[暑假预习衔接]垂线和平行线(讲义)-2024-2025学年四年级上册数学苏教版

垂线和平行线 (知识梳理+典例分析+高频考题+答案解析) ( 模块一 知识梳理 ) 知识点1．平行 【知识点归纳】 1、 定义：在同一平面内，永远不相交的两条直线称为平行线。 2、 2、平行线间的距离：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离。 3、 3、定理：平行线间的距离处处相等。 4、 4、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 5、 这个需要我们和垂直公理进行辨析。 6、 5、平行公理推论：平行于同一条直线的两直线平行。 7、 这个可以用来判定两条直线平行。 知识点2．相交与垂直 【知识点归纳】 当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。（互相垂直：就是直线OA垂直于直线OB，直线OB垂直于直线OA）这两条直线的交点叫做垂足。（两条直线互相垂直说明了这两条直线的位置关系：必须相交，相交还要成直角。） ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。垂直一定会出现90°。 ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。 ③点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 知识点3．直线、线段和射线的认识 【知识点归纳】 1．概念： 直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．一条直线可以用一个小写字母表示． 线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点．一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示． 射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线．这个点叫做射线的端点．一条射线可以用端点和射线上另一点来表示． 注意： （1）线和射线无长度，线段有长度． （2）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点． 2．直线、射线、线段区别： 直线没有端点，两边可无限延长； 射线有一端有端点，另一端可无限延长； 线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度． 知识点4．垂直与平行的特征及性质 【知识点归纳】 1．垂线的定义： 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）． 2．垂线的性质： 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短． 3．垂直的判定：垂线的定义． 4．平行线的概念： 在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”． 5．平行线的判定方法： （1）平行于同一条直线的两直线平行． （2）垂直于同一条直线的两直线平行． （3）平行线的定义． 知识点5．两点间线段最短与两点间的距离 【知识点归纳】 1． 两点之间，线段最短：在两点之间连接出若干条折线、曲线和线段，其中线段的长度最小． 2． 2．应用：当两点在直线两侧时，直接连接两点即可，而不必找对称点；当两点在直线同侧时，需要作出其中一个点关于直线的对称点． 知识点6．过直线外一点作已知直线的平行线 【知识点归纳】 1．画法：设直线外一点为a，在直线上任取两点b和c，以a为圆心，以bc为半径作弧；以b为圆心，以ac为半径作弧，两弧交于d点；连接ad作直线，则ad必平行于bc． 2．在同一平面内，过直线外一点画已知直线的平行线，只能画一条．如果没有在同一平面内的限制，过直线外一点画已知直线的平行线，能画无数多条． 知识点7．过直线上或直线外一点作直线的垂线 【知识点归纳】 1、以直线外一点为圆心，以大于这点到直线的距离为半径画弧交直线于A、B两点． 2、分别以A、B为圆心，以大于AB为半径画弧在直线的两侧相交于两点． 3、连结这一点和任意一个交点（或连结两个交点）的直线就是已知直线的垂线． 知识点8．角的度量 【知识点归纳】 1．角的度量：角度的测量是最基本的测量，最常用的工具是量角器． 2．角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制． 3．度量方法： 量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐． 量角器的0刻度线和角的一条边对齐． 做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度． 看刻度要分清内外圈． 知识点9．角的画法 【知识点归纳】 1．画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0刻度线和射线重合． 2．在量角器刻度线的地方点一个点． 3．以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线． 4．画完后在角上标上符号，写出度数． 知识点10．用三角尺画30°，45°，60°，90°角 【知识点归纳】 1、30°和60°可以通过30°直角三角形得到． 2、45°通过等腰直角三角形可以得到． 3、90°的角两个直角三角形尺都可以得到． 