第18讲 反比例函数（第1课时）(三类知识点+十三大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪教版）

第18讲 反比例函数（第1课时）（十三大题型） 学习目标 1、 知道反比例函数的概念及求其解析式； 2、 会画反比例函数的图像； 3、 根据比例函数的图像求参数； 4、 掌握反比例函数图像的综合应用。 一、反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是因变量，定义域是不等于零的一切实数. 要点：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点； （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 二、确定反比例函数的解析式 确定反比例函数解析式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是： 　 （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数解析式 中. 三、反比例函数的图象 (1) 反比例函数的图象Ⅰ 呈现形式 反比例函数 (k≠0)的图象是________ 对称性 它既是关于________对称的中心对称图形，也是轴对称图形，其对称轴为第一、三象限或第二、四象限坐标轴夹角的平分线，即直线y＝x或直线y＝－x (2)反比例函数的图像Ⅱ（画法：列表；描点；连线） 函数 图象 所在象限 y＝(k≠0) k>0 一、三象限 (x，y同号) 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. k<0 二、四象限 (x，y异号) 【即学即练1】下列问题中的两个变量成反比例关系的是（    ） A．正方形的面积与边长之间的关系 B．等边三角形中，周长与边长之间的关系 C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与它的底边长之间的关系 D．当车辆行驶的路程一定，车轮直径与车轮的旋转周数之间的关系 【答案】D 【分析】本题考查了变量间是否成反比例关系，列出关系式，根据定义判断即可． 【解析】解：A．正方形的面积与边长之间的关系为，不是反比例关系； B．等边三角形中，周长与边长之间的关系为，不是反比例关系； C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与它的底边长之间的关系为，不是反比例关系； D．当车辆行驶的路程一定，车轮直径与车轮的旋转周数之间的关系为，故为反比例关系； 故选：D． 【即学即练2】下列函数一定是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的识别，一般地，形如的函数叫做反比例函数，据此求解即可． 【解析】解：A、当时，函数不是反比例函数，不符合题意； B、不是反比例函数，不符合题意； C、不是反比例函数，不符合题意； D、是反比例函数，符合题意； 故选：D． 【即学即练3】如果点P在反比例函数的图象上，那么m的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标符合函数的解析式．将点P代入反比例函数，即可求出m的值． 【解析】解：∵点P在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：3． 【即学即练4】若函数是反比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义求解即可． 【解析】∵函数为反比例函数， ∴且． 解得． 故答案是：． 【即学即练5】在同一平面直角坐标系中，分别画出函数与的图象． (1)填写表格： __ __ __ __ (2)根据表格中的对应值为点坐标，在下图中画出函数图象． 【答案】(1)填表见解析 (2)画图见解析 【分析】（）根据函数解析式求出对应的函数值后填写表格即可； （）以表格中的对应值为点的坐标，描出点连线即可画出函数图象； 本题考查了画反比例函数图象，掌握画反比例函数图象的步骤是解题的关键． 【解析】（1）解：当时，；当时，； 当时，，当时，； ∴填写表格如下： （2）解：画函数图象如下： 6．已知反比例函数的图象有一支在第四象限，点在正比例函数的图象上，那么点P在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象与系数的关系是解题的关键．先根据反比例函数的图象有一支在第四象限判断出的符号，再由一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解析】解：反比例函数的图象有一支在第四象限， ， ， 正比例函数的图象经过一、三象限， 点在正比例函数的图象上， 点在第一象限． 故选：A． 题型1：反比例函数的定义 【典例1】．下列各问题中的两个变量成反比例的是（        ）； A．某人的体重与年龄 B．时间不变时，工作量与工作效率 C．矩形的长一定时，它的周长与宽 D．被除数不变时，除数与商 【答案】D 【解析】解：A．体重与年龄是不成正比，也不是反比的．故错误． B．根据时间不变，工作效率越高，总量越大,应是成正比．故错误． C．矩形的长不变，则宽与周长成正比．故错误． D．被除数不变时，除数与商成反比．故正确． 故选D. 【典例2】．下列函数中，y是x的反比例函数的是（       ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义逐项进行判断即可． 【解析】解：A、 y与x2成反比例，因此该选项不符合题意； B、， y是x的反比例函数，因此该选项符合题意； C、，y是x的正比例函数，因此该选项不符合题意； D、，即，y是x的正比例函数，因此该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的定义，掌握“形如y=（k是常数，且k≠0）的函数是反比例函数”是正确判断的关键． 【典例3】．在函数y=-1，y=， y=x-1，y=中，y是x的反比例函数的有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】分别根据反比例函数的定义进行逐一分析即可． 【解析】解：y=-1，y=，表示反比例函数，y=x-1，y=是反比例函数. 故选B. 【点睛】此题主要考查了反比例函数的概念，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为(k为常数，k≠0)或y=kx−1(k为常数，k≠0)， 题型2：反比例函数的图像上点的确定 【典例4】．已知反比例函数，则这个函数的图像一定经过（　　） A．(2，1) B．(2，－1) C．(2，4) D． 【答案】A 【分析】由反比例函数解析式可知xy=2，即满足点的横坐标与纵坐标的积等于2的点在图象上． 【解析】由于2×1=2，故选项A符合题意， 由于2×（-1）=-2≠2，故选项B不符， 由于2×4=8≠2，故选项C不符， 由于（-）×2=-1≠2，故选项D不符， 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点．关键是由解析式得出横坐标与纵坐标的积等于2的点在图象上． 【典例5】．已知反比例函数的图象过（2，－2）和（－1，n），则n等于（       ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】B 【解析】先根据反比例函数图象过点(2,－2)可求出k=2×(－2)=－4,又因为点(－1,n)在反比例函数图象上,所以－1×n=－4,所以n=4,故选B. 