2023-2024学年人教版八年级下册期末数学试卷（5）

2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是（　　） A．3，4，5 B．7，12，13 C．1，1， D．9，12，15 2．（3分）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）在下列代数式中，不是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）点A（1，m）在函数y＝2x的图象上，则m的值是（　　） A．1 B．2 C． D．0 5．（3分）下列二次根式中能与合并的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）下列计算结果正确的是（　　） A．+＝ B．＝5 C．×＝ D．3﹣＝3 7．（3分）关于一次函数y＝﹣x+1，下列说法错误的是（　　） A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴交于点（1，0） C．当x＜1时，y＜0 D．函数值y随自变量x的增大而减小 8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10，BD＝6，则AD的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 9．（3分）若将一次函数y＝﹣x﹣3的图象按下列方式平移后经过原点，则下列平移方式正确的是（　　） A．向上平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度 C．向下平移3个单位长度 D．向左平移3个单位长度 10．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝10，E是BC的中点，将△ABE沿AE对折至△AFE，延长EF交DC于点G，则DG的长是（　　） A．4 B． C．3 D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 　 　． 12．（3分）一组数据0，1，1，1，2的方差为 　 　． 13．（3分）如图，已知l1：y1＝2x+b，交于点M（m，2），则y1≥y2时x的取值范围为 　 　． 14．（3分）在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，如果∠ABC＝60°，AC＝4，那么这个菱形的面积是　 　． 15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，则△AEF的周长为 　 　． 16．（3分）如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为　 　． 三、解答题（共52分） 17．（5分）计算： ． 18．（8分）某校为了解八年级学生每周的课外阅读时间（单位：小时），随机调查了该校部分八年级学生，并绘制了以下两幅不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）本次随机调查的学生人数是 　 　，m的值是 　 　； （2）本次调查的学生每周课外阅读时间样本数据的平均数是 　 　h，众数是 　 　h，中位数是 　 　h； （3）该校八年级有280名学生，估计该校八年级每周课外阅读时间超过2h的学生人数． 19．（6分）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度． 20．（7分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF． （1）求证：BD＝CD； （2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论． 21．（8分）校园文化艺术节来临之际，我校八年级某班学生热情高涨，积极准备．在班会时间讨论后，决定购进A、B两种含有铁一元素的纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要95元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要80元． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该班级决定购进这两种纪念品共100件，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过765元，且销售每件A种纪念品可获利润4元，每件B种纪念品可获利润3元，该如何进货，获利最大？最大利润是多少元？ 22．（8分）如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：OE⊥DC． （2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积． 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴的正半轴于点M，且点M为线段OB的中点． （1）求直线AM的函数解析式． （2）如果在y轴上有一点P，使得，请求出点P的坐标． （3）在坐标平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点N的坐标，若不存在，请说明理由． 2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是（　　） A．3，4，5 B．7，12，13 C．1，1， D．9，12，15 【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可． 【解答】解：A、∵32+42＝52，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项错误； B、∵72+122≠132，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项正确； C、∵12+12＝（）2，∴三条线段能组成直角三角形，故C选项错误； D、∵92+122＝152，∴三条线段能组成直角三角形，故D选项错误； 故选：B． 【点评】此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算． 2．（3分）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断． 【解答】解：根据函数的定义：在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数， 因此不能表示y是x的函数的是选项B中的曲线，故B符合题意； 能表示y是x的函数的是选项A、C、D中的曲线，故A、C、D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义． 3．