知识点11．画指定度数的角 【知识点归纳】 三角板能画出15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180度的角，是30°，45°，60°，90度的和差，因为通过三角尺只能作角的和差．其余的度数只能通过量角器画角． ( 模块二 典例分析 ) 【典例1】按要求量一量，画一画，填一填。 如图： （1）量一量，∠1＝　 　°。 （2）画一画，以点“O”为顶点。射线OA为角的一边，画一个30°的角，并标为∠2。 （3）观察上图∠1+∠2＝　 　°，∠1和∠2新组成的这个角是一个 　 　角。 【答案】（1）120；（2）；（3）150，钝。 【分析】（1）量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点重合，量角器的0刻度线和角的一条边重合，做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度，看刻度要分清内外圈。 （2）用量角器的中心和射线OA的端点O重合，0刻度线和射线OA重合，在量角器30°的刻度上点上点，过射线的端点O和刚作的点，画射线即可。 （3）先算出两个角的度数和，然后根据钝角的含义：大于90度而小于180度的角叫做钝角。 【解答】解：（1）量一量，∠1＝120°。 （2）作图如下： （3）观察上图∠1+∠2＝150°，∠1和∠2新组成的这个角是一个钝角。 故答案为：（1）120；（2）；（3）150，钝。 【点评】解答问题用到的知识点是：角的画法、过直线外一点画已知直线的平行线和垂线的方法。 【典例2】 量一量，画一画。 （1）量出图中∠1的度数为 　 　。 （2）以O点为顶点，射线OB为一条边，画出∠2，使∠2的度数是105°。 【答案】（1）38°； （2）。 【分析】（1）量角的步骤是：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，依此测量即可。 （2）画角的步骤是：使量角器的中心和O点重合，0°刻度线和射线OB重合，然后在量角器105°刻度线的地方点一个点，最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线；依此画图并标上对应的度数即可。 【解答】解：（1）经过测量可知，图中∠1的度数为38°。 （2）画图如下： 【点评】解答此题的关键是要熟练掌握角的度量方法，以及用量角器画角的方法。 【典例3】 过A点画射线BA的垂线，画射线BC的平行线。 【答案】 【分析】用三角板的直角顶点与A点重合，直角边与射线BA重合，沿另一条直角边画BA的垂线即可，注意垂足就是A点；用三角板的一条直角边和已知射线BC重合，移动三角板使另一条直角边和A点重合，用直尺靠紧和A点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过A点画直线即可。 【解答】解：如图： 【点评】本题考查学生利用三角板和直尺来作平行线和垂线的能力，培养学生的作图能力。 【典例4】 画出直线AB和射线AC，并量出直线AB和射线AC组成的图形中各角的度数（标出度数）。 【答案】 【分析】根据题意，结合射线和直线的定义，画图即可，然后量出角的度数即可。 【解答】解：解答如下： 【点评】本题考查了直线、射线知识以及角的度量方法，结合题意解答即可。 【典例5】过A点分别画下面直线的垂线和平行线． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可． （2）把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可． 【解答】解：作图如下： 【点评】本题考查了学生平行线和垂线的作法，培养学生的作图能力． ( 模块三 高频考题 ) 1．过点A画出已知直线的垂线，并量出点A到直线的距离是 　 　毫米．再以点B为顶点，画一条射线与已知直线相交成65°． 2．画一画，填一填。 ①过A点作已知直线的垂线。 ②量出A点到直线的距离是 　 　毫米。 ③以B点为顶点，引一条射线与已知直线相交组成70°的角。 3．按要求完成下列内容。 （1）量出∠1＝　 　°。 （2）求出∠2、∠3、∠4的度数。 （3）你发现了什么？ 4．按要求完成： （1）过点A画出已知直线的垂线；点A到直线的距离是 　 　毫米。 （2）以B为顶点，画出一条射线，使所画射线与已知直线形成60°的角。 5．按要求画一画。 （1）画出线段AB、直线BC、射线AC。 （2）数一数，图中共有 　 　个钝角。 6．（1）在下面的两条平行线之间画三条与平行线垂直的线段。 （2）从数学角度观察所画的三条线段，你有哪些发现？请写在下面。 7．有一个四边形ABCD（如图）。 （1）经过A点向CD边画垂线。 （2）经过C点画AB的平行线。 （3）量出∠B＝　 　°。 （4）量出B点到AD边的距离是 　 　毫米。 8．运动会跳远比赛中，每名运动员有三次试跳机会，最好的一次成绩作为最终的成绩，小刚在运动会跳远比赛中，第一次犯规，后两次分别跳到了图中位置。 （1）用线段画出两次跳远的距离。 （2）你所画的两条线段互相 　 　。（填“垂直”或“平行”） 9．学校墙上的安全疏散标识牌松动了（如图），怎样才能摆正？请写出具体的方法。 10．工程队要为幸福小区挖一条下水管道，并让这条管道与主管道相通。你认为他们应该按怎样的路线挖才能使路线最短？请你在下面画出来。 11．三角板和量角器是我们研究角时常用的工具。 ①请你用量角器画出一个45°的角。 ②如图，请你算一算∠1的度数。 12．量一量，画一画。 （1）如图中，线段AB和线段 　 　互相垂直。 （2）过点B作线段AC的平行线。 （3）量出图中A的度数是 　 　°。 13．认一认，画一画。 （1）画一条比4厘米长2厘米的线段。 （2）以如图的点为顶点，分别画一个锐角、直角和钝角，并写出这些角的名称。 14．过直线外一点画已知直线的垂线． 15．按要求画图，再回答问题。 （1）画出直线AC。 （2）画出射线CB。 （3）量出∠ACB的度数，标在图上。 （4）画好的图形中有哪几种角？ 16．在如图的量角器上，以点O为顶点画一个75°的角。 17．如图所示，请你回答下列问题。 （1）小英从家到学校有哪几条路可走？ （2）哪条路最近？为什么？ 18．小明要从家去学校，走哪条路最近？为什么？ 19．某养老院墙壁上有一块安全警示牌破损了，小新帮忙重新悬挂了一个，如图所示，你觉得小新挂歪了吗？请画出你的验证过程，并说明理由。 20．动手画一画。 （1）作射线AB，直线BC，线段AC。 （2）量一量，图中∠ABC是 　 　度，小新用一个10倍放大镜观察∠ABC，∠ABC的大小 　 　（“会”、“不会”）变，因为 　 　。 （3）以射线AB为一边，作∠1，使∠1＝135° 21．画一个与如图中∠1同样大的角。 （1）我先测量出∠1的大小是 　 　°。 （2）我先画一条 　 　线，使量角器的中心和它的端点重合，0刻度线与它重合。再在量角器相应的刻度线上画一个 　 　。最后以第一次画的线的端点为端点，过这个点画一条 　 　线。 （3）我把这个角画在右边，注意要标上符号。 22．量一量如图的角是 　 　°，以点A为顶点，其中的一条边为边，再画一个45°的角。 23．张大伯和李二叔两家分别住在一段公路的两边．张大伯家要修一条最短的小路与公路连接，李二叔家要修一段与公路平行的小路到小学．应该怎样修？请你帮忙在图中画出来． 24．（1）过A点作已知直线的平行线。 （2）量出A点到直线的距离是 　 　毫米。 （3）以B点为顶点，引一条射线与已知直线相交组成120°的角，并标为∠1。 25．如图所示，0点是跳远运动员跳入沙坑的落脚点（无犯规），请你在踏板处找到点P，使得线段OP的长度是运动员跳的距离。 26．把一张正方形纸对折两次，再打开。出现的几条折痕一定互相平行吗？请画图说明。 27．如图是三角形ABC，量一量。 （1）过点A作AC的垂线l。 （2）量一量，∠1＝　 　度，BC与AC的位置关系是 　 　。 （3）作出的垂线l与BC的位置关系是 　 　。由此得，同一平面内，垂直于同一直线的两条直线 　 　。 （4）过点B作AC的平行线p，直线p与BC的位置关系是 　 　。 28．以A为顶点，画一个45°的角，以B点为顶点，画一个115°的角． 29．（如图）连接每两个点画线段，一共画出了 　 　条线段，你能看出画的是什么图形吗？ 30．按要求画线段 （1）画一条长6厘米5毫米的线段． （2）画一条1分米长的线段． 31．以线段AB的两个端点为顶点画两个角，使∠A＝55°，∠B＝135°。 32．有三个点A、B、C。 （1）按要求画一画。 ①画出射线BC； ②画出直线AB。 （2）量一量∠ABC＝　 　°。 33．以A为顶点画一个45°的角，以B为顶点画一个60°的角，组成一个三角形。量一量第三个角的度数是 　 　。 34．以下面的点A为端点画一条射线，以射线的端点A为起点截取一条长6厘米的线段，线段的另一个端点为B，最后以点B为角的顶点，画一个120°的角。 35．分别画出直线AB，射线BC，线段AC。 画好的图形中有 　 　个锐角，　 　个钝角。 36．如图，游泳池中有一个小朋友在B点遇到了危险，位于A点的救生员按照怎样的救援路线才能最快将遇险的小朋友救上岸？请你画出救援的最短路线。 37．量一量，画一高。 （1）量出如图中∠1的度数，∠1＝　 　°。 （2）以O为顶点，射线OA为一条边，画出∠2，使∠2＝135°。 38．如图，过已知直线外一点A，分别作已知直线的平行线和垂线． 39．按要求完成下列各题。 （1）量出∠1＝　 　。 （2）过A点画出直线m的垂线。 （3）过A点画出直线n的平行线。 40．请用量角器把下面的平角分成一个钝角和一个锐角，并在图中标明这两个角的度数。（O为角的顶点） 41．不在同一直线上的A、B、C三个点，经过其中的两个点画直线，最多可以画多少条？如果再增加一个D点，最多可以画多少条？（先画一画，再回答） 42．（1）画出一条从学校到书店最近的路； （2）画出一条从学校到公路最近的路。 43．请给下面这条直线画两条垂线，并标注上垂足符号；画出的这两条垂线之间的位置关系是 　 　。 44．按要求画三角形并填空。以CD为一边，画一个三角形，同时符合以下要求： （1）以C点为顶点的角是60度，以D点为顶点的角是30度。 （2）量一量，这个三角形第三个角的度数是 　 　度。 45．在如图中按要求完成下面各题。 （1）以A点为顶点，画一个平角，所画出的角是 　 　°，这个角相当于 　 　个直角的度数。 （2）以B点为顶点，画一条与已知直线相交组成80°角的射线，并标注角的度数。 46．先过A点作已知直线的垂线，再以A为端点，垂线为一条边，作78° 的角。 47．过直线外一点作已知直线的垂线和平行线． 48．量出∠1的度数：∠1＝　 　。过点P分别作射线OM的垂线和ON的平行线。 49．黄霏霏站在A点起跳，落地后的情况如图所示。 （1）裁判员会以 　 　脚落地点 　 　来确定她的立定跳远成绩。 （2）具体怎样测量，请在图上画出你的想法。 50．AB为三角形的一条边，以A为顶点画一个90°的角，以B为顶点画一个50°的角，组成一个三角形。量出这个三角形第三个角的度数是 　 　。 ( 模块四 答案分析 ) 1．【答案】见试题解答内容 【分析】过直线外一点作已知直线的垂线的方法是：把三角板的一直角边与已知直线重合，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过已知点时，沿这条直角边画直线，这条直线就是经过直线外一点的这条直线的垂线，点A到垂足的线段长度即为点A到直线的距离，并有刻度尺量出它的长度．