点睛:本题考查反比例函数图象上点的特征,解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数图象上的点横坐标与纵坐标的乘积为k. 题型3：求比例系数与待定系数法 【典例6】．若点P（1，3）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，则k的值是（        ） A． B．3 C．- D．-3 【答案】B 【分析】把点的坐标代入函数解析式，即可求出k． 【解析】∵点P(1,3)在反比例函数（k≠0）的图象上， ∴，即k=3． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，理解反比例函数的性质是解答本题的关键． 【典例7】．已知y与x成反比例，且当时，，则y关于x的函数解析式是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设反比例函数解析式为，将，代入求出k的值，即可得到函数解析式． 【解析】∵y与x成反比例， ∴设， 把，代入，得， ∴ ∴y关于x的函数解析式为． 故选C． 【点睛】本题考查求反比例函数解析式，用待定系数法求反比例函数的解析式的一般步骤：（1）设出含有待定系数的反比例函数的解析式；（2）把已知条件（自变量和函数的对应值）代入解析式，得到关于待定系数的方程；（3）解方程求出待定系数的值；（4）将求得的待定系数的值代回所设的解析式中，即可得到反比例函数的解析式． 【典例8】．如果双曲线经过点，那么此双曲线也一定经过（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】双曲线经过点，可知点的横纵坐标的积为k=-6，根据反比例函数图象上的点的坐标的特点可知双曲线经过的点． 【解析】解：双曲线经过点， ∴2×(-3)=-6， 又∵(-3)×2=-6， ∴双曲线也经过点（-3，2）． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上． 【典例9】．反比例函数中，比例系数k的值为（       ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】将反比例函数表达式改写为，即可得出比例系数． 【解析】， ． 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数的比例系数，将反比例函数改写为一般形式是解题的关键． 【典例10】．如果， ，那么__________． 【答案】－6． 【分析】根据f（2）=-3，代入自变量与函数的值，解关于k的方程即可． 【解析】解：f（2）==-3， 解得k=-6． 故答案为：-6． 【点睛】本题考查了函数值，主要渗透了待定系数法求函数解析式的思想，把自变量与函数值同时代入进行计算即可，比较简单． 【典例11】．如果反比例函数的图象经过点，则k的值是（       ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】把点的坐标代入反比例函数解析式中得到一元一次方程并求解即可． 【解析】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握该知识点是解题关键． 【典例12】．已知y是x的反比例函数，下面表格给出了x与y的一些值，则☆和*所表示的数分别为（       ） x ☆ -1 y 2 * A．6，2 B．-6，2 C．6，-2 D．-6，-4 【答案】D 【分析】首先由时，求出反比例函数解析式，然后分别求出和时对应的y和x的值即可. 【解析】因为y是x的反比例函数，所以设. 由题中表格可知，当时，，所以，所以. 把代入，得； 把代入，得. 则☆和*所表示的数分别为：-6，-4， 故选D. 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析式，再把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程，接着解方程，求出待定系数，然后写出解析式． 题型4：根据反比函数的概念求参数 【典例13】．已知函数是关于的反比例函数，则的值为（       ） A．1 B．－1 C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义确定m的值即可． 【解析】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得：； 故选：B 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是根据反比例函数的定义确定m的值，难度不大． 【典例14】．若函数是反比例函数，则m的值为（ ） A．m＝－2 B．m＝1 C．m＝2或m＝1 D．m＝－2或m＝－1 【答案】A 【解析】根据反比例函数定义可知解得 ∴m＝－2．故选A． 【典例15】．若函数y=（3﹣k）是反比例函数，那么k的值是（　　） A．0 B．3 C．0或3 D．不能确定 【答案】A 【分析】直接利用反比例函数的定义分析得出答案． 【解析】解：∵函数y=（3﹣k）是反比例函数， ∴k2﹣3k﹣1=﹣1，3﹣k≠0， 解得：k1=0，k2=3，（不合题意舍去） 那么k的值是：0． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，正确把握定义是解题的关键． 题型5：根据复合比例形式求反比例函数的解析式 【典例16】．已知函数 ，且 为 的反比例函数， 为 的正比例函数，且 和 时， 的值都是1，求关于的函数关系式． 【答案】 【分析】根据题意先分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式，再进一步表示出y与x的函数关系式；然后根据已知条件，得到方程组，即可求解． 【解析】解：∵y1与x成反比例，y2与x成正比例， ∴设y1=，y2=kx． ∵y=y1-y2， ∴y=-kx， ∵当时，y=1；当x=1时，y=1， ∴，解得：， ∴关于的函数关系式为：. 【点睛】本题考查求函数解析式和反比例函数以及正比例函数，解决本题的关键是得到y与x的函数关系式，需注意两个函数的比例系数是不同的． 【典例17】．已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝3时，，求y关于x的函数解析式． 【答案】． 【分析】设，从而可得，再将两组的值代入可得一个关于的二元一次方程组，解方程组求出的值，由此即可得． 【解析】解：由题意可设，则， 当时，；当时，， ，解得， 故关于的函数解析式为． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键． 题型6：反比例函数的图像 【典例18】．先填表，再画出反比例函数的函数图像． x 1 2 3 4 y 【答案】见解析 【分析】将点的横坐标代入到反比例函数的解析式后求得y值，然后再画出双曲线． 【解析】解：填表如下： x 1 2 3 4 y 4 2 1 作出图像为： 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象画法，明确函数图象上点的坐标满足解析式是解决问题的关键． 【典例19】．分别画出函数和的图象． 【答案】见详解 【分析】根据五点作图法可直接画出函数图形． 【解析】解：函数的图象如图所示： 函数的图象如图所示： 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键． 