压轴题之动点问题 讲义 2024-2025学年人教版数学七年级上册

七上压轴题之线段上动点问题 类型一、线段之间数量关系问题 例1．已知线段，(，为常数，且)，线段在直线上运动(点B，M在点A的右侧，点N在点M的右侧)．P是线段的中点，Q是线段的中点． (1)如图①，当点N与点B重合时，求线段的长度(用含a，b的代数式表示)； (2)如图②，当线段运动到点B，M重合时，求线段，之间的数量关系； (3)当线段运动至点Q在点B的右侧时，请你画图探究线段，，三者之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意表示出和的长度，然后即可求出； （2）根据题意表示出和的长度，再表示出和的长度，即可发现和之间的数量关系； （3）分两种情况讨论：①点M在点B的左侧，②点M在点B的右侧．表示出和，即可发现，，三者之间的数量关系． 【详解】（1）因为P是线段的中点，Q是线段的中点，所以，， ∴． （2）因为P是线段的中点，Q是线段的中点，所以，， 因为，所以， 因为，所以． （3）如图①， 当点M在点B的左侧时，， 所以； 如图②，当点M在点B的右侧时，， 所以． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了线段的和差问题，动点问题，画好线段图，分类讨论是解题的关键． 【变式训练1】如图，数轴上点A在原点左侧，点B在原点右侧，且，动点P､Q分别从A､B两点同时出发，都向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）若点A表示的数为，则点B表示的数为________，线段中点表示的数为___________； （2）在（1）的条件下，若，求t的值； （3）当点P在线段上运动时，若，请探究线段与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）6；-3；（2）或13；（3）或，见解析 【分析】（1）由点A表示的数为，AO＝2OB可知，可求出OB，AB长，从而得出结论； （2）分两种情况：点P在原点的左侧和右侧时，OP表示的代数式不同，OQ＝6+t，分别代入2OP﹣OQ＝9列式即可求出t的值； （3））设线段的长为b，则    ，分两种情况去绝对值，求出t的值，即可解决问题． 【详解】（1）∵点A表示的数为，AO＝2OB， ∴AO＝12，OB＝6， ∴AB＝18， ∴线段中点表示的数为3． 故答案是：6；﹣3； （2）当P､Q相遇时，（秒）， ∴．当点P在上时，， ∵， ∴，，符合； 当点P在原点O右侧时，， ∵，， ，符合． 综上所述，若，t的值为或13. （3）设线段的长为b，则． ∵点P在线段上运动， ∴．． 若，则， ∴， ∴， 解得． ∴， 又∵， ∴； 若，则， ∴， ∴， 解得． ∴． ∵． ∴． 综上所述，线段与线段之间的数量关系为或． 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值． 【变式训练2】. (2023.长沙.雅礼七年级期末) 我们定义: 如果线段上的一个点将这条线段分成长度分别是 的两部分, 并且满足 ,那么这个点叫做这条线段的 “三高四新点”. （1）如图 1,点 是线段 的 “三高四新点”, 且 ,则 ; (2) 若点 也是 (1) 中线段 的 “三高四新点” (不同于 点),求 与 的数量关系; （3）如图 2,点 是数轴原点,点 对应的数是 3,点 对应的数是 12,在点 处有一挡板. 小球 从点 出发以每秒 1 个单位长度的速度向左匀速运动,小球 从点 同时出发, 以每秒 3 个单位长度的速度向右匀速运动, 碰到挡板后立即以每秒 3 个单位长度的速度向左运动. 追上 时,两小球同时停止运动. 设运动时间为 秒,当 、 三点中某一点为其余两点所构成线段的 “三高四新点” 时,请求出 的值. 【解答】解: (1) 点 是线段 的 “三高四新点”, , , , ; 故答案为: 7 ; （2） 点 也是线段 的 “三高四新点” (不同于 点), ,即 , , , , , ; （3）①当 时,点 向右运动,点 时线段 的 “三高四新点”, 此时点 表示的数为 ,点 表示的数为 , , 当 时,得 ,解得: , 当 时,得 ,解得: ; ② 当 时,点 向左运动,并且在点 的右边, 此时点 表示的数为 ,点 表示的数为 , , 当 时,得 ,解得: , 当 时,得 ,解得: ; ③ 当 时,点 向左运动,并且在点 的左边, 此时点 表示的数为 ,点 表示的数为 , , 当 时,得 ,解得: , 当 时,得 ,解得: ; 综上,当 三点中某一点为其余两点所构成线段的 “三高四新点” 时, 的值为 或 . 类型二、定值问题 例2．如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，且， (1)填空： ， ； (2)在线段上有一点C，满足，求点C表示的数； (3)动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动；动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，设运动时间为t秒，当时，的值是否发生变化？若不变求出其值；若变化，写出范围． 【答案】(1)8，；(2)；(3)的值不会发生变化，详见解析 【分析】（1）根据非负数的性质，可得，即可求解； （2）先求出，可得，即可求解； （3）根据题意可得依题意得：，从而得到，，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：； 故答案为：8， （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点 C 表示的数为； （3）解：的值不会发生变化， 依题意得：， ∴，， ∴， ∴ 的值不会发生变化． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，线段的和与差，数轴上的动点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【变式训练1】如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)当t＝1时，PQ＝　 　cm； (2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？ (3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)3.5 (2)t为2或时，点C为线段PQ的中点 (3)存在，PM的长度为3cm或1cm，理由见解析 【分析】（1）根据题意可求出AC的长，AP和CQ的长，再由即可求出PQ的长； （2）由题意可得出t的取值范围，再根据点C在线段CB上做来回往返运动，可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CQ的长度，再根据中点的性质，列出等式，求出t的值即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出t的值即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出t的值即可．最后舍去不合题意的t的值即可． （3）同理（2）可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CM的长度，再根据，求出即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出即可．最后根据判断所求PM的代数式中是否含t即可判断． 【详解】（1）解：当时， ∵ ∴， ∴． 故答案为：3.5． （2）∵点P运动到点C时，点P、Q都停止运动， ∴． ∵ ∴． ①当Q由C往B第一次运动时，即时， 此时，， ∴， ∵点C为线段PQ的中点， ∴，即， 解得：； ②当Q由B往C点第一次返回时，即时， 此时，， ∴， 解得：，不符合题意舍； ③当Q由C往B第二次运动时，即时， 此时，， ∴， 解得：； 综上可知，t为2或时，点C为线段PQ的中点； （3）根据（2）可知． ∵点M是线段CQ的中点， ∴． ①当Q由C往B第一次运动时，即时， 此时，． ∵， ∴， ∴此时PM为定值，长度为3cm，符合题意． ②当Q由B往C点第一次返回时，即时， 此时，， ∴， ∴此时PM的长度，随时间的变化而变化，不符合题意； ③当Q由C往B第二次运动时，即时， 此时，， ∴， ∴此时PM为定值，长度为1cm，符合题意． 综上可知PM的长度为3cm或1cm． 【点睛】本题考查线段的和与差，线段的中点的性质，与线段有关的动点问题．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 【变式训练2】如图，已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），若． （1）求线段，的长； （2）若点，分别为线段，的中点，，求线段的长； （3）当运动到某一时刻时，点与点重合，点是线段的延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值，②是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明． 【答案】（1），；（2）9；（3）②正确，，见解析 【分析】（1）利用两个非负数和为0，可得每个非负数为0，可求，即可； （2）分类考虑当点在点的右侧和点在点的左侧时，利用中点可求AM，DN，利用线段和差求AD，可求MN=AD-AM-DN即可； （3）利用PA=PC+AC，PB=PC-BC，求出PA+PB=2PC即可． 【详解】解：（1）由，， ， 得，， 所以，； （2）当点在点的右侧时，如图， 因为点，分别为线段，的中点，， 所以，， 又因为， 所以， 当点在点的左侧时，如图， 因为点，分别为线段，的中点， 所以，， 所以 所以． 综上，线段的长为9； （3）②正确，且．理由如下： 因为点与点重合，所以， 所以，所以， 所以． 【点睛】本题考查非负数的性质，线段中点，线段和差，线段的比问题，掌握非负数的性质，线段中点，线段和差，线段的比，关键是利用线段和差PA=PC+AC，PB=PC-BC，求出PA+PB=2PC． 【变式训练3】已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0. （1）m＝ 　，n＝ 　； （2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动． ①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长； ②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）m=12，n= 4； （2）① MN=8，②在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为定值，且定值为0． 【分析】（1）由绝对值和平方的非负性，即可求出m、n的值； （2）①由题意，则MN=CM+CD+DN，根据线段中点的定义，即可得到答案； ②设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情况进行分析，求出每一种的值，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0， ∴m－12=0，n－4=0， ∴m=12，n=4； 故答案为：12；4． （2）由题意，①∵AB=12，CD=4， ∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点 ∴AM=CM=AC ，DN=BN=BD ∴MN=CM+CD+DN =AC +CD+BD =AC +CD+BD+CD =(AC +CD+BD)+CD =(AB +CD) =8； ②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a， 依题意有： 解得：a=2 在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t， ∵E是线段BC的中点 ∴CE= BE=BC=2+t； Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时 F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0 ∴FC-5 DE =0； Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t<2时 FC =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-t ∴FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0； Ⅲ．