专题02 勾股定理实际问题分类训练（10种类型100道）-2024-2025学年八年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（北师大版）

专题02 勾股定理实际问题分类训练（10种类型100道） 专题目录 【类型1 梯子问题】 1 【类型2 测量旗杆高度】 4 【类型3 折竹抵地】 7 【类型4 求水中杆长】 9 【类型5 铺地毯问题】 13 【类型6 最短路径问题】 14 【类型7 飞行问题】 17 【类型8 航海问题】 19 【类型9 测速问题】 22 【类型10 选址问题】 25 【类型1 梯子问题】 1．如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为1.5米，梯子顶端到地面距离为2米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面距离为2.4米，则小巷的宽度为（    ）      A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米 2．如图，一架梯子原本斜靠在一面竖直的墙上，梯子顶端到墙脚的距离米，底端到粫脚的距离米．因地面湿滑，梯子顶端下滑至点处，底端滑动至点处，测量得米，则、两点之间的距离为（    ） A．2米 B．1.3米 C．0.9米 D．0.7米 3．如图，一个长为的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙，若梯子的顶端下滑至点处，则梯子的底端滑动的距离为（    ） A．4m B．6m C．8m D．15m 4．如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端往外移（    ）． A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 5．如图，一架长的梯子，斜立在竖直的墙上，这时梯子的底部距墙底端，如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子的底部将平滑（    ） A． B． C． D． 6．如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5米,则小巷的宽度为（    ） A．1.8米 B．2米 C．2.5米 D．2.7米 7．如图，一架梯子长为25米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙底端C的距离是7米，梯子下滑后停在的位置上，这时测得为13米，则梯子顶端A下滑了（　　） A．7米 B．9米 C．10米 D．13米 8．如图，一个梯子长米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C的距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 9．如图，一个梯子长2米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为米，梯滑动后停在的位置上，测得长为米，求梯子顶端A下落了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 10．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（    ）． A． B． C． D． 【类型2 测量旗杆高度】 11．某兴趣小组要测量学校旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子刚好垂到地面，若紧拉绳子的末端向后退后发现绳子末端到地面的距离为，则旗杆的高度是（　　） A． B． C． D． 12．学校操场边有一根垂直于地面l的旗杆，一根无弹力、不能伸缩的绳子m紧系于旗杆顶端A处(打结处忽略不计)．聪明的小陶同学通过操作、测量发现：如图1，当绳子m紧靠在旗杆上拉紧到底端B后，还多出1米，即 米；如图2，当离开旗杆底端 B 处5米后，绳子恰好拉直且绳子末端D 处恰好接触地面，即 米．请你跟小陶同学一起算一算旗杆的高度是（   ） A．12 米 B．10 米 C．6 米 D．15米 13．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆的底端处，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到点处，发现此时点到旗杆水平距离为，点到地面的距离为，则旗杆的高度为（    ） A． B． C． D． 14．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米．当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好与接触地面，则旗杆的高度为（    ） A．11米 B．12米 C．13米 D．14米 15．如图，从电线杆高于地面的处，向地面拉一条长的缆绳，那么固定点到电线杆底部的距离为（    ）    A． B． C． D． 16．数学兴趣小组的同学要测量与地面垂直的旗杆高度．如图，已知系在旗杆顶端A的绳子紧贴旗杆垂到地面后，在地面上多出1米，将绳子拉直后测出绳子的末端与地面的重合点C到旗杆底部B的水平距离为5米，则旗杆的高度为（    ）    A．5米 B．12米 C．13米 D．17米 17．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面面处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 处， 旗杆折断之前的高度是（   ）    A． B． C． D． 18．如图，学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了，拉直绳子，使绳子底端恰好碰到地面，此时绳子底端离旗杆底端，则旗杆的高度是（    )．    A． B． C． D． 19．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为（    ）    A．10 B．13 C．15 D．17 20．如图，有一根电线杆在离地面处的A点断裂，此时电线杆顶部C点落在离电线杆底部B点远的地方，则此电线杆原来长度为（    ） A． B． C． D． 【类型3 折竹抵地】 21．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十尺，未折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部距离为4尺，问折处高几尺？如图所示，设竹子折断处离地x尺，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 22．如图所示，有一根高为18米的松树在处断裂，松树顶部C落在离松树底部B点12米远的地方，则松树断裂处A离地面的距离的长为（    ）米 A．3 B．5 C．7 D．9 23．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，旗杯折断之前的高度是（    ） A． B． C． D． 24．如图，一根竹子长米，竖直折断后竹子顶端落在竹子的底端8米处，折断处离地面的高度是（    ） A．6米 B．7米 C．9米 D．10米 25．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面，树的顶端离树根，则这棵树在折断之前的高度是（    ） A． B． C． D． 26．如图，一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是（　）尺（ 一丈尺）． A．尺 B．4尺 C．5尺 D．尺 27．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一．在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺．问折者高几何？”大意是：如图，在中，，，（注：1丈＝10尺）．设的长为x尺，则根据题意列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 28．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，则树高为（    ） A．4米 B．5米 C．7米 D．8米 29．如图，垂直地面的旗杆在离地3m处断裂，旗杆顶部落地点离旗杆底部4m，则旗杆折断前的高度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 30．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之，在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，间折者高几何？”翻译成数学问题；如图，在中，，，，若设，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【类型4 求水中杆长】 31．“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 32．如图所示，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（　　） A． B． C． D． 33．一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是，则这支铅笔的长度是（    ）． A．10 B．15 C．20 D．25 34．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 35．如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面、求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 36．如图，一根长的牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是6cm，内壁高8cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm 38．数学古著《九章算术》记载“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”意思是：如图，在边长为1丈的正方形水池正中央有一株芦苇，它高出水面1尺，若将芦苇拉向水池一边的中点，芦苇顶端恰好到达池边的水面，问水深和芦苇长分别是多少？（1丈尺）．设水深x尺，符合题意的方程为（　　） A． B． C． D． 39．如图，一双长的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形热干面碗中，则筷子露在碗外面的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 40．如图，是一个中间带有吸管的圆柱形水杯，底面直径为，高度为，现有一根的吸管（底端在杯子底上），放入水杯中，则露在水杯外面的吸管长度为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【类型5 铺地毯问题】 41．