专题01 特殊平行四边形最值问题分类训练（4种类型40道）-2024-2025学年九年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（北师大版）

专题01 特殊平行四边形最值问题分类训练（4种类型40道） 专题目录 【类型1 菱形最值问题】 1 【类型2 矩形最值问题】 3 【类型3 利用斜中半解决最值问题】 6 【类型4 正方形最值问题】 8 【类型1 菱形最值问题】 1．如图，菱形的边长为4，且，是的中点，为上一点且的周长最小，则的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，菱形的边长为，，点E是边上的动点，点P是对角线上的动点，若使的值最小，则这个最小值为（　　） A．5 B．2 C． D． 3．如图，在菱形中，，，为中点，点为对角线上一动点，连结和，则的值最小是（    ） A． B． C． D．2 4．如图，E为菱形的对角线上的动点，以，为邻边作平行四边形，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在菱形中，E、F分别是边、上的动点，连接、，G、H分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，，点E、F分别在边、上，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 7．如图，菱形中，，，点P为线段的中点，Q，K分别为线段上的任意一点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D．2 8．如图，已知菱形的边长为，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 9．如图，平行四边形中，，，，是边上一点，且，是边上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值是（    ）. A．4 B． C． D． 10．如图，菱形边长为，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【类型2 矩形最值问题】 11．如图，在中，，点是斜边上的一个动点，于点，于点，连接，则的最小值为（    ） A．5 B．3.6 C．2.4 D．4.8 12．如图，矩形中，，，连接，若点分别是上的两个动点，则之和的最小值为（    ） A．10 B．13 C． D． 13．如图，已知线段，点在线段上，且是边长为的等边三角形，以为边在其右侧作矩形，点为中点，连接，求线段的最小值是（     ） A． B． C． D． 14．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 15．如图，在中，，，P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为（    ） A．3 B． C．5 D． 16．如图，正方形的边长为8，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边三角形，连接，则的最小值为（    ）    A．1 B．5 C． D．4   17．如图，在矩形中，，，是矩形内部一动点，且满足，则点到两点距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D．8 18．如图，在矩形中，已知，，点O、P分别是边、的中点，点H是边上的一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 19．如图，在矩形中，，，E为的中点，F为上一动点，P为中点，连接，则的最小值是（　　） A．2 B． C． D． 20．如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【类型3 利用斜中半解决最值问题】 21．如图，在中，，，D为边的中点，E，F分别是边，上的动点，且满足，则的周长的最小值为 ． 22．如图，在中，，，点D是边上一动点，连接，过点A作，且，连接，则的最小值为 ． 23．如图，在四边形中，，连接交于点O，点E为上一动点，连接，点P为的中点，连接，则的最小值为 ． 24．如图，在中，，，，以为边向左作等边，点为中点，连接，点分别为上的动点．求的最小值为 ． 25．如图，在中，，，，D为边上的一个动点，连接，E为上的一个动点，连接，当时，线段的最小值是 ． 26．如图，在Rt中，是边上的中线，点E为边的中点，点F为线段上的动点，连接．若，则的最小值为 ． 27．如图，在和中，，，以、为邻边作，连接，则线段的最小值为 ． 28．如图，在中，，．点是射线上的动点，过点作射线的垂线，垂足为点H，点M是的中点，连结，则的最小值是 ． 29．如图，在中， 点P为边上一动点，过点P分别作于点D，于点E，点F为中点，连接，则线段最小值为 ．    30．如图，在中，，，，点P是内一动点，且，点Q是的中点，则的最小值为 ． 【类型4 正方形最值问题】 31．如图，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的动点，则的最小值是 ． 32．如图，正方形的边长为，分别为边上的动点，且，则的最小值为 33．如图，正方形的边长为4，点E在线段上，以为边构造正方形，使点G在的延长线上，连接，取的中点H，连接．当点E在边上运动（不含A，D）时，的最小值为 ． 34．如图，正方形边长为3，点，分别是边，上的两个动点，且，连接、，则的最小值为 ． 35．如图，已知正方形的边长是4，E是边上一动点，是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，则的最小值为 ． 36．如图，在正方形中，，，，分别为，，上的点，连接，，，则的最小值为 ． 37．如图，在正方形中，动点、分别从、两点同时出发，以相同的速度在边、上移动，连接和交于点，由于点、的移动，使得点也随之运动．若＝，则线段的最小值是 ． 38．如图，四边形是正方形，边长为2，点E，F分别是，上的动点，且，则的最小值为 ． 39．如图，已知正方形的边长为6，动点从点A出发在边上运动，同时动点从点出发以同样的速度在边上运动．分别连接、，与相交于点，连接，则线段的最小值为 ． 40．如图，正方形的面积为12，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 特殊平行四边形最值问题分类训练（4种类型40道） 专题目录 【类型1 菱形最值问题】 1 【类型2 矩形最值问题】 12 【类型3 利用斜中半解决最值问题】 24 【类型4 正方形最值问题】 35 【类型1 菱形最值问题】 1．