专题01 勾股定理最值问题（共40道）-2024-2025学年八年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（北师大版）

专题01 勾股定理最值问题（共40道） 一、单选题 1．如图，在中，，，，点D、E分别在、上．现将沿翻折，使点C落在点处．连接，则长度的最小值．（　　） A．等于3cm B．等于4cm C．等于5cm D．不存在 2．如图，在中，，，，平分，交于点，，是，上的动点，则的最小值为（   ）    A． B．3 C．4 D． 3．如图，在中，，，，点在上，现将沿翻折，使点落在点处连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，cm，cm，点、分别在、边上．现将沿翻折，使点落在点处．连接，则长度的最小值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 5．如图，在中，，平分交边于点D，点E、F分别是边上的动点，当的值最小时，最小值为（　　） A．6 B． C． D． 6．如图，在中，，，于点D，，E、F分别是线段上的动点，则的最小值为（    ）    A．4 B． C． D．6 7．如图，在中，平分交于点，分别是上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 8．如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，点为边上一动点（不与点A，重合），于点，于点，若，，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 9．如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（ ） A．5 B．7 C．8 D．10 10．如图，圆柱形杯子底面直径为，高为．将一根长的木棒斜放在杯中，设木棒露在杯子外面的长度为，则h的最小值是（    ）    A．9 B．11 C．12 D．14 11．如图，在中，，，．若点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D．6 12．如图，中，，点P为AC边上的动点，过点P作于点D，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 13．如图，中，，，，点P是边上一动点，则线段长度的最小值为（    ） A．3 B． C． D．2 14．在中，，，若点P在边上移动，则的最小值是（    ） A．4 B． C．5 D． 15．如图，在中，，若是上的一个动点，则的最小值是（    ） A．5.5 B．6.4 C．7.4 D．8 16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，BC=9，AC=12，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（      ） A．6 B．4.5 C．4 D．5 17．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是(　　) A．4 B．4.5 C．4.8 D．5 18．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=6，DC=2，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 19．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝6，CD＝2，点P′是AB上的动点，则PC+PD的最小值是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 20．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，若P是AC上的一个动点，则AP＋BP＋CP的最小值是（） A．14 B．14.8 C．16 D．18 二、填空题 21．如图，在四边形中，，，，，点在上，且，点和点为边上的两个动点，且，则的最小值为 ． 22．如图，点M在线段上，且、，以M为顶点作正方形，当最小时，的最小值是 ． 23．如图，在四边形中，是正方形．已知，，P为线段上一动点，则的最小值为 ．    24．如图，于点，于点，点为线段上任意一点，若，，，则的最小值是 ． 25．在长方形中，，动点满足，则的最小值为 ． 26．如图，三角形中，为直线上一动点，则线段的最小值是 ． 27．如图，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的最小值是 ． 28．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点在线段上．若为的中点，则的周长的最小值为 ．    29．如图，在中，是的角平分线，点分别是上的动点，则的最小值是 ． 30．如图，P是长方形内部的动点，，的面积等于12，则点P到B、C两点距离之和的最小值为 ． 31．如图，在中，点D，E分别是边上的两点，连接，，已知，，则的最小值的平方是 ．    32．在中，，，，点D和E都是边上的动点，且满足，连接．则的最小值为 ．    33．如图，中，，，，射线与边交于点，、分别为、中点，设点、到射线的距离分别为、，则线段的最小值为 ，的最大值为 ． 34．如图，正方形的边长是6，点是上一点，，点是上一动点，连接，将沿折叠，使点落在，连接，则的最小值是 ． 35．已知中，，，边上的高，D为线段上的动点，在上截取，连接，，则的最小值为 ． 36．如图，在中，，，点在上，，，点是上的动点，则的最小值为 ．    37．如图，已知，点在边上，，点是边上一个动点，若周长的最小值是6，则的长是 ．      38．在中，，，点D是的中点，点P是内一点，且，连接是的中点，则的最小值是 ． 39．如图，已知长方形，，点E，F分别是边，上的动点，沿直线折叠，使点B的对应点G始终落在边上，则线段的最小值是 ． 40．如图，在中，，，，是的平分线，若M、N分别是和上的动点，则的最小值是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 勾股定理最值问题（共40道） 一、单选题 1．如图，在中，，，，点D、E分别在、上．现将沿翻折，使点C落在点处．连接，则长度的最小值．（　　） A．等于3cm B．等于4cm C．等于5cm D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．当落在上，点B与E重合时，长度的值最小，根据勾股定理得到，由折叠的性质得到结论． 【详解】解：当落在上，点B与E重合时，长度的值最小， ∵，，， ∴， 由折叠的性质知，， ∴． 故选：B． 2．如图，在中，，，，平分，交于点，，是，上的动点，则的最小值为（   ）    A． B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式．