把量角器的中心与点B重合，0刻度线与已知直线重合，以点B为端点，过量角器上表示65°刻度的点画射线，射线与直线即可形成一个65°的角． 【解答】解： 故答案为：20． 【点评】解答此题的关键是三角板、量角器、直尺的正确、熟练使用． 2．【答案】；25。 【分析】①用直角三角尺的一条直角边和直线重合，移动三角尺，使三角尺的另一条直角边和点A重合，过A点沿直角边向已知直线画直线即可。 ②直线外一点到这条直线的垂线段的长度就是点到直线的距离。量出点A到已知直线的垂线段的长度即可。 ③使量角器的中心点和B点重合，0刻度线和已知直线重合，在量角器上找到70°度数的地方点一个点，以B点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，组成的图形就是70°的角，在角内标上角的符号和度数。 【解答】解：①③如图 ②量出A点到直线的距离是25毫米。 故答案为：25。 【点评】本题考查了画角和垂线的作法，培养学生的作图能力。 3．【答案】（1）30；（2）150°，30°，150°；（3）∠1＝∠3，∠2＝∠4。 【分析】（1）量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐，量角器的0刻度线和角的一条边对齐，做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度，看刻度要分清内外圈； （2）∠1与∠2合起来是一个平角，∠2与∠3合起来也是180度，∠3和∠4合起来也是180度，利用180°减去∠1即可求出∠2的度数，180度减去∠2即可求∠3，利用180度减去∠3即可求出∠4； （3）通过计算发现，∠1＝∠3，∠2＝∠4。 【解答】解：（1）量出∠1＝30°； （2）∠2＝180°﹣30°＝150°，∠3＝180°﹣150°＝30°，∠4＝180°﹣30°＝150°； （3）我发现∠1＝∠3，∠2＝∠4。 故答案为：30。 【点评】本题考查了角的度量方法及平角的概念。 4．【答案】（1）（2）20；。 【分析】（1）过直线外一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过A点时，沿这条直角边画的直线就是过A点作的已知直线的垂线，两直线相交于C点；依此画图并标上垂直符号即可； 从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。用直尺的“0”刻度线和端点重合，另一个端点在直尺上的刻度，就是该线段的长度，据此测量出线段AC的长度即可。 （2）使量角器的中心与给出的顶点重合，0刻度线与给出的射线重合；再在量角器上对准要画角的度数的刻度线，并点上一点；然后以已画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，这两条射线所成的夹角就是所要画的角度；据此画图。 【解答】解：由分析可知：（1）点A到直线的距离是20毫米。 （1）、（2）如下图 故答案为：20。 【点评】本题考查的是画指定度数的角以及过直线外一点作直线的垂线的应用。 5．【答案】（1）；（2）3。 【分析】（1）线段是直线上两点间的部分，射线是直线上一点向一侧无限延伸的部分。它们都是直线的一部分，若射线向反向延长，或线段向两方延长，都可以得到直线，若线段向一方延长可得射线，在直线上取两点可以得到一条线段，取一点可以得到两条射线。 （2）根据角的分类知识，大于0°小于90°的角叫做锐角；等于90°的角叫做直角；大于90°而小于180°的角叫做钝角。据此解答即可。 【解答】解：（1）画出线段AB、直线BC、射线AC。如图： （2）图中共有3个钝角。 故答案为：3。 【点评】本题主要考查画线段、射线、直线和辨别钝角，掌握线段和角的定义是解题的关键。 6．【答案】（1） （2）垂直于两条平行线的线段互相平行。 【分析】（1）用三角尺直角的两边，一边与其中一条线重合，另一条边即是垂线，据此画出三条即可。 （2）发现三条线段互相平行，因此垂直于两条平行线的线段互相平行。 【解答】解：（1）如下图所示： （2）垂直于两条平行线的线段互相平行。 【点评】本题考查了学生过直线外一点向已知直线作垂线的能力以及平行线间垂线段的关系。 7．【答案】（1）（2）（3）115°；（4）20。 【分析】（1）过直线外一点作已知直线的垂线的方法是：把三角板的一直角边与已知直线重合，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过已知点时，沿这条直角边画直线，这条直线就是经过直线外一点的这条直线的垂线。 （2）过直线外一点作已知直线的平行线的方法是：把三角板的一边与已知直线重合，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线，这条直线就与已知直线平行；。 （3）角的度量方法：量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 【解答】解： （1）（2）如图： （3）经测量∠B＝115°。 （4）B点到AD边的距离是如图垂线的距离 答：经测量B点到AD边的距离是20毫米。 故答案为：（3）115°；（4）20。 【点评】本题考查了学生动手操作的能力。 8．【答案】（1）；（2）平行。 【分析】（1）运动员所跳出的落脚点与起跳线垂直，据此画图； （2）垂直于同一条直线的垂线互相平行。 【解答】解：（1）； （2）你所画的两条线段互相平行。 故答案为：平行。 