【典例20】．已知和是同一个反比例函数图象上的两个点． （1）求m的值； （2）画出这个反比例函数的图象； （3）将A，B两点标在函数图象上． 【答案】（1）-6；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）利用反比例函数解析式列方程，解方程即可； （2）先求出点A，再求反比例函数解析式，然后列表描点，连结平滑曲线即可； （3）在反比例函数图像上标出点A，点B即可． 【解析】解：（1）设反比例函数解析式为， ∵和是同一个反比例函数图象上， ∴， 解得； （2）点A（-3，2），点B（3，-2）， ∴， 解得， ∴反比例函数解析式为， 列表： x -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 y 1 2 3 6 -6 -3 -2 -1 在平面直角坐标系中描点（-6，1），（-3，2），（-2，3），（-1，6），（1，-6），（2，-3），（3，-2），（6，-1）， 用平滑曲线连结，可得的图像， （3）点A，B如图所示． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，列一元一次方程与解方程，用描点法画函数图像， 掌握待定系数法求反比例函数解析式，列一元一次方程与解方程，用描点法画函数图像是解题关键． 【典例21】．（1）在所给平面直角坐标系中，画出反比例函数的图象； （2）函数的图象是轴对称图形吗？有几条对称轴？ （3）上述图象的两个分支是否成中心对称，请指出对称中心，并写出两对对称点坐标． 【答案】（1）见解析（2）函数的图象是轴对称图形，有条对称轴；（3）图象的两个分支成中心对称，对称中心是原点，两对对称点坐标为和、和． 【分析】(1)从正数,负数中各选几个值作为x的值,进而得到y的值,描点,连线即可; (2)观察函数的图象即可确定其对称性; (3)观察函数的图象得到中心对称图形,从而确定对称中心和两对对称点的坐标即可. 【解析】（1）列表得： 描点，连线得： （2）函数的图象是轴对称图形，有条对称轴；（3）图象的两个分支成中心对称，对称中心是原点，两对对称点坐标为和、和． 【点睛】本题主要考查画反比例函数图像及反比例函数的对称性. 题型7：根据反比例函数的图像求参数 【典例22】．若反比例函数的图象经过点，则a的值为（       ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把点的坐标代入函数解析式，解方程即可． 【解析】解：把代入，得， 解得，， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标，解题关键是明确反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式． 【典例23】．已知反比例函数（是常数，）的图像有一支在第四象限，那么的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数所在象限，可以判断比例系数小于0，列不等式求解即可． 【解析】解：∵反比例函数（是常数，）的图像有一支在第四象限， ∴＜0， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，解题关键是熟知反比例函数图象的性质． 题型8：根据参数范围确定反比例函数的图像 【典例24】．当k＜0，x＞0时，反比例函数y=的图象在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】k＜0，反比例函数图像位于第二、四象限， ∵x＜0，∴反比例函数图像位于第二象限. 故选B. 点睛：反比例函数y=（k≠0），若k＞0，那么反比例函数图像位于第一、三象限；若k＜0，那么反比例函数图像位于第二、四象限. 【典例25】．若直线y＝kbx经过第二、四象限，则函数y=的图象在（        ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、二象限 【答案】B 【解析】解：∵一次函数y=kbx的图象经过第二、四象限， ∴kb<0， ∴反比例函数y=的图象在第二、四象限. 故选：B. 题型9：反比例函数的图像综合辨析 【典例26】．对于反比例函数y＝的图象的对称性叙述错误的是(　　) A．关于原点中心对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于直线y＝﹣x对称 D．关于x轴对称 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象的对称性判断即可． 【解析】解：反比例函数y=的图象关于原点中心对称、关于直线y=x对称、关于直线y=-x对称， ∵它的图象在第一、三象限， ∴不关于x轴对称， A、B、C说法正确，不符合题意，D说法错误，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线y=-x；②一、三象限的角平分线y=x；对称中心是：坐标原点是解题关键． 【典例27】．点在反比例函的图象上，则下列说法正确的是（     ） A． B．函数的图象关于对称 C．函数的图象经过点（6，1） D．函数的图象关于原点对称 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对A、C进行判断；根据反比例函数的性质对B、D进行判断． 【解析】解：A、点（3，-2）在反比例函数的图象上，则k=3×（-2）=-6，故错误； B、函数的图象关于y=-x对称，故错误； C、函数图象经过点（6，-1）或（-6，1），故错误； D、函数图象关于原点成中心对称，故正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 题型10：反比例函数图像与正比例函数图像结合 【典例28】．如果，那么函数与在同一坐标系中的图象是（    ） A．   B．   C．  D．   【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象、正比例函数的图象，根据得到反比例函数的图象、正比例函数的图象所在的象限即可求解． 【解析】解：∵， ∴函数的图象经过第二、四象限，函数的图象位于第二、四象限， 故选项C中图像符合题意， 故选：C． 【典例29】．已知函数y＝kx（k≠0）中y随x的增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由“y＝kx（k≠0）中y随x的增大而增大”判定k＞0，然后根据k的符号来判断函数所在的象限． 【解析】解：∵函数y＝kx（k≠0）中y随x的增大而增大， ∴k＞0，该函数图象经过第一、三象限； ∴函数的图象经过第一、三象限； 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的图象特点：①反比例函数的图象是双曲线；②当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；③当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 题型11：反比例函数图像的平移、分段函数的图像 【典例30】．函数y=的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：函数y=是反比例y=的图象向左移动一个单位， 即函数y=是图象是反比例y=的图象双曲线向左移动一个单位． 故选C 点睛：本题考虑利用排除法进行求解，由y=，可得x≠-1，故可排除A、B； 当x＜-1时，y＜0，故图象有一部分在第三象限，据此即可解答. 