如图3，F，C相遇后，即t＞2时 FC =5t-10，DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2 ∴FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0； 综合上述：在整个运动的过程中，FC5 DE的值为定值，且定值为0． 【点睛】本题考查了线段中点的定义，线段的和差倍分的关系，一元一次方程的应用，绝对值的非负性等知识，解题的关键是熟练掌握线段的中点定义进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析． 【变式训练4】(2023 长沙 中雅培粹第一次月考)如图，1个单位长度表示，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点． （1）请你直接写出A、B、C三点所表示的数，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，点C表示的数为 ； （2）若动点P、Q分别从B、C两点同时向左移动，点P、Q的速度分别为每秒和每秒，设移动时间为t秒； ① 当时，求t的值； ② 运动过程中，点M到P、Q两点的距离始终保持相等，试探究的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 【答案】（1），，4 （2）①或，②不会随着t的变化而改变，见解析 【解析】 【分析】（1）根据点在数轴上的位置写出答案即可； （2）①由题可得点P表示的数为，点Q表示的数为，得到，由得到，解方程即可得到答案； ②由点M到P、Q两点的距离始终保持相等得到点M表示的数是，，，则，即可证明结论． 小问1详解】 解：由数轴可知，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为4； 故答案为：，，4 【小问2详解】 ①由题可得点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴或， ②不会随着t的变化而改变，理由如下： 由题可得点P表示的数为，点Q表示的数为，点C表示的数是4，点A表示的数是， ∵点M到P、Q两点的距离始终保持相等， ∴点M表示的数是， ∵， ∴， 即为定值． 【点睛】此题考查了数轴上的点表示数、绝对值的意义、数轴上两点之间的距离等知识，读懂题意，正确列式计算是解题的关键． 【变式训练5】(2023 长沙 长郡双语期中).【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具, 利用数轴可以将数与形完美地结合, 这种解决问题的思想叫做数形结合思想. 研究数轴我们发现了许多重要的规律: ①若数轴上点 ,点 表示的数分别为 ,若 位置不确定时,则 两点之间的距离为: ,若点 在 的右侧,即 ,则 两点之间的距离为: ; ②线段 的中点表示的数为 ; ③点 向右运动 个单位长度 后,点 表示的数为: ,点 向左运动 个单位长度 后,点 表示的数为: . 同学们可以在数轴上取点验证上述规律, 并完成下列问题. 【问题情境】 如图: 在数轴上点 表示数 ,点 表示数 1,点 表示数 9,点 、点 和点 分别以每秒 2 个单位长度、 1 个单位长度和 4 个单位长度的速度在数轴上同时向左运动,设运动时间为 秒 . (1) 请利用上述结论,结合数轴,完成下列问题: 表示点 到点 之间的距离,运动之前, 的距离为___, 点与 点的中点为 ,则点 表示的数为___; 运动 秒后,点 表示的数为___(用含 的式子表示). (2) 若 秒钟过后, 三点中恰有一点为另外两点的中点,求 值; (3) 当点 在点 右侧时,是否存在常数 ,使 的值为定值? 若存在,求 的值,若不存在, 请说明理由. 25.【解析】(1) . (3 分) 因为 点表示数 点示数 1,所以 的距离为 ; 又因为 为 中点,所以 表示的数为: ,运动 秒后,点 表示的数为: . (2) 由题意可知, 秒时, 点所在的数为: 点所在的数为: 点所在的数为: . (i) 若 为 中点,则 ; (ii) 若 为 中点,则 ; (iii) 若 为 中点,则 . 综上,当 或 4 或 16 时, 三点中恰有一点为另外两点的中点. (6 分) (3) 存在. 点 在点 右侧,点 在点 右侧, , , 当 ,即 时,结果与 无关,即 为定值, 存在常数 使 的值为定值. (8 分) 类型三、时间问题 例3．(2023 长沙 青竹湖第一次月考)已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒． （1）当秒时，写出数轴上点B，P、Q所表示的数分别为_______________、_______________、_______________； （2）若点P，Q分别从A，B两点同时出发，当点P与点Q重合时，求t的值； （3）若M为线段的中点，点N为线段的中点．当点M到原点的距离和点N到原点的距离相等时，求t的值． 【答案】（1）；； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①根据已知可得B点表示的数为；点P表示的数为； （2）点P运动x秒时，与Q重合，则AP＝3x，BQ＝2x，根据，列出方程求解即可； （3）根据动点P在数轴上运动，点到原点的距离等于点到原点的距离相等， 故，由此可得出结论； 【小问1详解】 ∵点A表示的数为8，B在A点左边，， ∴点B表示的数是， ∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点P表示的数是， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴点表示的数是， 故答案为：； 【小问2详解】 设点P运动t秒时，与点Q重合，则， ∵， ∴， 解得：， ∴点P运动秒时与点Q重合； 【小问3详解】 由（1）知，表示，表示，表示，表示， 为中点， 表示， 为中点， 表示， 点到原点的距离等于点到原点的距离相等， ， 即， 当时，（舍去）， 当时，， 答：当时，点到原点的距离等于点到原点的距离相等． 【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论． 