如图，菱形的边长为4，且，是的中点，为上一点且的周长最小，则的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由菱形的性质可得点与点关于对称，连接交于点，连接，则的周长，此时的周长最小，过点作交的延长线于，由菱形的性质和可得，从而可得，最后由勾股定理计算得出，即可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， 点与点关于对称， 如图，连接交于点，连接， ， 则， 的周长，此时的周长最小， 是的中点，菱形的边长为4， ， 过点作交的延长线于， 四边形为菱形，边长为4， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的周长的最小值， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、轴对称的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质、轴对称的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，添加适当的辅助线，求出的长，是解题的关键． 2．如图，菱形的边长为，，点E是边上的动点，点P是对角线上的动点，若使的值最小，则这个最小值为（　　） A．5 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质，可知点A和点C关于对称，再根据对称的性质，将转化为，然后根据垂线段最短可知，当时，取得最小值． 【详解】解：连接，如图所示， 四边形是菱形， 点A和点C关于对称， ， 当时，点A到的距离最短， 当时，此时于的交点为P时，，的值最小， 菱形的边长为，， ，， ， ， ， 即的最小值是， 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、对称轴—最短路径问题，解答本题的关键是找出的值最小，即点A到线段的距离，其中垂线段垂足是点E的所在位置，垂线段与的交点是点P的所在位置． 3．如图，在菱形中，，，为中点，点为对角线上一动点，连结和，则的值最小是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，可知点和是关于对称．则连接交于点，即为所求作的点．的最小值即为CE的长． 【详解】解：如图，连接，与D交于点P，连接，此时，值最小． ∵在菱形中，，， ∴为等边三角形，， ∵是中点， ∴，， ∴， ∴2． 故选B． 【点睛】此题考查菱形是轴对称图形，掌握轴对称-最短路线问题模型，熟知“两点之间线段最短”是解题的关键． 4．如图，E为菱形的对角线上的动点，以，为邻边作平行四边形，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形以及平行四边形的性质，勾股定理等知识点，连接，根据可得当，最小，据此即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意得：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当，即时，最小， 此时，最小值为， 故选：B． 5．如图，在菱形中，E、F分别是边、上的动点，连接、，G、H分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、 等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，求出最小值即可求出． 【详解】解：过A作于K， 在菱形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，负值舍去， ∵G、H分别为、的中点， ∴， ∵垂线段最短， ∴当F和K重合时，最小，也最小， ∴的最小值为， 故选：D． 6．如图，在菱形中，，点E、F分别在边、上，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，掌握特殊图形的性质是解题关键． 连接，过点作于点，根据菱形的性质，证明和是等边三角形，根据三线合一的性质和勾股定理，求得，再利用三角形的三边关系，得出的最小值为，证明，进而推出是等边三角形，即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 四边形是菱形，， ，， 和是等边三角形， ，， ， ， 在中， ， 的最小值为， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 的最小值为， 故选：D． 7．如图，菱形中，，，点P为线段的中点，Q，K分别为线段上的任意一点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，如图所示，取中点E，连接，先证明是等边三角形，得到，再证明，得到，则当三点共线，且时最小，即此时最小，由垂线段最短可知最小值即为线段的长，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，取中点E，连接，    ∵菱形中，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点P为线段的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时最小，即此时最小， ∴由垂线段最短可知最小值即为线段的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， 故选：C． 8．如图，已知菱形的边长为，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由菱形，，可得，，证明，则，如图，作于，作于，则，，可知当三点共线且时，最小为，由，可得，由勾股定理求，进而可得的最小值． 【详解】解：∵菱形，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， 如图，作于，作于， ∴， ∴， ∴当三点共线且时，最小为， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理是解题的关键． 9．