1.1菱形的性质与判定　自主学习解答同步练习题　　2024-—2025学年北师大版九年级数学上册　

2024-2025学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》 自主学习解答同步练习题（附答案） 1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，请你添加一个条件使之变为菱形，并说明理由． 2．如图，在菱形中，、分别为边和上的点，且．连接、交于点．求证：． 3．如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE⊥AD，垂足为E．当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，求BE的长． 4．如图，在中，，D为的中点，，．求证：四边形是菱形； 5．如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°． （1）求∠A的度数； （2）请用尺规作图，在AD边上找到一点F，使得∠DBF＝45°（不写作法，保留作图痕迹）    6．如图，在菱形中，对角线和相交于点．    (1)实践与操作：过点作交的延长线于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想与证明：试猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想． 7．如图，在菱形中，为边的中点，点在边上，，交的延长线于点．    (1)求证：． (2)若，，则的长为________． 8．如图，在中，为边上一点，平移线段，使点与点重合、点与点重合，连接，，． (1)若，，求的度数．． (2)请再添加一个条件，使四边形为菱形． 9．如图，菱形中，，，，垂足分别为点E，点F． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的面积． 10．如图，在中，，交于点，点，分别是，的中点，连接，，，．    (1)求证：； (2)当时，求证：四边形为菱形． 11．在数学活动课上，学习小组的同学们制作了两个特殊的直角三角板（和），按如图的方式放置，已知，，，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，求的长． 12．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)判断四边形是哪种特殊四边形； (3)在（2）的条件下，若，，求四边形的面积． 13．如图，在菱形中，是对角线上一点，点在的延长线上，，交边于点． （1）求证：； 【问题探究】 （2）当时，连接，探究与的数量关系，并说明理由． 14．如图，，E是的中点，平分，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作等腰三角形，其中． (2)在图2中作菱形． 15．已知：如图，在平行四边形中，的平分线交于点，过点作的垂线交于点F，交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 16．如图，平行四边形中，，点为的中点，连接. (1)过点作，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：四边形为菱形； (3)若平行四边形的周长为18，，求四边形的面积. 17．如图，四边形中，，，、分别是、的中点，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，为的中点，点是线段上一动点． ①当点M是线段的中点时，连结，求证：； ②若，试求出的最小值． 18．阅读短文，解决问题． 若平行四边形的四个顶点都在三角形的边上，且有一个角与三角形的一个角重合，另一个顶点在三角形的这个重合角的对边上，我们就称这个平行四边形是该三角形的“相依四边形”．例如：如图，在平行四边形中，与重合，点在上，则称平行四边形为的“相依四边形”． (1)如图，平行四边形为的“相依四边形”，平分，判断四边形的形状，并进行证明． (2)在（1）的条件下，如图，． ①若，，求四边形的周长； ②如图，分别是的中点，连接，若，求的值． 19．如图，四边形中，，，并且平分，，．点是上的动点，点在射线上． (1)如图1，求证：四边形为菱形； (2)如图2，连接，若，求的度数； (3)如图3，若，连接，求的最小值． 20．如图，已知两个菱形与菱形，其中 连接，CG，BE，其中EF与BC相交于点H． (1)求证∶ (2)连接，，求证： (3)在线段上找一点，使得，，三点共线，请直接写出点的位置，并利用点的位置说明共线的理由． 参考答案 1．解：添加AB=BC， ∵四边形ABCD是对角线互相平分的四边形， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形． 2．证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴DA＝DC＝AB＝BC， ∵AE＝CF， ∴DE＝DF 在△DAF和△DCE中， ， ∴△DAF≌△DCE（SAS）， ∴∠EAG＝∠FCG， 在△AEG和△CFG中， ， ∴△AEG≌△CFG（AAS）， ∴EG＝FG， 在△DGE和△DGF中， ， ∴△DGE≌△DGF（SSS）， ∴∠DGE＝∠DGF． 3．解：∵菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，AC＝8，BD＝6， ∴∠AOB=90°，AO＝4，BO＝3， ， 菱形的面积为， ∴， ． 4．证明：， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，，D为中点， ， ∴平行四边形是菱形； 5．解：如图所示：      （1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AD＝AB ∴∠ADB＝∠ABD=∠CBD＝75°． ∴∠A＝180°﹣75°﹣75°＝30°． 