【变式训练1】如图，点在数轴上分别表示有理数，且满足． （1）点表示的数是___________，点表示的数是____________． （2）若动点从点出发以每秒3个单位长度向右运动，动点从点出发以每秒1个单位长度向点运动，到达点即停止运动两点同时出发，且点停止运动时，也随之停止运动，求经过多少秒时，第一次相距3个单位长度？ （3）在（2）的条件下整个运动过程中，设运动时间为秒，若的中点为的中点为，当为何值时，？ 【答案】（1）﹣2，5；（2）1秒；（3）1秒或秒． 【分析】（1）由非负数的性质得a+2＝0，且b﹣5＝0，得出a＝﹣2，b＝5； （2）求出AB＝7，设经过x秒时，P、Q第一次相距3个单位长度，则AP＝3x，BQ＝x，可列方程 7﹣3x﹣x＝3，解方程即可； （3）由题意得t秒后，AP＝3t，BQ＝t，由中点的定义得AM＝AP＝t，BN＝BQ＝t，对P、M、B三点的位置分类讨论，用含t的式子表示BM、PB、AN长，由题意得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵满足， ∴a+2＝0， b﹣5＝0， ∴a＝﹣2，b＝5， 即点A所对应的数是﹣2，点B所对应的数是5； 故答案为：﹣2，5； （2）AB＝5﹣（﹣2）＝7， 设经过x秒时，P、Q第一次相距3个单位长度， 则AP＝3x，BQ＝x，PQ＝AB﹣AP﹣BQ， 列方程得，7﹣3x﹣x＝3， 解得：x＝1， 答：经过1秒时，P、Q第一次相距3个单位长度； （3）由题意得：t秒后，AP＝3t，BQ＝t， ∵AP的中点为M，BQ的中点为N， ∴AM＝AP＝t，BN＝BQ＝t， 如图1，当点P、M都在点B的左侧时， BM＝AB﹣AM＝7﹣t，PB＝AB﹣AP＝7﹣3t，AN＝AB﹣BN＝7﹣t， ∵BM+AN＝3PB， ∴7﹣t +7﹣t＝3（7﹣3t）， 解得：t＝1； 如图2，当点M在点B的左侧，点P在点B的右侧时， BM＝AB﹣AM＝7﹣t，PB＝AP﹣AB＝3t﹣7，AN＝AB﹣BN＝7﹣t， ∵BM+AN＝3PB， ∴7﹣t +7﹣t＝3（3t﹣7）， 解得：t＝； ③如图3，当点P、M都在点B的右侧时， BM＝AM﹣AB＝t﹣7，PB＝AP﹣AB＝3t﹣7，AN＝AB﹣BN＝7﹣t， ∵BM+AN＝3PB， ∴t﹣7+7﹣t＝3（3t﹣7）， 解得：t＝（舍去）； 综上所述，当t为1秒或秒时，BM+AN＝3PB． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、两点的距离、非负数的性质以及分类讨论等知识；关键是数形结合，正确列出一元一次方程． 【变式训练2】如图，点、点是数轴上原点两侧的两点，其中点在原点的左侧，且满足，.    （1）点、在数轴上对应的数分别为______和______. （2）点、同时分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动. ①经过几秒后，； ②点、在运动的同时，点以每秒1个单位长度的速度从原点向右运动，经过几秒后，点、、中的某一点成为其余两点所连线段的中点？ 【答案】（1）-2和4；（2）①经过秒或秒，；②经过秒或秒后，点、、中的某一点成为其余两点所连线段的中点. 【分析】(1)设点A在数轴上对应的数为a,点B在数轴上对应的数为b.根据题意确定a、b的正负,得到关于a、b的方程，求解即可; (2)①设t秒后OA=3OB.根据OA=3OB，列出关于t的一元一次方程，求解即可; ②根据中点的意义，得到关于t的方程，分三种情况讨论并求解:点P是AB的中点;点A是BP的中点;点B是AP的中点. 【详解】（1）设点A在数轴上对应的数为a,点B在数轴上对应的数为b,则OA=-a，OB=b ∵， ∴OA+OB=6 ∴-a+b=6 ∵. ∴b=-2a ∴ ∴ ∴点A在数轴上对应的数为-2,点B在数轴上对应的数为4 故答案为：-2和4； （2）①设秒后，，则点A在数轴上对应的数为-2-t,点B在数轴上对应的数为4-2t，故OA=2+t 情况一：当点在点右侧时，故OB=4-2t ∵ 则， 解得：. 情况二：当点在点左侧时，，故OB=2t-4 ∵ 则， 解得：. 答：经过秒或秒，. ②设经过秒后，点、、中的某一点成为其余两点所连线段的中点，此时点P在数轴上对应的数为t, 点A在数轴上对应的数为-2-t,点B在数轴上对应的数为4-2t 当点是的中点时，则， 解得：. 当点是的中点时，则. 解得：. 当点是的中点时，则 解得：（不合题意，舍去） 答：经过秒或秒后，点、、中的某一点成为其余两点所连线段的中点. 【点睛】本题考查了数轴、一元一次方程、 线段的中点及分类讨论的思想.题目综合性较强.掌握数轴上两点间的距离公式是解决本题的关键.数轴上两点间的距离=右边点表示的数-左边点表示的数. 【变式训练3】(2023.长沙一中双语.七年级第一次月考) 如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是﹣18，﹣8，8 （1）填空：AB＝ 　 　，BC＝ 　 　． （2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由． （3）现有动点P、Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点P移动6秒时，点Q才从A点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒（0≤t≤19），直接写出P、Q两点间的距离（用含t的代数式表示）． 【答案】（1）10，16；（2）不变，理由见解析；（3）PQ=． 【解析】 【分析】（1）根据数轴上任意两点间的距离公式等于这两点所表示的数的差的绝对值而得出结论； （2）先分别求出t秒后A、B、C三点所对应的数，就可以表示出BC，AB的值，从而求出BC-AB的值而得出结论； （3）先求出经过t秒后，P、Q两点所对应的数，分类讨论①当0＜t≤6时，点Q还在点A处，②当6＜t≤12时，点P在点Q的右边，③当12＜t≤19时，点Q在点P的右边，从而得出结论． 详解】解：（1）由题意，得 AB=-8-（-18）=10，BC=8-（-8）=16． 