如图，在一个高米，长米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是 米． 42．如图，要将楼梯铺上地毯，则需要 米的地毯．    43．如图，在高，斜坡长，宽为的楼梯表面铺地毯，则地毯的面积至少需要 ． 44．如图，是台阶的模型图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则等于 ．    45．某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元．    46．某小区楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为20元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要 元． 47．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元钱 48．如图是楼梯截面，其中AC＝3m，BC＝4m，AB＝5m，要在其表面铺地毯，地毯长至少需 米． 49．如图，要为一段高为6米，长为10米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 米长. 50．如图，在高3米，坡面线段AB长为5米的楼梯表面铺地毯，已知楼梯宽1.5米，地毯售价为40元/平方米，若将楼梯表面铺满地毯，则至少需 元． 【类型6 最短路径问题】 51．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 52．如图，有一个圆柱体，它的高等于，底面半径等于，一只蚂蚁在点A处，它要吃到上底面上与A点相对的点B处的食物，沿圆柱体侧面爬行的最短路程是 cm（的值取3）． 53．如图，圆柱形玻璃杯，高为 ，底面周长为，在杯内壁离杯底3的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 54．如图，在一个边长为的正方形纸片上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 ． 55．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是 ． 56．如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是 ． 57．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐的底面周长是，高是，那么所需彩带最短的长度是 ． 58．如图，有一长、宽各2m、高3m且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点A爬到与A点相对的顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路径为 m．       59．将矩形纸片折叠，如图所示，已知，，，则蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 ． 60．如图，圆柱形玻璃容器高，底面周长为，在容器内壁距下底的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底的容器内点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 ． 【类型7 飞行问题】 61．如图，小明操纵无人机从树尖A飞向旗杆顶端C，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为 ． 62．有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树的一棵大树上，大树高，且巢离树顶部．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为，那它至少需要时间 才能赶回巢中． 63．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高7米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米． 64．如图, 美丽的校园里有两棵树, 小鸟从C处飞到A处, 小鸟至少飞行 m. 65．如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是 ． 66．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞 m． 67．如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米．    68．如图，高的教学楼前有一颗高的大树，它们相距，树的顶端有一只小鸟，它要飞到楼顶上，至少要飞行 ． 69．有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一个树的树梢，则小鸟至少飞行 米 70．如图，有两棵树，一棵高为米，另一棵高为米，两树相距米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，那么小鸟至少飞行 米． 【类型8 航海问题】 71．一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是． (1)若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间． (2)岛在港的什么方向？ 72．甲、乙两船同时从码头开出，分钟后，甲船到达码头，乙船到达码头；已知甲船航行的速度是海里/时乙船航行的速度是海里/时，甲船航行的方向是北偏东，乙船航行的方向是南偏东，求甲、乙两船之间的距离    73．如图，一艘轮船以20海里/小时的速度从A地向南偏西方向航行4小时到达B地后，又从B地以20海里/小时的速度航行5小时到达C地，这时轮船正好在A地北偏西方向，求此时轮船离A地多远？    74．如图，我军巡逻艇正在处巡逻，突然发现在南偏东方向距离海里的处有一艘走私船，以海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点处将其追上．求我军巡逻艇的航行速度是多少？ 75．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间．    76．如图，两艘轮船M和N分别从港口出发，轮船M以4海里/时的速度向东北方向航行，轮船N以3海里/时的速度从港口A出发向东南方向航行，行驶5个小时后，两船的距离多少海里？    77．如图，海关缉私人员驾艇在C处发现正北方向的A处有一艘可疑船只，并测得它正以的速度向正东方向航行，缉私艇随即以的速度在B处将可疑船只拦截．缉私艇从C到B需要航行多少时间？ 78．如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，以每小时12海里的速度向B岛驶去．乙船沿南偏东55°的方向向C岛驶去，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？ 79．如图，一艘货轮和一艘渔船同时从港口出发，货轮沿北偏西方向航行海里到达点处，此时，渔船到达港口南偏西的点处，与港口相距海里，求此时货轮和渔船之间的距离．    80．一艘轮船以的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距多少？    【类型9 测速问题】 81．超速行驶是引发交通事故的主要原因，上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？ 82．某城市规定小汽车在街道上的行驶速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方30米C处，过了2秒后，测得小汽车位置B与“车速检测仪A”之间的距离为50米，这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 83．某段公路限速是．“流动测速小组”的小王在距离此公路的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从处行驶后到达处，测得，若．求出速度并判断可疑汽车是否超速？ 84．某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过，如图，一辆小汽车在该笔直路段上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪的正前方的点处，后小汽车行驶到点处，测得此时小汽车与车速检测仪间的距离为，． (1)求的长． (2)这辆小汽车超速了吗？并说明理由． 85．某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条高速公路上沿直线行驶，某时刻刚好行驶到路对面处车速检测仪的正前方的处，如图，过了大巴车到达处，此时测得大巴车与处车速检测仪的距离为． (1)求的长； (2)通过计算说明大巴车是否超速？ 86．某段公路限速是100km/h．“流动测速小组”的小王在距离此公路400m的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从C处行驶10s后到达B处，测得，若． (1)求BC的长度； (2)求出速度判断可疑汽车是否超速？ 87．某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗？ 88．某市规定：小汽车在该市城市街道上行驶时，速度不得超过60千米/时．如图，一辆小汽车在该市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方30米处的C处，过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50米，请问这辆小汽车超速了吗？为什么？若超速，则超速多少？    89．“某市道路交通管理条例“规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方24米的C处，过了1.5秒后到达B处（AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离为40米，请问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？    90．如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．    (1)现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？ (2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 【类型10 选址问题】 91．如图甲，笔直的公路上，两点相距20，，为两村庄，于点，于点，已知 ， ，现在计划在公路的段上建一个土特产品收购站． (1)若规划，两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离点多远处？ (2)若规划，两村到收购站的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站的位置，计算得到距离的和最短值为 ． 92．如图，铁路上两点相距，于点，于点，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得两村到站的距离相等，则站应建在离站多少处？ 93．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长． 94．如图，开州大道上两点相距为两商场，于于．已知．现在要在公路上建一个土特产产品收购站，使得两商场到站的距离相等，    (1)求站应建在离点多少处？ (2)若某人从商场以的速度匀速步行到收购站，需要多少小时？ 95．如图，直线l为一条公路，A，D两处各有一个村庄，于点B，于点C，千米，千米，千米．现需要在上建立一个物资调运站E，使得E到A，D两个村庄距离相等，请求出E到C的距离． 96．如图，公路上A、B两站相距25km，在公路附近有C、D两所学校，于点A，于点B．已知，现要在公路上建设一个青少年活动中心E，要使得C、D两所学校到E的距离相等，则E应建在距点A多远处？ 97． “三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等． (1)求市场E应建在距A多少千米处？ (2)此时的形状是 三角形，请直接写出答案，无需证明． 98．如图，河岸上、两点相距，、为两村庄，，，垂足分别为、，已知，，现要在河岸上建一水厂向，两村输送自来水，当水厂E建在距A点多少千米处时，水厂到两村的距离相等？并证明你的结论． 99．如图，某公路上两点的正南方有两村庄，现要在公路上建一个车站，使两村到车站的距离相等，已知，，请计算车站到点的距离．    100．一条东西走向的公路上有A，两个站点（视为直线上的两点）相距，，为两村庄（视为两个点），于点，于点（如图），已知，，现在要在公路上建一个土特产储藏仓库，使得，两村庄到储藏仓库的直线距离相等，请求出储藏仓库到A站点的距离．（精确到）    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理实际问题分类训练（10种类型100道） 专题目录 【类型1 梯子问题】 1 【类型2 测量旗杆高度】 7 【类型3 折竹抵地】 14 【类型4 求水中杆长】 20 【类型5 铺地毯问题】 27 【类型6 最短路径问题】 32 【类型7 飞行问题】 40 【类型8 航海问题】 48 【类型9 测速问题】 55 【类型10 选址问题】 63 【类型1 梯子问题】 1．如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为1.5米，梯子顶端到地面距离为2米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面距离为2.4米，则小巷的宽度为（    ）      A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法．在中，利用勾股定理计算出长，再在中利用勾股定理计算出长，然后可得的长． 【详解】解：在中， （米）， 在中，， （米）， ∴（米）， 故选：A． 2．如图，一架梯子原本斜靠在一面竖直的墙上，梯子顶端到墙脚的距离米，底端到粫脚的距离米．因地面湿滑，梯子顶端下滑至点处，底端滑动至点处，测量得米，则、两点之间的距离为（    ） A．2米 B．1.3米 C．0.9米 D．0.7米 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，勾股定理求出的长，利用，计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 由勾股定理，得：米，米， ∴、两点之间的距离为米； 故选B． 3．如图，一个长为的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙，若梯子的顶端下滑至点处，则梯子的底端滑动的距离为（    ） A．4m B．6m C．8m D．15m 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 先求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离． 【详解】解；下滑前梯子顶端距离墙角的距离为， 顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为， ． 故选：C． 4．如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端往外移（    ）． A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，在中，利用勾股定理得到长，在中，利用勾股定理得到长，作差即可得到答案，数形结合，利用勾股定理求出线段长是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，， ， 则由勾股定理可得； 在中，，，， 则由勾股定理可得； 梯子底端往外移， 故选：B． 5．如图，一架长的梯子，斜立在竖直的墙上，这时梯子的底部距墙底端，如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子的底部将平滑（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中和在中，利用勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， ， 梯子的顶端沿墙下滑， ， 在中，，， ， ， 故选D． 6．如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5米,则小巷的宽度为（    ） A．1.8米 B．2米 C．2.5米 D．2.7米 【答案】D 【分析】此题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是解决此题的关键．先根据题意求得，再求得，，，从而利用勾股定理求得的长；然后再利用勾股定理求得的长，进而利用线段的和差关系，求得即可． 【详解】解：如图，，，，， 在中， ∵， ∴， ∴ ∴，即小巷的宽度为2.7米． 故选：D． 7．如图，一架梯子长为25米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙底端C的距离是7米，梯子下滑后停在的位置上，这时测得为13米，则梯子顶端A下滑了（　　） A．7米 B．9米 C．10米 D．13米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．在中，根据勾股定理可得米，由于梯子的长度不变，在中，根据勾股定理可得米，进而可得答案． 【详解】解：在中，米，米， 根据勾股定理可得（米）， 在中，米，米， 根据勾股定理可得（米）， 米， 故选：B． 8．如图，一个梯子长米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C的距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，由题意可知，米，米，米，根据勾股定理可分别求出的长，再求出的长即梯子顶端A下落的距离． 【详解】解：由题意可知，，米，米，米， （米）， 在中，（米）， 在中，（米）， （米）， 即梯子顶端A下落了米． 故选：B． 9．如图，一个梯子长2米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为米，梯滑动后停在的位置上，测得长为米，求梯子顶端A下落了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】由题意可知，米，米，米，根据勾股定理可分别求出、的长，再求出的长即梯子顶端下落的距离． 【详解】解：由题意可知，，米，米，米， （米）， 在中，（米）， 在中，（米）， （米）， 即梯子顶端下落了米． 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，解题关键是注意梯子的长度不变，利用勾股定理求出、的长． 10．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】是直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意可知，是直角三角形， 在中，，， ∴，， 在中，，，则， ∴， ∴小巷的宽为， 故选：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的运算方法是解题的关键． 【类型2 测量旗杆高度】 11．某兴趣小组要测量学校旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子刚好垂到地面，若紧拉绳子的末端向后退后发现绳子末端到地面的距离为，则旗杆的高度是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形． 【详解】解：如图，设旗杆的高度为，则绳子的长度为，过点C作于点E， 则，， 在中， 根据勾股定理可得， 解得， 旗杆的高度是， 故选：B． 12．学校操场边有一根垂直于地面l的旗杆，一根无弹力、不能伸缩的绳子m紧系于旗杆顶端A处(打结处忽略不计)．聪明的小陶同学通过操作、测量发现：如图1，当绳子m紧靠在旗杆上拉紧到底端B后，还多出1米，即 米；如图2，当离开旗杆底端 B 处5米后，绳子恰好拉直且绳子末端D 处恰好接触地面，即 米．请你跟小陶同学一起算一算旗杆的高度是（   ） A．12 米 B．10 米 C．6 米 D．15米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理．设旗杆米，则米，根据勾股定理列方程即可求出旗杆的高度．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】设旗杆米，则米，根据勾股定理可得， ， ， 解得． 故选：A 13．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆的底端处，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到点处，发现此时点到旗杆水平距离为，点到地面的距离为，则旗杆的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，过点作于，设旗杆的高度为，在中，由勾股定理可得，解方程即可求解，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则，，， 设旗杆的高度为，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴旗杆的高度为， 故选：． 14．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米．当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好与接触地面，则旗杆的高度为（    ） A．11米 B．12米 C．13米 D．