答：∠A的度数为30°； （2）作AD边的垂直平分线，交AD于点F， ∴AF＝BF， ∴∠FBA＝∠A＝30° ∴∠DFB＝∠FBA+∠A=60° ∴∠DBF＝45°． 6．解：（1）如下如：即为所求， 以点为圆心，为半径，画弧交的延长线于点，连接， 证明： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴．    （2）∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是上的中线， ∴． 7．（1）证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得：． 8．（1）解：根据平移的性质，可得，， 四边形是平行四边形． ． 在中，，， ． ． （2）答案不唯一，如， 证明：由（1）知四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 9．（1）证明：由题意得： ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形 （2）解：作，如图所示： 由（1）可得： ∴是的中位线 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 10．（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：∵，四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形， ∴， 即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形为菱形． 11．（1）证明：在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：连接交于点O，    ∵四边形为菱形， ∴，，， 在中，， 由(1)知，， ∴， ∵， ∴， ∴ 在中， ， ∴， ∴ ∴． 12．（1）解：∵ ∴ ∵是的中点， ∴， ∵ ∴（ASA）； ∴． （2）解：由（1）得， ∵是的中点， ∴， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是直角三角形，是的中点， ∴， ∴平行四边形是菱形． （3）∵连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 13．解：（1）∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2） ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 14．（1）解：延长交的延长线于点F，则即为所求； ， ， 平分， ， ， ； （2）延长交的延长线于点N，连接并延长交的延长线于点M，连接，则四边形即为所求菱形， ， E是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， 是菱形； 15．（1）证明：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，过点作于点， ∵四边形是菱形，，，， ∴，，，， 在中，，， 在中，，， ∴， 在中，， ∴的长为． 16．解：（1）如图，即为所作； （2）证明：∵是平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，点为的中点， ∴， ∴四边形为菱形； （3）连接， 设， ∵平行四边形的周长为18， ∴，即， ∵，即， 解得， 又∵四边形为菱形， ∴，， 又∵， ∴是平行四边形， ∴， ∴． 17．（1）证明：，， ， ， 四边形是平行四边形； （2）①证明：如图1，    是的中点，是的中点， 是的中位线， ； ②解：如图2，连接、，    由（1）得：四边形是平行四边形， ，， 、分别是、的中点，， ， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ， ， ， 平行四边形是菱形， 垂直平分， ， ， 当点、、三点共线时，的值最小，其最小值为的长， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 是等边三角形， ， 为的中点， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 的最小值为． 18．（1）证明：四边形是平行四边形， ， 平分 四边形为菱形． （2）①由（1）可知四边形为菱形， 设， ， ，， ． ． ， 解得 四边形的周长为； ②过作交于，如图： ，， 四边形是平行四边形， ， 分别是的中点， ， ， ， 为的中点， ， ，， ， 19．（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，即， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形； （2）解：连接， ∵四边形为菱形， ∴，是公共边， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是菱形，，是对角线， ∴，则， 如图所示，过点作，且取，连接，，， 在，中， ， ∴， ∴， ∵四边形为菱形，则，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由得， ∴的最小值为． 20．（1）证明：∵菱形与菱形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴ ∴， （2）连接，如解图（1） ∵菱形与菱形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）当，即是中点时，、、在同一条直线上． 证明：连接，将绕点C逆时针旋转到位置，连接、， ∵在菱形，，， ∴，， ∴， ∴， 同理：， ∵由旋转可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴ ∴， ∴， ∴、、在同一条直线上． 学科网（北京）股份有限公司 $$