故答案为：10，16； （2）答：不变； ∵经过t秒后，A、B、C三点所对应的数分别是-18-t，-8+4t，8+9t， ∴BC=（8+9t）-（-8+4t）=5t+16， AB=（-8+4t）-（-18-t）=5t+10， ∴BC-AB=（5t+16）-（5t+10）=6． ∴BC-AB的值不会随着时间t的变化而改变； （3）经过t秒后，P、Q两点所对应的数分别是-18+t，-18+2（t-6）， 由-18+2（t-6）-（-18+t）=0解得t=12， ①当0＜t≤6时，点Q还在点A处， ∴PQ=t， ②当6＜t≤12时，点P在点Q的右边， ∴PQ=（-18+t）-[-18+2（t-6）]=-t+12， ③当12＜t≤19时，点Q在点P的右边， ∴PQ=[-18+2（t-6）]-（-18+t）=t-12． 综上，PQ=． 【点睛】本题考查了线段的长度的运用，数轴的运用，两点间的距离的运用．解题的关键是利用数轴的特点表示出两点间的距离． 类型四、求值 例4．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） (1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值． (2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝　　BM． (3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3)或 【分析】（1）计算出CM和BD的长，进而可得出答案； （2）由AC=AM－CM，MD=BM－BD，MD=3AC结合（1）问便可解答； （3）由AN＞BN，分两种情况讨论：①点N在线段AB上时，②点N在AB的延长线上时；结合图形计算出线段的长度关系即可求解； 【详解】（1）解：当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm ∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm ∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm． （2）解：设运动时间为t， 则CM＝t，BD＝3t， ∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t， 又MD＝3AC， ∴BM﹣3t＝3AM﹣3t， 即BM＝3AM， ∴AM=BM 故答案为：． （3）解：由（2）可得： ∵BM＝AB﹣AM ∴AB﹣AM＝3AM， ∴AM＝AB， ①当点N在线段AB上时，如图 ∵AN﹣BN＝MN， 又∵AN﹣AM＝MN ∴BN＝AM＝AB， ∴MN＝AB，即=． ②当点N在线段AB的延长线上时，如图 ∵AN﹣BN＝MN， 又∵AN﹣BN＝AB ∴MN＝AB， ∴=1,即=． 综上所述＝或 【点睛】本题考查求线段长短的知识，关键是细心阅读题目，根据条件理清线段的长度关系再解答． 【变式训练1】已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B同时出发以1cm／s、3cm／s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） （1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝_____，DM＝_____；（直接填空） （2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC， ①求线段AM的值， ②若N是直线AB上一点，且AN－BN＝MN，求的值 【答案】（1），；（2）①；②或1 【分析】（1）根据运动速度和时间分别求得、的长，根据线段的和差计算可得； （2）①根据、的运动速度知，再由已知条件求得，所以； （3）分点在线段上时和点在线段的延长线上时分别求解可得． 【详解】解：（1）根据题意知，，， ，， ， ，， 故答案为：，； （2）①根据、的运动速度知：， ， ，即， ， ， ； ②当点在线段上时，如图， ， 又， ， ， ； 当点在线段的延长线上时，如图， ， 又， ， ； 综上所述：或1． 【点睛】本题考查求线段的长短的知识，数轴上的动点问题，解题的关键是细心阅读题目，理清题意，利用数形结合及分类讨论的思想求解． 【变式训练2】(2023.长沙外国语实验中学.第一次月考)在同一直线上的三点 ,若满足点 到另两个点 的距离之比是 3,则称点 是其余两点的亮点 (或暗点). 具体地,当点 在线段 上时,若 ,则称点 是 的亮点; 若 , 则称点 是 的亮点; 当 不在线段 上时,若 ,称点 是 的暗点; 若 , 则称点 是 的暗点. 例如,如图 1,数轴上点 分别表示数 . 则点 是 的亮点,又是 的暗点: （1） 为数轴上两点,点 所表示的数为 -2,点 所表示的数为 6 . 则 的亮点表示的数是 ___, 的暗点表示的数是___； （2）如图,数轴上点 所表示的数为 -15,点 所表示的数为 10 . 点 在点 之间,将数轴以点 对折,点 落在数轴的 点, 和 三个点中恰有一个点为另外两个点的亮点,求点 所表示的数. . (1) 点 所表示的数为 -2,点 所表示的数为 6, 设 的亮点表示的数为 , 根据题意可得, 解得 , 的亮点表示的数是 4 ; 设 的暗点表示的数是 , 根据题意可得, 解得 , 的暗点表示的数是 -6 ; （2）设点 表示的数为 , 点 在点 之间,将数轴以点 对折,点 落在数轴的 点, 点 表示的数为 , 如图所示,当点 在点 左边,点 是 的亮点时, 解得 点 所表示的数为 -10 ; 如图所示,当点 是 的亮点时, 解得 点 所表示的数为 ; 如图所示,当点 是 的亮点时, 解得 , 点 所表示的数为 ; 如图所示,当点 是 的亮点时, 解得 , 点 所表示的数为 5 ; 综上所述,点 所表示的数为 -10 或 或 或 5 . 【变式训练6】(2023.长沙中雅培粹.第三次月考) 如图,点 为线段 上一点, ,且 . （1）求线段 的长. （2）点 从 点出发,以 1 个单位/秒的速度在线段 上向 点运动,设运动时间为 秒 ),点 为线段 的中点,点 为线段 的中点,若 ,试求点 运动时间 的值. （3）若点 为直线 上的一点,线段 的中点为 ,且 ,求线段 的长. 【答案】 ; (2) 或 ; (3) 的长为: 或 160 . 【解析】 【分析】(1) 由 ,再两式相加,即可得到 ,再求解 即可; （2）以 A 为原点画数轴,再利用数轴及数轴上线段的中点知识分别表示 对应的数,由 , 利用数轴上两点之间的距离公式建立绝对值方程, 解方程可得答案; （3）以 A 为原点画数轴,分三种情况讨论,当 在 A 的左侧,当 在线段 上,当 在 的右侧,利用数轴与数轴上线段的中点知识,结合数轴上两点之间的距离分别表示 ,再利用 ,建立方程, 解方程即可得到答案. 