【典例31】．定义新运算：例如：，，则函数，的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义的新运算可得，根据反比例函数的性质即可得到答案． 【解析】解：根据题意得， 函数的图像为反比例函数的图像， ∵当时，，当，， 故选：D． 【点睛】本题考查函数的新定义和反比例函数的性质，解题的关键是根据题意写出函数的表达式． 【典例32】．定义新运算：a⊕b＝，则函数y＝2⊕x（x≠0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干中定义的新运算求出y＝2⊕x的解析式，进而判断． 【解析】解：由题意得y＝2⊕x＝， ∴函数图象大致为: 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图象，解题关键是理解题意，正确得出y＝2⊕x的解析式． 题型12：解答综合题 【典例33】．下列函数（其中是自变量）中，哪些是反比例函数？哪些不是，为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)不是反比例函数，理由见解析 (2)是反比例函数 (3)不是反比例函数，理由见解析 (4)是反比例函数 (5)不是反比例函数，理由见解析 (6)不是反比例函数，理由见解析 【分析】（1）根据反比例函数的定义进行判断即可； （2）根据反比例函数的定义进行判断即可； （3）根据反比例函数的定义进行判断即可； （4）根据反比例函数的定义进行判断即可； （5）根据反比例函数的定义进行判断即可； （6）根据反比例函数的定义进行判断即可． 【解析】（1）解：不是反比例函数；理由如下： ∵中自变量的指数是不是，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （2）解：是反比例函数；理由如下： ∵中自变量x的指数是，符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （3）解：不是反比例函数； ∵中自变量的指数是1不是，属于正比例函数，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （4）解：是反比例函数；理由如下： ∵中自变量x的指数是，符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （5）解：不是反比例函数；理由如下： 表示的是于成反比，表示的不是与成反比，不是反比例函数． （6）解：不是反比例函数；理由如下： 可变为，因此此解析式表示的是与成反比，表示的不是与成反比，不是反比例函数． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，解题的关键是熟练掌握反比例函数的定义，一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成 (k为常数，)的形式，那么称y是x的反比例函数． 【典例34】．已知反比例函数的图象经过点A（-2，-3）． (1)求该反比例函数的表达式； (2)判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)不在该反比例函数的图象上，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求解析式求出当x=2时的函数值即可得到答案． 【解析】（1）解：设反比例函数解析式为， 由题意得：， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：点不在该反比例函数的图象上，理由如下： 当时，， ∴点（2，3）在反比例函数图象上，点不在该反比例函数的图象上． 【点睛】本题主要考查了待定系数法去反比例函数解析式，求反比例函数函数值，正确利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 【典例35】．已知：，并且与成正比例，与成反比例．当x=2时，y=5；当时， (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时的函数值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正比例关系、反比例关系可设，再将两组的值代入求解即可得； （2）将代入函数解析式即可得． 【解析】（1）解：由题意可设， 则，解得， 则，即． （2）解：当时，． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键． 【典例36】．如图，直线y＝ax（a＞0）与双曲线交于A，B两点，且点A的坐标为（4，2），点B的坐标为（n，﹣2）． (1)求a，n的值； (2)若双曲线的上点C的纵坐标为8，求△AOC的面积． 【答案】(1)， (2)15 【分析】（1）先将点代入直线的解析式可得的值，再根据求出反比例函数的解析式，然后将点代入反比例函数的解析式即可得的值； （2）先求出点的坐标，再过点作轴的垂线交直线于点，根据直线的解析式求出点的坐标，然后根据的面积等于与的面积之和即可得． 【解析】（1）解：将点代入得：，解得， 将点代入得：， 则反比例函数的解析式为， 将点代入得：； （2）解：对于函数， 当时，，即， 如图，过点作轴的垂线交直线于点， 则点的横坐标为1， 由（1）可知，直线的解析式为， 当时，，即， ， ，的边上的高为1，的边上的高为， 则的面积为． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键． 【典例37】．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，点的纵坐标为4，反比例函数的图象也经过点；第一象限内的点在这个反比例函数的图象上，过点作轴，交轴于点，且.求：    (1)这个反比例函数的解析式. (2)求点的坐标. (3)直线的函数表达式. 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据正比例函数的图象经过点，点的纵坐标为4，求出点的坐标，根据反比例函数的图象经过点，求出的值； （2）根据点的坐标和等腰三角形的性质求出点的坐标，再求出点C坐标即可； （3）运用待定系数法求出直线的表达式． 【解析】（1）正比例函数的图象经过点，点的纵坐标为4， ∴将代入得：， 点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的解析式为：； （2）如图，连接、，作于，    ，， ， ∴将代入得：， 点的坐标为：， ∵轴， 点C的坐标为：， （3）设直线的表达式为：， 由题意得，， 解得，， 直线的表达式为：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和一次函数与反比例函数的交点的求法，注意数形结合的思想在解题中的应用． 题型13：含绝对值反函数的图像 【典例38】．把下列函数的解析式与其图象对应起来． （1）；（2）；（3）；（4）． A．     B．     C．     D． 【答案】（1）B；（2）A；（3）C；（4）D 【分析】根据反比例函数的选择即可得到结论． 【解析】解：（1）的图象在一，三象限，对应着图象B； （2）的图象关于y轴对称，且函数值为正，在x轴上方，对应着图象A； （3）的图象在二，四象限，对应着图象C； （4）的图象关于y轴对称，且函数值为负，在x轴方下方，对应着图象D． 【点睛】本题考查了反比例函数的选择，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 一、单选题 1．