21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

21.2 解一元二次方程 第二十一章 一元二次方程 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 知识回顾 1.一元二次方程的求根公式是什么？ 想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？ 2.如何用根的判别式b2 - 4ac来判断一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) 根的情况？ （3）当b2 - 4ac < 0 时, 方程有两个相等的实数根. （1）当b2 - 4ac > 0 时, 方程有两个不相等的实数根. （2）当b2 - 4ac = 0 时, 方程无实数根. 填表，写出下列方程的两根的和与两根的积： 方 程 两根之和 两根之积 （1）2x2-3x+1=0 x1+x2= x1 x2= （2）3x2+4x+1=0 x1+x2= x1 x2= （3）2x2+x-6=0 x1+x2= x1 x2= （4）6x2-7x-3=0 x1+x2= x1 x2= 观察上表，你能发现一元二次方程的两根之和与两根之积与方程的各项系数之间有什么关系吗？与同伴交流. 问题探究 一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理） 如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么： 注意 1.上述关系成立的前提条件是： b2-4ac≥0. （两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数） （两根之积等于常数项除以二次项系数） 2. 中的负号与方程中的a，b的符号不能混淆. 3.运用根与系数的关系时，一定要将方程化成一般形式. 总结归纳 在上节课中我们通过配方法配一般式推出了 我们发现将方程的两个解相加和相乘是一个定值 ！ 如果方程无解， 那么，韦达定理不适用 注意 由此又可以推出根与系数的公式 例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根x1，x2的和与积： ∴ x1 + x2 = 6 , x1 . x2 = -15. 解：（1） ∴Δ= b2 - 4ac = (-6)2 – 4 × 1 × (-15) = 96 > 0. ∴ 方程有两个不相等的实数根. 典例精析 ∵a = 1 , b = -6 , c = -15. 例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根x1，x2的和与积： 解：（2） ∴Δ= b2 - 4ac = 72 – 4 × 3 × (-9) = 157 > 0. ∴ 方程有两个不相等的实数根. 典例精析 ∵a = 3 , b = 7 , c = -9. ∴ x1 + x2 = , x1 . x2 = -3. 解：（3） ∴Δ= b2 - 4ac = （-5）2 – 4 × 4 × 1 = 9 > 0. ∴ 方程有两个不相等的实数根. 方程化为： ∴ x1 + x2 = , x1 . x2 = . 例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根x1，x2的和与积： 典例精析 ∵a = 4 , b = -5 , c = 1. 解：（4） ∴ 方程有两个不相等的实数根. 例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根x1，x2的和与积： 典例精析 ∵a = 2 , b = -3 , c = 1. ∴Δ= b2 - 4ac = （-3）2 – 4 × 2 × 1 = 1 > 0. ∴ x1 + x2 = , x1 . x2 = . 利用根与系数的关系，求下列方程的两根x1，x2的和与积： 练一练 例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 . 典例精析 解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1 . 已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 变式练习 例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和. 解：设方程的两个根分别是x1、x2. 典例精析 设x1, x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则: （1）x1+x2= , (2)x1·x2= , (3) , (4) . 4 1 14 12 练一练 例4 设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =4，求k的值. 解：∵方程有两个实数根 ∴Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0 即 -8k + 4 ≥0. 由根与系数的关系得： x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 又 x12 + x22 = 4， ∴ 2k2 - 8k + 4 = 4, 解得 k1= 0 , k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去. 典例精析 = 2k2 -8k + 4. 例5. 当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1. 解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1 拓展提升 由根与系数的关系，得 例6.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+ m -2=0 （1）若方程有实数根,求实数m的取值范围. （2）若方程两根x1,x2满足∣x1-x2∣= 1 求m的值. 解：(1)方程有实数根 ∴m的取值范围为m＞0 (2)∵方程有实数根x1,x2 ∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1 解得m=8. 经检验m=8是原方程的解． 根与系数的关系常用变形： 总结归纳 1.若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两根，则x1+x2的值是 （ ） A.-10 B.10 C.-16 D.16 2.若x1，x2是一元二次方程x2+4x+3=0的两根，则x1x2的值是 （ ） A、4 B、3 C、-4 D、3 3.若x1，x2是关于x的方程x2+bx-3=0的两根，且满足x1+x2-3x1x2=5，那么b的值是 （ ） A、4 B、-4 C、3 D、-3 当堂练习 4.已知一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根为x1，x2，则（x1-1）（x2-1）的值是 . 5.若x1，x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两根，且x1+x2=1-x1x2，则m的值是 . 6.若m，n是一元二次方程x2+2x-2018=0的两根，则，m2+3m+n= . 当堂练习 8.若关于x的一元二次方程x2-4x+k-3=0的两个实数根为x1，x2，且满足x1=3x2，试求出方程的两个实数根及k的值. 7.已知实数m，n满足3m2+6m-5=0,3n2+6n-5=0， 且 ，求 的值. 9.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4； （1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值. 当堂练习 根与系数的关系 （韦达定理） 内 容 如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p ,x1 ·x2=q. 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么 应 用 常见变形 $$