第19讲 反比例函数（第2课时）(三类知识点+十大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪教版）

第19讲 反比例函数（第2课时）（十大题型） 学习目标 1、 根据反比例函数的图像总结其性质； 2、 根据反比例函数的性质比较大小、求参数等； 3、 反比例函数图像与性质综合； 4、 反比例函数的几何应用。 一、反比例函数的性质 函数 图象 所在象限 性质 y＝(k≠0) k>0 一、三象限 (x，y同号) 在每个象限内y随x增大而减小 k<0 二、四象限 (x，y异号) 在每个象限内，y随x增大而增大 要点：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 二、反比例函数()中的比例系数的几何意义 过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 要点：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 三、利用反比例函数解决实际问题 ①基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题. ②一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的 系数用字母表示. （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 【即学即练1】下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】反比例函数图像经过、，且，那么的取值范围是 ． 【即学即练3】如果点、在反比例函数的图像上，那么、的大小关系是 ．（用“＜”号连接） 【即学即练4】已知反比例函数的图像上两点、，当时，有，则的取值范围是 ． 【即学即练5】点是反比例函数图像上的一点，轴于点．则的面积为 ． 题型1：根据图像观察并总结反比例函数的性质 【典例1】．已知一个反比例函数的图象经过点． （1）这个函数的图象位于哪些象限？在图象的每一支上，y随x的增大如何变化？ （2）点，，是否在这个函数的图象上？为什么？ 【典例2】．如图，它是反比例函数图象的一支，根据图象，回答下列问题： （1）图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点和点．如果，那么和有怎样的大小关系？ 题型2：根据反比例函数的性质比较大小 【典例3】．在函数 的图像上两点，，则函数值、的大小关系是 ． 【典例4】．函数y＝的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）且x1＜x2，那么下列结论正确的是（    ） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．y1与y2之间的关系不能确定 【典例5】．若点都在反比例函数的图象上，若则的大小关系是 ．（请用“”号连接） 【典例6】．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，大小关系是 ． 题型3：根据反比例函数的性质求参数 【典例7】．若反比例函数在各个象限，y随x增大而减小，则k的取值范围为 ． 【典例8】．已知反比例函数，如果在每个象限内，随自变量的增大而增大，那么的取值范围为 ． 【典例9】．如果反比例函数的图像在每一个象限内随的增大而减小，那么满足的条件是 ． 【典例10】．反比例函数，在图象的每一支上，y随x的增大而减小，则 【典例11】．已知A(1，y1)，B(2，y2)两点在双曲线y上，且y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A．m＜0 B．m＞0 C．m D．m 题型4：反比例函数的图像与性质综合辨析 【典例12】．对于反比例函数，下列结论不正确的是（   　 ） A．图像必经过点 B．y随x的增大而增大 C．图像在第二、四象限内 D．图像关于坐标原点中心对称 【典例13】．对反比例函数，下列说法正确的有 （填序号）①其图象位于第二、四象限；②其图象必过，③其图象关于y轴对称；④若，则． 【典例14】．若点在反比例函数（为常数，）的图象上，则下列有关该函数的说法正确的是（   ） A．该函数的图象经过点 B．该函数的图象位于第一、三象限 C．的值随的增大而增大 D．当时，的值随的增大而增大 题型5：根据反比例函数的增减性求x或y的取值范围 【典例15】．已知反比例函数y＝﹣，当自变量x≤﹣1时，函数值y的取值范围是 ． 【典例16】．已知反比例函，当时，函数的最大值为n，则 ． 【典例17】．已知反比例函数，当时，. (1)求y关于x的函数表达式； (2)当且时，求自变量x的取值范围. 【典例18】．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第二象限内，点在反比例函数的图象上，点、分别在轴、轴上，四边形为正方形，且面积为4． (1)求点的坐标． (2)求反比例函数解析式． (3)当时，的取值范围是________． 【典例19】．已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3） (1)求k的值； (2)此函数图象在 象限，在每个象限内，y随x的增大而 ；（填“增大”或“减小”） (3)判断点B（﹣1，6）是否在这个函数的图象上，并说明理由； (4)当﹣3＜x＜﹣1时，则y的取值范围为 ． 题型6：反比例函数的图像与性质综合应用 【典例20】．已知点（x1，y1），（x2，y2）均在双曲线y＝﹣上，下列说法中错误的是（　　） A．若x1＝x2，则y1＝y2 B．若x1＝﹣x2，则y1＝﹣y2 C．若0＜x1＜x2，则y1＜y2 D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2 【典例21】．已知函数中，在每个象限内，的值随的值增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图像是（    ）． A． B． C．D． 【典例22】．在描述某一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图像上任意一点向x轴、y轴作垂线，与两坐标轴所围成的长方形的面积为2022.”乙同学说：“这个反比例函数在同一个象限内，y的值随着x的值增大而增大.”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是 . 题型7：反比例函数的应用 【典例23】．港珠澳大桥桥隧全长55千米，其中主桥长29.6千米，一辆汽车从主桥通过时，汽车的平均速度 v（千米/时）与时间 t（小时）的函数关系式为（    ） A． B． C．v=29．6t D． 【典例24】．某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，其图像经过点A（如图）．当气球内的气压大于144kPa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，该气球的体积应（    ） A．不大于 B．不小于 C．不大于 D．不小于 【典例25】．某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共同完成需n天，选取6组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例26】．某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（    ） A．11分钟 B．12分钟 C．15分钟 D．20分钟 题型8：反比例函数与正比例函数结合题 【典例27】．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（3，4）． （1）分别写出这两个函数的表达式; （2）你能求出点B的坐标吗？ 【典例28】．在直角坐标系内的位置如图所示，，反比例函数在第一象限内的图像与交于点与交于点． （1）求该反比例函数的解析式及图像为直线的正比例函数解析式； （2）求的长．    【典例29】．如图，直线y＝ax（a＞0）与双曲线交于A，B两点，且点A的坐标为（4，2），点B的坐标为（n，﹣2）． (1)求a，n的值； (2)若双曲线的上点C的纵坐标为8，求△AOC的面积． 题型9：反比例函数中求面积等几何问题 【典例30】．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣相交于A，C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于B点，连接BC，则△ABC的面积等于（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【典例31】．