14米 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理在实际问题中的应用，能够正确理解题意继而构造直角三角形是解决本题的关键．根据题意设旗杆的高为x，则绳子的长为，再利用勾股定理即可求得的长，即旗杆的高． 【详解】解：画出示意图如下所示： 设旗杆的高为x，则绳子的长为， 在中，， ， 解得：， ， 即旗杆的高是． 故选：B． 15．如图，从电线杆高于地面的处，向地面拉一条长的缆绳，那么固定点到电线杆底部的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】略 16．数学兴趣小组的同学要测量与地面垂直的旗杆高度．如图，已知系在旗杆顶端A的绳子紧贴旗杆垂到地面后，在地面上多出1米，将绳子拉直后测出绳子的末端与地面的重合点C到旗杆底部B的水平距离为5米，则旗杆的高度为（    ）    A．5米 B．12米 C．13米 D．17米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设旗杆的长为，根据，，，运用勾股定理得到，解方程即得． 【详解】解：设旗杆的长为． 根据题意，得，，． 在中， ． ∴． 解方程，得． 答：旗杆的长为12米． 故选：B． 17．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面面处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 处， 旗杆折断之前的高度是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理求出的长，再由旗杆折断之前的高度是求解即可． 【详解】解：由题意得， ， ， 米， 旗杆折断之前的高度是18米， 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意并能灵活运用知识是解题的关键． 18．如图，学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了，拉直绳子，使绳子底端恰好碰到地面，此时绳子底端离旗杆底端，则旗杆的高度是（    )．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可知，旗杆、拉直的绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，设旗杆的长度为，则绳子的长度为：， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴旗杆的高度为． 故选：B．    【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键． 19．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为（    ）    A．10 B．13 C．15 D．17 【答案】D 【分析】根据题意画出示意图，设棋杆的高度为x，可得，，，在中利用勾股定理可求出x． 【详解】解：设旗杆高度为x米，则，， 在中， 即 解得： 即旗杆的高度为17米． 故选：D．    【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线． 20．如图，有一根电线杆在离地面处的A点断裂，此时电线杆顶部C点落在离电线杆底部B点远的地方，则此电线杆原来长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中利用勾股定理求出的长，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：在中，，， ∴， 故这根高压电线杆断裂前高度为：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 【类型3 折竹抵地】 21．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十尺，未折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部距离为4尺，问折处高几尺？如图所示，设竹子折断处离地x尺，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了 勾股定理的应用，设竹子折断处离地x尺，则折断部分的竹子长尺，运用勾股定理即可列出方程，利用题目信息构造直角三角形，运用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：设竹子折断处离地x尺，则折断部分的竹子长尺，依题意得： ， 故选：D． 22．如图所示，有一根高为18米的松树在处断裂，松树顶部C落在离松树底部B点12米远的地方，则松树断裂处A离地面的距离的长为（    ）米 A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．由题意可知，，，进而根据勾股定理列式求出的长即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， 在中，， ， 解得：， 即树断裂处A离地面的距离的长为5米， 故选：B 23．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，旗杯折断之前的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意． 图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可． 【详解】解：根据题意得，旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为， 旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的， ∴是直角三角形． 根据勾股定理，折断的旗杆为， 所以旗杆折断之前高度为． 故选：B． 24．如图，一根竹子长米，竖直折断后竹子顶端落在竹子的底端8米处，折断处离地面的高度是（    ） A．6米 B．7米 C．9米 D．10米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设，则，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示： 设，则 ∵， ∴， 解得： 故选：A． 25．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面，树的顶端离树根，则这棵树在折断之前的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题时要注意数形结合思想的应用． 根据勾股定理即可求得树折断之前的高度． 【详解】解：如图： ， ， ， 即， ， ∴这棵树在折断之前的高度． 故选：A． 26．如图，一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是（　）尺（ 一丈尺）． A．尺 B．4尺 C．5尺 D．尺 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设尺，则尺，由勾股定理得，即，解方程即可得到答案． 【详解】解：设尺，则尺， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴折断处离地面的高度是尺， 故选：D． 27．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一．在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺．问折者高几何？”大意是：如图，在中，，，（注：1丈＝10尺）．设的长为x尺，则根据题意列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理建立方程即可． 【详解】解： ，，， 设，则，则 故选：C． 28．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，则树高为（    ） A．4米 B．5米 C．7米 D．8米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，树高等于，在直角中，用勾股定理求出即可．解题的关键是在实际问题的图形中得到直角三角形． 【详解】解：根据题意得：米，米，， 由勾股定理得， 米， 所以树高为米． 故选：D． 29．如图，垂直地面的旗杆在离地3m处断裂，旗杆顶部落地点离旗杆底部4m，则旗杆折断前的高度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可． 【详解】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为，旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的， 所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形． 根据勾股定理，折断的旗杆为， 所以旗杆折断之前高度为． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理在解实际问题中的运用，弄清勾股定理存在的条件是重点，解题的关键是理解文字语言的含义． 30．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之，在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，间折者高几何？”翻译成数学问题；如图，在中，，，，若设，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理建立方程即可． 【详解】解： ，，， 设，则，则 故选D 【点睛】本题考查了勾股定理，根据勾股定理建立方程是解题的关键． 【类型4 求水中杆长】 31．“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意，得：， 解得：，即， 故选：C． 32．如图所示，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出的值最大值与最小值是解题关键． 当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件以及根据勾股定理即可求出的取值范围． 【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ， 如图2所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ， 此时， 的取值范围是． 故选：D． 33．一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是，则这支铅笔的长度是（    ）． A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后结合题意即可求解． 此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的长度是解决问题的关键． 