过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，判断出，得出，进而得出当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，最后用面积法，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，    ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为， ∵， ∴， 即的最小值为， 故选：D． 3．如图，在中，，，，点在上，现将沿翻折，使点落在点处连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当落在上，长度的值最小，根据勾股定理得到，由折叠的性质知，，于是得到结论． 【详解】解：当落在上，长度的值最小， ∵，，， ∴， 由折叠的性质知，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 4．如图，在中，，cm，cm，点、分别在、边上．现将沿翻折，使点落在点处．连接，则长度的最小值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】当H落在AB上，点D与B重合时，AH长度的值最小，根据勾股定理得到AB=10cm，由折叠的性质知，BH=BC=6cm，于是得到结论． 【详解】解：当H落在AB上，点D与B重合时，AH长度的值最小， ∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm， ∴AB=10cm， 由折叠的性质知，BH=BC=6cm， ∴AH=AB-BH=4cm． 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 5．如图，在中，，平分交边于点D，点E、F分别是边上的动点，当的值最小时，最小值为（　　） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质、最短路线问题，构造，使得，，当且仅当点A、E、G共线，且与垂直时，的值最小，即边上的垂线段，再利用面积计算求值即可． 【详解】如图所示，在边上截取，连接，过点A做交于点H， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当且仅当A、E、G共线，且与垂直时，的值最小，即边上的垂线段， ∵ ∴， ∵， ∴． ∴当的值最小时，最小值为． 故选：C． 6．如图，在中，，，于点D，，E、F分别是线段上的动点，则的最小值为（    ）    A．4 B． C． D．6 【答案】B 【分析】此题主要考了等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题等知识点的理解和掌握，能得到是解此题的关键． 作E关于的对称点M，连接交于F，连接，过B作于N，根据三线合一定理求出的长和平分，根据三角形面积公式求出，根据对称性质求出，根据垂线段最短得出，即可得出答案． 【详解】解：作E关于的对称点M，连接交于F，过B作于N，   ， ，平分， 在上， ， ， ， ∵E关于的对称点M， ， ， 根据垂线段最短得出：， 即， 即的最小值是， 故选：B． 7．如图，在中，平分交于点，分别是上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对称，解决最短问题．如图所示：在上取点，使，过点C作，垂足为H．因为，推出当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小． 【详解】解：如图所示：在上取点，使，过点C作，垂足为H． 在中， ． ， ， ∵， ∴当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小，最小值为的长， 的值最小为， 故选：C． 8．如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，点为边上一动点（不与点A，重合），于点，于点，若，，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，先根据勾股定理计算出，再证明四边形是矩形，得到，再根据垂线段最短求出的最小值即可． 【详解】解：如下图所示，连接， ∵，且四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，最小， 当时，当最小， 当时，， ∴， 故选：C． 9．如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（ ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了线路最短的问题，轴对称性质以及勾股定理，如图，过点P作的对称点，过点Q作的对称点，连接，交于点A，交于点B，则，，为最小值，再由勾股定理即可求得答案． 【详解】解：如图，过点P作的对称点，过点Q作的对称点，连接，交于点A，交于点B， 则， ∴为最小值， ∵点P与点关于对称，点Q与点关于对称， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为10， 故选：D． 10．如图，圆柱形杯子底面直径为，高为．将一根长的木棒斜放在杯中，设木棒露在杯子外面的长度为，则h的最小值是（    ）    A．9 B．11 C．12 D．14 【答案】B 【分析】根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中， 在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度， 当杯子中筷子最短是等于杯子的高时，， 最长时等于杯子斜边长度是：， 此时， 的取值范围是：， 即h的最小值是． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键． 11．如图，在中，，，．若点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，垂线段最短，三角形面积，先根据勾股定理求出的长，再根据垂线段最短得出当时，最短，然后根据直角三角形的面积公式计算即可．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：，，， 由勾股定理得，， 当时，最短，如图， ， ， 解得， 故选：． 12．如图，中，，点P为AC边上的动点，过点P作于点D，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】作点B关于的对称点，过点作于点D，交于点P，点P即为所求作的点，此时有最小值，连接，根据对称性的性质，可知：，，根据，即可求出的最小值． 【详解】解：如下图，作点B关于的对称点，过点作于点D，交于点P，连接，点P即为所求作的点，此时有最小值， 根据对称性的性质，可知：， 在中，， ， 根据对称性的性质，可知：， ， 即， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称的性质． 13．