如图，反比例函数的图象上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，的面积为6，则k的值为（    ） A． B．12 C．6 D． 【典例32】．如图．在平面直角坐标系中，的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线相交于点C，且．则k的值为 ． 【典例33】．如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数的图像交于A，C两点与x轴交于B，D两点，连接AC，点A，B对应直尺上的刻度分别为5，2，直尺的宽度，，则点C的坐标是 ． 【典例34】．如图，反比例函数的图象上有一点C，作轴，轴，交函数图象上点A，B，且，，则 ． 【典例35】．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A和点E（6，﹣2）都在反比例函数的图象上，如果∠AOE＝45°，那么直线OA的表达式是 ． 题型10：类反比例函数的图像与性质 【典例36】．参照反比例函数研究的内容与方法，研究下列函数： (1)研究函数：①画出它的图像；②它的图像是什么图形？可看作怎样的图形经过怎样的平移得到？③说明它所具有的性质． (2)研究函数的图像与性质； (3)由（1）（2）的图像经过平移，你还能得出怎样的函数图像与性质，请举例说明； (4)研究函数的图像与性质．  C．     D． 一、单选题 1．已知反比例函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象分别位于第二、四象限内 C．在每个象限内y的值随x的值增大而增大 D．时， 2．在行程问题中，路程千米一定时，速度千米时关于时间小时的函数关系的大致图象是　　 A． B． C． D． 3．若反比例函数图象上有两点，，若，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．已知点，，都在反比例函数的图象上，那么、、的大小关系是（  ） A． B． C． D． 5．已知反比例函数，当时，y的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．若点，在反比例函数的图象上，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 7．如果反比例函数（a是常数）的图象在第一、三象限，那么的取值范围是 ． 8．已知，和，是反比例函数图象上的三个点，则，与的大小关系为 ． 9．对于函数，当，的取值范围是 ． 10．已知，反比例函数的图象在每个分支中y随x的增大而减小，则m的取值范围为 ． 11．如图，若反比例函数的图像经过点，轴于，且的面积为，则 ． 12．反比例函数与正比例函数图象的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为 ． 13．如图，点在反比例函数的图像上，轴于点，轴于点，连接，若的面积为2，则 ． 14．已知三点（a，m）、（b，n）和（c，t）在反比例函数y＝（k＞0）的图像上，若a＜0＜b＜c，则m、n和t的大小关系是 ．（用“＜”连接） 15．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进．但实际上走出的是一个大圆圈，这就是有趣的“瞎转圈”现象，经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y（米）是其两腿迈出的步长之差x（厘米）（）的反比例函数，其图象如图所示．若此人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是 厘米． 16．如图，，是反比例函数的图象上任意两点，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为点，记的面积为，的面积为，则和y的大小关系是： ．（填“”或“”或“"）    17．已知点是反比例函数图象上的三点，若，则，则 0．（填“>”，“<”，“=”） 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，射线与反比例函数的图像交于点，过点作轴的垂线交双曲线于点，过点作轴的垂线交双曲线于点，联结，那么的值是 三、解答题 19．反比例函数． (1)画出反比例函数的图象； (2)观察图象，当时，写出的取值范围． 20．已知反比例函数 (1)如果这个函数的图象经过点，求k的值； (2)如果在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小，求k的取值范围． 21．已知反比例函数y＝的图象经过点A（3，﹣2）． （1）求k的值． （2）点C（x1，y1），B（x2，y2）均在反比例函数y＝的图象上，若0＜x1＜x2，直接写出y1，y2的大小关系． 22．在平面直角坐标系xOy中，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图像上．过点A向x轴作垂线，垂足为C；过点B向x轴作垂线，垂足为D，且CD＝5． （1）求m，n的值，并求出反比例函数的解析式； （2）联结AB、AO、BO，求S△OAB． 23． 如图，已知正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A（2，4）． （1）求正比例函数与反比例函数的解析式． （2）平移直线OA，平移后的直线与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于第一象限的点C（4，n）． ①求直线BC的解析式； ②线段BC的长是______． 24．据医学研究，使用某种抗生素可治疗心肌炎，某一患者按规定剂量服用这种抗生素，已知刚服用该抗生素后，血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成正比例药物浓度达到最高后，血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成反比例，根据图中所提供的信息，回答下列问题：    (1)抗生素服用_______小时时，血液中药物浓度最大，每毫升血液的含药量有____微克； (2)根据图象求出药物浓度达到最高值之后，y与x之间的函数解析式及定义域； (3)求出该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量y． 25．如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标是4．双曲线上有一动点C（m，n）, .过点A作轴垂线，垂足为B，过点C作轴垂线，垂足为D，联结OC． （1）求的值； （2）设的重合部分的面积为S，求S与m的函数关系； （3）联结AC，当第（2）问中S的值为1时，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲 反比例函数（第2课时）（十大题型） 学习目标 1、 根据反比例函数的图像总结其性质； 2、 根据反比例函数的性质比较大小、求参数等； 3、 反比例函数图像与性质综合； 4、 反比例函数的几何应用。 一、反比例函数的性质 函数 图象 所在象限 性质 y＝(k≠0) k>0 一、三象限 (x，y同号) 在每个象限内y随x增大而减小 k<0 二、四象限 (x，y异号) 在每个象限内，y随x增大而增大 要点：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 二、反比例函数()中的比例系数的几何意义 过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 要点：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 三、利用反比例函数解决实际问题 ①基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题. ②一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的 系数用字母表示. （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 【即学即练1】下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图像与反比例函数图像的性质，熟练掌握函数图象的增减性是解题关键． 