21.2 二次函数图像与性质 同步练习 2024-2025学年 沪科版九年级上册

21..2二次函数图像与性质 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．已知二次函数的图象开口向下，则的取值范同是（　　） A． B． C． D． 2．顶点为且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是（     ） A． B． C． D． 3．若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（　　） A． B． C． D． 4．已知二次函数的图象与轴交于点，顶点在第三象限，设，则的最小整数解是（    ） A．－4 B．－3 C．2 D．3 5．二次函数的图象开口向上，与x轴的交点坐标为和，下列说法正确的是（　　） A． B．时，y的值随x值增大而减小 C．对称轴是直线 D． 6．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则二次函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线的图象．如图所示，则下列结论中，正确的有（    ） ①；②； ③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（     ） ①；②抛物线的顶点坐标为； ③；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（是常数，且）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，得到的新图像与直线有个交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知点在二次函数的图象上，那么 （填“”、“”、“”）． 12．二次函数的图象上有两点，，则此抛物线的对称轴是直线 ． 13．在平面直角坐标系中，若将抛物线向上平移个单位后的抛物线与x轴只有一个交点，则的值为 ． 14．已知函数（为常数）. （1）该函数的图象与轴公共点的个数是 . （2）当时，该函数图象的顶点纵坐标的取值范围 . 三、解答题（本大题共9小题，15-18每题8分，19-20每题10分，21-22每题12分，23题14分，满分90分） 15．已知二次函数，当时，，时，． (1)求a，c的值． (2)当时，求函数y的值． 16．已知抛物线的顶点坐标为，求抛物线与轴的交点坐标． 17．二次函数的图象经过点．请用配方法求出该二次函数图象的顶点坐标． 18．如图，利用函数的图象，解决下列问题：      (1)当随x的增大而减小时，x的取值范围是_______； (2)当时，的取值范围是_______； (3)当时，x的取值范围是_______． 19．如图，顶点的抛物线与直线相交于A，B两点，且点A在x轴上，连接，． (1)求点A的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式； (2)求点B的坐标． 20．已知函数 (1)点P（2，2）在此函数的图象上． ①求n的值． ②求此函数的图象与y轴的交点． (2)当n = 1时，此函数的最大值为 ． 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点． (1)求的值及B，C两点坐标； (2)为第一象限内抛物线上的一个点，过点作轴于点，交于点．当线段的长取最大值时，求点的坐标； 22．如图，已知正方形的边长为，分别为边上的点，且． (1)设，的面积为，求关于的函数解析式． (2)当为多少时，的面积能够取得最大值，最大值是多少？ 23．如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21..2二次函数图像与性质 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．已知二次函数的图象开口向下，则的取值范同是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数中，当时开口向下，当时开口向下 ，据此解答即可． 【详解】解： ∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴， 故答案为：D． 2．顶点为且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数图象与系数的关系，熟记抛物线中，值确定抛物线的开口方向和抛物线的形状是解题的关键．根据抛物线的形状开口方向和抛物线的形状与值有关，利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点为，且开口方向，形状与函数的图象相同， 这个二次函数的解析式为． 故选：A． 3．若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据“当开口方向向上时，离着对称轴越远的点的纵坐标越大”即可作答． 【详解】解：抛物线解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当点离着对称轴越远，对应点的纵坐标越大， 点离着对称轴最远，其次是点，点离着对称轴最近， ． 故选：C． 4．已知二次函数的图象与轴交于点，顶点在第三象限，设，则的最小整数解是（    ） A．－4 B．－3 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 先把点代入，求得，则，，根据二次函数的图象顶点在第三象限，则，解得，则，即可求解． 【详解】解：把点代入，得 ， ∴， ∴， ∴， ∵二次函数的图象顶点在第三象限， ∴， ∴， ∴， ∴的最小整数解是3． 故选：D． 5．二次函数的图象开口向上，与x轴的交点坐标为和，下列说法正确的是（　　） A． B．时，y的值随x值增大而减小 C．对称轴是直线 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，可根据题意画出大致图象，根据图象和性质逐项分析判断即可． 【详解】解：由题意可得二次函数的图象大致如图所示： A．由题意可知，抛物线与x轴有两个不同的交点和，所以，因此选项A不符合题意； B．由二次函数的图象可知，当时，y的值随x值增大而增大，因此选项B不符合题意； C．抛物线的对称轴为直线，因此选项C不符合题意； D．当时，，所以二次函数的图象过点，由图象可知，因此选项D符合题意． 故选：D． 6．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则二次函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数和一次函数图像，二次函数的性质，观察图像可知：，，，得出二次函数的图像开口向上，对称轴，与y轴的交点在y轴的负半轴，即可得出答案． 【详解】解：一次函数的图象过第一、二、四象限， ∴， ∴对称轴， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴二次函数的图象与y轴交于负半轴． 满足上述条件的函数图象只有A选项， 故选：A. 7．已知抛物线的图象．