【点评】本题考查了垂线的画法应用及垂直的性质。 9．【答案】 画与地面平行的一条直线，通过旋转，使标识牌的长边与画的这条直线重合即可摆正。 【分析】画出与地面平行的一条直线，使标识牌的长边与画的这条直线重合即可摆正；据此解答。 【解答】解：如图： 画与地面平行的一条直线， 通过旋转，使标识牌的长边与画的这条直线重合即可摆正。 【点评】本题考查了平行的特征及应用。 10．【答案】见试题解答内容 【分析】根据过直线外一点作直线的垂线知识，结合题意，从幸福小区到主管道的所有连线中，垂直的线段最短，解答即可。 【解答】解： 【点评】本题是一道有关过直线上或直线外一点作直线的垂线的题目，侧重考查知识点的理解能力。 11．【答案】① ②75°。 【分析】①画角的步骤是：先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合，然后在量角器45°刻度线的地方点一个点，最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线；依此画图即可。 ②根据图形分析可得，图中∠1是由45°的角与30°的角拼成的，据此解答即可。 【解答】解：①用量角器画出一个45°的角。如图： ②45°+30°＝75° 答：∠1的度数是75°。 【点评】本题考查了角的画法以及图形拼组知识，结合题意分析解答即可。 12．【答案】（1）BC；（2） （3）45。 【分析】（1）通过测量可知则∠B＝90°，即AB⊥BC。 （2）用三角板的一条直角边和已知直线重合，移动三角板使另一条直角边和B点重合，用直尺沿和A点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过A点画直线． （3）用量角器测量出角A的吨数即可。 【解答】解：（1）用量角器测量∠B＝90°，所以AB⊥BC，即线段AB和线段BC互相垂直； （2）如下图所示： （3）用量角器测量∠A＝45° 故答案为：BC；45。 【点评】本题考查了过直线外一点作已知直线的平行线和用量角器测量角度的问题。 13．【答案】（1）；（2）。 【分析】（1）线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度，据此先计算求出线段的长度，再画图； （2）根据角的度数判断角的种类，锐角大于0度小于90度，直角等于90度，钝角大于90度小于180度，据此画图。 【解答】解：（1）4+2＝6（厘米） 如图： （2） 【点评】本题考查了线段的特征及画法、角的分类及画法。 14．【答案】见试题解答内容 【分析】用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和已知点重合，过已知点沿直角边向已知直线画直线即可． 【解答】解：根据题干分析画图如下： 【点评】本题考查了学生过一点向已知直线作垂线的能力． 15．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）直线没有端点，两边可无限延长； （2）射线有一端有端点，另一端可无限延长； （3）量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐，量角器的0刻度线和角的一条边对齐，做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度，看刻度要分清内外圈； （4）规定平角的一半是90°，直角的两边互相垂直。规定大于90°的角为钝角，小于90°的角为锐角。 【解答】解：（1）、（2）、（3）如图： （4）画好的图形中有1个周角、1个平角、一个钝角和一个锐角。 【点评】本题考查了直线、射线的特征及角的度量和分类。 16．【答案】 【分析】①量角器的中心点对准已知射线的端点，0刻度线对准射线（两重合）； ②对准量角器75°的刻度线点一个点（找点）； ③把点和射线端点连接，然后标出角的度数。 【解答】解： 【点评】考查了画指定度数的角，步骤为：①两重合（点点重合、线线重合）；②找点；③连线。 17．【答案】（1）可经过公园到学校，或经过电影院到学校，或经过超市到学校。 （2）经过公园到学校；因为两点之间线段距离最短。 【分析】（1）小英从家到学校，可分别经过公园、电影院、或超市到学校，依此解答。 （2）两点之间的距离，线段距离最短，依此解答。 【解答】解：（1）小英从家到学校可经过公园到学校，或经过电影院到学校，或经过超市到学校。 （2）小英从家经过公园到学校最近，因为两点之间线段距离最短。 【点评】解答此题的关键是要明确两点之间线段距离最短与两点之间的距离。 18．【答案】中间的路最近，因为两点之间所有连线中线段最短。 【分析】根据两点之间线段最短，从小明家去学校走中间直线段路最近；据此解答。 【解答】解：从小明家到学校一共有3条路线： 1．小明家→邮局→学校 2．小明家→学校 3．小明家→商场→学校 因为两点之间线段最短，所以小明家→学校这条中间的路最近，因为两点之间所有连线中线段最短。 【点评】本题是考查线段的性质，两点之间线段最短。 19．【答案】小新挂歪了；因为挂安全警示牌的两个线段的长度不相等。（答案不唯一） 【分析】根据平行线之间的距离处处相等进行思考解答。如果悬挂安全警示牌的两个线段的长度相等，就表示这个安全警示牌没挂歪，如果悬挂安全警示牌的两个线段的长度不相等，就表示这个安全警示牌挂歪了，所以用直尺测量出悬挂安全警示牌的两个线段的长度即可解答。 【解答】解：用直尺测量悬挂安全警示牌的两个线段的长度，发现长度不相等，所以小新挂歪了。（答案不唯一） 【点评】此题考查了平行的特征及性质。 20．