如图，中，，，，点P是边上一动点，则线段长度的最小值为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据勾股定理得出，当时，的值最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵当时，的值最小， 此时：的面积为：， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高． 14．在中，，，若点P在边上移动，则的最小值是（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】作于点D，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出，根据垂线段最短可知：当时，最小，再利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：作AD⊥BC于点D，如图， ∵，， ∴， ， 根据垂线段最短可知：当时，最小， 则由 ，可得，解得； 即线段的最小值是． 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形的面积等知识，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键． 15．如图，在中，，若是上的一个动点，则的最小值是（    ） A．5.5 B．6.4 C．7.4 D．8 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出AB，根据垂线段最短，求出CP的最小值即可解决问题． 【详解】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4， ∴, ∵AP+BP+PC=CP+AB=CP+5， 根据垂线段最短可知，当CP⊥AB时，CP的值最小，最小值， ∴AP+BP+CP的最小值=5+2.4=7.4， 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，动点问题等知识，解题的关键是掌握垂线段最短和等面积法，属于中考常考题型． 16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，BC=9，AC=12，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（      ） A．6 B．4.5 C．4 D．5 【答案】C 【分析】作DH⊥AB于H，如图，根据角平分线的性质得到DH=DC，然后求出DH的长度，根据垂线段最短求解． 【详解】解：作DH⊥AB于H，如图， ∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC， ∴DH=DC， ∵AD=AD，∠C=∠AHD=90°， ∴△ACD≌△AHD（HL）， ∴AH=AC=12， ∵， ∴BH=1512=3， ∵BD=， ∴， ∴， ∵Q为AB上一动点， ∴DQ的最小值为DH的长，即DQ的最小值为4． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，也考查了垂线段最短．解题的关键是正确确定点Q的位置，从而求出最小值． 17．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是(　　) A．4 B．4.5 C．4.8 D．5 【答案】C 【分析】当CP⊥AB时，PC最小，可以理解为C点到直线AB的距离，垂线段最小；此时利用Rt△ABC中等面积法即可求解. 【详解】解：解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10， ∵当PC⊥AB时，PC的值最小， ∴由Rt△ABC中等面积法可得： 代入数据：6×8=10×PC 解得PC=4.8 故答案为：C 【点睛】本题考查勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会由面积法求高，属于中考常考题型． 18．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=6，DC=2，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP，此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．由DC＝2，BD＝6，得到BC＝8，连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，于是得到∠CBC′＝90°，然后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP． 此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小． ∵DC＝2，BD＝6， ∴BC＝8， 连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°， ∴∠CBC′＝90°， ∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°， ∴BC＝BC′＝8， 根据勾股定理可得DC′＝． 故选：B． 【点睛】此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，确定动点P为何位置时 PC＋PD的值最小是解题的关键． 19．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝6，CD＝2，点P′是AB上的动点，则PC+PD的最小值是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】过点B作D'B⊥BC，且BD'＝6，连接CD'交AB于点P，由“SAS”可证△BPD≌△BPD'，可得DP＝D'P，可得PC+PD的最小值为D'C，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，过点B作D'B⊥BC，使BD'＝6，连接CD'交AB于点P ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝45°，且BD'⊥BC ∴∠D'BP＝∠DBP＝45°，且BD＝6＝BD'，BP＝BP ∴△BPD≌△BPD'（SAS） ∴DP＝D'P ∴CP+DP＝CP+D'P ∴PC+PD的最小值为D'C， ∵BD＝6，CD＝2 ∴BC＝8， ∴D'C＝ ∴PC+PD的最小值为10 故选：D． 【点睛】本题考查利用轴对称的性质解决最短路径问题，涉及了直角三角形的性质以及勾股定理的应用． 20．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，若P是AC上的一个动点，则AP＋BP＋CP的最小值是（） A．14 B．14.8 C．16 D．18 【答案】B 【分析】根据勾股定理可求出AC，由题意可知当BP取最小值时，AP＋BP＋CP的值最小，而当BP⊥AC时，BP取最小值，故利用面积法求出BP的最小值即可. 