精品解析：山东省聊城市2023-2024学年高一下学期4月期中数学试题

2023—2024年第二学期期中教学质量检测 高一数学试题 冠县一中 审题人：任庆军 张彩锐 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，计算（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算及乘方运算法则计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：D 2. 长度分别为2，3，4的线段构成图形的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不构成三角形 【答案】C 【解析】 【分析】求出该三角形最大角的余弦值，根据余弦值的正负得到答案 【详解】设，设其所对应的三个角分别为， 根据大边对大角的结论知该三角形的最大角为， 由余弦定理得， 故为钝角，三角形形状为钝角三角形. 故选：C 3. 下列结论正确的是（ ） A. 直四棱柱是长方体，长方体是四棱柱 B. 一个棱柱至少有6个面 C. 相等角在直观图中仍然相等 D. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 【答案】D 【解析】 【分析】对A，直四棱柱底面不一定是矩形；对B，三棱柱只有五个面，即可判断；对C，利用平面图形和直观图的定义可判断，对D，由棱锥的定义即可判断. 【详解】对A，直四棱柱底面不一定是矩形，所以直四棱柱不一定是长方体，故A错误； 对B，三棱柱只有五个面，故B错误； 对C，相等的角在直观图中不一定相等，因为直观图是按照一定的规则绘制的，可能会产生变形， 例如等腰直角三角形的直观图不一定是等腰直角三角形（原图形中两底角相等，直观图中不一定相等），故C错误； 对D，棱柱上下底面互相平行且全等，且各侧棱互相平行，所以棱柱的侧面均为平行四边形，故D正确. 故选：D 4. 已知向量，，则“”是“向量与的夹角为锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由已知求出向量与的夹角为锐角的的取值范围，结合充分不必要条件的判定得答案． 【详解】解：，， 由，得， 再由，得，即． 当时，向量与的夹角为锐角， 反之，当向量与的夹角为锐角时，且． “”是“向量与的夹角为锐角”的充分不必要条件． 故选：A． 5. 对于任意两个向量，，则下列命题中正确的是（ ） A. B. C. 若与共线，则存在唯一的实数，使得 D 若，满足，且与同向，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法与减法法则，判断出A、B两项的正误；根据向量共线的条件，判断出C项的正误；根据向量的定义得到两个向量不能比较大小，从而得出D项的正误． 【详解】A．根据平面向量的加法法则，可知，故错误，不符合题意； B．根据平面向量的减法法则，可知，故正确，符合题意； C．若与共线，为零向量且不是零向量，则不存在实数，使得成立，故错误，不符合题意； D，因为向量是既有大小又有方向的量，所以两个向量不能比较大小， 因此“若，满足，且与同向，则”是假命题，故错误，不符合题意；． 故选：B． 6. 一个三角形的水平直观图在平面斜坐标系中是边长为3的正三角形（如图所示），则原平面图形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形面积公式求出直观图的面积，结合原图面积与直观图面积的关系即可求解． 【详解】解：根据题意，直观图为边长为3的正三角形， 其面积， 则原图的面积． 故选：C． 7. 已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求出，再根据两角和的正弦公式求得，利用正弦定理即可求得答案. 【详解】由题意知：在△ABC中，，则为锐角， 所以，因为，且，所以为锐角或钝角， 当，则， 于是 ， 又由 ，， 可得 ， 当，则， 于是 ， 又由 ，， 可得， 故选：D. 8. 设向量与的夹角为，定义，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算法则求得与，进而求得，再代入，利用数量积求模长公式即可得解. 【详解】，，， 即，则， 故，得， ，， . 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中为正八边形的中心，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算和正八边形的性质，投影向量的求法等知识逐一判断各选项即可． 【详解】A．，故正确，符合题意； B．由正八边形的性质知，，所以，故正确，符合题意； C．连接交于点，由正八边形的性质知为的中点， 所以，故错误，不符合题意； D．过作，垂直为，由正八边形的性质知：，， 所以在上投影向量为，故正确，符合题意． 故选：ABD． 10. 已知，为方程（）的两个不相等的复数根，则（ ） A. B. 时，较大的根为 C. 时， D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由根与系数的关系判断即可；由时方程只有实数根，判断即可；求出时方程的复数根，计算即可；设，，、、、，根据复数的共轭复数定义，判断即可． 【详解】解：A．由根与系数的关系知，，选项正确； B．时，方程为，方程只有相等的实数根，选项错误； C．时，方程为，复数根为，， 所以，选项正确； D．设，，、、、， 则，， 所以，选项正确． 故选：ACD． 11. 已知点在所在的平面内，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为的垂心 C. 若且（，），则 D. 若，，，且，则的值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的几何意义可判断；易知点是的中点，从而得，再根据垂心的含义即可判断；由平面向量基本定理知，，三点共线，再利用三角形的面积公式；将两边分别同时乘以和，可得关于和的方程组，解之即可判断． 【详解】解：因为，所以点是外接圆的圆心， A．，即选项错误，不符合题意； B．若，则点是的中点，所以是圆的直径，即， 所以点是的垂心，即选项正确，符合题意； C．由知，，，三点共线，设的以为底边的高为，则，即，故选项正确，符合题意； D．由知，， 所以， 即， 整理得， 由知，， 同理可得， 联立解得，， 所以，即选项正确，符合题意． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 五棱台的顶点数为，棱数为，面数为，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，由棱台的结构特征求出、、的值，计算可得答案． 【详解】解：根据题意，五棱台中，，，， 则． 故答案为：2． 13. 已知复数，（，），（），若，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合复数相等的条件，二次函数的性质，以及三角函数的性质，即可求解． 【详解】解：复数，，，， 则，化简整理可得，， 当时，取得最小值为1， 当时，取得最大值为5， 故的取值范围为． 故答案为：． 14. 在中，已知角，，所对的边分别为，，，，且，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知结合正弦定理及余弦定理先进行化简，再由和差角公式及同角基本关系化简可求，进而可求，然后结合基本不等式即可求解． 【详解】由已知得，由余弦定理及正弦定理得： ，所以， 又，所以， ，所以， ， 因为， 且，所以， 所以，所以． 