在函数y=-1，y=， y=x-1，y=中，y是x的反比例函数的有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】分别根据反比例函数的定义进行逐一分析即可． 【解析】解：y=-1，y=，表示反比例函数，y=x-1，y=是反比例函数. 故选B. 【点睛】此题主要考查了反比例函数的概念，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为(k为常数，k≠0)或y=kx−1(k为常数，k≠0)， 2．下列各点在反比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数解析式可得，然后对各选项分析判断即可得解． 【解析】解：∵ ∴ A.，该选项错误； B. ，该选项正确； C. ，该选项错误； D. ，该选项错误. 故答案选：B. 3．反比例函数的图象位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握利用反比例系数判断函数图象所在象限可得答案． 【解析】解：∵， ∴反比例函数的图象位于第三象限， 故选：C． 4．反比例函数中，比例系数k的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】将反比例函数表达式改写为，即可得出比例系数． 【解析】， ． 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数的比例系数，将反比例函数改写为一般形式是解题的关键． 5．下列等式中，a和b成反比例的是（   ） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例的含义，则a和b成反比例，即是a变大时b则跟着变小，或者a变小时b则跟着变大，是解答本题的关键．a和b成反比例，即是a变大时b则跟着变小，或者a变小时b则跟着变大，据此作答即可． 【解析】解：A项，a和b的变化一致，即一起变大或者一起变小，故本项不符合题意； B项，a和b的变化一致，即一起变大或者一起变小，故本项不符合题意； C项，a和b成反比例，即是a变大时b则跟着变小，或者a变小时b则跟着变大；故C符合题意 故选：C． 6．已知y是x的反比例函数，下面表格给出了x与y的一些值，则☆和*所表示的数分别为（    ） x ☆ -1 y 2 * A．6，2 B．-6，2 C．6，-2 D．-6，-4 【答案】D 【分析】首先由时，求出反比例函数解析式，然后分别求出和时对应的y和x的值即可. 【解析】因为y是x的反比例函数，所以设. 由题中表格可知，当时，，所以，所以. 把代入，得； 把代入，得. 则☆和*所表示的数分别为：-6，-4， 故选D. 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析式，再把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程，接着解方程，求出待定系数，然后写出解析式． 7．如果反比例函数的图象经过点，则k的值是（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】把点的坐标代入反比例函数解析式中得到一元一次方程并求解即可． 【解析】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握该知识点是解题关键． 8．已知和y成正比例，与z成反比例，那么和z成（   ）． A．正比例 B．反比例 C．既不成正比例，也不成反比例 D．既成正比例也成反比例 【答案】B 【分析】可以根据正比例与反比例函数的定义确定z与的函数关系． 【解析】解：因为和y成正比例，所以y=k1， 又与z成反比例，所以z= ． 所以z=k2y=k2 k1，， 即z与x2之间的关系是成反比例． 故选B． 【点睛】本题考查正比例函数及反比例函数的定义，注意区分：正比例函数的一般形式是y=kx（k≠0），反比例函数的一般形式是y＝（k≠0）． 9．对于反比例函数y＝的图象的对称性叙述错误的是(　　) A．关于原点中心对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于直线y＝﹣x对称 D．关于x轴对称 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象的对称性判断即可． 【解析】解：反比例函数y=的图象关于原点中心对称、关于直线y=x对称、关于直线y=-x对称， ∵它的图象在第一、三象限， ∴不关于x轴对称， A、B、C说法正确，不符合题意，D说法错误，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线y=-x；②一、三象限的角平分线y=x；对称中心是：坐标原点是解题关键． 10．如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，由图象分布的位置可得，，，再由时，由图象可得，即得，进而可得，即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【解析】解：∵反比例函数的图象分布在第一象限，反比例函数和的图象分布在第二象限， ∴，，， 当时，由图象可得， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 11．如果， ，那么 ． 【答案】－6． 【分析】根据f（2）=-3，代入自变量与函数的值，解关于k的方程即可． 【解析】解：f（2）==-3， 解得k=-6． 故答案为：-6． 【点睛】本题考查了函数值，主要渗透了待定系数法求函数解析式的思想，把自变量与函数值同时代入进行计算即可，比较简单． 12．若函数是反比例函数，则m的取值为 . 【答案】4 【分析】先根据反比例函数的定义列出关于m的方程和不等式，然后求出m即可． 【解析】解：∵是反比例函数， ∴， 解得m＝4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，其形式为（k≠0）或（k≠0）． 13．已知反比例函数，当时，y= ；当y=2时，x= ； 【答案】 1 4 【分析】将代入反比例函数解析式，即可求y的值；将y=2代入反比例解析式，即可求x的值． 【解析】把代入的右边，解得，把y=2代入的左边，解得， 故答案为：1；4． 【点睛】本题考查反比例函数的性质、代数式求值等知识，是典型考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键． 14．已知y是x的反比例函数，当x=3时，y=9，则函数解析式是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义设出表达式，再利用待定系数法解出系数则可得答案． 【解析】设， ∵x=3时，y=9， ∴9=， 解得：， ∴函数解析式是． 故答案为： 【点睛】本题考查了运用待定系数法求反比例函数的表达式，属于基础题型． 15．已知反比例函数（是常数，）的图像有一支在第四象限，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数所在象限，可以判断比例系数小于0，列不等式求解即可． 【解析】解：∵反比例函数（是常数，）的图像有一支在第四象限， ∴＜0， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，解题关键是熟知反比例函数图象的性质． 16．如果反比例函数的图象经过点A（2，y1）与B（3，y2），那么的值等于 . 