【答案】（1） （2）35，不会，用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变；（3） 【分析】（1）直线没有端点，两边可无限延长；射线有一端有端点，另一端可无限延长；线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度； （2）通过用量角器测量测量出∠ABC的度数即可，用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变； （3）以射线AB为一边，作∠1，使∠1＝135°，以点A为端点，射线AB为角的一条边，再从A点画一条射线后画出一个角∠1，使∠1＝135°即可。 【解答】解：（1）如下图所示： （2）经过测量，∠ABC＝35°，小新用一个10倍放大镜观察∠ABC，∠ABC的大小不会变，因为用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变。 （3）如下图所示： 故答案为：35，不会，用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变。 【点评】本题考查了直线、射线、线段和角的认识以及角的画法等，关键是用放大镜看角，很容易错误认为角的度数会被放大相同倍数，关键要学生理解角的大小与边的长短无关．也要认识到一个普遍规律：放大镜只改变物体大小，不改变物体形状，对角而言只是一种图形，既然形状不变，角度也不会改变。 21．【答案】（1）90（误差2度内均可）；（2）射，点，射；（3）。 【分析】（1）根据角的度量方法，解答即可。 （3）根据角的画法，先画一条射线，使量角器的中心和它的端点重合，0刻度线与它重合。再在量角器相应的刻度线上画一个点。最后以第一次画的线的端点为端点，过这个点画一条射线。 （3）把这个角画在右边，注意要标上符号。解答即可。 【解答】解：（1）先测量出∠1的大小是90°。（误差2度内均可） （2）先画一条射线，使量角器的中心和它的端点重合，0刻度线与它重合。再在量角器相应的刻度线上画一个点。最后以第一次画的线的端点为端点，过这个点画一条射线。 （3）把这个角画在右边，注意要标上符号。如图： 故答案为：90（误差2度内均可）；射，点，射。 【点评】本题考查了角的度量和画法，结合题意分析解答即可。 22．【答案】45；。 【分析】（1）用量角器度量角的方法是：顶点与量角器的中心重合，角的一边与量角器的0刻度线重合，另一边所指的刻度就是这个角的度数。 （2）把量角器的中心与点A重合，0刻度线与AB重合，过量角器上60°刻度的点C作射线OC，∠BAC＝45°． 【解答】解：（1）量得这个角的度数是120度； （2）以A点为顶点，AB为一条边，在这个角内画45°的角（∠BAC）： 故答案为：45°。 【点评】角的度量、画角除一些特殊角（15°整数倍数的角）可用三角板画外，主要工具是量角器，量角器的使用，在小学阶段是一个难点，要反复训练。 23．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）因为直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，所以，只要作出张大伯家到公路的垂线段即可． （2）根据过直线外一点作已知直线的平行线的方法，过李二叔家作出公路的平行线即可． 【解答】解：如图所示：过张大伯家作出张大伯家到公路的垂线段就是张大伯家到公路的最短小路； （2）过李二叔家作出公路的平行线，就是李二叔要修的公路． ． 【点评】此题主要考查直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短． 24．【答案】（1）（2）10；（3）。 【分析】（1）根据平行线的画法，过A点作已知直线的平行线即可。 （2）根据垂线的画法，过点A画直线的垂线，然后量出点A到直线的距离即可。 （3）根据角的画法，以B点为顶点，引一条射线与已知直线相交组成120°的角，并标为∠1。据此作图即可。 【解答】解：（1）过A点作已知直线的平行线。如图： （2）量出A点到直线的距离是10毫米。 （3）以B点为顶点，引一条射线与已知直线相交组成120°的角，并标为∠1，如图： 故答案为：10。 【点评】本题考查了平行线、垂线以及角的画法知识，结合题意解答即可。 25．【答案】 【分析】根据垂线的画法，把三角板的一条直角边与已知踏板重合，另一条直角边与直尺重合，然后沿直尺向O点平移，使三角板与已知直线重合的那条边经过点O，再过O点作直线即可。 【解答】解：作图如下： 【点评】此题主要考查过直线外一点作直线的垂线，根据题意解答即可。 26．【答案】，把一张正方形纸对折两次，再打开。出现的折痕不是一定互相平行的。 【分析】如下图所示，把一张长方形纸对折后，再对折，折痕可能互相平行，也可能互相垂直。 【解答】解：画图如下： 把一张正方形纸对折两次，再打开。出现的折痕不是一定互相平行的。 【点评】本题考查了垂直和平行的性质。 27．【答案】（1）（2）80，相交；（3）垂直，相互平行；（4） 垂直。 【分析】（1）根据垂线的画法，过点A作AC的垂线l即可。 （2）根据角的度量方法，量一量∠1＝80度，根据相交的意义可知，BC与AC的位置关系是相交。 （3）根据图示，结合垂直的意义可知作出的垂线l与BC的位置关系是垂直。由此得，同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行。 （4）根据平行线的画法，过点B作AC的平行线p即可，直线p与BC的位置关系是垂直。 【解答】解：（1）过点A作AC的垂线l。如图： （2）量一量，∠1＝80度，BC与AC的位置关系是相交。 （3）作出的垂线l与BC的位置关系是垂直。