则的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，在复平面上对应的点分别为，． （1）若，求的共轭复数； （2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）可得出：，，然后根据复数的除法运算得出复数，然后即可得出的共轭复数； （2）进行复数的运算得出，然后根据条件得出关于的不等式，然后解出的范围即可． 【小问1详解】 根据题意知：，， ， ； 【小问2详解】 ，且在复平面上对应的点在第四象限， ，解答， 实数的取值范围为． 16. 已知向量，，． （1）若，求，； （2）在（1）的条件下，若向量与平行，求与夹角的余弦值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算和数量积的定义，求解即可； （2）由（1）知的坐标，利用向量平行列方程求出，再计算两向量夹角的余弦值． 【小问1详解】 向量，，所以， 由，当时，， 即，解得， 所以， ； 【小问2详解】 由（1）知，，， 由与平行，得，解得， 所以， ， ，， 所以与夹角的余弦值为． 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，． （1）若，证明：； （2）若，是的中线，求的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，再根据余弦定理有，两者联立即可证明； （2）首先利用基本不等式和余弦定理得，再利用向量中线长定理有，则可求出的最大值. 【小问1详解】 由正弦定理得，即，即， 由余弦定理知和， 得，即， 即，因为，所以. 【小问2详解】 因为，，所以， 故，当且仅当，即时等号成立， 故； 由是的中线，得， 即得 ， 即得，故的最大值为. 18. 阅读下面的两个材料： 材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为，，，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式． 请回答下面的问题： （1）已知的周长为36，且满足，求这个三角形的面积； （2）已知的三边长分别为，，，求这个三角形的面积； （3）请从秦九韶公式和海伦公式中任选一个公式进行证明．（如果多做，则按所做的第一个证明记分） 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知，利用正弦定理得到各边的比值，进而利用周长求得各边的长度，然后选用海伦公式计算较为简洁； （2）根据已知条件，选用秦九韶公式计算较为简洁； （3）利用正弦定理章节中的面积公式，结合同角三角函数关系，余弦定理转化化简即可证明秦九韶公式；先证明秦九韶公式，然后利用平方差公式化简整理转化可得海伦公式． 【小问1详解】 因为的周长为36，所以， 由正弦定理得， 所以，，， 所以三角形的面积； 小问2详解】 因为的三边长分别为，，， 所以三角形的面积； 【小问3详解】 选择秦九韶公式，证明如下： ． 若选海伦公式，先如上证明秦九韶公式，再接续如下： ． 19. 如图，在中，，，点为和的交点，设，． （1）设，求，的值； （2）若，，，求； （3）若在上，，且，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，，根据向量的线性运算法则可得，，从而构造关于和的方程组，可得，得解； （2）先利用三角形的面积公式求得的值，再由，即可得解； （3）设，与的夹角为，其中，利用，结合平面向量的基本定理与数量积的运算法则，推出，再由，求出的取值范围即可． 【小问1详解】 设，， 则，， 所以，， 所以， 解得， 所以， 又， 所以，． 【小问2详解】 ， 由（1）知，， 所以． 【小问3详解】 由（1）知，， 所以， 设，与的夹角为，其中， 则， 而， 因为， 所以， 即， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，解得， 所以的取值范围为． 【点睛】本题考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的线性运算和数量积的运算法则是解题的关键，考查学生逻辑推理能力和运算能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024年第二学期期中教学质量检测 高一数学试题 冠县一中 审题人：任庆军 张彩锐 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知虚数单位，计算（ ） A. B. C. D. 2. 长度分别为2，3，4的线段构成图形的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不构成三角形 3. 下列结论正确的是（ ） A. 直四棱柱是长方体，长方体是四棱柱 B. 一个棱柱至少有6个面 C. 相等的角在直观图中仍然相等 D. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 4. 已知向量，，则“”是“向量与的夹角为锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 对于任意两个向量，，则下列命题中正确的是（ ） A. B. C. 若与共线，则存在唯一的实数，使得 D. 若，满足，且与同向，则 6. 一个三角形的水平直观图在平面斜坐标系中是边长为3的正三角形（如图所示），则原平面图形的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 8. 设向量与夹角为，定义，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中为正八边形的中心，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 10. 已知，为方程（）的两个不相等的复数根，则（ ） A. B. 时，较大的根为 C. 时， D. 11. 已知点在所在的平面内，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为的垂心 C. 若且（，），则 D. 若，，，且，则的值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 五棱台的顶点数为，棱数为，面数为，则______． 13. 已知复数，（，），（），若，则的取值范围为______． 14. 在中，已知角，，所对的边分别为，，，，且，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，在复平面上对应的点分别为，． （1）若，求共轭复数； （2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 16. 已知向量，，． （1）若，求，； （2）在（1）条件下，若向量与平行，求与夹角的余弦值． 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，． （1）若，证明：； （2）若，是的中线，求的最大值． 18. 阅读下面两个材料： 材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为，，，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式． 请回答下面的问题： （1）已知的周长为36，且满足，求这个三角形的面积； （2）已知的三边长分别为，，，求这个三角形的面积； （3）请从秦九韶公式和海伦公式中任选一个公式进行证明．（如果多做，则按所做的第一个证明记分） 19. 如图，在中，，，点为和的交点，设，． （1）设，求，的值； （2）若，，，求； （3）若在上，，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$