【详解】解: (1) , ① 又 ②, ①+②得: , , . （2）如图, 以 A 为原点画数轴, 则 ,对应的数分别为: , 点 为线段 的中点, 对应的数为: , 点 为线段 的中点, 对应的数为: , , , , 或 , 解得: 或 . 由 ,经检验: 或 都符合题意. （3）如图,以 为原点画数轴,设 对应的数为 , 当 在 的左侧时, ,舍去, 当 在 上时, 线段 的中点为 , 对应的数为: ,此时 在 上, , , , , , , , 当 在 的右侧时,如图, 同理: , , , 或 , 解得: (舍去), , , 综上: 的长为: 或 160 . 【点睛】本题考查的是线段的和差问题, 动点问题, 数轴及数轴上线段的中点对应的数, 两点之间的距离, 绝对值 方程, 一元一次方程的应用, 分类讨论的数学思想, 掌握以上知识是解题的关键. 课后训练 1．如图1，已知线段，点M是线段上一点，点C在线段上，点D在线段上，C、D两点分别从M、B出发以的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足条件：． (1)直接写出：____________，_____________； (2)若，当点C、D运动了，求的值； (3)如图2，若，点N是直线上一点，且，求与的数量关系． 【答案】(1)1，3；(2)8cm；(3)或 【分析】（1）根据绝对值的非负性得出a-1=0，b-3=0，求解即可； （2）当C、D运动时，，，结合图形求解即可； （3）分两种情况：当点N在线段上时；当点N在线段的延长线上时；利用线段间的数量关系求解即可． 【详解】（1）解：∵|a−1|+|b−3|=0 ∴a-1=0，b-3=0， ∴a=1，b=3， 故答案为：1；3； （2）当C、D运动时，，， ∴． （3）当点N在线段上时， ∵， 又∵， ∴， ∴． 当点N在线段的延长线上时， ∵， 又∵， ∴． 综上所述，或． 【点睛】题目主要考查绝对值的非负性及点的运动，线段间的数量关系等，理解题意，根据图象得出线段间的数量关系是解题关键． 2．【阅读理解】若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，则有 ①A、B两点的中点表示的数为； ②当b＞a时，A、B两点间的距离为AB＝b﹣a． 【解决问题】数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|a+2|+（b﹣8）2020＝0 （1）求出A、B两点的中点C表示的数； （2）点D从原点O点出发向右运动，经过2秒后点D到A点的距离是点D到C点距离的2倍，求点D的运动速度是每秒多少个单位长度？ 【数学思考】（3）点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时，点M从点A出发以每秒7个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒10个单位的速度向右运动，P、Q分别为ME、ON的中点．思考：在运动过程中，的值是否发生变化？请说明理由． 【答案】（1）A、B两点的中点C表示的数是3；（2）点D的运动速度是每秒个单位长度，或每秒4个单位长度；（3）=2（定值）．理由见解析. 【分析】（1）分别求出a、b的值，然后求出中点C的值； （2）分情况讨论，当点D运动到点C左边和C右边时，得出不一样的C值； （3）设运动时间为t，则点E对应的数是t，点M对应的数是﹣2﹣7t，点N对应的数是8+10t． 【详解】（1）∵|a+2|+（b﹣8）2020＝0 ∴a＝﹣2，b＝8， ∴A、B两点的中点C表示的数是：； （2）设点D的运动速度为v， ①当点D运动到点C左边时：由题意，有2v﹣（﹣2）＝2（3﹣2v）， 解之得； ②当点D运动到点C右边时：由题意，有2v﹣（﹣2）＝2（2v﹣3）， 解之得v＝4； ∴点D的运动速度是每秒个单位长度，或每秒4个单位长度； （3）设运动时间为t，则点E对应的数是t，点M对应的数是﹣2﹣7t，点N对应的数是8+10t． ∵P是ME的中点， ∴P点对应的数是， 又∵Q是ON的中点， ∴Q点对应的数是， ∴MN＝（8+10t）﹣（﹣2﹣7t）＝10+17t，OE＝tPQ＝（4+5t）﹣（﹣1﹣3t）＝5+8t， ∴（定值）. 【点睛】本题考查绝对值的应用及幂指数的应用，以及实际问题，属于典型的开放性应用题． 3．如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． (1)填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”） (2)（问题解决）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数． (3)（应用拓展）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值． 【答案】(1)是 (2)10或0或20 (3)；t=6；；t=12；； 【分析】（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断即可； （2）由题意设C点表示的数为x，再根据新定义列出合适的方程即可； （3）根据题意先用t的代数式表示出线段，再根据新定义列出方程，得出合适的解，即可求出t的值． 【详解】（1）∵原线段是中点分成的短线段的2倍， ∴线段的中点是这条线段的巧点， 故答案为：是； （2）设点表示的数为x，则， 根据“巧点”的定义可知： ①当时，有，解得，； ②当时，有，解得，； ③当时，有，解得，． 综上，点表示的数为10或0或20； （3）由题意得， （i）、若时，点P为的“巧点”，有 ①当时，，解得，， ②当时，，解得，； ③当时，，解得，； 综上，运动时间的所有可能值有；；； （ii）、若时，点Q为AP的“巧点”，有 ①当时，，解得，； ②当时，，解得，； ③当时，，解得，． 综上，运动时间的所有可能值有：；；． 故，运动时间的所有可能值有：． 【点睛】本题是新定义题，是数轴的综合题，主要考查数轴上的点与数的关系，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列出方程并进行求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七上压轴题之线段上动点问题 类型一、线段之间数量关系问题 例1．