【详解】解：∵在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8， ∴BC＝8， ∴AC＝， ∴AP＋CP＝AC＝10， ∴当BP取最小值时，AP＋BP＋CP的值最小， 而当BP⊥AC时，BP取最小值， 故此时S△ABC＝， ∴，即BP的最小值为4.8， ∴AP＋BP＋CP的最小值是10+4.8＝14.8， 故选B. 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，分析得出当BP⊥AC时BP取最小值是解题的关键. 二、填空题 21．如图，在四边形中，，，，，点在上，且，点和点为边上的两个动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题以及平行线的性质，三角形三边关系，勾股定理，过点作得平行四边形，知，，作点关于对称点，连接，则，连接，当，，三点共线时，的值最小为，得到最小为，在中由勾股定理可得，从而可求出结论，熟练掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解: 过点作交于点，则四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 作点关于对称点，连接，则，， ∴， ∴， 当，，三点共线时，的值最小，为， ∴的最小值为， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：. 22．如图，点M在线段上，且、，以M为顶点作正方形，当最小时，的最小值是 ． 【答案】2.4 【分析】本题考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键． 构造，，证明，则最小值等于最小值，易得当点在线段上时最小，易得时，的值最小． 【详解】 解：如图，作，， ， ， ， 易得当点在线段上时最小， 即点在线段上， 易得时，的值最小， 此时． 故答案为：2.4． 23．如图，在四边形中，是正方形．已知，，P为线段上一动点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理、垂线段最短．解题的关键是掌握勾股定理、垂线段最短的运用，当时，CP最小，，先由勾股定理求出，再根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：如图，当时，CP最小，   四边形是正方形， ， ， ， 解得，， 故答案为：． 24．如图，于点，于点，点为线段上任意一点，若，，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点之间线段最短，勾股定理，根据两点之间线段最短，得到的长度即为所求的最小值，利用辅助线构造出直角三角形，利用勾股定理即可求解，确定出为所求的最小值及构造出直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，与相交于点，当点位于点位置时，根据两点之间线段最短，此时的值最小， 过点作，过点作，垂足为点，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 25．在长方形中，，动点满足，则的最小值为 ． 【答案】20 【分析】本题考查轴对称的性质，勾股定理．根据题意先求出的面积，再利用作对称分析线段相加最小值后用勾股定理即可求出本题答案． 【详解】解：设中边上的高是， ∵在长方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴动点P在与平行且与的距离是6的直线上，如图，作关于直线的对称点，连接，则，即为最短距离，   ， 在中， ∵，， ∴， ∴的最小值为20， 故答案为：20． 26．如图，三角形中，为直线上一动点，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可． 本题考查勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型． 【详解】解：在中， ∴ ∵当时，的值最小， 此时： ∴ ∴ 故答案为： 27．如图，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度． 先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：当筷子与杯底垂直时最大，最大． 当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时最小， 如图所示： 此时， ， 故． 故的最小值是． 故答案为：． 28．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点在线段上．若为的中点，则的周长的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂线平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理；连接，，根据垂直平分线的性质得出，根据勾股定理求得，根据垂线段最短得出的最小值为的长，求出的最小周长即可． 【详解】解：连接，，如图所示：    ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，D为边的中点， ∴，， ∵，为定值， ∴当最小时，周长最小， ∴当最小时，最小， ∵，，， ∴ ∴的最小值为的长，即的最小值为12， ∴周长最小值为， 故答案为：17． 29．如图，在中，是的角平分线，点分别是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】在AB上取点，使，过点C作，垂足为因为，推出当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小． 【详解】解：如图所示：在上取点，使，过点C作，垂足为H． 在中，依据勾股定理可知， ， ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当C，E，共线，且点与H重合时，的值最小，最小值为． 故答案为． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，解题的关键是利用对称，解决最短问题． 30．如图，P是长方形内部的动点，，的面积等于12，则点P到B、C两点距离之和的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，解答时涉及三角形的面积、轴对称的性质、线段和最短问题，将两条线段和最短的问题转化为一条线段的长是解题的关键； 先根据三角形的面积求出中边上的高，过作的平行线，找点关于直线的对称点，推出的最小值即为的长即可． 【详解】解：设中边上的高是h． ， ∴， ， ∴动点P在与平行且与的距离是3的直线l上， 过点B作直线l的对称点，连接交直线l于点P， ∵B与关于直线l对称， ， 故的最小值即为的长， ∵四边形是矩形， ， 故的最小值是10， 故答案为：10． 31．如图，在中，点D，E分别是边上的两点，连接，，已知，，则的最小值的平方是 ．    