【详解】解：如图： 根据题意可得图形： 在中：， ∵这支铅笔在笔筒外面部分长度是， ∴这支铅笔的长度是． 故选：B． 34．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意，这根芦苇的长度为尺，利用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设水深为x尺，则这根芦苇的长度为尺， 根据题意，得， 故答案为：A． 35．如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面、求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设芦苇的长度是尺，由勾股定理可得，据此即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设芦苇的长度是尺， 由题意可得，， 故选：． 36．如图，一根长的牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键． 根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：牙刷在杯内的长度，最短为竖直放置时长度为水杯高，此时露在杯子外面的长度为，最长； 当牙刷倾斜放置对角线位置时，杯内长度最长为，此时露在杯外的长度最短为． ∴， 故选：C． 37．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是6cm，内壁高8cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm 【答案】A 【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键． 【详解】解：如图： 根据题意可得图形： 在中：， 所以． 则这只铅笔在笔筒外面部分长度在之间． 观察选项，只有选项A符合题意． 故选：A． 38．数学古著《九章算术》记载“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”意思是：如图，在边长为1丈的正方形水池正中央有一株芦苇，它高出水面1尺，若将芦苇拉向水池一边的中点，芦苇顶端恰好到达池边的水面，问水深和芦苇长分别是多少？（1丈尺）．设水深x尺，符合题意的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设水深x尺，则芦苇长尺，根据勾股定理，列出方程，即可． 【详解】解：设水深x尺，则芦苇长尺，根据题意得： ， 即． 故选：C 39．如图，一双长的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形热干面碗中，则筷子露在碗外面的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理解决实际问题，根据筷子的放置方式，分两类利用勾股定理求解，得到筷子露在碗外面的长度范围即可得到答案，根据题意构造直角三角形是解决问题的关键． 【详解】解：当筷子竖直放置，如图所示： 一双筷子长，热干面碗高为， 此时，筷子露在碗外面的长度为； 当筷子与底面圆直径构成直角三角形放置，如图所示： 圆柱形热干面碗的底面直径为，高为， 由勾股定理可得碗中筷子部分长度为，则此时，筷子露在碗外面的长度为； 综上所述，筷子露在碗外面的长度范围是到， 故选：A． 40．如图，是一个中间带有吸管的圆柱形水杯，底面直径为，高度为，现有一根的吸管（底端在杯子底上），放入水杯中，则露在水杯外面的吸管长度为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据杯子内吸管的长度的取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵将一根长为的吸管，置于底面直径为，高度为的圆柱形水杯中， ∴在杯子中吸管最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜对角长度， ∴当杯子中吸管最短是等于杯子的高时，吸管长为， 最长时等于杯子斜对角长度是：， ∴a的取值范围是：， 即， 故选：C． 【类型5 铺地毯问题】 41．如图，在一个高米，长米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是 米． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是知道求地毯长度即求在直角三角形中，已知，，根据勾股定理即可求得的值，根据题意求地毯长度即求得即可． 【详解】解：将水平地毯下移，竖直地毯右移即可发现：地毯长度为直角三角形的两直角边之和，即， 根据勾股定理可得 米， 故地毯长度为米， 故答案为：． 42．如图，要将楼梯铺上地毯，则需要 米的地毯．    【答案】7 【分析】本题考查了勾股定理的应用：先分析，得地毯的长度等于两个直角边之和，故根据勾股定理求出另一直角边为，即可作答． 【详解】解：根据勾股定理，另一直角边（米）， ∴（米）， 则需要7米的地毯 故答案为：7 43．如图，在高，斜坡长，宽为的楼梯表面铺地毯，则地毯的面积至少需要 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先根据勾股定理求得直角三角形的另一条边长，求得地毯的长，即可求出地毯的面积，正确理解地毯的长度等于直角三角形的两条直角边的长是解题的关键． 【详解】由勾股定理得，， ∴地毯的长， ∴地毯的面积， 故答案为：． 44．如图，是台阶的模型图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则等于 ．    【答案】 【分析】先根据图形求得，，然后再利用勾股定理求得斜边AB的长即可． 【详解】解：如图，由题意得：，， 所以． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，从实际问题中抽象出直角三角形是解题的关键． 45．某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元．    【答案】1020 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽和积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为， 铺完这个楼道至少需要（元）． 故填：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键． 46．某小区楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为20元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要 元． 【答案】280 【分析】地毯的面积即楼梯的表面积，且地毯展开后是一个长方形；再结合图形可知，展开后长方形的长是楼梯水平长与竖直高的和，最后再结合楼梯的宽与地毯价格即可求解． 【详解】解：楼梯的竖直高是3m，斜边是5m， 水平直角边是m， 购买这种地毯的长是3m+4m=7m， 楼梯宽2m，地毯价格为每平方米20元 价格是7×2×20=280元． 故答案为280． 【点睛】本题主要考查勾股定理的简单运用，属于基础的实际应用题，难度不大．解题的关键是结合图例分析出地毯的长是楼梯竖直高与水平长的和． 47．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元钱 【答案】680 【分析】如图，地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AC与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长，地毯的长与宽的积就是面积． 【详解】如图， 在Rt△ABC中，由勾股定理可得， （m）． 则地毯总长为12+5=17（m）， 则地毯的总面积为17×2=34（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要34×20=680元． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键． 48．如图是楼梯截面，其中AC＝3m，BC＝4m，AB＝5m，要在其表面铺地毯，地毯长至少需 米． 【答案】7． 【分析】根据图形可知，由三角形三边长可知，满足勾股数，△ABC是直角三角形，需要铺的地毯的长度即为AC+BC的长度，数值代入计算即可． 【详解】根据题意结合图形可知，△ABC三边长满足勾股数，是直角三角形，所以要铺的地毯的长度即为AC+BC， ∴4+3＝7（米）． 答：地毯长至少需7米． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了勾股数判定直角三角形，图形的折叠和展开图与水平距离和竖直距离之间的关系，理解立体图展开成平面图形的关系是解题的关键． 49．如图，要为一段高为6米，长为10米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 米长. 【答案】14 【分析】根据平移的性质，地毯的长度实际是所有台阶的长加上台阶的高，因此结合题目的条件可得出答案． 【详解】根据平移不改变线段的长度，可得地毯的长=台阶的长+台阶的高， 则红地毯至少要6+=6+8=14米． 故答案为14． 【点睛】本题考查了生活中平移知识的应用，利用勾股定理求出台阶的水平长度是关键． 50．如图，在高3米，坡面线段AB长为5米的楼梯表面铺地毯，已知楼梯宽1.5米，地毯售价为40元/平方米，若将楼梯表面铺满地毯，则至少需 元． 【答案】420元 【详解】试题分析：先利用勾股定理求得三角形的底边长，然后根据地毯长度=BC+AC可知地毯长=7米，然后再根据题意计算即可． 解：如图所示： 在Rt△ABC中，由勾股定理可知：BC==4米． 地毯的总长=BC+AC=4+3=7米． 地毯的面积=7×1.5=10.5平方米． 地毯的总价=40×10.5=420元． 故答案为420元． 考点：勾股定理的应用． 【类型6 最短路径问题】 51．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 【答案】10 【分析】将圆柱侧面展开再进行点标注，此时长方形的长为圆柱底面周长的一半，如图，作关于的对称点，连接，过点作于点，则即为最短距离，的长度即为所求，接下来结合已知数据，根据勾股定理相信你可以求出的长了． 本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】解：如图：作关于的对称点，连接，过点作于点，则即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点B处， ∴ ，， ∴， 在中，， 故答案为：10． 52．如图，有一个圆柱体，它的高等于，底面半径等于，一只蚂蚁在点A处，它要吃到上底面上与A点相对的点B处的食物，沿圆柱体侧面爬行的最短路程是 cm（的值取3）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，把空间问题转化为平面问题是解题的关键．先将图形展开，再根据两点之间线段最短及勾股定理即可得到结果． 