【解析】A：为一次函数，x取所有实数，∵，∴函数值随自变量的值增大而增大，故选项正确； B：为一次函数，x取所有实数，∵，∴函数值随自变量的值增大而减小，故选项错误； C：为反比例函数，，在内，函数值随自变量的值增大而减小，并且在内，函数值随自变量的值增大而减小，故选项错误； D：为反比例函数，，在内，函数值随自变量的值增大而增大，并且在内，函数值随自变量的值增大而增大，但在从左侧到右侧时不满足条件“函数值随自变量的值增大而增大”，故选项错误； 故选：A． 【即学即练2】反比例函数图像经过、，且，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】直接利用反比例函数的增减性得出，进而求出答案． 【解析】解：∵反比例函数图像经过、，且， ∴每个象限内，随的增大而减小， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的增减性．反比例函数的增减性：当时，函数的图像在第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大；当时，函数的图像在第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小．正确得出关于的不等式是解题关键． 【即学即练3】如果点、在反比例函数的图像上，那么、的大小关系是 ．（用“＜”号连接） 【答案】 【分析】根据反比例函数的增减性求解即可． 【解析】解：∵， ∴反比例函数图象分布在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 【即学即练4】已知反比例函数的图像上两点、，当时，有，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当时，有，可知随的增大而增大，由此可知图像经过第二、四象限，由此即可求解． 【解析】解：∵当时，， ∴随的增大而增大，反比例函数图像经过第二、四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据函数值的大小判断反比例函数图形的位置，掌握根据反比例系数判断反比函数图形的位置是解题的关键． 【即学即练5】点是反比例函数图像上的一点，轴于点．则的面积为 ． 【答案】1 【分析】根据反比例函数k的几何意义即可得到答案． 【解析】解：由题意可得， ， 故答案为1． 【点睛】反比例函数k的几何意义：反比例函数图像上任意一点作坐标轴的垂线围成三角形面积为． 题型1：根据图像观察并总结反比例函数的性质 【典例1】．已知一个反比例函数的图象经过点． （1）这个函数的图象位于哪些象限？在图象的每一支上，y随x的增大如何变化？ （2）点，，是否在这个函数的图象上？为什么？ 【答案】（1）函数的图象位于第二、第四象限，在图象的每一支上，y随x的增大而增大；（2）点B和点C在函数的图象上，因为它们的坐标都满足函数解析式；点D不在这个函数的图象上，因为它的坐标不满足函数解析式． 【分析】（1）设函数关系式为，把点代入即可求出解析式，根据反比例函数的性质得出图象分布的象限；根据反比例函数的性质得出增减性； （2）根据反比例函数的特点可得出，再判断点，点和点是否在反比例函数的图象上． 【解析】解：（1）设函数关系式为， 反比例函数的图象过点， ， ， 这个反比例函数图象分布在第二、四象限；在图象的每一支上，随的增大而增大； （2）∵可化为 又∵，，， ∴点B和点C在函数的图象上，因为它们的坐标都满足函数解析式；点D不在这个函数的图象上，因为它的坐标不满足函数解析式． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求反比例函数的解析式以及反比例函数的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 【典例2】．如图，它是反比例函数图象的一支，根据图象，回答下列问题： （1）图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点和点．如果，那么和有怎样的大小关系？ 【答案】（1）第三象限，；（2）． 【分析】（1）根据反比例函数的性质解答； （2）利用反比例函数的增减项解答 【解析】解：（1）反比例函数的图象只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限．因为这个函数的图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限． 因为这个函数的图象位于第一、第三象限，所以 ， 解得． （2）因为，所以在这个函数图象的任一支上，y都随x的增大而减小，因此当时，． 【点睛】此题考查了反比例函数的性质：当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y随x的增大而增大 题型2：根据反比例函数的性质比较大小 【典例3】．在函数 的图像上两点，，则函数值、的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，由函数解析式可知函数的图像在二、四象限，在各象限内随的增大而增大，根据其增减性即可判断函数值、的大小关系． 【解析】解：， 函数的图像在二、四象限，在各象限内随的增大而增大， ， ， 故答案为：． 【典例4】．函数y＝的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）且x1＜x2，那么下列结论正确的是（    ） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．y1与y2之间的关系不能确定 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质判断即可； 【解析】解：∵函数y＝的比例系数大于0， ∴当x＞0时，函数y＝＞0且递减，当x＜0时，函数y＝＜0且递减， ∵当0＜x1＜x2时，y1＞y2，当 x1＜x2＜0时，y1＞y2，当x1＜0＜x2时，y1＜y2， ∴y1与y2之间的关系不能确定， 故选： D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质：比例系数小于0时，函数的两个分支分布在二、四象限，在每个象限内，y都随x的增大而增大；比例系数大于0时，函数的两个分支分布在一、三象限，在每个象限内，y都随x的增大而减小；掌握其性质是解题关键． 【典例5】．若点都在反比例函数的图象上，若则的大小关系是 ．（请用“”号连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 由，可得函数图象在第一、三象限，在每个象限内，随着的增大而减小，进而得到的大小关系． 【解析】解：， 反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，随着的增大而减小， 又， ，且， ， 故答案为：． 【典例6】．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查比较反比例函数值的大小关系，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，进行判断即可． 【解析】解：∵，， ∴双曲线两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内随着的增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴点A在第三象限，在第一象限， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 题型3：根据反比例函数的性质求参数 【典例7】．若反比例函数在各个象限，y随x增大而减小，则k的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．利用反比例函数的性质判断即可． 【解析】解：反比例函数在每一个象限内，随的增大而减小， ， 故答案为：． 【典例8】．已知反比例函数，如果在每个象限内，随自变量的增大而增大，那么的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据在每个象限内，随自变量的增大而增大，可得，即可求解． 【解析】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限内，且在每个象限内，随自变量的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限内，且在每个象限内，随自变量的增大而增大是解题的关键． 【典例9】．如果反比例函数的图像在每一个象限内随的增大而减小，那么满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，理解反比例函数的图像与性质是解题关键．对于反比例函数，当时，该反比例函数的图像在第一、三象限，且在每一个象限内，函数值随自变量的增大而减小；当时，该反比例函数的图像在第二、四象限，且在每一个象限内，函数值随自变量增大而增大．