如图，平行四边形中，，，，是边上一点，且，是边上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值是（    ）. A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转变换，轨迹，菱形的性质，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识．取的中点．连接，，，作交的延长线于．利用全等三角形的性质证明，点的运动轨迹是射线，由“”可证，可得，推出，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点．连接，，，作交的延长线于， ，， ， 点是的中点， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ， 点的运动轨迹是射线， ，，， ， ， ， 在中，，，， ，， 在中，， ， 的最小值为， 故选：C． 10．如图，菱形边长为，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，连接，可得和是等边三角形，进而证明得到，进而得到，延长交于，则在射线上运动，由等边三角形三线合一可得，即得到当点与重合时，取最小值，据此即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴和是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 延长交于，则在射线上运动， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 当点与重合时，取最小值，如图， 此时，， 故选：． 【类型2 矩形最值问题】 11．如图，在中，，点是斜边上的一个动点，于点，于点，连接，则的最小值为（    ） A．5 B．3.6 C．2.4 D．4.8 【答案】D 【分析】本题考查动点最值问题-点线模型，涉及勾股定理、矩形的判定与性质、等面积法求线段长等知识，先由勾股定理求出，再由题意判断出四边形是矩形，进而根据矩形性质得到，从而由动点最值问题-点到直线上点的距离垂线段最短，利用等面积法列方程求解即可得到答案，熟练掌握勾股定理、矩形的判定与性质及动点最值问题的求法是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 在中，， 由勾股定理可得， 于点，于点， 四边形是矩形，则，即求的最小值为就是求线段的最小值， 为定点，点是斜边上的一个动点， 当时，取到最小值， 由可得，则的最小值为， 故选：D． 12．如图，矩形中，，，连接，若点分别是上的两个动点，则之和的最小值为（    ） A．10 B．13 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质、三角形全等的判定与性质，作点关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得：，，则，，由垂线段最短可得，当、、在同一直线上，且垂直于时，的值最小，作于，交于，则的最小值为，在上截取，作于，于，则四边形为矩形，得到，，证明，得出，，设，，则，，再由勾股定理计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴， ∴， 如图，作点关于的对称点，连接， ， 由轴对称的性质可得：，， ∴，， 由垂线段最短可得，当、、在同一直线上，且垂直于时，的值最小， 作于，交于，则的最小值为， 在上截取，作于，于， 则，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， 设，，则，， 由勾股定理得：，， ∴， 解得：， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 13．如图，已知线段，点在线段上，且是边长为的等边三角形，以为边在其右侧作矩形，点为中点，连接，求线段的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，根据四边形是矩形和是等边三角形，证明，从而求出，当时，有最小值，然后根据角的直角三角形的性质求出即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是矩形， ∴对角线、的交点为它们的公共的中点， ∵点是的中点， ∴点是的中点，即、、共线， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴当时，有最小值， 此时， ∴线段的最小值是． 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角的直角三角形，垂线段最短．解题的关键掌握：直线外一点和直线上一点的最短距离即为直线外一点到直线上的距离． 14．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理，斜边上的中线，矩形的判定和性质，垂线段最短．解题的关键是得到时，的值最小．勾股定理逆定理得到，进而推出四边形是矩形，连接，则，由直角三角形的斜边中线定理得到，进而得到最小时，最小，进而得到时，最小，等面积法求出的长即可． 【详解】解： ，，， ， ， 为中点， ， ，， 四边形是矩形， 连接，则， ， 当最小时，最小， 垂线段最短， 当时，最小， 此时，即：， ， 的最小值为， 故选：D． 15．如图，在中，，，P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 连接，先求出的长，再证明四边形是矩形，得，然后由垂线段最短，得出当时，线段的值最小，进而由等腰直角三角形的性质求出的长，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ，， ， ，， ， ∴四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得，当时，线段的值最小，则线段的值最小， 此时，， ， 的最小值为， 故选：D． 16．如图，正方形的边长为8，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边三角形，连接，则的最小值为（    ）    A．1 B．5 C． D．4 【答案】B 【详解】本题考查了线段极值问题，矩形的性质，旋转的性质，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键． 