【详解】解：如图，将圆柱体展开，连接，根据两点之间线段最短， 根据题意可得：是圆周的一半， ， ， 故答案为：． 53．如图，圆柱形玻璃杯，高为 ，底面周长为，在杯内壁离杯底3的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，轴对称的性质．熟练掌握勾股定理的应用，轴对称的性质是解题的关键． 如图，将杯子侧面展开，作A关于的对称点，连接，，则，，可知当三点共线时，蚂蚁从外壁A处到内壁C处的最短距离，为的长，由题意知，，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作A关于的对称点，连接，， ∴， ∴， 当三点共线时，蚂蚁从外壁A处到内壁C处的最短距离，为的长， 由题意知，，， 由勾股定理得，， 故答案为：． 54．如图，在一个边长为的正方形纸片上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理在最短路径中的应用，将长方体侧面展开得蚂蚁的爬行的最短路径为的长，用勾股定理即可求解；能找出最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，将长方体侧面展开得， 蚂蚁的爬行的最短路径为的长， （）， ， 蚂蚁的爬行的最短路径为 ， 故答案：． 55．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是 ． 【答案】25 【分析】本题考查了勾股定理的应用求最短路径问题，先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图， 三级台阶平面展开图为长方形，长为20， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x ， 由勾股定理得：， 解得：或（舍去）． 故答案为：25． 56．如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是 ． 【答案】15 【分析】本题考查圆柱的展开图、最短路径问题、勾股定理，理解题意，灵活运用两点之间线段最短解决最短路径问题是解答的关键．先将圆柱侧面展开得到长为，宽是的长方形，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将圆柱侧面展开得到长为，宽是的长方形，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最小长度是的长度， 由勾股定理得，解得， 则这条丝线的最小长度是， 故答案为：15． 57．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐的底面周长是，高是，那么所需彩带最短的长度是 ． 【答案】100 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理求解即可． 【详解】解：由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长， 设彩带长为， ∵易拉罐底面周长是，高是， ， 解得：， 所以彩带最短是， 故答案为：100． 58．如图，有一长、宽各2m、高3m且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点A爬到与A点相对的顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路径为 m．       【答案】 【分析】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，解题关键是把长方体展开后用了勾股定理求出对角线的长度．蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径． 【详解】解：由题意得，路径一： ； 路径二： ； 路径三： ； ， 为最短路径． 故答案为： 59．将矩形纸片折叠，如图所示，已知，，，则蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 ． 【答案】26 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．根据题意画出矩形纸片的平面展开图，根据两点之间线段最短连接即可． 【详解】如图， 根据题意可得：展开图中的，． 在中， 由勾股定理可得：， 即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是． 故答案为：26． 60．如图，圆柱形玻璃容器高，底面周长为，在容器内壁距下底的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底的容器内点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据题意得到圆柱体的展开图，确定A、B的位置，利用勾股定理即可求解； 【详解】解：圆柱体玻璃容器展开图如下，，作于F， ∵底面周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 故答案为：5． 【类型7 飞行问题】 61．如图，小明操纵无人机从树尖A飞向旗杆顶端C，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为 ． 【答案】15 【分析】本题考查勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点A作于点E，连接，由勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】解：如图，过点A作于点E，连接， 由题意可知，米，，， 则， ∴ ∴在中，由勾股定理得：． ∴无人机飞行的最短距离为． 故答案为：15． 62．有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树的一棵大树上，大树高，且巢离树顶部．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为，那它至少需要时间 才能赶回巢中． 【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，过A作于E．则，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，由题意知，． 过A作于E．则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴它至少需要才能赶回巢中． 故答案为：． 63．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高7米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图，设大树高为，小树高为， 过点作于，连接， ，，， 在中，， 故小鸟至少飞行， 故答案为：13． 64．如图, 美丽的校园里有两棵树, 小鸟从C处飞到A处, 小鸟至少飞行 m. 【答案】13. 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC， ∴EB=CD=15m，EC=BD=12m，AE=AB−EB=20−15=5m， 在Rt△AEC中, . 故小鸟至少飞行13m. 故填13. 【点睛】本题考查勾股定理的应用，能构造合适的直角三角形并利用已知线段计算它的两条直角边是解决本题的关键. 65．如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是 ． 【答案】/米 【分析】根据题意，画出图形，构造直角三角形，用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过D点作，垂足为E， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴ ∴（负值舍去）， ∴小鸟飞行的最短路程为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确画出图形作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 66．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞 m． 【答案】10 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】两棵树的高度差为8m-2m=6m，间距为8m 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离m． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 67．如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米．    【答案】13 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】如图所示，    AB，CD为树，且AB＝14米，CD＝9米，BD为两树距离12米， 过C作CE⊥AB于E， 则CE＝BD＝12，AE＝AB−CD＝5， 在直角三角形AEC中， AC＝＝＝13． 答：小鸟至少要飞13米． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是从实际问题中构建出数学模型，转化为数学知识，然后利用直角三角形的性质解题． 68．如图，高的教学楼前有一颗高的大树，它们相距，树的顶端有一只小鸟，它要飞到楼顶上，至少要飞行 ． 【答案】10 【分析】根据题意，构建直角三角形，利用勾股定理求解即可. 【详解】设楼顶为点A，树顶为点B，与树顶平行的到楼的距离为BC，如图所示： 由题意，得 AC=14-6=8m，BC=6m 在Rt△ABC中，m 至少要飞行10m， 故答案为：10. 【点睛】此题主要考查勾股定理的实际应用，熟练掌握，即可解题. 69．有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一个树的树梢，则小鸟至少飞行 米 【答案】 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图，设大树高为， 小树高为， 过点作于，则四边形是矩形， 连接， ，，， 在中， ． 故小鸟至少飞行． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据实际得出直角三角形，培养学生解决实际问题的能力． 70．如图，有两棵树，一棵高为米，另一棵高为米，两树相距米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，那么小鸟至少飞行 米． 【答案】26 【分析】本题考查了勾股定理与实际问题，根据题意构建模型，过点B作，交于点A，由题意可得，，，根据题意可证明四边形是矩形，，，可得，在中，，根据勾股定理得，即可得，掌握两点之间线段最短，矩形的判定，勾股定理，根据题意构建出模型是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点B作，交于点A， 由题意可得，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，根据勾股定理得， ， 即一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，那么小鸟至少飞行， 故答案为：． 