根据反比例函数的性质可得，再解不等式即可． 【解析】解：∵反比例函数的图像在每一个象限内随的增大而减小， ∴， 解得． 故答案为：． 【典例10】．反比例函数，在图象的每一支上，y随x的增大而减小，则 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质和定义，反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大． 直接利用反比例函数的性质和定义得出且，进而得出的值． 【解析】解：在反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而减少， 且， ， 故答案为：． 【典例11】．已知A(1，y1)，B(2，y2)两点在双曲线y上，且y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A．m＜0 B．m＞0 C．m D．m 【答案】C 【分析】根据已知得，从而得出的取值范围． 【解析】解：点，两点在双曲线上，且， ， ， 的取值范围是， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． 题型4：反比例函数的图像与性质综合辨析 【典例12】．对于反比例函数，下列结论不正确的是（   　 ） A．图像必经过点 B．y随x的增大而增大 C．图像在第二、四象限内 D．图像关于坐标原点中心对称 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质逐个判断即可． 【解析】A. 当x=-1时，y=3，所以图像必经过点（﹣1，3），正确，与题意不符； B.在同一象限内， y随x的增大而增大，错误，与题意相符； C. k=-3<0，图像在第二、四象限内，正确，与题意不符； D.反比例函数图像关于坐标原点中心对称，正确，与题意不符， 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数性质，熟练掌握反比例函数的性质解答本题的关键． 【典例13】．对反比例函数，下列说法正确的有 （填序号）①其图象位于第二、四象限；②其图象必过，③其图象关于y轴对称；④若，则． 【答案】② 【分析】根据反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征即可判断． 【解析】解：①∵k＝6＞0， ∴它的图象在第一、三象限，故错误； ②当x时，y4， ∴图象必过（，4），故正确； ③反比例函数图象关于原点对称，故错误； ④∵k＝6＞0， ∴当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y＞0， ∵当x＝﹣3时，y2， ∴x＞﹣3，则y＜﹣2或y＞0，故错误． 故答案为：②． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键． 【典例14】．若点在反比例函数（为常数，）的图象上，则下列有关该函数的说法正确的是（   ） A．该函数的图象经过点 B．该函数的图象位于第一、三象限 C．的值随的增大而增大 D．当时，的值随的增大而增大 【答案】D 【分析】先把点（-1，2）代入反比例函数（k为常数，k≠0）求出k的值，再根据反比例函数的性质即可判断． 【解析】解：∵反比例函数（k为常数，k≠0）图象经过点（-1，2）， ∴k=-1×2=-2， ∴函数的图象位于第二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大， 故B、C选项说法错误，不合题意； D选项说法正确，符合题意； ∵1×2=2≠k， ∴该函数的图象不经过点（1，2），故A选项说法错误，不合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键． 题型5：根据反比例函数的增减性求x或y的取值范围 【典例15】．已知反比例函数y＝﹣，当自变量x≤﹣1时，函数值y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的图象解答，即可． 【解析】解：∵ ， ∴反比例函数y＝﹣，在每一个象限内， 随 的增大而增大， ∵当x=﹣1时， ， ∴当自变量x≤﹣1时，函数值y的取值范围是 ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握对于反比例函数 ，当k>0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每一个象限，y随x的增大而增大是解题的关键． 【典例16】．已知反比例函，当时，函数的最大值为n，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，当时，在每一个象限内，随的增大而减小；当时，在每一个象限，随的增大而增大．利用反比例函数的性质，由的取值范围并结合反比例函数的图象解答即可． 【解析】解：， 在每个象限内随的增大而减大， 又当时，为最大值． 故答案为：6． 【典例17】．已知反比例函数，当时，. (1)求y关于x的函数表达式； (2)当且时，求自变量x的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）先求得当时，，根据反比例函数的性质即可求解． 【解析】（1）解：∵反比例函数，当时，. ∴ ∴, （2）当时，， ∵的图象在第二、四象限， ∴当且时，或． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，判断反比例函数的增减性，掌握反比例数的图象的性质是解题的关键． 【典例18】．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第二象限内，点在反比例函数的图象上，点、分别在轴、轴上，四边形为正方形，且面积为4． (1)求点的坐标． (2)求反比例函数解析式． (3)当时，的取值范围是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质熟练掌握反比例函数的图象和性质，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质是解决问题的关键． （1）根据正方形面积为4得，即可求解； （2）根据反比例函数比例系数的几何意义得：，即可求解； （3）对于，当时，，根据反比例函数的性质即可求解 【解析】（1）∵四边形为正方形，且面积为4 ∴ ∴ ∴ ∵点在第二象限内， ∴点 （2）∵点在反比例函数的图象上，四边形为正方形，且面积为4 ∴根据反比例函数比例系数的几何意义得： ∵反比例函数的图象在第二、四象限 ∴ ∴ ∴反比例函数解析式为： （3）对于，当时， ∵反比例函数，在每一个象限内，y随x增大而增大，且函数的图象与坐标没有交点 ∴当时， 【典例19】．已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3） (1)求k的值； (2)此函数图象在 象限，在每个象限内，y随x的增大而 ；（填“增大”或“减小”） (3)判断点B（﹣1，6）是否在这个函数的图象上，并说明理由； (4)当﹣3＜x＜﹣1时，则y的取值范围为 ． 【答案】(1)k=6； (2)一、三；减小 (3)点B（﹣1，6）不在这个函数的图象上，理由见解析 (4)﹣6＜y＜﹣2 【分析】（1）利用待定系数法求出k的值即可； （2）利用反比例函数的性质进而得出答案； （3）利用函数图象上点的坐标特点得出即可； （4）利用x的取值范围，得出y得取值范围即可． 【解析】（1）解：∵点A（2，3）在反比例函数y=的图象上， ∴k=2×3=6； （2）解：∵k=6＞0， ∴此函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小； 故答案为：一、三；减小； （3）解：∵k=6， ∴反比例函数的解析式为y=， ∵当x=-1时，y==-6， ∴点B（-1，6）不在这个函数的图象上； （4）解：当-3＜x＜-1时，x=-3时，y=-2；x=-1时，y=-6， 则y的取值范围为：-6＜y＜-2． 故答案为：-6＜y＜-2． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及反比例函数的性质等知识，熟练应用相关性质是解题关键． 题型6：反比例函数的图像与性质综合应用 【典例20】．已知点（x1，y1），（x2，y2）均在双曲线y＝﹣上，下列说法中错误的是（　　） A．若x1＝x2，则y1＝y2 B．若x1＝﹣x2，则y1＝﹣y2 C．若0＜x1＜x2，则y1＜y2 D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2 【答案】D 【分析】先把点A（x1，y1）、B（x2，y2）代入双曲线y＝，用y1、y2表示出x1，x2，据此进行判断． 