4.2.3 第2课时 对数函数的性质与图象的应用(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

第2课时　对数函数的性质与图象的应用 [对应学生用书P23] 导学　根据对数函数图象判断底数大小问题 　如图所示，曲线是对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象，已知a取，，，，则试探究图中C1，C2，C3，C4相应的a的值． [提示]　作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以C1，C2，C3，C4对应的a值分别为，，，. ◎结论形成 根据对数函数图象判断底数大小的方法 作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小． [对应学生用书P23] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝log2x2在[0，＋∞)上为增函数．(　　) (2)若对数函数y＝log2ax是减函数，则0<a<.(　　) (3)ln x＜1的解集为(－∞，e).(　　) (4)对数函数的图象都在y轴右侧．(　　) 解析　(1)函数y＝log2x2的定义域为{x|x≠0}． (2)由对数函数的单调性可知，0<2a<1，所以0<a<. (3)由ln x＜1，解得0＜x＜e. (4)由对数函数的图象知正确． 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．如果logax<logay<0(其中0<a<1)，那么(　　) A．y<x<1　　　　　 B．x<y<1 C．1<x<y D．1<y<x 解析　∵logax<logay<0(0<a<1)， ∴x>y>1.故选D. 答案　D 3．函数y＝log(1－2x)的单调增区间是________． 解析　函数的定义域为.设t＝1－2x， 则t在是减函数，而y＝logt是减函数，故原函数的增区间为. 答案　 4．若a＝log0.20.3，b＝log26，c＝log0.24，则a，b，c的大小关系为________． 解析　a＝log0.20.3>log0.24＝c， 而a＝log0.20.3<log0.20.2＝1， b＝log26>log22＝1，故b>a>c. 答案　b>a>c [对应学生用书P23] 题型一　比较对数值的大小(一题多解) 　比较下列各组值的大小： (1)log与log；(2)log3与log3； (3)log0.3与log20.8；(4)log与log. [自主解答]　(1)函数y＝logx在(0，＋∞)上递减， 又＜，∴log＞log. (2)解法一　(中间量法) ∵log23＞log22＝1， 0＜log53＜log55＝1， ∴－log23＜－1，－log53＞－1， ∴－log23＜－log53， 即log3＜log3. 解法二　(数形结合法) 借助y＝logx及y＝logx的图象，如图所示． 在(1，＋∞)上，前者在后者的下方， ∴log3＜log3. (3)由对数函数性质知， log0.3＞0，log20.8＜0， ∴log0.3＞log20.8. (4)设m＝log，n＝log，则＝，＝，∴4m＝，5n＝.由于＞，∴4m＞5n，两边取常用对数得m·lg 4＞n·lg 5.∵lg 4＞0，∴m＞n·＞n，即log＞log. 比较对数值大小的常用方法 (1)同底的利用对数函数的单调性． (2)同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不同，找中间量． (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． [触类旁通] 1．(1)(多选题)已知：a＝log32，b＝ln 2，c＝log2，d＝，则(　　) A．a＜b　　　　　　　 B．b＜c C．a＜d D．b＞d (2)设a＝log20.3，b＝log0.4，c＝0.40.3，则a，b，c的大小关系为________． 解析　(1)∵a＝log32＝，b＝ln 2＝，∵log23＞log2e＞0，∴＜，即a＜b，又a＝log32＞log3＝，即a＞d，又c＝log2＜log1＝0，∴c＜d＜a＜b. (2)∵log20.3＜log21＝0，∴a＜0， ∵log0.4＝－log20.4＝log2＞log22＝1，∴b＞1， ∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c＜1，∴a＜c＜b. 答案　(1)AD　(2)a<c<b 题型二　对数型函数的值域与最值问题(一题多变) 　(1)已知函数f(x)＝2＋log3x的定义域为[1，9]，则函数f(x)的值域是________． (2)若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为____________． (3)求函数f(x)＝log2(－x2－4x＋12)的值域． [自主解答]　(1)∵1≤x≤9， ∴log31≤log3x≤log39，即0≤log3x≤2， 即2≤f(x)≤4，值域为[2，4]. (2)当a>1时，函数f(x)为增函数， f(x)max＝f(1)＝a＋loga2，f(x)min＝f(0)＝1， 故a＋loga2＋1＝a，即loga2＝－1， 解得a＝，与a>1矛盾； 当0<a<1时，函数f(x)为减函数， f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(1)＝a＋loga2， 故a＋loga2＋1＝a，即loga2＝－1， 解得a＝. (3)因为－x2－4x＋12>0， 又因为－x2－4x＋12＝－(x＋2)2＋16≤16， 所以0<－x2－4x＋12≤16， 故log2(－x2－4x＋12)≤log216＝4， 函数的值域为(－∞，4]. [答案]　(1)[2，4]　(2)　(3)(－∞，4] [母题变式] (变结论)将本例(1)中的结论变为求y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域，条件不变，如何求？ 