【类型8 航海问题】 71．一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是． (1)若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间． (2)岛在港的什么方向？ 【答案】(1)从岛返回港所需的时间为3小时 (2)岛在港的北偏西 【分析】本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，是基础知识比较简单． （1）中，利用勾股定理求得的长度，则；然后在中，利用勾股定理来求的长度，则时间间路程速度； （2）由勾股定理的逆定理推知．由方向角的定义作答． 【详解】（1）由题意， 中，，得． ． ． ． （小时）． 答：从岛返回港所需的时间为3小时． （2） ， ． ． ． 岛在港的北偏西． 72．甲、乙两船同时从码头开出，分钟后，甲船到达码头，乙船到达码头；已知甲船航行的速度是海里/时乙船航行的速度是海里/时，甲船航行的方向是北偏东，乙船航行的方向是南偏东，求甲、乙两船之间的距离    【答案】甲、乙两船之间的距离为海里． 【分析】此题主要考查了勾股定理，关键是掌握勾股定理．首先计算出甲乙两船的路程，再根据甲船航行的方向是北偏东，乙船航行的方向是南偏东证明，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得：甲船分钟的路程=海里，乙船分钟的路程=海里，即：，， ∵甲船航行的方向是北偏东，乙船航行的方向是南偏东， ∴， ∴， ∴， ∴甲、乙两船之间的距离为海里． 73．如图，一艘轮船以20海里/小时的速度从A地向南偏西方向航行4小时到达B地后，又从B地以20海里/小时的速度航行5小时到达C地，这时轮船正好在A地北偏西方向，求此时轮船离A地多远？    【答案】此时轮船离A地60海里 【分析】本题考查勾股定理的实际应用题-方向角问题，根据题意，结合图形，准确找到各个方向角、掌握勾股定理的含义是解决问题的关键．先求解，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图所示：    由题意可知：， （海里），（海里）， （海里）． 答：此时轮船离A地60海里． 74．如图，我军巡逻艇正在处巡逻，突然发现在南偏东方向距离海里的处有一艘走私船，以海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点处将其追上．求我军巡逻艇的航行速度是多少？ 【答案】我军巡逻艇的航行速度是海里小时 【分析】本题考查了勾股定理的应用；根据方向角的定义得到，得出，在中，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图所示，由题意得， ， ， ， ， 巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点处追上走私船， 海里， 在中，，海里，海里， 海里， 我军巡逻艇的航行速度是 海里小时． 答：我军巡逻艇的航行速度是海里小时． 75．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间．    【答案】3h 【详解】解：由题意，得，，，． 在中，，即， ∴，∴． 在中，，即． ． 故轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h． 76．如图，两艘轮船M和N分别从港口出发，轮船M以4海里/时的速度向东北方向航行，轮船N以3海里/时的速度从港口A出发向东南方向航行，行驶5个小时后，两船的距离多少海里？    【答案】25海里 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了20海里，15海里．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：连接如图，      ∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 在中，（海里），（海里）， 根据勾股定理得（海里）． 答：两船的距离是25海里． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 77．如图，海关缉私人员驾艇在C处发现正北方向的A处有一艘可疑船只，并测得它正以的速度向正东方向航行，缉私艇随即以的速度在B处将可疑船只拦截．缉私艇从C到B需要航行多少时间？ 【答案】缉私艇从C航行到B需航行 【分析】设缉私艇从C航行到B需航行 ，则，；根据勾股定理得到，则，即可求出答案． 【详解】解：设缉私艇从C航行到B需航行 ，则， ；由题意得：； 即：； 解得：（不合题意，舍去） 答：缉私艇从C航行到B需航行． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，读懂题意，利用勾股定理列出方程是解题的关键． 78．如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，以每小时12海里的速度向B岛驶去．乙船沿南偏东55°的方向向C岛驶去，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？ 【答案】乙船的航速是9海里/时． 【分析】设乙船的航速是x海里/时，先由甲船的速度和航行时间求得，再由平角计算角度差求得，再由和的长度便可由勾股定理求得，再解方程即可； 【详解】解：设乙船的航速是x海里/时， 由甲船的速度和航行时间可得海里， 由乙船的速度和航行时间可得海里， ∵， ∴是直角三角形， 由勾股定理可得， ∴， ∴， 故乙船的航速是9海里/时； 【点睛】本题考查了方向角，勾股定理等知识；牢记勾股定理是解题关键． 79．如图，一艘货轮和一艘渔船同时从港口出发，货轮沿北偏西方向航行海里到达点处，此时，渔船到达港口南偏西的点处，与港口相距海里，求此时货轮和渔船之间的距离．    【答案】海里 【分析】直接根据题意得出，以及，进而利用勾股定理得出答案． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴（海里）． 答：此时货轮和渔船之间的距离为海里． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，方向角．正确得出的度数是解题的关键． 80．一艘轮船以的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距多少？    【答案】它们离开港口半小时后相距 【分析】根据题意可得，再分别求出，进而利用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：∵东北和东南的夹角为， ∴为直角三角形，即， 在中，，． ∴ ∴它们离开港口半小时后相距． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意并熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【类型9 测速问题】 81．超速行驶是引发交通事故的主要原因，上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？ 【答案】此车超过每小时80千米的限制速度． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，首先，根据在直角三角形中，可得到米，，再根据在直角三角形中，可得到米，根据可求得AB的长；再结合速度的计算方法，求出车的速度，然后将车的速度与80千米/时进行比较，即可得到结论． 【详解】解：由题意知：米，， 在中，∵，， ∴米， 在中，∵， ∴， ∴米； 在中，由勾股定理得米， ∴(米)， ∵从A处行驶到B处所用的时间为3秒， ∴速度为 ， ∴此车超过的限制速度． 82．某城市规定小汽车在街道上的行驶速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方30米C处，过了2秒后，测得小汽车位置B与“车速检测仪A”之间的距离为50米，这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 【答案】超速了，理由见解析 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得出汽车的速度是解题关键． 直接利用勾股定理得出的长，进而得出汽车的速度，即可比较得出答案． 【详解】解：由题意知，米，米，且在中，是斜边， ∴，即 ∴米千米， 且2秒时，所以速度为千米/时， ∵， ∴该小汽车超速了． 83．某段公路限速是．“流动测速小组”的小王在距离此公路的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从处行驶后到达处，测得，若．求出速度并判断可疑汽车是否超速？ 【答案】，超速了 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 先根据勾股定理求出，再根据速度公式求出速度，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴根据勾股定理可得：， ∴该汽车的速度为， ∵， ∴可疑汽车超速了． 84．某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过，如图，一辆小汽车在该笔直路段上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪的正前方的点处，后小汽车行驶到点处，测得此时小汽车与车速检测仪间的距离为，． (1)求的长． (2)这辆小汽车超速了吗？并说明理由． 【答案】(1) (2)这辆小汽车不超速，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出的长是解题的关键．（1）由勾股定理求出的长即可；（2）求出这辆小汽车的速度，即可解决问题． 【详解】（1）解：根据题意得：，，， ， 答：的长为； （2）解：这辆小汽车不超速，理由如下： 该小汽车的速度为， 这辆小汽车不超速． 85．某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条高速公路上沿直线行驶，某时刻刚好行驶到路对面处车速检测仪的正前方的处，如图，过了大巴车到达处，此时测得大巴车与处车速检测仪的距离为． (1)求的长； (2)通过计算说明大巴车是否超速？ 【答案】(1)； (2)超速了． 【分析】（）利用勾股定理即可求解； （）求出大巴车的速度即可判断求解； 本题考查了勾股定理的实际应用，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，，，， ∴， ∴的长为； （2）解：， ∵， ∴大巴车超速了． 86．某段公路限速是100km/h．“流动测速小组”的小王在距离此公路400m的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从C处行驶10s后到达B处，测得，若． (1)求BC的长度； (2)求出速度判断可疑汽车是否超速？ 