【解析】解：∵点（x1，y1），（x2，y2）均在双曲线y＝上， ∴y1＝，y2＝． A、当x1＝x2时，＝，即y1＝y2，故本选项说法正确； B、当x1＝﹣x2时，＝，即y1＝﹣y2，故本选项说法正确； C、因为双曲线y＝位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，所以当0＜x1＜x2时，y1＜y2，故本选项说法正确； D、因为双曲线y＝位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，所以当x1＜x2＜0时，y1y2，故本选项说法错误； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质，熟悉掌握反比例函数的图象变化进行比较是解题的关键． 【典例21】．已知函数中，在每个象限内，的值随的值增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图像是（    ）． A． B． C．D． 【答案】A 【分析】首先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，再确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限，即可得到答案． 【解析】解：∵函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴k＜0， ∴双曲线在第二、四象限， ∴函数y=-kx的图象经过第一、三象限， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象的性质与正比例函数图象的性质，图象所在象限受k的影响． 【典例22】．在描述某一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图像上任意一点向x轴、y轴作垂线，与两坐标轴所围成的长方形的面积为2022.”乙同学说：“这个反比例函数在同一个象限内，y的值随着x的值增大而增大.”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是 . 【答案】 【分析】根据反比例函数中k的几何意义可求得|k|，再根据 “这个反比例函数在同一个象限内，y的值随着x的值增大而增大”可判定函数图像在二、四象限，即可判断k的值． 【解析】解：根据题意得， 又∵这个反比例函数在同一个象限内，y的值随着x的值增大而增大， ∴函数图像在二、四象限，即k＜0 ∴k=-2022 故反比例函数的解析式是． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，判断反比例函数的象限、确定k的正负是解答本题的关键． 题型7：反比例函数的应用 【典例23】．港珠澳大桥桥隧全长55千米，其中主桥长29.6千米，一辆汽车从主桥通过时，汽车的平均速度 v（千米/时）与时间 t（小时）的函数关系式为（    ） A． B． C．v=29．6t D． 【答案】D 【分析】先找到要行驶的路程，再由等量关系“速度＝路程÷时间”列出关系式即可． 【解析】解：由主桥长29.6千米，一辆汽车从主桥通过知行驶的路程为29.6千米，得到汽车的平均速度 v（千米/时）与时间 t（小时）的函数关系式为 故选：D 【点睛】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，重点是找出题中的等量关系． 【典例24】．某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，其图像经过点A（如图）．当气球内的气压大于144kPa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，该气球的体积应（    ） A．不大于 B．不小于 C．不大于 D．不小于 【答案】B 【分析】根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，且过点（1，96）故P•V=96；故当P≤144，可判断V≥． 【解析】解：设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为P= ∵图象过点（1，96） ∴k=96， 即P= 在第一象限内，P随V的增大而减小， ∴当P≤144时，V≥． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式． 【典例25】．某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共同完成需n天，选取6组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意建立函数模型可得，即，符合反比例函数，根据反比例函数的图象进行判断即可求解． 【解析】解：依题意， ， ，且为整数． 故选C． 【点睛】本题考查了反比例数的应用，根据题意建立函数模型是解题的关键． 【典例26】．某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（    ） A．11分钟 B．12分钟 C．15分钟 D．20分钟 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求出和时，关于的函数关系式，再求出时，的值，然后结合函数图象即可得出答案． 【解析】解：当时，设， 将点代入得：，解得， 则此时， 当时，设， 将点代入得：， 则此时， 综上，， 当时，，解得， 当时，，解得， 则当时，， 所以此次消毒的有效时间是（分钟）， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键． 题型8：反比例函数与正比例函数结合题 【典例27】．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（3，4）． （1）分别写出这两个函数的表达式; （2）你能求出点B的坐标吗？ 【答案】（1），（2）B（-3，-4） 【分析】（1）根据题意利用待定系数法把x=3，y=4分别代入，左右两边求解即可直接求得函数的解析式； （2）由题意直接把，组成一个方程组，解得x=3，y=4或x=-3，y=-4即可求得B的坐标． 【解析】解：（1）把x=3，y=4分别代入，左右两边，得：4=3k1，， 解得， 所以解析式分别是，； （2）把，组成一个方程组， 解得x=3，y=4或x=-3，y=-4， 则交点坐标是（3，4）、（-3，-4）， 又A（3，4）， 故B的坐标为：（-3，-4）． 【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，理解反比例函数图象的性质是解题的关键，注意（2）也可以利用反比例函数图象关于原点对称进行分析． 【典例28】．在直角坐标系内的位置如图所示，，反比例函数在第一象限内的图像与交于点与交于点． （1）求该反比例函数的解析式及图像为直线的正比例函数解析式； （2）求的长．    【答案】（1）反比例函数解析式为；直线OB的解析式为y=x；（2）BC =3 【分析】（1）将点代入反比例函数解析式中，即可求出k的值，从而求出反比例函数解析式，然后求出点D的坐标，设直线OB的正比例函数解析式为y=ax，将点D的坐标代入即可求出结论； （2）先利用直线OB的解析式求出点B的坐标，从而求出AB，根据点C的坐标即可求出AC，从而求出结论． 【解析】解：（1）将点代入反比例函数解析式中，得 解得：k=8 ∴反比例函数解析式为 将点代入反比例函数解析式中，得 解得：m=2 ∴点 设直线OB的正比例函数解析式为y=ax 将点代入，得 2=4a 解得：a= ∴直线OB的解析式为y=x； （2）∵即轴 ∴点B的横坐标等于点C的横坐标8 将x=8代入y=x中，解得y=4 ∴点B的坐标为（8,4） ∴AB=4 ∵点 ∴AC=1 ∴BC=AB－AC=3 【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合题型，掌握利用待定系数法求反比例函数解析式、正比例函数解析式和坐标与线段长的关系是解题关键． 【典例29】．如图，直线y＝ax（a＞0）与双曲线交于A，B两点，且点A的坐标为（4，2），点B的坐标为（n，﹣2）． (1)求a，n的值； (2)若双曲线的上点C的纵坐标为8，求△AOC的面积． 【答案】(1)， (2)15 【分析】（1）先将点代入直线的解析式可得的值，再根据求出反比例函数的解析式，然后将点代入反比例函数的解析式即可得的值； （2）先求出点的坐标，再过点作轴的垂线交直线于点，根据直线的解析式求出点的坐标，然后根据的面积等于与的面积之和即可得． 