由此得，同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行。 （4）过点B作AC的平行线p，如图： 直线p与BC的位置关系是垂直。 故答案为：80，相交；垂直，相互平行；垂直。 【点评】本题考查了垂直、平行的意义以及垂线和平行线的画法以及角的度量等知识，结合题意分析解答即可。 28．【答案】见试题解答内容 【分析】用量角器的圆点分别和点A点B重合，过0刻度线画射线，在量角器45°及115°的刻度上点上点，过射线的端点和刚作的点画射线，和原射线的夹角就是要求的角． 【解答】解：根据分析作角如下： 【点评】本题考查了用量角器画角的方法，关键是熟悉画角的步骤． 29．【答案】，船。 【分析】线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度，据此解答。 【解答】解：如图： ，可以看出是一个船。 【点评】本题考查了线段的画法。 30．【答案】见试题解答内容 【分析】因为线段有2个端点，有限长；由此画出6厘米5毫米即46毫米和1分米的线段即可． 【解答】解 【点评】本题考查了学生画线段的能力． 31．【答案】 【分析】把量角器的中心与点A重合，0°刻度线与AB重合，过量角器（与0°刻度线同一圈）上表示55°刻度的点画射线即可画出55°的角；用同样的方法画出135°的角即可。 【解答】解：如图： 【点评】本题考查了角的画法，结合题意分析解答即可。 32．【答案】（1）；（2）60。 【分析】（1）①射线有一端有端点，另一端可无限延长； ②直线没有端点，两边可无限延长。 （2）量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐，量角器的0刻度线和角的一条边对齐，做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度，看刻度要分清内外圈。 【解答】解：（1）如图： （2）通过测量∠ABC＝60°。 故答案为：；60。 【点评】本题考查了直线和射线的特征及角的度量方法。 33．【答案】见试题解答内容 【分析】先使量角器的中心和线段的端点重合，零刻度线和线段重合；在量角器45°或60°的地方点点；以线段的端点为端点，连接两个端点，即可作成角，三角形的内角和是180度，利用180度减去两个已知的角就是第三个角的度数。 【解答】解：如图： 180°﹣45°﹣60°＝75° 答：第三个角的度数是75°。 故答案为：75°。 【点评】本题考查了学生根据所给度数利用作图工具画角的动手能力及三角形内角和的知识，结合题意分析解答即可。 34．【答案】 【分析】根据射线只有一个端点，以点A为端点画一条射线，以射线的端点A为起点截取一条长6厘米的线段，线段的另一个端点为B，最后根据角的画法，以点B为角的顶点，画一个120°的角即可。 【解答】解：如图： 【点评】本题考查了射线、线段的特征和画法以及角的画法，结合题意分析解答即可。 35．【答案】 3；3。 【分析】直线没有端点，两边可无限延长；射线有一端有端点，另一端可无限延长；线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度。锐角小于90°，钝角大于90°，小于180°，据此解答即可。 【解答】解：分别画出直线AB，射线BC，线段AC。如图： 画好的图形中有3个锐角，3个钝角。 故答案为：3；3。 【点评】本题考查了直线、射线、线段的画法以及锐角和钝角的认识，结合题意分析解答即可。 36．【答案】 【分析】从点A到点B，根据两点之间线段最短，即可得到路线；从点B到游泳池边，根据垂线段最短，即可分析解答。 【解答】解： 如图： 【点评】本题是一道有关最短距离的题目，两点之间线段最短。 37．【答案】（1）30；（2） 【分析】（1）根据角的度量方法，用量角器量出如图中∠1的度数即可。 （2）根据角的画法，以O为顶点，射线OA为一条边，画出∠2，使∠2＝135°即可。 【解答】解：（1）量出如图中∠1的度数，∠1＝30°。 （2）以O为顶点，射线OA为一条边，画出∠2，使∠2＝135°。如图： 故答案为：30。 【点评】本题考查了角的度量和角的画法知识，结合题意分析解答即可。 38．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可． （2）把三角板的一条直角边与已知直L重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可． 【解答】解：由分析作图如下： 【点评】本题考查了学生过直线外一点作已知直线的平行线和垂线的画图能力． 39．【答案】（1）110°；（2）、（3）。 【分析】（1）把量角器的中心与∠1的顶点重合，0°刻度线与n重合，与m重合的刻度线所显示的度数就是∠1的度数。 （2）把三角板的一直角边靠紧直线m，沿这条直线m滑动三角板，当另一直角边经过已知点A时，沿这条直角边画直线，这条直线就是过A点画出直线m的垂线。 （3）把三角板的一边靠紧直线n，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线n紧靠的一边经过已知点A时，沿这边画直线，这条直线就是过A点画出直线n的平行线。 【解答】解：（1）量出∠1＝115。 （2）过A点画出直线m的垂线（下图红色线）。 （3）过A点画出直线n的平行线（下图绿色线）。 故答案为：110°。 【点评】此题考查的知识：用量角器度量角、过已知直线外一点作已知直线的垂线和平行线。关键是量角器、三角板的正确、熟练使用。 40．【答案】（画法不唯一） 【分析】小于90°的角是锐角，大于90°小于180°的角是钝角，据此画图，然后量出这两个角的度数，标记即可。 