21.2.3 因式分解法课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

21.2 解一元二次方程 第二十一章 一元二次方程 21.2.3 因式分解法 学习目标 1.理解用因式分解法解方程的依据 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点） 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点） 知识回顾 1.什么叫做因式分解？ 将一个多项式完全写成几个因式乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解. 2.因式分解的方法有哪些? 1).提公因式法： 2).运用公式法： 3).分组分解法： 4).十字相乘法： 平方差公式： 完全平方公式： （针对四项及以上的多项式进行的） （针对不能运用公式法分解的二次三项式进行的） 首2-尾2=（首+尾）×（首-尾） 口诀记为： 口诀记为： 问题探究 用不同的方法解下列方程： 问题2：除了配方法和公式法外，能否找到更简单的方法解以上几个方程呢？ 问题1：观察四个方程，它们有什么共同点？ 四个方程的左边都可以分解因式，右边为0. 用不同的方法解下列方程： 解：（1）将方程因式分解为： 问题探究 我们知道： “如果a·b = 0， 那么a=0或b=0.” 解得： 分别令： 用不同的方法解下列方程： 解：（2）将方程因式分解为： 问题探究 解得： 分别令： 用不同的方法解下列方程： 解：（3）将方程因式分解为： 问题探究 解得： 分别令： 用不同的方法解下列方程： 解：（4）将方程因式分解为： 问题探究 解得： 分别令： 总结归纳 1.因式分解法： 对于某些一元二次方程，可以先因式分解使方程化成两个一次因式乘积的形式，再分别令这两个一次因式等于0，从而实现“降次”，这种解一元二次方程的方法，叫做因式分解法. 用因式分解法解一元二次方程时，应注意： 1）一定要将方程右边化为0； 2）不能将方程两边同时除以含有未知数的式子. 2.用因式分解法解一元二次方程的步骤： 一“移”： 移项，将方程右边化为0； 二“分”： 将方程左边分解成两个一次因式乘积的形式； 三“化”： 分别令每个一次因式为0，将方程转化为两个一元一次方程； 四“解”： 解所得的两个一元一次方程； 五“写”： 将两个一元一次方程的解写成x1=a， x2=b的形式. 简单记为：“右化零 左分解 两因式 各求解”. 总结归纳 例1 解下列方程： 典例精析 解:(1)因式分解，得： 分别令： 解得： (2)移项，合并同类项得： 因式分解，得： 解得： 用因式分解法解下列方程： 练一练 例2 用适当的方法解方程： 分析：方程（1）左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快；方程（2）左边以平方形式出现，右边是常数，可用直接开平方法求解. 解：（1）移项，得： 因式分解，得： 解得： 典例精析 分别令： 解：（2）两边开平方得： 即： 解得： 例2 用适当的方法解方程： 典例精析 例2 用适当的方法解方程： 解：(3)移项，得： 配方，得： 即： 解得： 分析：方程（3）的二次项的系数为1，且一次项系数为偶数，可用配方法来解题较快；方程（4）的二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法. 两边开平方，得： 典例精析 解：（4）移项，得： 典例精析 例2 用适当的方法解方程： 分析：方程（3）的二次项的系数为1，且一次项系数为偶数，可用配方法来解题较快；方程（4）的二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法. 4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法比较简单. 解一元二次方程的基本思路： 1.当一元二次方程的一次项系数为0（即ax2+c=0）的形式时，应选用直接开平方法； 2.若常数项为0（即ax2+bx=0）时，应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (即ax2+bx+c=0）时，先化为一般式，看左边的整式是否能因式分解，若能因式分解，则选用因式分解法，不然选用公式法； 特别地： 当方程没有明确选择任何方法时，尽量不选择配方法. 总结归纳 教材例题 例1 （教材P14例3）解下列方程： x(x-2)+x-2=0； 解： 分解因式，得 (x-2)(x+1)=0 即 x-2 =0或x+1 =0, x1=2，x2=-1 解： 移项、合并同类项得 4x2-1=0 (2x-1)(2x+1)=0 即2x-1 =0或2x+1 =0, x1= , x2= 例2 用适当的方法解方程： (1) 3x(x + 5)= 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2 = 1； 即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0. ∴ x 1= 0 , x2= 分析：该式左右两边可以提取公因式， 所以用因式分解法解答较快. 解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0. 分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法. 解：开平方,得 5x + 1 = ±1. 教材例题 侵权必究 (3) x2 - 12x = 4 ; (4) 3x2 = 4x + 1. 开平方，得 解得 x1= ， x2= 解：化为一般形式 3x2 - 4x - 1 = 0. ∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0, 分析：二次项系数为1，一次项系数为偶数，可用配方法来解题较快. 解：配方，得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62, 即 (x - 6)2 = 40. 分析：二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法. x-6=2 教材例题 解法选择基本思路： 1.一般地，当一元二次方程的一次项系数为0时(ax2+c=0)，应选用直接开平方法； 2.若常数项为0( ax2+bx=0)，应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0)，先化为一般式，看左边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则选用公式法； 4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也比较简单. 教材例题 十字相乘法 拓展提升 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 两个一次二项式相乘的积 一个二次三项式 整式的乘法 反过来，得 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 一个二次三项式 两个一次二项式相乘的积 因式分解 如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能分解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可以用如上的方法进行因式分解. 教材例题 步骤： ①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，积相加 ③检验确定，横写因式 简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中. 解方程：x2+5x-6=0. 解：因式分解得 (x+7)(x-1)=0. ∴x+7=0,或x-1=0. ∴x1=-7,x2=1. 例3 教材例题 选择适当的方法解下列方程： 练一练 3.一个等腰三角形的底边长为6，腰长是一元二次方程 的一个根，则此三角形的周长是 （ ） 当堂练习 当堂练习 课堂小结 $$