【解析】（1）解：将点代入得：，解得， 将点代入得：， 则反比例函数的解析式为， 将点代入得：； （2）解：对于函数， 当时，，即， 如图，过点作轴的垂线交直线于点， 则点的横坐标为1， 由（1）可知，直线的解析式为， 当时，，即， ， ，的边上的高为1，的边上的高为， 则的面积为． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键． 题型9：反比例函数中求面积等几何问题 【典例30】．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣相交于A，C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于B点，连接BC，则△ABC的面积等于（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】设A点坐标为（），则C点坐标为（），利用坐标求面积即可． 【解析】解：∵正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣相交于A，C两点， ∴A，C两点关于原点对称，设A点坐标为（），则C点坐标为（）， S△ABC=， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义和对称性，解题关键是通过设坐标求三角形面积． 【典例31】．如图，反比例函数的图象上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，的面积为6，则k的值为（    ） A． B．12 C．6 D． 【答案】A 【分析】设P的坐标是（m，n），则mn=k，PA=-n，△ABP中，AP边上的高是|m|=m，根据△PAB的面积即可求解． 【解析】解：设P的坐标是（m，n），则mn=k， PA=-n，△ABP中，AP边上的高是m， ∵△PAB的面积为6， ∴m(-n)=6， ∴， ∴k=mn=-12． 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|． 【典例32】．如图．在平面直角坐标系中，的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线相交于点C，且．则k的值为 ． 【答案】-3 【分析】设，根据，可得，利用的面积为，列出方程即可求解． 【解析】解：与双曲线相交于点C，设， ， ，即， 的面积为， ， 解得， 故答案为：-3． 【点睛】本题考查求反比例函数表达式，对于反比例函数问题，抓住反比例函数图象上的点的坐标是解决问题的关键． 【典例33】．如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数的图像交于A，C两点与x轴交于B，D两点，连接AC，点A，B对应直尺上的刻度分别为5，2，直尺的宽度，，则点C的坐标是 ． 【答案】(6，2) 【分析】首先根据点、对应直尺上的刻度分别为5、2，．，即可求得的坐标，，的坐标，，关键是根据面积列出关于的方程，求出，即可求得的坐标． 【解析】解：直尺平行于轴，、对应直尺的刻度为5、2，且， 则的坐标为，，则的坐标为， ，， ， 又， ， ， ， 的坐标为 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，解题的关键是掌握反比例函数图像上点的坐标特征、比例系数的几何意义；熟练运用几何图形的面积的和差计算不规则的图形的面积． 【典例34】．如图，反比例函数的图象上有一点C，作轴，轴，交函数图象上点A，B，且，，则 ． 【答案】4 【分析】设，由，，则，，，，然后根据建立方程，得出C的横坐标和纵坐标的关系，再根据C在反比例函数，即可求出C的坐标，代入即可求得k的值． 【解析】解：设， 则，，，， ∵， ∴， ∴， 又∵C在反比例函数，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的特征，根据反比例函数图象上的点的横坐标与纵坐标之积为常数，列出方程是解答本题的关键． 【典例35】．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A和点E（6，﹣2）都在反比例函数的图象上，如果∠AOE＝45°，那么直线OA的表达式是 ． 【答案】 【分析】将OE顺时针旋转90°，得到OD，连接DE，交OA于F，即可求得D的坐标，进而求得F的坐标，先求得反比例函数的解析式，然后求得直线DE的解析式，进而求得直线OA的解析式． 【解析】解：如图，将OE顺时针旋转90°，得到OD，连接DE，交OA于F，作DM⊥y轴于M，作EN⊥x轴于N，由旋转可知，∠DOE=∠MON，OD=OE， ∴∠DOM=∠EON， ∴△DOM≌△EON， ∴OM=ON，DM=EN， ∵点E（6，﹣2）， ∴D（﹣2，﹣6）， ∵∠AOE＝45°， ∴∠AOD＝45°， ∵OD＝OE， ∴OA⊥DE，DF＝EF， ∴F（2，﹣4）， 设直线OA的解析式为y＝mx， 把F的坐标代入得，﹣4＝2m，解得m＝﹣2， ∴直线OA的解析式为y＝﹣2x， 故答案为y＝﹣2x． 【点睛】本题考查了反比例函数，全等三角形的判定与性质，待定系数法求解析式，解题关键是恰当作辅助线，构建全等三角形求点的坐标． 题型10：类反比例函数的图像与性质 【典例36】．参照反比例函数研究的内容与方法，研究下列函数： (1)研究函数：①画出它的图像；②它的图像是什么图形？可看作怎样的图形经过怎样的平移得到？③说明它所具有的性质． (2)研究函数的图像与性质； (3)由（1）（2）的图像经过平移，你还能得出怎样的函数图像与性质，请举例说明； (4)研究函数的图像与性质． 【答案】(1)①见解析；②双曲线，向上平移1个单位得到；③见解析； (2)见解析； (3)见解析； (4)见解析 【分析】（1）①利用描点法画出函数图像，即可求解；②观察图像，可得它的图像是双曲线，可看作双曲线向上平移1个单位得到；③观察图像，即可求解； （2）根据题意可得函数的图像是双曲线，可看作是双曲线向左平移3个单位得到，即可求解； （3）根据题意可得，即可求解； （4）根据题意可得函数=，即可求解． 【解析】（1）解∶ ①列表如下∶ x …… -2 -1 1 2 …… y …… 0.5 0 -1 -2 4 3 2 1.5 …… 画出图象，如下： ②它的图像是双曲线，可看作双曲线向上平移1个单位得到； ③图像的两个分支在y轴两侧，在每一侧，y随x的增大而减小；图像的两支都无限接近于直线y=1和x=0，但不会与它们相交； （2）解：函数的图像是双曲线，可看作是双曲线向左平移3个单位得到；图像的两个分支在直线x=-3的两侧，在每一侧y随x的增大而减小，图像的两支都无限接近于直线y=0和x=-3，但不会与它们相交； （3）解：； （4）解：函数==，它的图像是双曲线，可看作双曲线向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到； 图像的两个分支在直线x=2的两侧，在每一侧y随x的增大而减小，图像的两支都无限接近于直线y=4和x=2，但不会与它们相交． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图形和性质，熟练掌握反比例函数的图形和性质，利用类比思想和数形结合思想解答是解题的关键． 一、单选题 1．已知反比例函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象分别位于第二、四象限内 C．在每个象限内y的值随x的值增大而增大 D．时， 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质逐一判断即可． 【解析】因为， 所以A正确，不符合题意； 因为反比例函数， 所以图象分别位于第二、四象限内；在每个象限内y的值随x的值增大而增大； 所以B、C正确，不符合题意； 当时，或， 所以D错误，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的基本性质是解题的关键． 2．在行程问题中，路程千米一定时，速度千米时关于时间小时的函数关系的大致图象是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据路程速度时间列出函数关系式，根据相应的函数关系式画出图象． 【解析】解：根据题意得， ， ， 由于s一定， 速度千米时是时间小时的反比例函数， 由于． 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用及反比例函数的图象，要注意实际问题中自变量的取值范围． 3．若反比例函数图象上有两点，，若，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】将点，代入反比例函数得出：，，再代入求值即可． 