如图所示，则下列结论中，正确的有（    ） ①；②； ③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于x轴负半轴，与x轴有2个交点， ∴，， ∴，，故②正确； ∴，故①错误； 当时，，故③正确； ∵， ∴，即，故④正确； 当时，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故⑤正确； 故选：D． 8．已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（     ） ①；②抛物线的顶点坐标为； ③；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系、根的判别式、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，由有两实根，，可得，即可得，故可判断①又抛物线的对称轴是直线，进而抛物线的顶点为c)，再结合，可得，故可判断②；依据题意可得，又，进而可得，从而可以判断③；由，故，即对于函数，当时的函数值小于当时的函数值，再结合，抛物线的对称轴是直线，从而根据二次函数的性质即可判断④． 【详解】解：由题意，∵有两实根， ． ∴得，． ∴，故①正确． ， ∴抛物线的对称轴是直线． ∴抛物线的顶点为． 又， ∴，即． ∴． ∴． ∴顶点坐标为，故②正确． ∵， ∴． 又， ， ∴，故③错误． ， ， ∴对于函数，当时的函数值小于当时的函数值． ∵，抛物线的对称轴是直线， 又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， ， ， ∴，故④错误． 综上，正确的有①②共2个． 故选：B． 9．在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（是常数，且）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像性质，利用待定系数法和根的判别式建立方程求出二次函数解析式作出图像是解题的关键，根据完美点只有一个得到判别式等于0，再根据完美点为，可建立a，b的方程组，解方程组即可得到函数的解析式，画出函数的图形即可得到答案． 【详解】解：当时，， 整理得， 根据题意得， ∵二次函数经过点， ∴， 整理得， 解方程组得， ∴函数的解析式为：， 整理得：， 函数的图像如下： ∵时，时，解得或，当时，， ∴， 故选：B． 10．将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，得到的新图像与直线有个交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与轴的交点：把求二次函数（、、是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时的值和当直线与抛物线有唯一公共点时的值，即可得解．掌握抛物线与轴交点坐标的求法及抛物线与直线交点坐标的求法是解题的关键．也考查了二次函数图像与几何变换． 【详解】解：对抛物线， 当时，得：， 解得：或， ∴抛物线与轴的交点为、， ∵将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变， ∴新图像中当时，解析式为，即，如图， 当直线经过点时，此时直线与新函数图像有个交点， 把代入直线，解得：， 将直线向下平移时，有个交点， 当与直线有一个交点时，此时直线与新函数图像有个交点， 整理得：， ∴， 解得：， 综上所述，新图像与直线有个交点时，的取值范围是． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知点在二次函数的图象上，那么 （填“”、“”、“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为轴， 当时，随的增大而减小， 点在二次函数的图象上，， ． 故答案为：． 12．二次函数的图象上有两点，，则此抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的对称性，掌握抛物线上函数值相等的点关于抛物线对称轴对称是解题的关键．根据抛物线上函数值相等的点关于抛物线对称轴对称可求得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，， ∴该抛物线的对称轴是直线 故答案为： 13．在平面直角坐标系中，若将抛物线向上平移个单位后的抛物线与x轴只有一个交点，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数图象的平移、二次函数与轴的交点问题，根据二次函数的平移法则得出平移后的抛物线的解析式为，再根据根的判别式的意义得出，计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：将抛物线向上平移个单位后的抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴， 解得：， 故答案为：． 14．已知函数（为常数）. （1）该函数的图象与轴公共点的个数是 . （2）当时，该函数图象的顶点纵坐标的取值范围 . 【答案】 1或2 【分析】（1）令，则先判断根的判别式的取值范围，确定与轴公共点的个数即可； (2)把顶点纵坐标看成关于m的二次函数,然后根据二次函数图象性质,在范围内求出顶点坐标纵坐标的最大值和最小值,即可求解． 【详解】（1）令，则 ∵ ∴函数的图象与轴公共点的个数是1或2， 故答案为：1或2； （2）∵的顶点坐标为 , 设函数, 当时,有最小值为0, 当时,随m的增大而减小,当时,k随m的增大而增大, 当时,,当时,, ∴当时,该函数图象的顶点纵坐标的取值范围是. 故答案为： 【点睛】本题考查二次函数和一元二次方程的关系，二次函数的顶点取值范围，利用数形结合的思想方法是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，15-18每题8分，19-20每题10分，21-22每题12分，23题14分，满分90分） 15．已知二次函数，当时，，时，． (1)求a，c的值． (2)当时，求函数y的值． 【答案】(1)(2)21 【分析】本题考查求二次函数解析式，求函数值； （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）将代入解析式，求出函数y的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，解得：， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∴当时，． 16．已知抛物线的顶点坐标为，求抛物线与轴的交点坐标． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键． 根据抛物线的顶点坐标为，即可得到，令，求出y的值即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ， 令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 17．二次函数的图象经过点．请用配方法求出该二次函数图象的顶点坐标． 【答案】 【分析】先将点代入，解得b的值，再将二次函数配方，写成顶点式即可得出顶点坐标． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ， ， ． ∴该二次函数图象的顶点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质及配方法是解题的关键． 