已知线段，(，为常数，且)，线段在直线上运动(点B，M在点A的右侧，点N在点M的右侧)．P是线段的中点，Q是线段的中点． (1)如图①，当点N与点B重合时，求线段的长度(用含a，b的代数式表示)； (2)如图②，当线段运动到点B，M重合时，求线段，之间的数量关系； (3)当线段运动至点Q在点B的右侧时，请你画图探究线段，，三者之间的数量关系． 【变式训练1】如图，数轴上点A在原点左侧，点B在原点右侧，且，动点P､Q分别从A､B两点同时出发，都向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）若点A表示的数为，则点B表示的数为________，线段中点表示的数为___________； （2）在（1）的条件下，若，求t的值； （3）当点P在线段上运动时，若，请探究线段与线段之间的数量关系，并说明理由． 【变式训练2】. (2023.长沙.雅礼七年级期末) 我们定义: 如果线段上的一个点将这条线段分成长度分别是 的两部分, 并且满足 ,那么这个点叫做这条线段的 “三高四新点”. （1）如图 1,点 是线段 的 “三高四新点”, 且 ,则 ; (2) 若点 也是 (1) 中线段 的 “三高四新点” (不同于 点),求 与 的数量关系; （3）如图 2,点 是数轴原点,点 对应的数是 3,点 对应的数是 12,在点 处有一挡板. 小球 从点 出发以每秒 1 个单位长度的速度向左匀速运动,小球 从点 同时出发, 以每秒 3 个单位长度的速度向右匀速运动, 碰到挡板后立即以每秒 3 个单位长度的速度向左运动. 追上 时,两小球同时停止运动. 设运动时间为 秒,当 、 三点中某一点为其余两点所构成线段的 “三高四新点” 时,请求出 的值. 类型二、定值问题 例2．如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，且， (1)填空： ， ； (2)在线段上有一点C，满足，求点C表示的数； (3)动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动；动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，设运动时间为t秒，当时，的值是否发生变化？若不变求出其值；若变化，写出范围． 【变式训练1】如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)当t＝1时，PQ＝　 　cm； (2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？ (3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由． 【变式训练2】如图，已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），若． （1）求线段，的长； （2）若点，分别为线段，的中点，，求线段的长； （3）当运动到某一时刻时，点与点重合，点是线段的延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值，②是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明． 【变式训练3】已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0. （1）m＝ 　，n＝ 　； （2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动． ①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长； ②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式训练4】(2023 长沙 中雅培粹第一次月考)如图，1个单位长度表示，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点． （1）请你直接写出A、B、C三点所表示的数，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，点C表示的数为 ； （2）若动点P、Q分别从B、C两点同时向左移动，点P、Q的速度分别为每秒和每秒，设移动时间为t秒； ① 当时，求t的值； ② 运动过程中，点M到P、Q两点的距离始终保持相等，试探究的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 【变式训练5】(2023 长沙 长郡双语期中).【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具, 利用数轴可以将数与形完美地结合, 这种解决问题的思想叫做数形结合思想. 研究数轴我们发现了许多重要的规律: ①若数轴上点 ,点 表示的数分别为 ,若 位置不确定时,则 两点之间的距离为: ,若点 在 的右侧,即 ,则 两点之间的距离为: ; ②线段 的中点表示的数为 ; ③点 向右运动 个单位长度 后,点 表示的数为: ,点 向左运动 个单位长度 后,点 表示的数为: . 同学们可以在数轴上取点验证上述规律, 并完成下列问题. 【问题情境】 如图: 在数轴上点 表示数 ,点 表示数 1,点 表示数 9,点 、点 和点 分别以每秒 2 个单位长度、 1 个单位长度和 4 个单位长度的速度在数轴上同时向左运动,设运动时间为 秒 . (1) 请利用上述结论,结合数轴,完成下列问题: 表示点 到点 之间的距离,运动之前, 的距离为___, 点与 点的中点为 ,则点 表示的数为___; 运动 秒后,点 表示的数为___(用含 的式子表示). (2) 若 秒钟过后, 三点中恰有一点为另外两点的中点,求 值; (3) 当点 在点 右侧时,是否存在常数 ,使 的值为定值? 若存在,求 的值,若不存在, 请说明理由. 类型三、时间问题 例3．(2023 长沙 青竹湖第一次月考)已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒． （1）当秒时，写出数轴上点B，P、Q所表示的数分别为_______________、_______________、_______________； （2）若点P，Q分别从A，B两点同时出发，当点P与点Q重合时，求t的值； （3）若M为线段的中点，点N为线段的中点．