由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动．将绕点E旋转，使与重合，得到，连接，得到．则点G在垂直于的直线上．作，由垂线段最短可知，的长即的最小值．作，则四边形为矩形，求出．，得出，最后根据，即可求解． 【分析】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动．将绕点E旋转，使与重合，得到，连接， 由旋转可得， ∴，， ∴为等边三角形．    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴点G在垂直于的直线上． 作，由垂线段最短可知，的长即的最小值． 作，则四边形为矩形， ∴，， ∴． ， ， ∴，即的最小值为5． 故选：B． 17．如图，在矩形中，，，是矩形内部一动点，且满足，则点到两点距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查矩形性质，勾股定理，动点最小值问题．根据题意可得高为，继而得到动点E的运动轨迹，再做对称利用勾股定理即可求出最小距离． 【详解】解：∵矩形中，，，． ∴设高为， ∴，即：， ∴动点在与平行且与距离是3的直线上运动， 如图，作关于直线的对称点，连接，， ∴则的长就是所求的最短距离， 在中， ∵，， ∴， 即：的最小值为， 故选：B． 18．如图，在矩形中，已知，，点O、P分别是边、的中点，点H是边上的一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查翻折变换、矩形的性质、三角形的三边关系、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用三角形的三边关系解决最值问题．连接、、．根据三边关系，P，求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、、． ∵四边形是矩形， ∴， ∵，，点O、P分别是边、的中点， ∴，， 在中， 由勾股定理，得， 在中， 由勾股定理，得， ∵，， ∴的最小值为 故选：C． 19．如图，在矩形中，，，E为的中点，F为上一动点，P为中点，连接，则的最小值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形的性质及轨迹问题，三角形中位线性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是要学会利用特殊位置得到轨迹问题． 根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当时，PB取得最小值，然后由矩形的性质以及已知数据即可知，故的最小值为的长，最后根据勾股定理可求解． 【详解】解：如图， 当点F与点C重合时，点P在处，则， 当点F与点E重合时，点P在处，则， ∴且， 当点F在上除点C、E的位置处时，有， 由三角形中位线定理可知：且， ∴点P的运动轨迹是线段， ∴当时，取得最小值， ∵在矩形中，，，E为的中点， ∴为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴的最小值为的长， 在等腰直角中，， ∴， ∴的最小值为． 故选C． 20．如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题． 设的中点为O，连接，，证明，得出，点M在O点为圆心，4为半径的圆上，利用勾股定理求出从而计算出答案． 【详解】解：设的中点为O，连接，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴点M在O点为圆心，2为半径的圆O上． ∵ ∴ ∵的最小值为． 故选：D． 【类型3 利用斜中半解决最值问题】 21．如图，在中，，，D为边的中点，E，F分别是边，上的动点，且满足，则的周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．连接．证明，可得，，推出，再求出的最小值即可． 【详解】解：连接． ∵为边的中点， ∴， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，是等腰三角形， 则， ∴当的长最小时，的周长最小， ∴当最小时，的长最小， ∵时，的值最小，此时为的中点，则， ∴， ∴的周长的最小值． 故答案为：． 22．如图，在中，，，点D是边上一动点，连接，过点A作，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，延长到点F，使，连接，交于点G，连接，过点A作于点M，证明，得出，说明点E在过点C，垂直于的直线上，得出垂直平分，证明，得出当A、E、F在同一直线上时，最小，即最小，说明当点E在点G处时，最小，即的最小值为的值，求出． 【详解】解：连接，延长到点F，使，连接，交于点G，连接，过点A作于点M，如图所示： ∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点E在过点C，垂直于的直线上， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当A、E、F在同一直线上时，最小，即最小， ∴当点E在点G处时，最小，即的最小值为的值， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 23．如图，在四边形中，，连接交于点O，点E为上一动点，连接，点P为的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等边三角形判定，垂直平分线性质等．根据题意证明，继而得到，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，推出，再得，继而得到为等边三角形，即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵点P为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴当点在一条直线上时，的最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：6． 24．如图，在中，，，，以为边向左作等边，点为中点，连接，点分别为上的动点．求的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质．