（3分）在下列代数式中，不是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【解答】解：A、，是二次根式，故此选项不合题意； B、，是二次根式，故此选项不合题意； C、，是二次根式，故此选项不合题意； D、，不是二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键． 4．（3分）点A（1，m）在函数y＝2x的图象上，则m的值是（　　） A．1 B．2 C． D．0 【分析】用代入法即可． 【解答】解：把x＝1，y＝m代入y＝2x， 解得：m＝2． 故选：B． 【点评】若一点在函数图象上，则这点的横、纵坐标满足函数解析式． 5．（3分）下列二次根式中能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据同类二次根式的定义进行解题即可． 【解答】解：A、由，则与可以进行合并，符合题意； B、由，则与不可以进行合并，不符合题意； C、由，则与不可以进行合并，不符合题意； D、由，则与不可以进行合并，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了同类二次根式的定义，掌握二次根式的性质是解题的关键． 6．（3分）下列计算结果正确的是（　　） A．+＝ B．＝5 C．×＝ D．3﹣＝3 【分析】根据二次根式的加法、减法，乘法，除法法则，进行计算即可解答． 【解答】解：A、与不能合并，故A不符合题意； B、＝，故B不符合题意； C、×＝，故C符合题意； D、3﹣＝2，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 7．（3分）关于一次函数y＝﹣x+1，下列说法错误的是（　　） A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴交于点（1，0） C．当x＜1时，y＜0 D．函数值y随自变量x的增大而减小 【分析】根据所给一次函数解析式，得出其性质，对四个选项依次进行判断即可． 【解答】解：函数y＝﹣x+1的图象如图所示， 所以此函数图象经过第一、二、四象限， 故A选项不符合题意． 因为函数与x轴的交点坐标为（1，0）， 故B选项不符合题意． 当x＜1时，y＞0， 故C选项符合题意． 因为y随x的增大而减小， 故D选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查一次函数的性质，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键． 8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10，BD＝6，则AD的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【分析】根据平行四边形的性质可知AO＝OC，OD＝OB，据此求出AO、DO的长，利用勾股定理求出AD的长即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝10，BD＝6， ∴OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD＝BD＝3， ∵∠ODA＝90°， ∴AD＝＝4． 故选：A． 【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用． 9．（3分）若将一次函数y＝﹣x﹣3的图象按下列方式平移后经过原点，则下列平移方式正确的是（　　） A．向上平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度 C．向下平移3个单位长度 D．向左平移3个单位长度 【分析】根据平移规律，求出平移后的解析式，再逐项判断即可． 【解答】解：将一次函数y＝﹣x﹣3的图象向上平移3个单位长度得y＝﹣x﹣3+3＝﹣x，当x＝0时，y＝0， ∴平移后经过原点，故A符合题意； 将一次函数y＝﹣x﹣3的图象向右平移3个单位长度得y＝﹣（x﹣3）﹣3＝﹣x﹣，当x＝0时，y＝﹣， ∴平移后不经过原点，故B不符合题意； 将一次函数y＝﹣x﹣3的图象向下平移3个单位长度得y＝﹣x﹣3﹣3＝﹣x﹣6，当x＝0时，y＝﹣6， ∴平移后不经过原点，故C不符合题意； 将一次函数y＝﹣x﹣3的图象向左平移3个单位长度得y＝﹣（x+3）﹣3＝﹣x﹣，当x＝0时，y＝﹣， ∴平移后不经过原点，故D符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握“上加下减，左加右减“的平移规律． 10．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝10，E是BC的中点，将△ABE沿AE对折至△AFE，延长EF交DC于点G，则DG的长是（　　） A．4 B． C．3 D． 【分析】利用翻折变换对应边关系得出AB＝AF，BE＝EF，∠B＝∠AFE＝90°，利用HL定理得出△ADG≌△AFG，由全等三角形的性质得出DG＝FG，设DG＝FG＝x，则GC＝10﹣x，利用勾股定理得出GE2＝CG2+CE2，进而求出DG即可． 【解答】解：如图，连接AG， 在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°， ∵将△ABE沿AE对折至△AFE， ∴AB＝AF，BE＝EF，∠B＝∠AFE＝90°， ∴AD＝AF，∠D＝∠AFG＝90°， 在Rt△ADH和Rt△AFH中， ， ∴Rt△ADG≌Rt△AFG（HL）， ∴DG＝FG， 设DG＝FG＝x，则GC＝10﹣x， ∵E为CB的中点， ∴CE＝BE＝EF＝5， ∴EG＝5+x， 在Rt△CEG中， 由勾股定理，得CE2+CG2＝GE2， ∴52+（10﹣x）2＝（5+x）2， 解得x＝， ∴DG＝． 故选：B． 【点评】本题主要考查勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 　x≥3　． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案． 【解答】解：∵x﹣3≥0， ∴x≥3． 故答案为：x≥3． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 12．（3分）一组数据0，1，1，1，2的方差为 　　． 【分析】先求出这组数据的平均数，再代入方差公式进行计算，即可得出答案． 【解答】解：这组数据的平均数是：×（0+1+1+1+2）＝1， 则方差是：×[（0﹣1）2+（1﹣1）2+（1﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2]＝． 故答案为：． 【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]． 13．（3分）如图，已知l1：y1＝2x+b，交于点M（m，2），则y1≥y2时x的取值范围为 　x≥﹣1　． 