18．如图，利用函数的图象，解决下列问题：      (1)当随x的增大而减小时，x的取值范围是_______； (2)当时，的取值范围是_______； (3)当时，x的取值范围是_______． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握数形结合的数学思想是解题关键． （1）根据图象求出对称轴即可求解； （2）求出当时，的最大值和最小值即可求解； （3）求出时的的值，即可求解． 【详解】（1）解：由图象可得： 函数的对称轴为：直线 ∵抛物线开口向上， ∴当时，随x的增大而减小； 故答案为：； （2）解：当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，； 故答案为：； （3）解：由图象可知，当时，； 再由对称性可知，当时，； ∴当时，或． 故答案为：或． 19．如图，顶点的抛物线与直线相交于A，B两点，且点A在x轴上，连接，． (1)求点A的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式； (2)求点B的坐标． 【答案】(1)点A的坐标是， (2)点B的坐标为 【分析】本题考查了一次函数与抛物线的交点问题，用待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标问题，二次函数图像上点的坐标特征等知识点，能求出点A的坐标是解此题的关键． （1）先根据一次函数的解析式求出点A的坐标，设顶点为的抛物线的解析式为，把点A的坐标代入求出a即可； （2）解两函数解析式组成的方程组，即可求出点B的坐标． 【详解】（1）由， 得当时，， 所以点A的坐标是， 设顶点为的抛物线的解析式为， 点在抛物线上，， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）联立， 得：，， 点A的坐标是， 点B的坐标为． 20．已知函数 (1)点P（2，2）在此函数的图象上． ①求n的值． ②求此函数的图象与y轴的交点． (2)当n = 1时，此函数的最大值为 ． 【答案】(1)①n = 2；②（0，1） (2)1 【分析】（1）①根据点P的横坐标比1大，将点P代入即可求得n的值． ②根据当图象与y轴有交点时，x值为0；将x = 0代入求出y值，即可得出交点坐标． （2）当n = 1分别代入两个函数表达式中，求出各自表达式的最大值，最后两者取最大值即可． 【详解】（1）①解：∵在点P（2，2）中，x ≥ 1 ∴将点P（2，2）代入函数 中得 解得 ②解：求此函数的图象与y轴的交点，即求当时，函数图象与y轴的交点． ∵当 时，函数表达式为 ∴当， ∴此函数的图象与y轴的交点为(0，1)． （2）解：当n = 1时，函数表达式为 当 时，将函数表达式 转为顶点式为． ∴函数对称轴为 ，在右侧，函数图象随x的增大而减小． ∴当x = 1时，函数有最大值，最大值为 ，解得． ∴当 时，函数有最大值1． 当 时，将函数表达式 转为顶点式为． ∴函数对称轴为． ∴当，函数有最大值，最大值为 ，解得． ∴当n = 1时，此函数的最大值为1． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据x值的取值判断函数表达式和用顶点式求函数最大值是解本题的关键． 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点． (1)求的值及B，C两点坐标； (2)为第一象限内抛物线上的一个点，过点作轴于点，交于点．当线段的长取最大值时，求点的坐标； 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据该抛物线的对称轴是直线，结合对称轴的公式即可求出b的值，从而得出抛物线解析式，进而即可求出B，C两点坐标； （2）先利用待定系数法可求出直线的解析式为．设，则，则可求出．再根据为第一象限内抛物线上的一个点，即得出，从而可求出当时，有最大值，进而得出． 【详解】（1）解：∵对称轴， 得， ∴抛物线的解析式为：． 当时，， 解得，， ∴． 当时，， ∴． （2）解：设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为． 设，则， 则 ． ∵为第一象限内抛物线上的一个点， ∴， ∴当时，的值最大，最大值为3， 此时， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数与一次函数的综合．利用数形结合的思想是解题关键． 22．如图，已知正方形的边长为，分别为边上的点，且． (1)设，的面积为，求关于的函数解析式． (2)当为多少时，的面积能够取得最大值，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，的面积最大，最大值为 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，函数表达式及二次函数最值的计算，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数最值的计算方法是解题的关键． （1）根据题意可证，用含x的式子表示出，，再根据即可求解； （2）将（1）中二次函数解析式的一般式变为顶点式，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，且，， ∵ ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∴当时，的面积最大，最大值为． 23．如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是定值，． 【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象的交点问题、一元二次方程根与系数关系等知识，准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出，再根据平移规律即可求出抛物线的表达式； （2）设点P的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，联立与得到，解得，即可求出答案； （3）由（1）可得，，与联立得到，求出点C的坐标为，又由点M的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式为，与联立得到，则，得到，即可得到，得到定值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴， 解得， ∴， ∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线， ∴ 即 （2）解：设点P的坐标为，设直线的解析式为，把点A和点P的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 联立与得到 ， 解得， 则 （3）解：由（1）可得，，与联立得到，， 解得， 此时 ∴点C的坐标为， ∵点M的横坐标为m，且在上， ∴ 即点M的坐标为 设直线的解析式为，把点C和点M的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 与联立得到， ， 整理得到， 则， 即， 即， 即为定值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$