【答案】 【解析】分析： 由已知条件易得2y1=k，3y2=k，由此可得2y1=3y2，变形即可求得的值. 详解： ∵反比例函数的图象经过点A（2，y1）与B（3，y2）， ∴2y1=k，3y2=k， ∴2y1=3y2， ∴. 故答案为：. 点睛：明白：若点A和点B在同一个反比例函数的图象上，则是解决本题的关键. 17．若反比例函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据图象在坐标平面内的位置：不经过第一象限，则，解之即可求得的取值范围，从而求解． 【解析】解：反比例函数的图象不经过第一象限， 则经过二四象限， ∴． 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象性质，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 18．已知直线分别交函数与函数的图像于两点，若在函数图像上存在点，使得恰为等边三角形，则的面积为 . 【答案】 【分析】先求出A,B两点的坐标，然后根据等边三角形和反比例函数求出C的坐标，利用建立关于a的方程求出a，然后利用面积公式求解即可． 【解析】∵直线分别交函数与函数的图像于两点 ∴ ∵恰为等边三角形 ∴C的横坐标为 若点C在上，此时点C的坐标为 ∵ ∴ 即 解得 ∴ 若点C在上，此时点C的坐标为 ∵ ∴ 即 解得 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 三、解答题 19．下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？ (1) (2) (3) (4)xy=1 (5) 【答案】(1)是，； (2)是，； (3)否； (4)是，（可化为）； (5)是， 【分析】利用反比例函数的定义判定即可． 【解析】（1）解：是反比例函数，比例系数； （2）解：是反比例函数，比例系数； （3）解：不是反比例函数； （4）解：∵xy=1， ∴， ∴y是x的反比例函数，比例系数； （5）解：是反比例函数；比例系数； 【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，解题的关键是熟记反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般式y=（k≠0）． 20．设面积为的三角形的一条边长为，这条边上的高线长为． (1)求h关于a的函数表达式和自变量a的取值范围． (2)h关于a的函数是不是反化例函数？如果是，说出它的比例系数． (3)求当边长时，这条边上的高线长． 【答案】(1)，自变量a的取值范围为 (2)是反比例函数，比例系数为20 (3)这条边上的高线长为8cm 【分析】（1）根据平行四边形的面积公式可得，进而得出与的函数关系式，结合的意义确定其取值范围； （2）根据反比例函数的定义和一般形式解答即可； （3）将代入（1）中的函数表达式求解的值即可． 【解析】（1）解：根据题意得， ， ∵为三角形的边长， ∴． （2）答：关于的函数是反比例函数，它的比例系数是20． （3）解：当时，这条边上的高． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 21．先填表，再画出反比例函数的函数图像． x 1 2 3 4 y 【答案】见解析 【分析】将点的横坐标代入到反比例函数的解析式后求得y值，然后再画出双曲线． 【解析】解：填表如下： x 1 2 3 4 y 4 2 1 作出图像为： 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象画法，明确函数图象上点的坐标满足解析式是解决问题的关键． 22．已知和是同一个反比例函数图象上的两个点． （1）求m的值； （2）画出这个反比例函数的图象； （3）将A，B两点标在函数图象上． 【答案】（1）-6；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）利用反比例函数解析式列方程，解方程即可； （2）先求出点A，再求反比例函数解析式，然后列表描点，连结平滑曲线即可； （3）在反比例函数图像上标出点A，点B即可． 【解析】解：（1）设反比例函数解析式为， ∵和是同一个反比例函数图象上， ∴， 解得； （2）点A（-3，2），点B（3，-2）， ∴， 解得， ∴反比例函数解析式为， 列表： x -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 y 1 2 3 6 -6 -3 -2 -1 在平面直角坐标系中描点（-6，1），（-3，2），（-2，3），（-1，6），（1，-6），（2，-3），（3，-2），（6，-1）， 用平滑曲线连结，可得的图像， （3）点A，B如图所示． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，列一元一次方程与解方程，用描点法画函数图像， 掌握待定系数法求反比例函数解析式，列一元一次方程与解方程，用描点法画函数图像是解题关键． 23．已知函数y=y1+y2，y1=k1x，（k2≠0），且当x=1时，y=4；当x=2时，y=5． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x=4时，求y的值 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据题意设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式计算即可得解； （2）把自变量x的值代入进行计算即可． 【解析】解：（1）∵y=y1+y2，y1=k1x，（k2≠0）， ∴， 将x=1时，y=4； x=2时，y=5代入得 解得 （2）将代入，得 【点睛】本题考查的是用待定系数法求函数的解析式，一定要熟练掌握并灵活运用． 24．已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求k的取值范围； (2)当反比例函数过点时，求的值． 【答案】(1) (2)6 【解析】（1）∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴，解得． （2）∵反比例函数过点， ∴，解得． 25．已知反比例函数，且当时，． (1)求a的值； (2)在图中画出该函数图象． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象的画法： （1）将，代入解析式求解． （2）根据函数解析式及表格作图． 【解析】（1）解：把，代入得，， 解得； （2）解：由（1）知反比例函数的解析式为， ∴当时，， 描点，连线，则该函数图象如图所示． 26．如图为反比例函数的部分图象． (1)由图可知，的取值范围是________，点________（填“在”或“不在”）该反比例函数的图象上； (2)将已知部分的函数图象绕原点顺时针旋转________即可得到未知部分的函数图象． 【答案】(1)，不在 (2) 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据所给函数图象，可得出的正负；由函数图象所位于的象限即可解决问题． （2）根据反比例函数图象的对称性即可解决问题． 【解析】（1）解：由所给函数图象可知， 该反比例函数位于第一、三象限， 所以． 点在第二象限， 所以点不在该反比例函数的图象上． 故答案为：，不在； （2）解：因为反比例函数是中心对称图形，且对称中心为坐标原点， 所以将已知部分的函数图象绕原点顺时针旋转即可得到未知部分的函数图象． 故答案为：． 