根据题意，连接，先证，，故，由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，点为中点， ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形 是等边三角形 ， 垂直平分 同理可得：垂直平分 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值， 故的最小值为4． 故答案为：4． 25．如图，在中，，，，D为边上的一个动点，连接，E为上的一个动点，连接，当时，线段的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查斜边上的中线，勾股定理，取的中点T，连接，先求出，斜边上的中线求出的长，勾股定理求出的长，根据，求解即可． 【详解】解：如图，取的中点T，连接． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴的最小值为4． 26．如图，在Rt中，是边上的中线，点E为边的中点，点F为线段上的动点，连接．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，直角三角形斜边上的中线，等腰直角三角形，熟练掌握轴对称之将军饮马模型是解题的关键． 连接，，根据已知易得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得是的垂直平分线，从而可得，进而可得，此时的值最小，再根据线段的中点定义可得，最后在 中，利用勾股定理求出的长，即可解答． 【详解】解：连接，， 在 中，，， ， ， ， 是边上的中线， 是的垂直平分线， ， ，此时的值最小， 点是的中点， ， 在 中，， 的最小值为， 故答案为：． 27．如图，在和中，，，以、为邻边作，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】过点A作，取，连接，取的中点H，连接，，过点C作于点M，求出，，证明，得出，根据直角三角形性质得出，根据，且当、F、H三点共线时，等号成立，得出当、F、H三点共线时，最大，且最大值为． 【详解】解：过点A作，取，连接，取的中点H，连接，，过点C作于点M，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，且当、F、H三点共线时，等号成立， ∴当、F、H三点共线时，最大，且最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，找出使取最大值时，点F的位置． 28．如图，在中，，．点是射线上的动点，过点作射线的垂线，垂足为点H，点M是的中点，连结，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 取的中点O，连接、，由勾股定理得，证出为的中位线，得，由直角三角形的性质得，由，得，即可得出答案． 【详解】解：取的中点O，连接、，如图所示： ∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 29．如图，在中， 点P为边上一动点，过点P分别作于点D，于点E，点F为中点，连接，则线段最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理的逆定理、垂线段最短等知识点，根据勾股定理是逆定理求出，根据三角形的面积公式求出边上的高，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据垂线段最短解答即可，根据勾股定理的逆定理以及三角形的面积公式求出边上的高是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴边上的高为：， ∵，点F为中点， ∴， 当最小时，最小， ∵当时，最小，最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 30．如图，在中，，，，点P是内一动点，且，点Q是的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，轴对称的性质，三角形中位线定理．作关于的对称图形，连接，当点P在上时，最小，，再根据三角形中位线定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，作关于的对称图形，连接， ∵在中，，，， ∴， 当点P在上时，最小， 此时：， ∵点Q是的中点，点C是的中点， ∴，即的最小值为 故答案为： 【类型4 正方形最值问题】 31．如图，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的动点，则的最小值是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了利用轴对称的性质求最短路径问题，正方形的性质，勾股定理等知识．连接，交于，连接，当点在处时，最小，最小值是的长，进一步得出结果． 【详解】解：连接，交于，连接，如图， 四边形是正方形， ，，点B与点D关于对称， ∴， 当点在处时，最小，最小值的长， ， ， ， 的最小值为10， 故答案为：10． 32．如图，正方形的边长为，分别为边上的动点，且，则的最小值为 【答案】 【分析】连接，根据正方形的性质，可得到，则，将问题转化为“将军饮马”类型，作点关于的对称点，连接，用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵且四边形为正方形， ∴，即，， 在和中， ∴， ∴； ∴， 以为对称轴，作点关于的对应点连接，与交点即为点， ∵点和点关于对称， ∴ ， ， 由勾股定理可得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形的全等，最短路径问题，勾股定理．熟练地掌握正方形的性质得出判定三角形全等的条件，将最短路径问题转化为“将军饮马”类型的问题是解题的关键． 33．如图，正方形的边长为4，点E在线段上，以为边构造正方形，使点G在的延长线上，连接，取的中点H，连接．