【答案】(1)m； (2)可疑汽车已经超速． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用． （1）根据勾股定理求出敌方汽车行驶的距离； （2）根据速度的计算公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，m，m， 由勾股定理得，m； （2）解： km/h， ， 答：可疑汽车已经超速． 87．某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗？ 【答案】(1) (2)超速了 【分析】（1）本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是从实际问题中抽象出数学模型． （2）本题用路程除以时间求出速度，再与限速进行比较即可解题． 【详解】（1）解：由题意知，是直角三角形，，， ()， 即长为． （2）解：大巴车的速度为：（），（）， ， 这辆大巴车超速了． 88．某市规定：小汽车在该市城市街道上行驶时，速度不得超过60千米/时．如图，一辆小汽车在该市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方30米处的C处，过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50米，请问这辆小汽车超速了吗？为什么？若超速，则超速多少？    【答案】超速了，理由见解析，每小时超速了12千米 【分析】首先根据题意得到米，米，，然后利用勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】解：小汽车超速了，理由如下： 根据题意，得米，米，． 在中，根据勾股定理，得， ∴米 ∴小汽车行驶速度为(米/秒)(千米/时) (千米/时) 答，这辆小汽车超速了，每小时超速了12千米． 【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 89．“某市道路交通管理条例“规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方24米的C处，过了1.5秒后到达B处（AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离为40米，请问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？    【答案】超速了，16.8千米/时 【分析】根据题意得出由勾股定理得出的长，进而得小汽车行驶速度为76.8千米/时，进而得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 在中，根据勾股定理，， 所以， 小汽车1.5秒行驶32米，则1小时行驶76800（米）， 即小汽车行驶速度为76.8千米/时，因为 ， 所以小汽车已超速行驶,超速千米/时． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，算术平方根的含义，掌握根据已知得出的长是解题关键． 90．如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．    (1)现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？ (2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】(1)见解析，80米 (2)超速，见解析 【分析】（1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出，然后利用勾股定理可求出新路长度； （2）先根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后计算出速度判断即可． 【详解】（1）过点A作，交l于点D．    ，        在中，， 由勾股定理得 ，     新路长度是80米． （2）该车超速     在中，， 由勾股定理得 ，    该车经过区间用时 ∴该车的速度为   该车超速． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解． 【类型10 选址问题】 91．如图甲，笔直的公路上，两点相距20，，为两村庄，于点，于点，已知 ， ，现在计划在公路的段上建一个土特产品收购站． (1)若规划，两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离点多远处？ (2)若规划，两村到收购站的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站的位置，计算得到距离的和最短值为 ． 【答案】(1) (2)图见解析，25 【分析】本题考查了作图—应用设计作图、勾股定理、轴对称—最短路线问题，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． （1）设 ，则 ，在与中，由勾股定理结合得出方程，求出的值即可求解； （2）作点关于的对称点，连接交于点，则点即为所求，长即为距离的和最短值，过点作交的延长线于点，在中由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：（1）设 ，则 ， 在与中，由勾股定理得， ，， ∵， ∴， ∴， 解得， 即收购站应建在离点 处； （2）如图，作点关于的对称点，连接交于点，则点即为所求，长即为距离的和最短值， 过点作交的延长线于点， 则 ． 故答案为：25． 92．如图，铁路上两点相距，于点，于点，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得两村到站的距离相等，则站应建在离站多少处？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． 先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可． 【详解】解：∵要使两村到站的距离相等， ∴， ∵于，于， ∴， ∴， ∵ ∴， 设，则． ∵， ∴， 解得：， ∴． 答：站应建在离站处． 93．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查的是勾股定理，比较简单，需要熟练掌握勾股定理的基础知识． 先设，则，再根据勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得： 在中，， 在中，， 由题意可知：， 所以， 解得： 即的长为． 94．如图，开州大道上两点相距为两商场，于于．已知．现在要在公路上建一个土特产产品收购站，使得两商场到站的距离相等，    (1)求站应建在离点多少处？ (2)若某人从商场以的速度匀速步行到收购站，需要多少小时？ 【答案】(1)站应建在离站处 (2)需要2小时 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得； （2）由勾股定理求出，用路程除以速度即可得出时间． 【详解】（1）解：∵使得两村到站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， 答：站应建在离站处； （2）解：， （小时） 答：需要2小时． 95．如图，直线l为一条公路，A，D两处各有一个村庄，于点B，于点C，千米，千米，千米．现需要在上建立一个物资调运站E，使得E到A，D两个村庄距离相等，请求出E到C的距离． 【答案】E到C的距离为千米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设千米，则千米，由根据勾股定理可得关于的方程，解方程即得结果． 【详解】如图，设千米，则千米， 在中，根据勾股定理，， 在中，根据勾股定理，， ∵， ∴，即， 解得：， 即E到C的距离为千米． 96．如图，公路上A、B两站相距25km，在公路附近有C、D两所学校，于点A，于点B．已知，现要在公路上建设一个青少年活动中心E，要使得C、D两所学校到E的距离相等，则E应建在距点A多远处？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． 先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵使得两村到站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 答：站应建在离站处． 97． “三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等． (1)求市场E应建在距A多少千米处？ (2)此时的形状是 三角形，请直接写出答案，无需证明． 【答案】(1)20 (2)等腰直角 【分析】本题考查了勾股定理的运用； （1）由得C、D两村庄到市场E的距离相等，可得，根据勾股定理列方程计算即可； （2）证明即可判断为等腰直角三角形． 【详解】（1）设，则， ∵于A，于B，已知， ∴，， ∵C、D两村庄到市场E的距离相等， ∴， ∴， 解得，即 ∴市场应建在距千米处； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角． 98．如图，河岸上、两点相距，、为两村庄，，，垂足分别为、，已知，，现要在河岸上建一水厂向，两村输送自来水，当水厂E建在距A点多少千米处时，水厂到两村的距离相等？并证明你的结论． 【答案】站应建在离站处 【分析】设，则，在中，，在中，，根据列方程解方程即可． 【详解】解：水厂应建在离点处，即，理由如下： 设，则， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， 故水厂应建在离点处，即． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 99．如图，某公路上两点的正南方有两村庄，现要在公路上建一个车站，使两村到车站的距离相等，已知，，请计算车站到点的距离．    【答案】车站到点的距离为 【分析】根据题意得，，设，则，由勾股定理可得，，由此列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：，， 设，则， 由勾股定理可得： ，， ， 解得：， ， 车站到点的距离为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可． 100．一条东西走向的公路上有A，两个站点（视为直线上的两点）相距，，为两村庄（视为两个点），于点，于点（如图），已知，，现在要在公路上建一个土特产储藏仓库，使得，两村庄到储藏仓库的直线距离相等，请求出储藏仓库到A站点的距离．（精确到）    【答案】储藏仓库到A站点的距离约为 【分析】根据题意得到，结合勾股定理得到，设，则代入求解即可得到答案； 【详解】两村到储藏仓库的直线距离相等， ∴， ，， ， 在和中， 由勾股定理得：，， ， 设，则， ， 解得：， 答：储藏仓库到站点的距离约为． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是得到． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$