解析　y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋log3x2＋2＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3. ∵f(x)的定义域为[1，9]， ∴y＝[f(x)]2＋f(x2)中， x必须满足 ∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，∴6≤y≤13. ∴值域为[6，13]. (1)求对数型函数的值域时，一般需要根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解．一定要注意定义域对它的影响，当函数较为复杂时，可对对数函数进行换元，把复杂问题简单化． (2)求最值的三种方法：①形如f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)的函数，利用对数函数的单调性求解；②关于logax的二次函数，可利用换元法转化；③形如f(x)＝logag(x)的函数，求解时确定a的取值范围之后，可将其转化为求g(x)的值域与最值. [触类旁通] 2．(1)已知函数f(x)＝2logx的值域为[－1，1]，则函数f(x)的定义域为________． 解析　由－1≤2logx≤1，得－≤logx≤， 即log≤logx≤log， 解得≤x≤. 答案　 (2)已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中0＜a＜1. ①求f(x)的定义域； ②当a＝时，求f(x)的最小值． 解析　①欲使函数有意义，则有解得－3＜x＜1，则函数的定义域为(－3，1). ②因为f(x)＝log[(1－x)(x＋3)]， 所以f(x)＝log(－x2－2x＋3)， 配方得到f(x)＝log[－(x＋1)2＋4]. 因为－3＜x＜1，故0＜－(x＋1)2＋4≤4， 所以log[－(x＋1)2＋4]≥log4＝－2(当x＝－1时取等号)，即f(x)的最小值为－2. 题型三　对数函数性质的综合应用 　已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a>0，且a≠1). (1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性并予以证明； (3)当a>1时，求使f(x)>0的x的取值范围． [自主解答]　(1)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)， 则解得－1<x<1， 故所求定义域为(－1，1). (2)f(x)为奇函数．证明如下： 由(1)知f(x)的定义域为(－1，1)， 且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x) ＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)， 故f(x)为奇函数． (3)因为当a>1时，f(x)在定义域(－1，1)上是增函数，所以由f(x)>0，得loga(x＋1)－loga(1－x)>0， 即loga(x＋1)>loga(1－x)， 即x＋1>1－x，解得0<x<1. 所以使f(x)>0的x的取值范围是(0，1). [素养聚焦]　　通过对数函数性质的综合应用，把数学运算、直观想象等核心素养体现在解题过程中． 对数型函数的综合问题，常以对数函数为依托，着重考查对数的运算、对数函数的图象与性质、函数的单调性、奇偶性、值域与最值等，熟悉对数函数的图象与性质及求解函数问题的一般规律和方法是解答这类问题的前提． [触类旁通] 3．已知f(x)＝log4(4x－1). (1)求f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的单调性； (3)求f(x)在区间上的值域． 解析　(1)由4x－1＞0，解得x＞0，因此f(x)的定义域为(0，＋∞). (2)设任意0＜x1＜x2，则0＜4x1－1＜4x2－1，因此log4(4x1－1)＜log4(4x2－1)， 即f(x1)＜f(x2)，故f(x)在(0，＋∞)上递增． (3)由(2)知f(x)在区间上递增， 又f＝0，f(2)＝log415， 因此f(x)在上的值域为[0，log415]. 知识落实 技法强化 1．利用对数函数的性质与图象比较对数值的大小． 2．探究形如函数y＝log，y＝f(log)的性质(定义域、值域、单调性等). 1．研究形如函数y＝log的性质注意换元法的运用：设t＝f(x). 2．解不等式log＞log时，不仅要注意底数与1的大小，而且还要注意f(x)＞0，g(x)＞0. 学科网（北京）股份有限公司 $$