27．已知在平面直角坐标系中，点在第一象限内，，且，反比例函数的图像经过点A．        (1)当点B的坐标为时（如图1），求这个反比例函数的解析式； (2)当点B也在反比例函数的图像上，且在点A的右侧时（如图2），用m、n的代数式表示点B的坐标；并求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过A作，根据三角形为等腰直角三角形，得到，确定出A坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式； （2）过A作轴，过B作，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且，利用得出三角形与三角形全等，由确定三角形的对应边相等得到进而表示出及的长，即可表示出B坐标；由A与B都在反比例图象上，得到A与B横纵坐标乘积相等，列出关系式，变形后即可求解． 【解析】（1）解：过A作，交x轴于点C， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 将代入反比例解析式， 并解得：， 则反比例解析式为； （2）解：过A作轴，过B作， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ∴ 则； ∵由A与B都在反比例图象上，得到， 整理得： 即 这里 ∵， ∴， ∵在第一象限， ∴ 则． 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，以及一元二次方程的解法，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 23 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲 反比例函数（第1课时）（十三大题型） 学习目标 1、 知道反比例函数的概念及求其解析式； 2、 会画反比例函数的图像； 3、 根据比例函数的图像求参数； 4、 掌握反比例函数图像的综合应用。 一、反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是因变量，定义域是不等于零的一切实数. 要点：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点； （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 二、确定反比例函数的解析式 确定反比例函数解析式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是： 　 （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数解析式 中. 三、反比例函数的图象 (1) 反比例函数的图象Ⅰ 呈现形式 反比例函数 (k≠0)的图象是________ 对称性 它既是关于________对称的中心对称图形，也是轴对称图形，其对称轴为第一、三象限或第二、四象限坐标轴夹角的平分线，即直线y＝x或直线y＝－x (2)反比例函数的图像Ⅱ（画法：列表；描点；连线） 函数 图象 所在象限 y＝(k≠0) k>0 一、三象限 (x，y同号) 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. k<0 二、四象限 (x，y异号) 【即学即练1】下列问题中的两个变量成反比例关系的是（    ） A．正方形的面积与边长之间的关系 B．等边三角形中，周长与边长之间的关系 C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与它的底边长之间的关系 D．当车辆行驶的路程一定，车轮直径与车轮的旋转周数之间的关系 【即学即练2】下列函数一定是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【即学即练3】如果点P在反比例函数的图象上，那么m的值是 ． 【即学即练4】若函数是反比例函数，则 ． 【即学即练5】在同一平面直角坐标系中，分别画出函数与的图象． (1)填写表格： __ __ __ __ (2)根据表格中的对应值为点坐标，在下图中画出函数图象． 【即学即练6】已知反比例函数的图象有一支在第四象限，点在正比例函数的图象上，那么点P在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型1：反比例函数的定义 【典例1】．下列各问题中的两个变量成反比例的是（        ）； A．某人的体重与年龄 B．时间不变时，工作量与工作效率 C．矩形的长一定时，它的周长与宽 D．被除数不变时，除数与商 【典例2】．下列函数中，y是x的反比例函数的是（       ）． A． B． C． D． 【典例3】．在函数y=-1，y=， y=x-1，y=中，y是x的反比例函数的有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2：反比例函数的图像上点的确定 【典例4】．已知反比例函数，则这个函数的图像一定经过（　　） A．(2，1) B．(2，－1) C．(2，4) D． 【典例5】．已知反比例函数的图象过（2，－2）和（－1，n），则n等于（       ） A．3 B．4 C．6 D．12 题型3：求比例系数与待定系数法 【典例6】．若点P（1，3）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，则k的值是（        ） A． B．3 C．- D．-3 【典例7】．已知y与x成反比例，且当时，，则y关于x的函数解析式是（       ） A． B． C． D． 【典例8】．如果双曲线经过点，那么此双曲线也一定经过（       ） A． B． C． D． 【典例9】．反比例函数中，比例系数k的值为（       ） A．3 B． C． D． 【典例10】．如果， ，那么__________． 【典例11】．如果反比例函数的图象经过点，则k的值是（       ） A．1 B． C． D．3 【典例12】．已知y是x的反比例函数，下面表格给出了x与y的一些值，则☆和*所表示的数分别为（       ） x ☆ -1 y 2 * A．6，2 B．-6，2 C．6，-2 D．-6，-4 题型4：根据反比函数的概念求参数 【典例13】．已知函数是关于的反比例函数，则的值为（       ） A．1 B．－1 C． D． 【典例14】．若函数是反比例函数，则m的值为（ ） A．m＝－2 B．m＝1 C．m＝2或m＝1 D．m＝－2或m＝－1 【典例15】．若函数y=（3﹣k）是反比例函数，那么k的值是（　　） A．0 B．3 C．0或3 D．不能确定 题型5：根据复合比例形式求反比例函数的解析式 【典例16】．已知函数 ，且 为 的反比例函数， 为 的正比例函数，且 和 时， 的值都是1，求关于的函数解析式． 【典例17】．已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝3时，，求y关于x的函数解析式． 题型6：反比例函数的图像 【典例18】．先填表，再画出反比例函数的函数图像． x 1 2 3 4 y 【典例19】．分别画出函数和的图象． 【典例20】．已知和是同一个反比例函数图象上的两个点． （1）求m的值； （2）画出这个反比例函数的图象； （3）将A，B两点标在函数图象上． 【典例21】．（1）在所给平面直角坐标系中，画出反比例函数的图象； （2）函数的图象是轴对称图形吗？有几条对称轴？ （3）上述图象的两个分支是否成中心对称，请指出对称中心，并写出两对对称点坐标． 