1.2一定是直角三角形吗　自主学习同步练习题　　2024—-2025学年北师大版八年级数学上册

2024-2025学年北师大版八年级数学上册《1.2一定是直角三角形吗》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．以下列长度（单位：）为边长的三角形是直角三角形的是（  ） A．4，5，6 B．4，6，8 C．5，6，7 D．6，8，10 2．探究勾股定理的思路是：先从等腰直角三角形入手，发现等腰直角三角形三边有特殊数量关系“两直角边的平方和等于斜边的平方”，再探究一般的直角三角形是否也具有这样的性质．这种研究思路主要体现的数学思想是（    ） A．从特殊到一般 B．从一般到特殊 C．分类 D．归纳 3．如图，在 4×4 的正方形网格中（每个小正方形边长均为 1），点A，B，C 在格点上，连接 AB，AC，BC，则△ABC 的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 4．如图，三个四边形均为正方形，则字母B所表示的值为（    ） A．12 B．13 C．144 D．194 5．勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题最重要的工具之一．下列图形中可以证明勾股定理的有（    ）    A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 6．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 7．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步(两步＝10尺)时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长?”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点，如图所示，若正方形的面积为，，则的值是（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．7 二、填空题 9．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；，，.根据你的发现，与之间的关系是 ， . 10．若三角形三边长分别为15，12，9，则这个三角形最长边上的高是 . 11．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为 ． 12．如图，将一根长度为、自然伸直的弹性皮筋两端固定在水平的桌面上，然后把中点竖直向上拉升至点，则此时该弹性皮筋被拉长了 .    13．如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为 为直角三角形． 14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，点在小正方形的格点上，连接，则 ． 15．如图，在水平直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别为，则 ． 16．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈＝10尺）这段话的意思是：有一水池一丈见方，池中央生有一棵芦苇，露出水面一尺．如把它引向岸边，正好与岸边齐．问水有多深？即如图所示的截面图中，AB＝1丈，CD垂直平分AB，DE＝1尺，CD＝CB，那么水的深度CE是 尺．    三、解答题 17．判断由线段组成的三角形是不是直角三角形． （1）＝7，＝24，＝25； （2）＝，＝1，＝； （3），，()； 18．已知某开发区有一块四边形空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，∠CBD=90°，DB=5m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问需要多少投入? 19．如图，在△ABC中，AB＝100，BC＝125，AD⊥BC，垂足为点D，AD＝60，点A在直线MN上． （1）求AC的长； （2）若∠MAC＝48°，求∠NAB的度数． 20．如图，地面上放着一个小凳子（与地面平行），点A到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．在图①中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处，． (1)求小凳子的高度； (2)在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处．若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度． 21．在苏教版七下第九章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示． (1)用不同的方法计算图1的面积得到等式： ． (2)图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，从整体看它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式： ．（结果为最简） (3)根据上面两个结论，解决下面问题： ①在中，，三边长分别为a、b、c，已知，求的值． ②如图3，四边形中，对角线互相垂直，垂足为O，，在中，，若的周长为1，则的面积＝　 　． 参考答案 1．解：由 故A错误； 由 故B错误； 由 故C错误； 由 故D正确； 故选D． 2．解：∵先从等腰直角三角形入手，发现等腰直角三角形三边有特殊数量关系“两直角边的平方和等于斜边的平方”，再探究一般的直角三角形是否也具有这样的性质． ∴这种研究思路主要体现的数学思想是从特殊到一般． 故选A． 3．解：由题意得：， ，， ∵， ∴， ∴∠BAC＝90°， ∴为直角三角形． 故选：B． 4．解：由勾股定理得：， 故选：C． 5．解：①，， ∴， 整理得， 故①满足题意； ④或， ∴， ∴， 故④满足题意； ②没有体现直角三角形斜边的长度，故②不符合题意； ③无法证明直角三角三边关系，故③不符合题意； 故选：D 6．解：如图2，由题意知，外延的4部分全等，且， 由勾股定理得，， ∴这个风车的外围周长是， 故选：C． 7．解：设秋千的绳索长为 尺，根据题意可列方程为：即． 故选：C 8．解:∵正方形的面积为， ∴， 设， ∵， ∴， 中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， 则的值是； 故选：B． 9．解:观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c−b=1；通过代入3，4，5；5，12，13；7，24，25计算可得52-42=32,132-122=52,252-242=72，即可得到. 10．解:因为，所以此三角形是直角三角形， 设最长边上的高为， 所以该三角形的面积为，解得. 故答案为. 11．解：由题意：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E， ∴S正方形A+S正方形B=S正方形D-S正方形C， ∵正方形A、C、D的面积依次为4、6、18， ∴S正方形B+4=18-6， ∴S正方形B=8． 故答案为：8． 12．解：由题意，得 AD=BD，CD⊥AB，AC=BC=8， ∵CD=6 ∴ ∴ ∴此时该弹性皮筋被拉长了20-16=4 故答案为：4. 13．解：作BF⊥AD于F， 则四边形DEBF为矩形， ∴BF=DE=4，DF=BE=1， ∴AF=AD-DF=3， 由勾股定理得，      当△ABC为直角三角形时， 即 解得，CD=3， 如图2，作BH⊥AD于H， 仿照上述作法，当∠ACB=90°时， 由勾股定理得，   由得： 解得： 同理可得：当∠ABC=90°时， 综上：的长为：3或2或． 故答案为：3或2或． 14．解：如图，连接 由勾股定理得： 为等腰直角三角形， 故答案为： 15．解：如图， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：4． 16．解：设水池里水的深度是x尺， 由题意得，x2+52＝（x+1）2， 解得：x＝12， 答：水池里水的深度是12尺． 故答案为：12． 17．解：（1）∵  ，， ∴  ． ∴  由线段组成的三角形是直角三角形． （2）∵，，， ∴  ． ∴  由线段组成的三角形不是直角三角形． （3）∵， ∴  ，． ∵， ， ∴  ． ∴  由线段组成的三角形是直角三角形． 18．证明：连接BD ∵∠A=90°，∠CBD=90°， ∴△CBD，△ABD为直角三角形， 在Rt△CBD中， BC2 = CD2- BD2 ∴m 在△ABD中，AB2 =BD2-AD2 ∴ABm ∴四边形ABCD面积 = S△BAD十S∆DBC=∙AD∙AB+∙DB∙ BC=m2， 36×200=7200（元） 所以需要投入资金为7200元． 19．解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ABD中， ， ∵BC＝125， ∴DC＝BC－BD＝125－80＝45， 在Rt△ADC中， ； （2）∵ ， ∴， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠BAC＝90° ∵∠MAC＝48° ∴． 20．（1）解：过A作垂直于墙面，垂足M， 根据题意可得，， 在中，， 即凳子的高度为． （2）解：延长交墙面于点N，可得， 设cm，则，，， 在中，，即， 解得，则． 21． 解：（1）∵ ∴大正方形的面积为，分割的四个图形的面积分别为 ∴， 故答案为：． （2） ∵ ∴梯形的面积为，分割的三个图形的面积分别为 ∴， ∴， 故答案为：． （3）①∵，，，， ∴， ∴（舍去）， 故的值是7． ②∵，，的周长为1，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$