【解答】解：如图： （画法不唯一） 【点评】本题考查了锐角、钝角的定义及角的画法，结合题意分析解答即可。 41．【答案】 3条，6条。 【分析】根据过两点的直线有1条，过不在同一直线上的三点的直线有3条，过任何三点都不在一条直线上四点的直线有6条，按此规律，由特殊到一般，总结出公式：平面内任意三个点都不在同一直线上，平面内有n个点，一共可以画直线的条数为n（n﹣1）÷2条。 【解答】解：如图： 3×（3﹣1）÷2 ＝6÷2 ＝3条） 4×（4﹣1）÷2 ＝12÷2 ＝6（条） 答：不在同一直线上的A、B、C三个点，经过其中的两个点画直线，最多可以画3条，如果再增加一个D点，最多可以画6条。 【点评】本题是探索规律题，有n个点，每三个点都不在一条直线上，过其中每两个点画直线，可以画n（n﹣1）÷2条直线。 42．【答案】 【分析】（1）根据线段的性质，两点之间，线段最短。连接书店与学校的线段，就是从学校到书店最近的路。 （2）根据垂直线段的性质，从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短，过表示学校的点向公路所在的直线作垂线，表示学校的点与垂足间的线段就是从学校到公路最近的路。 【解答】解：根据题意画图如下： 【点评】此题考查了线段的发挥、垂直线段的性质。 43．【答案】互相平行。 【分析】在同一个平面内，两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。 平行线的性质：在同一平面内，如果两条直线都与另一条直线互相垂直，那么这两条直线互相平行。 【解答】解：作图如下： 画出的这两条垂线之间的位置关系是互相平行。 故答案为：互相平行。 【点评】此题考查了垂直和平行的特征和性质，要熟练掌握。 44．【答案】（1） （画法不唯一） （2）90。 【分析】以CD为一边，画一个三角形，同时符合以下要求： （1）以C点为顶点的角是60度，以D点为顶点的角是30度，据此根据要求画一个直角三角形即可。 （2）量一量，这个三角形第三个角的度数是90度。据此解答即可。 【解答】解：（1）如图： （画法不唯一） （2）量一量，这个三角形第三个角的度数是90度。 故答案为：90。 【点评】本题考查了三角形的画法以及角的画法知识，结合题意分析解答即可。 45．【答案】（1）180，2；（2） 。 【分析】（1）以A点为顶点，画一个平角，根据平角是180°可知，所画出的角是180°，根据直角是90°，所以1个平角相当于2个直角的度数。 （2）根据角的画法，以B点为顶点，画一条与已知直线相交组成80°角的射线，并标注角的度数即可。 【解答】解：（1）以A点为顶点，画一个平角，所画出的角是180°，这个角相当于2个直角的度数。如图： （2）以B点为顶点，画一条与已知直线相交组成80°角的射线，并标注角的度数。如图： 故答案为：180，2。 【点评】本题考查了平角、直角的概念以及角的画法知识，结合题意分析解答即可。 46．【答案】 【分析】先过点A作已知直线的垂线，垂足为B；再以A为端点，垂线为一条边，画射线AC，使∠BAC等于78°。 【解答】解： 【点评】解答本题需熟练掌握垂线和角的画法。 47．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可． （2）把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可． 【解答】解： 【点评】本题考查了学生平行线和垂线的作法，培养学生的作图能力． 48．【答案】60°。 【分析】用量角器量角即可，量角要注意：量角器的中心和角的顶点对齐，角的一边与量角器的0刻度线重合。 用三角板的一条直角边的已知直线OM重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和P点重合，过P沿直角边向已知直线画直线即可画出OM的垂线； 把三角板的一条直角边分别与已知直线ON重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和P点重合，过P点沿三角板的直角边画直线即可画出ON的平行线。 【解答】解：∠1＝60° 故答案为：60°。 【点评】本题是一道有关过直线外一点作已知直线的平行线、过直线上或直线外一点作直线的垂线的题目，侧重考查知识点的能力。 49．【答案】（1）右；C。 （2） 【分析】（1）应测跳远时起跑线与身体接触沙坑最后落脚点之间的垂直长度； （2）垂线段最短指的是从直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。根据垂线段的性质，即可解答。 【解答】解：（1）裁判员会以右脚落地点C来确定她的立定跳远成绩。 （2）作图如下： 故答案为：右；C。 【点评】此题考查了垂线段的特征和性质，要熟练掌握。 50．【答案】 40°。 【分析】量角器的中心和线段的端点A重合，零刻度线和线段重合，在量角器90°角刻度线的地方点一个点，以线段的端点A为端点，通过刚画的点，再画一条射线，即可画出一个90°的角； 量角器的中心和线段的端点B重合，零刻度线和线段重合；在量角器50°角刻度线的地方点一个点，以线段的端点B为端点，通过刚画的点，再画一条射线，即可画出一个50°的角。 90°角和50°角的另一条边有一个交点，量角器的中心与这个交点重合，零刻度线与90°角的边重合，50°角的边对准刻度几，就是几度。据此解答。 【解答】解：作图如下： 故答案为：40°。 【点评】本题主要考查角的度量和用量角器画角，属于基础知识，要熟练掌握。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$