【解析】解：将点，代入反比例函数得出：，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数解析式和分式的加减，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 4．已知点，，都在反比例函数的图象上，那么、、的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断出是正数，再根据反比例函数图象的性质，比例系数时，函数图象位于第一三象限，在每一个象限内随的增大而减小判断出、、的大小关系，然后即可选取答案． 【解析】解：， ，是正数， 反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每一个象限内随的增大而减小， ，，都在反比例函数图象上， ，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，对于反比例函数，时，反比例函数图象在一、三象限；时，反比例函数图象在第二、四象限内，本题先判断出比例系数是正数是解题的关键． 5．已知反比例函数，当时，y的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出当x=−2与x=−1时相应的函数值，根据反比例函数的性质即可确定y的取值范围． 【解析】当x=−2，；当x=−1时，； ∵k=10>0， ∴在第二象限内随自变量的增大而减小， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握这一知识是解题的关键． 6．若点，在反比例函数的图象上，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据反比例函数的图象和性质，逐项进行判断即可． 【解析】解：A．∵时，，， 又∵， ∴在第四象限，在第二象限， ∴，， ∴，故A错误； B．∵时，，， 又∵， ∴在第四象限，在第二象限， ∴，， ∴； ∵当时，，，且， 又∵， ∴y随x的增大而增大， ∴； 综上分析可知，当时，可能，也可能，故B错误； C．∵时，，，且， 又∵， ∴y随x的增大而增大， ∴，故C正确； D．∵时，，，且， 又∵， ∴y随x的增大而增大， ∴，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数，当时，在每个象限内y随x的增大而减小；当时，在每个象限内y随x的增大而增大． 二、填空题 7．如果反比例函数（a是常数）的图象在第一、三象限，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，得到，即可得到答案. 【解析】解：∵反比例函数（是常数）的图象在第一、三象限， ∴， ∴； 故答案为：. 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质进行解题. 8．已知，和，是反比例函数图象上的三个点，则，与的大小关系为 ． 【答案】/ 【分析】将点代入函数，求出y的值，然后比较大小. 【解析】解：∵，， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查反比例函数坐标特点，解题的关键是由反比例函数确定函数值即可. 9．对于函数，当，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】当时，，根据函数的图象和性质即可求解． 【解析】解：当时，， 则于函数，图象在第一、三象限内，在每个象限内,y随x的增大而减小， ∴当，的取值范围是：， 当时，的取值范围是：． 故答案为：或 【点睛】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 10．已知，反比例函数的图象在每个分支中y随x的增大而减小，则m的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】根据反比函数图像在每个象限内y的值随x的值增大而减小，可知范围，据此求解即可． 【解析】解：∵反比例函数的图象在每个分支中y随x的增大而减小， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的增减性，解题的关键在于熟知对于反比例函数，当时，在每一象限内，y随x增大而减小，当时，在每一象限内，y随x增大而增大． 11．如图，若反比例函数的图像经过点，轴于，且的面积为，则 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题． 【解析】解：∵反比例函数的图像经过点，， ∴设， ∴， ∵反比例函数的图像在第二象限， ∴，，则， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数的基本知识． 12．反比例函数与正比例函数图象的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，即可求解. 【解析】 解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图象的中心对称性，根据已知得出反比例函数与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称是解题关键． 13．如图，点在反比例函数的图像上，轴于点，轴于点，连接，若的面积为2，则 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义代入求解即可；点在反比例函数的图像上，轴于点，轴于点，连接，则． 【解析】解：依题意得， ， ， 的图像在第二象限， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义；熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 14．已知三点（a，m）、（b，n）和（c，t）在反比例函数y＝（k＞0）的图像上，若a＜0＜b＜c，则m、n和t的大小关系是 ．（用“＜”连接） 【答案】 【分析】先画出反比例函数y＝（k＞0）的图象，在函数图象上描出点（a，m）、（b，n）和（c，t），再利用函数图象可得答案. 【解析】解：如图，反比例函数y＝（k＞0）的图像在第一，三象限， 而点（a，m）、（b，n）和（c，t）在反比例函数y＝（k＞0）的图像上，a＜0＜b＜c， 即 故答案为： 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，掌握“利用数形结合比较反比例函数值的大小”是解本题的关键. 15．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进．但实际上走出的是一个大圆圈，这就是有趣的“瞎转圈”现象，经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y（米）是其两腿迈出的步长之差x（厘米）（）的反比例函数，其图象如图所示．若此人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是 厘米． 【答案】0.4 【分析】设反比例函数解析式y=，将（2，7）代入，求出解析式，再求当y=35时，x的值即可． 【解析】解：设反比例函数解析式y= 如图可知，图象经过点（2，7） 将（2，7）代入解析式，得7=，解得k=14 ∴反比例函数解析式为y= 当y=35时，35=，解得x=0.4 故答案为：0.4． 【点睛】本题考查求反比例解析式以及求自变量的值，能从图象中获取所需信息和正确地计算能力是解决问题的关键． 16．如图，，是反比例函数的图象上任意两点，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为点，记的面积为，的面积为，则和y的大小关系是： ．（填“”或“”或“"）    【答案】= 【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即即可得出结论 【解析】解：根据反比例函数的系数的几何意义可得：S1=S2= 故答案是：=． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 17．已知点是反比例函数图象上的三点，若，则，则 0．（填“>”，“<”，“=”） 【答案】< 【分析】由反比例函数的性质及题意可得反比例函数的图像在二、四象限，当，则，可得，进而可求解． 【解析】解：由反比例函数可得：，反比例函数的图像在二、四象限，且y随x的增大而增大， ∵点是反比例函数图象上，且当，则， ∴， ∴； 故答案为<． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，射线与反比例函数的图像交于点，过点作轴的垂线交双曲线于点，过点作轴的垂线交双曲线于点，联结，那么的值是 【答案】1 【分析】求出的直线解析式，联立，求出，，过点作交于点，交于点，则，，分别求出，，，，即可求，，再求即可． 