当点E在边上运动（不含A，D）时，的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，连接与交于点O，延长到点M，使，连接，，证明点D、O、M、B在一条直线上，证明是的中位线，得到，当最小时，最小，即当时，最小，求出，证明，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接与交于点O，延长到点M，使，连接，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴点D、O、M、B在一条直线上， ∵点E是的中点，点H是的中点， ∴是的中位线， ∴， 当最小时，最小， 即当时，最小， ∵， ∴M点与O点重合时，最小， ∵正方形的边长为4， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点H是的中点， ∴， ∴点H在的垂直平分线上， ∵四边形是正方形， ∴点H也在的垂直平分线上， ∴， ∴， 即的最小值为； 故答案为：． 34．如图，正方形边长为3，点，分别是边，上的两个动点，且，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，连接，证明，得出，推出的最小值等于的最小值，作点关于的对称点，连接，则、、三点共线，连接，与的交点即为所求的点，根据对称性可得，得到，由勾股定理求出的长即可得解． 【详解】解：如图，连接， ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值等于的最小值， 如图，作点关于的对称点，连接，则、、三点共线， ， 连接，与的交点即为所求的点， 根据对称性可得， ∴， 在中，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 35．如图，已知正方形的边长是4，E是边上一动点，是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】在上截取，证明，推出，得到点在正方形的一个外角的角平分线上运动，作点关于角平分线的对称点，连接，得到，求出的长即可得出结果． 【详解】解：在上截取，连接， ∵正方形， ∴， ∴，， ∴， ∵是以点E为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上移动， 作点关于角平分线的对称点，则：垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵正方形的边长是4， ∴， ∴， 在中，； ∵， ∴的最小值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小的问题，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，确定点的运动轨迹． 36．如图，在正方形中，，，，分别为，，上的点，连接，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，作，，证明，，得到，在中，应用勾股定理，即可求解 【详解】解：延长到点，使，延长到点，使，延长到点，使，连接，， ∵正方形， ∴，， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴的最小值为的长度， 在中，，， 故答案为：． 37．如图，在正方形中，动点、分别从、两点同时出发，以相同的速度在边、上移动，连接和交于点，由于点、的移动，使得点也随之运动．若＝，则线段的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】先根据已知得，然后证明，得出，然后证明，取中点O，则=2为定值，根据两点之间线段最短得当P、C、O三点共线时，最小，然后根据勾股定理求解． 【详解】解：动点，分别从两点同时出发，以相同的速度在边，上移动， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 取中点，连接，如下图， 则， 根据两点之间线段最短，得、、三点共线时线段的值最小， 在中，根据勾股定理得， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，确定点P到中点的距离是解此题的关键． 38．如图，四边形是正方形，边长为2，点E，F分别是，上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点A关于的对称点，连接，，，首先证明出，得到，进而得到当点，F，D三点共线时，有最小值，即的长度，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，．作点A关于的对称点，连接，，， ∵四边形是正方形，边长为2， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当点，F，D三点共线时，有最小值，即的长度 ∵，， ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，全等三角形的性质和判定，解题的关键是得到当点，F，D三点共线时，有最小值，即的长度． 39．如图，已知正方形的边长为6，动点从点A出发在边上运动，同时动点从点出发以同样的速度在边上运动．分别连接、，与相交于点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质和已知条件，判定三角形全等，根据全等三角形的性质和直角三角形两个锐角互余的性质，得到，再利用三角形三边关系和两点间距离最短的知识，即可找到符合题意的的E点，进而利用勾股定理等即可解出答案． 【详解】解：如图：取的中点，连接， ∵点P与点Q的速度相同， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵O是的中点， ， 在中， ， ∵， ∴， 当O、E、B三点共线时，取得最小值，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系，解题的关键是通过全等三角形得到． 40．如图，正方形的面积为12，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是正方形的性质、轴对称-最短路径问题，等边三角形的性质；连接．由正方形的对称性可知，则，依据两点之间线段最短可知当点在一条直线上时，有最小值，最小值为长，然后依据正方形和等边三角形的性质求解即可． 【详解】连接． ∵四边形是正方形 ∴点B与D关于对称， ∴， ∴． ∴由两点之间线段最短可知当点在一条直线上时，有最小值，最小值为长． ∵正方形的面积为12， ∴． 又∵是等边三角形， ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． 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