ， 设，则 ， ， ， 即， 解得， 即， 又， （三角形中位线定理）， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，利用直角三角形斜边上中线的性质和勾股定理是解题关键． 25．如图，直角三角形纸片中，，点是边上的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有．若，那么折痕的长为 ．    【答案】 【分析】如图，设交于点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，由翻折的性质可知，再根据，可证明，可得，从而得到是等边三角形，由等边三角形的性质可得结论． 【详解】解：如图，设交于点， ∵，点是边上的中点， ∴， ∴， 由翻折的性质可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴折痕的长为． 故答案为：．    【点睛】本题考查翻折变换，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握翻折变换的性质． 26．如图，在中，，，，为边上一点，为的中点，将沿折叠得到、连接，当为直角三角形时，的长为 ．    【答案】或2 【分析】 分以下两种情况讨论．①当时，②当时，根据题意画出图形，根据等边三角形的性质以及勾股定理分别求解即可． 【详解】由题意，可知需分以下两种情况讨论． ①当时，设交于点， 如解图所示，则， ． ， 为等边三角形， ． ∴，， ． 又 ， ． ． ②当时，如解图所示， 此时点在线段上，即． 又， ， 又， ． ． 为等边三角形， ．． 综上所述，当为直角三角形时，的长为或．    故答案为：或．． 【点睛】 本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键． 27．在中，，，AD是斜边BC上的中线．将沿AD折叠，使点C落在点F处，线段DF交AB于点E．则的大小为 ． 【答案】36°/36度 【分析】根据三角形内角和定理求出∠C=54°，由AD是斜边BC边上的中线得到AD=BD=CD，求出∠ADC=72°，再根据翻折后三角形角大小不变得到∠ADC=∠ADF=72°，即可求出∠BDE的度数． 【详解】∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=36°， ∴∠C=90°−∠B=54°， ∵AD是斜边BC边上的中线， ∴AD=BD=CD， ∴∠BAD=∠B=36°，∠DAC=∠C=54°， ∴∠ADC=180°−∠DAC−∠C=72°， ∵将△ACD沿AD对折，使C落在F处， ∴∠ADC=∠ADF=72°， ∴∠BDE=180°−∠ADC−∠ADF=36°， 故答案为36°． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，直角三角形斜边上的中位线的性质，翻折变换，等腰三角形的性质．明确直角三角形斜边上的中位线的性质以及翻折变换是解题的关键． 28．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，BC＝10，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在点C′处，那么BC′的长为 ． 【答案】 【分析】由题意可得BD＝CD＝5，根据折叠的性质可得，根据勾股定理可求BC'的长． 【详解】解：∵AD是△ABC的中线，BC＝10， ∴BD＝CD＝5， ∵把△ABC沿直线AD折叠， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是本题的关键． 29．如图，在中，，，点是斜边上一动点，连接，将沿折叠，点的对应点是，当点落在边的垂直平分线上时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况①当A′落在线段BC的上方时，②当A′落在线段BC的上方时，再利用垂直平分线的性质分析可得答案． 【详解】解：如图： （1）当A′落在线段BC的上方时，如图①： 在中，，， ∴， 取AB的中点D，连接CD， 则CD=BD=AD，点D在BC的垂直平分线l上， ∴△ACD是等边三角形， ∴CA=CD， ∵将沿折叠，点的对应点是，当点落在边的垂直平分线上， ∴点D与A′重合， ∴∠A′CB=∠B=30°， ∵ ∴∠ACA′=90°-30°=60°， ∴∠ACP=∠ACA′=30°． （2）当A′落在线段BC的下方时，如图②： ∵l是BC的垂直平分线， ∴PC=PB， ∴∠PCB=∠B=30°， ∴∠ACP=90°-30°=60°． 综上，∠ACP的度数是30°或60°． 故答案为：30°或60°． 【点睛】本题考查了折叠的性质，根据折叠得到角相等和利用垂直平分线的性质是解题关键关键， 30．已知中，，，，为斜边上的中点，是直角边上的一点，连接，将沿折叠至，交于点，若的面积是面积的一半，则 ． 【答案】2 【分析】根据等高的两个三角形的面积比等于边长比可得AD=2DF，A'F=EF，通过勾股定理可得AB的长度，从而可求AD，DF，BF的长度，可得BF=DF，可证BEDA'是平行四边形，可得BE=A'D，根据勾股定理可得CE的长度 【详解】如图连接BE， ∵∠ACB=90°，AC=8，BC=4 ∴AB= ∵D是AB中点 ∴BD=AD= ∵折叠 ∴AD=A′D=，S△ADE=S△A′DE ∵S△DEF=S△ADE ∴AD=2DF，S△DEF=S△A′DE ∴DF=，A′F=EF ∴BF=DF=，且A′F=EF ∴四边形BEDA′是平行四边形 ∴A′D=BE= ∴根据勾股定理得：CE=2 故答案为：2． 【点睛】本题考查直角三角形中的折叠问题，及“斜中半”定理的应用，灵活利用面积转化边长关系是解题关键． 【类型4 正方形折叠问题】 31．将一张边长为10的正方形纸片进行折叠，折痕为，点落在边上的点处，当点为中点时，的长为 . 【答案】 【分析】根据正方形性质以及折叠性质，可得，设， ，，利用勾股定理求出x的值，延长交于点Q，证明，得到，由折叠性质可得，设，利用勾股定理求出a的值，最后根据求出最后结果． 【详解】解：四边形为正方形， ， 点为中点， ， 设，由折叠可知，则， 在中，，即， 解得：， ， , 如图，延长交于点Q， 在与中， ， ， ， 由折叠可知：， ， ， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，准确作出辅助构造全等三角形是解题关键． 32．如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，令与交于点，由折叠的性质可得：，垂直平分，证明，得出，由勾股定理得出，再由三角形面积公式得出，即可得解． 【详解】解：如图，令与交于点， ， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴ 由折叠的性质可得：，垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 33．如图，正方形的边长为，点E是边的中点，点F是边上不与点A、D重合的一个动点，将沿直线折叠，使点A落在点处．