【答案】136 【分析】过点作，并使得，连接构造，然后得到，进而得知，连接，即可得知的长度即为的最小值，也就是的最小值，最后利用勾股定理求得的值即可得到答案． 【详解】过点作，并使得连接， 则， ∴，    ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，连接，即可得知的长度即为的最小值，也就是的最小值， ∵， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、两点间线段最短和勾股定理，解题的关键是会作常用辅助线构造全等三角形． 32．在中，，，，点D和E都是边上的动点，且满足，连接．则的最小值为 ．    【答案】 【分析】过作，且，连接，，可得，则，即可求解． 【详解】解：过作，且，连接，，如下图：    ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ 由勾股定理可得： 即的最小值为 故答案为： 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造出全等三角形． 33．如图，中，，，，射线与边交于点，、分别为、中点，设点、到射线的距离分别为、，则线段的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查与三角形中线有关的面积的计算，勾股定理的应用，等面积法的应用，熟练掌握三角形的中线的含义是解题的关键．连接，，根据面积关系可以求得，当最小为边上高时，即可求出的最大值． 【详解】解：如图，连接，，过作垂线，垂足为点，过作垂线，垂足为点，即，， 则，， ，分别为，中点， ，， ， ， ， ， ， ，，， ， 设上的高为， ， ， 当最小时，即，此时时，最大， ， 最大值为． 故答案为：，． 34．如图，正方形的边长是6，点是上一点，，点是上一动点，连接，将沿折叠，使点落在，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题；连接．利用勾股定理求出，根据，由此可得结论． 【详解】解：连接． ∵将沿折叠，使点落在，连接， ∴ ∵ ∵正方形的边长是6，点是上一点，， ∴ ∴， 故答案为：． 35．已知中，，，边上的高，D为线段上的动点，在上截取，连接，，则的最小值为 ． 【答案】13 【分析】通过过点A作的平行线，并在上截取，构造全等三角形，得到当B，D，H三点共线时，可求得的最小值；再作垂线构造矩形，利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，过点A作的平行线，并在上截取，连接，． 则． 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴当B，D，H三点共线时，的值最小，即的值最小，为的长． ∵，，， ∴在中，由勾股定理，得 ． 如图，过点H作，交的延长线于点M，则四边形为长方形， ∴，， ∴在中，由勾股定理，得 ． ∴的最小值为13． 故答案为：13． 【点睛】本题属于没有共同端点的两条线段求最值问题这一类型，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理等知识．解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形． 36．如图，在中，，，点在上，，，点是上的动点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】过点作于，延长到，使 ，连接 ，交于，连接．此时 的值最小．进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：过点作于，延长到，使 ，连接 ，交于，连接．此时 的值最小． ，，，连接，由对称性可知， ， ， ，根据勾股定理可得： ． 故答案为．    【点睛】本题考查了轴对称线路最短的问题，确定动点何位置时，使的值最小是解题的关键． 37．如图，已知，点在边上，，点是边上一个动点，若周长的最小值是6，则的长是 ．      【答案】1 【分析】作点A关于的对称点D，连接，交于点C，可得，此时周长为：，根据对称性可得，在中，、用勾股定理求解即可． 【详解】解：作点A关于的对称点D，连接，交于点C，如图，    ∴，此时周长最小， ∴周长为： ， ∴， ∵， 根据对称性：，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， 即， ∴ ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题，解决本题的关键是准确画图根据对称性得． 38．在中，，，点D是的中点，点P是内一点，且，连接是的中点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】如图所示，取中点E，连接，证明得到，进而推出当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为，在中，由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，取中点E，连接， ∵点D是的中点，， ∴， ∵是的中点，E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值是 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，两点之间线段最短，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 39．如图，已知长方形，，点E，F分别是边，上的动点，沿直线折叠，使点B的对应点G始终落在边上，则线段的最小值是 ． 【答案】4 【分析】由题意易知点F越靠近于点C时，的值也就越小，然后可得当点C与点F重合时，的值最小，进而画出图形，最后进行求解即可． 【详解】解：由点G始终落在边上可知当点F越靠近于点C时，的值也就越小，所以当点C与点F重合时，的值最小，如图所示： ∵， ∴由折叠的性质可知， 由长方形的特征可知， ∴在中，由勾股定理可得， ∴， ∴的最小值为4； 故答案为4 【点睛】本题主要考查折叠的性质及勾股定理，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键． 40．如图，在中，，，，是的平分线，若M、N分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】如图，作N关于的对称点E，连接，在中，勾股定理解出，根据三角形两边之和大于第三边得到：，最后利用等积法求解即可 【详解】如图，作N关于的对称点E，连接 在中，，，， 是的平分线， 与关于轴对称， 当时最小， 由 即 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称——最短问题，解直角三角形等知识；解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，再利用等面积法结算线段长度是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$