【分析】把点M（m，2）代入得关于m的方程，求出m，可得M点的坐标，然后根据图象判断y1≥y2时x的取值范围即可． 【解答】解：把点M（m，2）代入得： ， 解得：m＝﹣1， ∴M（﹣1，2）， 把M（﹣1，2）代入l1：y1＝2x+b得b＝4， ∴l1：y1＝2x+4， ∵y1≥y2， ∴x的取值范围为：x≥﹣1， 故答案为：x≥﹣1． 【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，解题关键是熟练掌握利用待定系数法求出点M的坐标． 14．（3分）在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，如果∠ABC＝60°，AC＝4，那么这个菱形的面积是　8　． 【分析】先判断出△ABC是等边三角形，再根据菱形的对角线互相垂直平分和等边三角形的性质求出AO、BO，然后根据菱形的对角线互相平分求出AC、BD，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【解答】解：∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AO＝AC＝×4＝2，BO＝×4＝2， ∴BD＝2BO＝4， ∴菱形的面积＝AC•BD＝×4×4＝8． 故答案为：8 【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记菱形的对角线互相垂直平分和面积的求解方法是解题的关键． 15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，则△AEF的周长为 　9　． 【分析】因为四边形ABCD是矩形，所以AD＝BC＝8，∠BAD＝90°，OB＝OD＝OA＝OC，在Rt△BAD 中，可得BD＝10，推出OD＝OA＝OB＝5，因为E，F分别是 AO、AD的中点，根据三角形中位线定理即可得到结论． 【解答】∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝8，∠BAD＝90°，OB＝OD＝OA＝OC， 在Rt△BAD中，， ∴OD＝OA＝OB＝5， ∵E、F分别是AO，AD的中点， ∴，AE＝OA＝，AF＝AD＝4， ∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝++4＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查三角形中位线定理、矩形的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型． 16．（3分）如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为　（﹣，0）　． 【分析】根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y＝0即可求出x的值，从而得出点P的坐标． 【解答】解：作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图． 令y＝x+4中x＝0，则y＝4， ∴点B的坐标为（0，4）； 令y＝x+4中y＝0，则x+4＝0，解得：x＝﹣6， ∴点A的坐标为（﹣6，0）． ∵点C、D分别为线段AB、OB的中点， ∴点C（﹣3，2），点D（0，2）． ∵点D′和点D关于x轴对称， ∴点D′的坐标为（0，﹣2）． 设直线CD′的解析式为y＝kx+b， ∵直线CD′过点C（﹣3，2），D′（0，﹣2）， ∴有，解得：， ∴直线CD′的解析式为y＝﹣x﹣2． 令y＝0，则0＝﹣x﹣2，解得：x＝﹣， ∴点P的坐标为（﹣，0）． 故答案为（﹣，0）． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是求出直线CD′的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键． 三、解答题（共52分） 17．（5分）计算： ． 【分析】先根据二次根式的乘法法则计算，再化简各二次根式，接着合并括号内的同类二次根式，然后进行二次根式的除法运算即可． 【解答】解：原式＝（4﹣3）÷+2 ＝÷+2 ＝1+2． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 18．（8分）某校为了解八年级学生每周的课外阅读时间（单位：小时），随机调查了该校部分八年级学生，并绘制了以下两幅不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）本次随机调查的学生人数是 　40　，m的值是 　25　； （2）本次调查的学生每周课外阅读时间样本数据的平均数是 　1.85　h，众数是 　2　h，中位数是 　2　h； （3）该校八年级有280名学生，估计该校八年级每周课外阅读时间超过2h的学生人数． 【分析】（1）根据扇形统计图和条形统计图，参加课外阅读时间为2h的情况即可求出总人数，即可求出时间为1.5h的情况可得出答案． （2）根据平均数、众数、中位数相关公式及概念即可求得答案． （3）根据样本评估总体公式即可求出答案． 【解答】解：（1）由扇形统计图和条形统计图，参加课外阅读时间为2h的情况得， 本次接受调查得学生人数为：12÷30%＝40（人）， 参加课外阅读时间为1.5h的学生人数为：40﹣8﹣12﹣6﹣4＝10（人）， ∵， ∴m＝25， 故答案为：40，25； （2）平均数为， ∵出现次数最多的是2h， ∴众数为2h， 把活动时间从小到大排列，最中间两数都为2h， ∴中位数为2h， ∴平均数为1.85，众数为2，中位数为2； 故答案为：1.85，2，2； （3）由题意得， （人）． 答：八年级课外阅读时间超过2h的学生约有70人． 【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，解题关键在于掌握及理解条形统计图和扇形统计图相关知识，运用其知识解决问题． 19．（6分）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度． 【分析】设秋千的绳索长为x m，根据题意可得AC＝（x﹣1）m，利用勾股定理可得x2＝42+（x﹣1）2． 【解答】解：在Rt△ACB中， AC2+BC2＝AB2， 设秋千的绳索长为x m，则AC＝（x﹣1）m， 故x2＝42+（x﹣1）2， 解得：x＝8.5， 答：绳索AD的长度是8.5m． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 20．（7分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF． （1）求证：BD＝CD； （2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论． 【分析】（1）先由AF∥BC，利用平行线的性质可证∠AFE＝∠DCE，而E是AD中点，那么AE＝DE，∠AEF＝∠DEC，利用AAS可证△AEF≌△DEC，那么有AF＝DC，又AF＝BD，从而有BD＝CD； （2）四边形AFBD是矩形．