【解析】解：设的解析式为， ， ， ， 联立， 解得， ，， 过点作交于点，交于点， ，， ，，，， ， ， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象及性质． 三、解答题 19．反比例函数． (1)画出反比例函数的图象； (2)观察图象，当时，写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或． 【分析】（1）列表、描点、连线画出函数图象即可； （2）根据图象即可求解． 【解析】（1）解：反比例函数． 列表： x 1 2 4 y 4 2 1 描点、连线，反比例函数的图象如图， ； （2）解：由图象可知，当时，自变量x的取值范围是或． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 20．已知反比例函数 (1)如果这个函数的图象经过点，求k的值； (2)如果在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入反比例函数解析式即可求出k值； （2）由这个函数图象所在的每个象限内y的值随x的值增大而减小，可确定，进而可得k的取值范围． 【解析】（1）1）把点（k，—1）代入，得， ∴． （2）∵在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小， ∴ 解得：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的解析式以及图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 21．已知反比例函数y＝的图象经过点A（3，﹣2）． （1）求k的值． （2）点C（x1，y1），B（x2，y2）均在反比例函数y＝的图象上，若0＜x1＜x2，直接写出y1，y2的大小关系． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数的解析式即可得； （2）根据反比例函数的增减性即可得． 【解析】解：（1）由题意，将点代入得：， 解得； （2）由（1）得：反比例函数的解析式为， 在每一象限内，随的增大而增大， 均在反比例函数的图象上，且， ． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解题关键． 22．在平面直角坐标系xOy中，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图像上．过点A向x轴作垂线，垂足为C；过点B向x轴作垂线，垂足为D，且CD＝5． （1）求m，n的值，并求出反比例函数的解析式； （2）联结AB、AO、BO，求S△OAB． 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）将点A（m，6），B（n，1）代入反比例函数，得到的关系，再根据得到，求解即可； （2）过点作轴，并反向延长交的延长线于点，为正方形面积减去三个直角三角形的面积，即可求解． 【解析】解：（1）点A（m，6），B（n，1）在反比例函数y＝ ∴，，化简得 由题意可得，，则 ∴，解得， ，即反比例函数解析式为 故答案为，， （2）过点作轴，并反向延长交的延长线于点，如下图： 由题意可得：， ∴ 故答案为 【点睛】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质． 23． 如图，已知正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A（2，4）． （1）求正比例函数与反比例函数的解析式． （2）平移直线OA，平移后的直线与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于第一象限的点C（4，n）． ①求直线BC的解析式； ②线段BC的长是______． 【答案】（1）正比例函数的解析式为y=2x，反比例函数的解析式为y=；（2）①y=2x-6；②． 【分析】（1）将点A的坐标分别代入y=kx与y=，即可得出正比例函数与反比例函数的解析式； （2）①利用已知的反比例函数的解析式，可得出n的值；设平移后的一次函数解析式，代入点C的坐标，即可得出直线BC的解析式； ②先求出点B的坐标，再利用两点间的距离公式，即可得出线段BC的长． 【解析】解：（1）∵正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A（2，4）， ∴4=2k，4=， 解得：k=2，m=8， ∴正比例函数的解析式为y=2x，反比例函数的解析式为y=； （2）①∵点C（4，n）在反比例函数y=的图象上， ∴n==2， 即点C的坐标为（4，2）． ∵AO∥BC， ∴可设直线BC的解析式为y=2x+b， 又点C（4，2）在直线BC上， ∴2=2×4+b， 解得b=-6， 即直线BC的解析式为y=2x-6； ②∵直线BC与x轴交于点B， ∴当y=0时，0=2x-6， 解得x=3， ∴点B的坐标为（3，0）， ∵C（4，2）， ∴BC==． 故答案为． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，一次函数图象与几何变换，函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式．难度适中． 24．据医学研究，使用某种抗生素可治疗心肌炎，某一患者按规定剂量服用这种抗生素，已知刚服用该抗生素后，血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成正比例药物浓度达到最高后，血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成反比例，根据图中所提供的信息，回答下列问题：    (1)抗生素服用_______小时时，血液中药物浓度最大，每毫升血液的含药量有____微克； (2)根据图象求出药物浓度达到最高值之后，y与x之间的函数解析式及定义域； (3)求出该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量y． 【答案】(1)4，6 (2) (3)当时， 【分析】（1）由图象找到图象的最高点即可回答； （2）设，把点代入得，由于从4小时后开始下降，得到，即可得到答案； （3）求出当时的函数值即可得到答案． 【解析】（1）解：由图象可知抗生素服用4小时时，血液中药物浓度最大，每毫升血液的含药量有6微克； 故答案为：4,6； （2）解：∵血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成反比例， ∴可设， 把点代入得，，解得， 又∵从4小时后开始， ∴， 故y与x之间的函数解析式为； （3）当时，， ∴该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法和求函数值是解题的关键． 25．如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标是4．双曲线上有一动点C（m，n）, .过点A作轴垂线，垂足为B，过点C作轴垂线，垂足为D，联结OC． （1）求的值； （2）设的重合部分的面积为S，求S与m的函数关系； （3）联结AC，当第（2）问中S的值为1时，求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）由题意列出关于k的方程，求出k的值，即可解决问题． （2）借助函数解析式，运用字母m表示DE、OD的长度，即可解决问题． （3）首先求出m的值，求出△COD，△AOB的面积；求出梯形ABDC的面积，即可解决问题． 【解析】（1）设A点的坐标为（4，）； 由题意得：，解得：k=8， 即k的值为8． （2）如图，设C点的坐标为C（m，n）． 则n=m，即DE=m；而OD=m， ∴S=OD•DE=m×m=m2， 即S关于m的函数解析式是S=m2． （3）当S=1时，m2=1，解得m=2或-2（舍去）， ∵点C在函数y=的图象上， ∴CD==4； 由（1）知：OB=4，AB=2；BD=4-2=2； ∴S梯形ABDC＝ (4+2)×2=6， S△AOB＝×4×2＝4， S△COD＝×2×4=4； ∴S△AOC=S梯形ABDC+S△COD-S△AOB=6+4-4=6． 【点睛】该题主要考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题；解题的关键是数形结合，灵活运用方程、函数等知识来分析、判断、求解或证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 46 页 学科网（北京）股份有限公司 $$