当点M到原点的距离和点N到原点的距离相等时，求t的值． 【变式训练1】如图，点在数轴上分别表示有理数，且满足． （1）点表示的数是___________，点表示的数是____________． （2）若动点从点出发以每秒3个单位长度向右运动，动点从点出发以每秒1个单位长度向点运动，到达点即停止运动两点同时出发，且点停止运动时，也随之停止运动，求经过多少秒时，第一次相距3个单位长度？ （3）在（2）的条件下整个运动过程中，设运动时间为秒，若的中点为的中点为，当为何值时，？ 【变式训练2】如图，点、点是数轴上原点两侧的两点，其中点在原点的左侧，且满足，.    （1）点、在数轴上对应的数分别为______和______. （2）点、同时分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动. ①经过几秒后，； ②点、在运动的同时，点以每秒1个单位长度的速度从原点向右运动，经过几秒后，点、、中的某一点成为其余两点所连线段的中点？ 【变式训练3】(2023.长沙一中双语.七年级第一次月考) 如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是﹣18，﹣8，8 （1）填空：AB＝ 　 　，BC＝ 　 　． （2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由． （3）现有动点P、Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点P移动6秒时，点Q才从A点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒（0≤t≤19），直接写出P、Q两点间的距离（用含t的代数式表示）． 类型四、求值 例4．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） (1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值． (2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝　　BM． (3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 【变式训练1】已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B同时出发以1cm／s、3cm／s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） （1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝_____，DM＝_____；（直接填空） （2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC， ①求线段AM的值， ②若N是直线AB上一点，且AN－BN＝MN，求的值 【变式训练2】(2023.长沙外国语实验中学.第一次月考)在同一直线上的三点 ,若满足点 到另两个点 的距离之比是 3,则称点 是其余两点的亮点 (或暗点). 具体地,当点 在线段 上时,若 ,则称点 是 的亮点; 若 , 则称点 是 的亮点; 当 不在线段 上时,若 ,称点 是 的暗点; 若 , 则称点 是 的暗点. 例如,如图 1,数轴上点 分别表示数 . 则点 是 的亮点,又是 的暗点: （1） 为数轴上两点,点 所表示的数为 -2,点 所表示的数为 6 . 则 的亮点表示的数是 ___, 的暗点表示的数是___； （2）如图,数轴上点 所表示的数为 -15,点 所表示的数为 10 . 点 在点 之间,将数轴以点 对折,点 落在数轴的 点, 和 三个点中恰有一个点为另外两个点的亮点,求点 所表示的数. 【变式训练6】(2023.长沙中雅培粹.第三次月考) 如图,点 为线段 上一点, ,且 . （1）求线段 的长. （2）点 从 点出发,以 1 个单位/秒的速度在线段 上向 点运动,设运动时间为 秒 ),点 为线段 的中点,点 为线段 的中点,若 ,试求点 运动时间 的值. （3）若点 为直线 上的一点,线段 的中点为 ,且 ,求线段 的长. 课后训练 1．如图1，已知线段，点M是线段上一点，点C在线段上，点D在线段上，C、D两点分别从M、B出发以的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足条件：． (1)直接写出：____________，_____________； (2)若，当点C、D运动了，求的值； (3)如图2，若，点N是直线上一点，且，求与的数量关系． 2．【阅读理解】若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，则有 ①A、B两点的中点表示的数为； ②当b＞a时，A、B两点间的距离为AB＝b﹣a． 【解决问题】数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|a+2|+（b﹣8）2020＝0 （1）求出A、B两点的中点C表示的数； （2）点D从原点O点出发向右运动，经过2秒后点D到A点的距离是点D到C点距离的2倍，求点D的运动速度是每秒多少个单位长度？ 【数学思考】（3）点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时，点M从点A出发以每秒7个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒10个单位的速度向右运动，P、Q分别为ME、ON的中点．思考：在运动过程中，的值是否发生变化？请说明理由． 3．如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． (1)填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”） (2)（问题解决）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数． (3)（应用拓展）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值． 学科网（北京）股份有限公司 $$