由于AF平行等于BD，易得四边形AFBD是平行四边形，又AB＝AC，BD＝CD，利用等腰三角形三线合一定理，可知AD⊥BC，即∠ADB＝90°，那么可证四边形AFBD是矩形． 【解答】证明： （1）∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF＝DC， ∵AF＝BD， ∴BD＝CD； （2）四边形AFBD是矩形． 理由： ∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90° ∵AF＝BD， ∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC， ∴四边形AFBD是平行四边形， 又∵∠ADB＝90°， ∴四边形AFBD是矩形． 【点评】本题利用了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、等量代换、平行四边形的判定、等腰三角形三线合一定理、矩形的判定等知识． 21．（8分）校园文化艺术节来临之际，我校八年级某班学生热情高涨，积极准备．在班会时间讨论后，决定购进A、B两种含有铁一元素的纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要95元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要80元． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该班级决定购进这两种纪念品共100件，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过765元，且销售每件A种纪念品可获利润4元，每件B种纪念品可获利润3元，该如何进货，获利最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）依据题意，设购进A种纪念品每件价格为x元，B种纪念币每件价格为y元，进而列方程组计算可以得解； （2）依据题意，设购进A种纪念品m件，总利润为w元，根据题意列出关于m的一元一次不等式，解不等式得出m的取值范围，列出总利润关于购买A种纪念品m件的函数关系式，根据一次函数的性质可得答案． 【解答】解：（1）由题意，设购进A种纪念品每件价格为x元，B种纪念币每件价格为y元， ∴， 解得， 答：购进A种纪念品每件需要10元，购进B种纪念品每件需要5元； （2）设商家购进A纪念品m件，则购进B纪念品（100﹣m）件，所获利润为w元， 由题意得：w＝4m+3（100﹣m）＝m+300， ∵750≤10m+5（100﹣m）≤765， ∴50≤m≤53， ∵1＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m＝53时，w有最大值，最大值为353， 此时，100﹣m＝47， ∴商家购进A纪念品53件，则购进B纪念品47件，获利最大，最大利润是353元． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次不等式组及一次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键． 22．（8分）如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：OE⊥DC． （2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积． 【分析】（1）由题意可证四边形ODEC是平行四边形，通过证明四边形ODEC是菱形，可得OE⊥DC； （2）由题意可得∠DAO＝30°，AC＝4，根据直角三角形的性质可得CD＝2，AD＝2，根据矩形的面积公式可求矩形ABCD的面积． 【解答】（1）证明： ∵DE∥AC，CE∥BD， ∴DE∥OC，CE∥OD， ∴四边形ODEC是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OD＝OC＝OA＝OB， ∴四边形ODEC是菱形， ∴OE⊥DC， （2）∵DE＝2，且四边形ODEC是菱形 ∴OD＝OC＝DE＝2＝OA， ∴AC＝4 ∵∠AOD＝120，AO＝DO ∴∠DAO＝30°，且∠ADC＝90° ∴CD＝2，AD＝CD＝2 ∴S矩形ABCD＝2×2＝4 【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练运用矩形的性质是本题的关键． 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴的正半轴于点M，且点M为线段OB的中点． （1）求直线AM的函数解析式． （2）如果在y轴上有一点P，使得，请求出点P的坐标． （3）在坐标平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求得点A，B的坐标，由点M是线段OB的中点可得出点M的坐标，根据A、M的坐标，利用待定系数法即可求得直线AM的解析式； （2）设点P的坐标为P（0，n），求出，根据，得到，求出MP＝1，由此得到点P的坐标； （3）设点N的坐标为（m，n），分别以△ABM的三边为对角线，利用平行四边形的对角线互相平分，结合中点坐标公式即可得到关于m，n的方程，解之即可求解． 【解答】解：（1）当x＝0，y＝4， ∴B（0，4）， 当y＝0，即，解得x＝3， ∴A（3，0）， ∵点M为线段OB的中点， ∴M（0，2）． 设直线AM的函数解析式为y＝kx+b，将A（3，0），M（0，2）代入得， ， 解得， ∴直线AM的函数解析式为． （2）设点P的坐标为P（0，n）， ∵， ∴， ∴MP＝1， ∴点P的坐标为P（0，1）或P（0，3）． （3）如图所示，以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形存在以下三种情况，设N的坐标为（m，n） ①当BM为平行四边形对角线时，由中点坐标公式得， ， 解得， ∴N1（﹣3，6）， ②当AB为平行四边形对角线时，由中点坐标公式得， 解得， ∴N2（3，2）， ③当AM为平行四边形对角线时，由中点坐标公式得， 解得， ∴N3（3，﹣2）， 综上所述，在坐标平面内是存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，点N坐标为（﹣3，6），（3，2），或（3，﹣2）． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、以及平行四边形的性质，解题的关键是理解题意，采用分类讨论的方法解决问题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/7 9:34:00；用户：初中数学14；邮箱：tlshiyan017@xyh.com；学号：27405248 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$