当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解答本题的关键是学会用分类讨论的首先思考问题．首先证明，只要分两种情形讨论即可：当时，连接．构建方程即可；当点F在中点时，满足条件． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形的边长为，点E是边的中点， ∴， 由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∴， 当时，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点三点共线， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 如图，当点F为的中点时， 由折叠的性质得：． ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 即垂直平分， ∵四边形是正方形， ∴垂直平分， ∴，此时为等腰三角形，满足条件， 此时； 综上所述，的长为或． 故答案为：或 34．正方形的边长为，E是边上的一个动点（不与A，D两点重合），将沿折叠得，若是等腰三角形，则 ． 【答案】或 【分析】分三种情况：①当时，作辅助线，构建直角三角形，利用角的特殊三角函数值求得的长；②当时，作辅助线，构建直角三角形，设未知数，根据勾股定理列方程可求得的长；③当时，可以发现此种情况不存在．综合即可解决问题． 【详解】解：是等腰三角形，分三种情况： ①当时，如图，过作于点，交于点， 四边形是正方形， ， ， ， 是正方形的对称轴， 如图，连接， 则， 将沿折叠得， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； ②当时，如图，过作，交于点，交于点， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得：， ， 四边形为矩形， ，， ， 设，则，， 由勾股定理得：， 即， 解得， ， ， ； ③当时， 由题意，，， 此时四边形是正方形，点与点重合，不符合题意， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形分类讨论问题，等边三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，本题构建直角三角形，利用勾股定理列方程是解题的关键． 35．如图，四边形是边长为4的正方形，F为边上一点且，E为边上一点，把沿着折叠，得到，若为直角三角形，则的长为 ．    【答案】3或 【分析】分，，三种情况讨论解答即可， 【详解】解：当时，如图，    则， ∵是折叠得到的， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）当时，如图，    ∵是折叠得到的， ∴，，， ∴， ∴点在上， 在中， 由勾股定理，得， ∴， 设，则， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得， ∴； （3）当时， ∵E为边上一点， ∴此时点应在上， ∴， 这与折叠时矛盾， ∴此种情况不存在， 综上所述，或． 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了翻折变换，解决本题的关键是利用正方形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理．分情况讨论是解题的关键． 36．如图，在边长为3的正方形纸片中，E是边上的一点，，连接，将正方形纸片折叠，使点D落在线段上的点G处，折痕．则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，利用正方形的性质得到，则由勾股定理得到，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 37．已知正方形中，，点E在边上，且．将沿折叠至，延长交边于点G，连结、．若，则三角形的周长是 ．    【答案】12 【分析】由正方形和折叠的性质得出，由证明，得，进而可求三角形的周长． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∵沿折叠至， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴三角形的周长 ． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正方形性质，折叠性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握正方形性质是解题的关键． 38．如图，在边长为4的正方形中，为边上一点，且，是边上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接．则当取得最小值时，的长度为 ． 【答案】 【分析】先利用辅助圆确定当取得最小值时的位置，再利用勾股定理建立方程和正切的定义求解即可． 【详解】解：∵正方形边长为4，， ∴ 如图，以为半径作圆，则该圆是以点E为圆心，为半径的圆， 连接，与圆交于点M， 则当位于点M处时，取最小值， 记当位于点M处时的折痕为，连接，设， ∴， ∴， ∵中，， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴在中， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了动点问题，涉及到了用辅助圆确定动点的某个特殊位置，勾股定理，正方形的性质等内容，解题关键是确定当取得最小值时的位置． 39．如图，小实同学先将正方形纸片沿对折成两个完全重合的矩形，再把纸片展平，然后折出上方矩形的对角线，再把边沿折叠，使得A点落在上的H点处，若，则 ． 【答案】/ 【分析】设，则可得．连接，即可构造和，依据勾股定理得到，进而得出关于x的方程，通过解方程即可得到的长． 【详解】解∶如图所示，连接， 在中， ∴， 又∵， ∴， 设，则， 由折叠可得，， ∴， 在和中， ，即， 解得， ∴． 故答案为∶． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及翻折变换(折叠问题)以及勾股定理， 折叠的本质属于轴对称变换，关键是抓住折叠前后的对应边和对应角相等． 40．如图，将边长为2的正方形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点与点重合，与交于点，取的中点，连接，则周长的最小值是 . 【答案】/ 【分析】取的中点，连接，，．首先证明，，推出，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，， 由翻折的性质以及对称性可知；，，， 点是的中点， ， 在中，， ，， ， ， 的最小值为， 的周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$