题型7：根据反比例函数的图像求参数 【典例22】．若反比例函数的图象经过点，则a的值为（       ）． A． B． C． D． 【典例23】．已知反比例函数（是常数，）的图像有一支在第四象限，那么的取值范围是__________． 题型8：根据参数范围确定反比例函数的图像 【典例24】．当k＜0，x＞0时，反比例函数y=的图象在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例25】．若直线y＝kbx经过第二、四象限，则函数y=的图象在（        ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、二象限 题型9：反比例函数的图像的综合辨析 【典例26】．对于反比例函数y＝的图象的对称性叙述错误的是(　　) A．关于原点中心对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于直线y＝﹣x对称 D．关于x轴对称 【典例27】．点在反比例函的图象上，则下列说法正确的是（     ） A． B．函数的图象关于对称 C．函数的图象经过点（6，1） D．函数的图象关于原点对称 题型10：反比例函数与正比例函数图像结合 【典例28】．如果，那么函数与在同一坐标系中的图象是（    ） A．   B．   C．  D．   【典例29】．已知函数y＝kx（k≠0）中y随x的增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型11：反比例函数的平移、分段函数 【典例30】．函数y=的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【典例31】．定义新运算：例如：，，则函数，的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【典例32】．定义新运算：a⊕b＝，则函数y＝2⊕x（x≠0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 题型12：解答综合题 【典例33】．下列函数（其中是自变量）中，哪些是反比例函数？哪些不是，为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【典例34】．已知反比例函数的图象经过点A（-2，-3）． (1)求该反比例函数的表达式； (2)判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由． 【典例35】．已知：，并且与成正比例，与成反比例．当x=2时，y=5；当时， (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时的函数值． 【典例36】．如图，直线y＝ax（a＞0）与双曲线交于A，B两点，且点A的坐标为（4，2），点B的坐标为（n，﹣2）． (1)求a，n的值； (2)若双曲线的上点C的纵坐标为8，求△AOC的面积． 【典例37】．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，点的纵坐标为4，反比例函数的图象也经过点；第一象限内的点在这个反比例函数的图象上，过点作轴，交轴于点，且.求：    (1)这个反比例函数的解析式. (2)求点的坐标. (3)直线的函数表达式. 题型13：含绝对值反函数的图像 【典例38】．把下列函数的解析式与其图象对应起来． （1）；（2）；（3）；（4）． A．     B．      C．     D． 一、单选题 1．在函数y=-1，y=， y=x-1，y=中，y是x的反比例函数的有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各点在反比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 3．反比例函数的图象位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．反比例函数中，比例系数k的值为（    ） A．3 B． C． D． 5．下列等式中，a和b成反比例的是（   ） A． B． C． 6．已知y是x的反比例函数，下面表格给出了x与y的一些值，则☆和*所表示的数分别为（    ） x ☆ -1 y 2 * A．6，2 B．-6，2 C．6，-2 D．-6，-4 7．如果反比例函数的图象经过点，则k的值是（    ） A．1 B． C． D．3 8．已知和y成正比例，与z成反比例，那么和z成（   ）． A．正比例 B．反比例 C．既不成正比例，也不成反比例 D．既成正比例也成反比例 9．对于反比例函数y＝的图象的对称性叙述错误的是(　　) A．关于原点中心对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于直线y＝﹣x对称 D．关于x轴对称 10．如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．如果， ，那么 ． 12．若函数是反比例函数，则m的取值为 . 13．已知反比例函数，当时，y= ；当y=2时，x= ； 14．已知y是x的反比例函数，当x=3时，y=9，则函数解析式是 ． 15．已知反比例函数（是常数，）的图像有一支在第四象限，那么的取值范围是 ． 16．如果反比例函数的图象经过点A（2，y1）与B（3，y2），那么的值等于 . 17．若反比例函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是 ． 18．已知直线分别交函数与函数的图像于两点，若在函数图像上存在点，使得恰为等边三角形，则的面积为 . 三、解答题 19．下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？ (1) (2) (3) (4)xy=1 (5) 20．设面积为的三角形的一条边长为，这条边上的高线长为． (1)求h关于a的函数表达式和自变量a的取值范围． (2)h关于a的函数是不是反化例函数？如果是，说出它的比例系数． (3)求当边长时，这条边上的高线长． 21．先填表，再画出反比例函数的函数图像． x 1 2 3 4 y 22．已知和是同一个反比例函数图象上的两个点． （1）求m的值； （2）画出这个反比例函数的图象； （3）将A，B两点标在函数图象上． 23．已知函数y=y1+y2，y1=k1x，（k2≠0），且当x=1时，y=4；当x=2时，y=5． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x=4时，求y的值 24．已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求k的取值范围； (2)当反比例函数过点时，求的值． 25．已知反比例函数，且当时，． (1)求a的值； (2)在图中画出该函数图象． 26．如图为反比例函数的部分图象． (1)由图可知，的取值范围是________，点________（填“在”或“不在”）该反比例函数的图象上； (2)将已知部分的函数图象绕原点顺时针旋转________即可得到未知部分的函数图象． 27．已知在平面直角坐标系中，点在第一象限内，，且，反比例函数的图像经过点A．        (1)当点B的坐标为时（如图1），求这个反比例函数的解析式； (2)当点B也在反比例函数的图像上，且在点A的右侧时（如图2），用m、n的代数式表示点B的坐标；并求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$