2024-2025学年人教版九年级数学上点拨训练 第09讲 阶段方法专训

人教版九年级数学上 点拨*训练 第09讲 阶段方法专训一 老师告诉你 解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法，有些特殊方程还可以用换元法，在具体解题过程中，结合方程特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果。 方法一、用直接开平方法解方程 若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。 （1）的解是；（2）的解是；（3）的解是。 1．用直接开平方法解方程3（x-3）2-24=0，得方程的根是（　　） A. x=3+2 B. x=3-2 C. x1=3+2，x2=3-2 D. x=-3±2 2．给出以下方程的解题过程，其中正确的有（　　） ①解方程（x-2）2=16，两边同时开方，得x-2=±4，移项得x1=6，x2=-2； ②解方程x（x-）=（x-），两边同时除以（x-）得x=1，所以原方程的根为x1=x2=1； ③解方程（x-2）（x-1）=5，由题得x-2=1，x-1=5，解得x1=3，x2=6； ④方程（x-m）2=n的解是x1=m+，x2=m-． A. 0个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3．如果（a+b+1）（a+b-1）=63，那么a+b的值为_____． 4．已知关于x的方程a（x+m）2+b=0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1=2，x2=-1，那么方程a（x+m+2）2+b=0的解_____． 方法二、用配方法解方程 解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。 注意：用配方法解一元二次方程，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。 1．用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形为（　　） A. （x+1）2=6 B. （x+2）2=9 C. （x-1）2=6 D. （x-2）2=9 2．解方程：2x2-6x-7=0（配方法解） 3．用配方法解方程：x（x+4）=8x+12． 4．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时，∵（-）2=a-2+b≥0，∴a+b≥2，当且仅当a=b时取等号．请利用上述结论解决以下问题： （1）当x＞0时，求x+的最小值； （2）当x＜0时，求x+的最大值； （3）当x＞0时，求y=的最小值． 5．如图，在Rt△ABC中，AC=8cm,BC=6cm,P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为1cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为2cm/s,若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程． （1）当t为何值时，P、Q两点的距离为4cm？ （2）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？ 方法三、用公式法解方程 一元二次方程的求根公式是： 用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为的形式，确定的值（注意符号）；（2）求出的值；（3）若，则把及的值代人求根公式，求出。 1．利用公式解可得一元二次方程式3x2-11x-1=0 的两解为a、b,且a＞b,求a值为何（　　） A. B. C. D. 2．用公式法解一元二次方程：2x2-3x+1=0． 3．关于x的一元二次方程mx2-（3m-1）x+2m-1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的解． 方法四、用因式分解法解方程 如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。 1．方程x2-（+）x+=0的根是（　　） A. x1=，x2= B. x1=1，x2= C. x1=-，x2=- D. x=± 2．解方程：x（x-5）=5-x.小滨的解答如下： 解：原方程可化简为x（x-5）=-（x-5）， 方程两边同时除以x-5，得x=-1， 小滨的解答是否正确，如不正确，写出正确的解答过程． 3．定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为黄金方程，并说明理由． （2）已知是关于x的黄金方程，若a是此黄金方程的一个根，求a的值． 4．已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程： x2-1=0， x2+x-2=0， x2+2x-3=0， … x2+（n-1）x-n=0． （1）请解上述一元二次方程； （2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可． 方法五、用适当方法解方程 1.在解一元二次方程时，配方法不常用，直接开平方法与因式分解法适用于特殊的—元二次方程，公式法适用于任意的一元二次方程，是解一元二次方程的通用方法。 2.选择解法的顺序：首先考虑用直接开平方法或因式分解法求解，如不便求解，再考虑用公式法或配方法求解。 1）若给定的方程为（x—a）２＝b（b≠０）的形式（或经过简单变形可转化为这种形式），可采用直接开平方法； ２）若给定的一元二次方程可化为一边是零，另一边是易于分解成两个一次因式的积的形式，可采用因式分解法；若方程两边都是整式的乘积形式，且有公因式也可采用因式分解法. ３）不是特殊形式的方程，可在化为一般形式后，采用配方法或公式法（不易用因式分解时）； ４)用公式法求解时，要先计算b２—4ac的值，若b２—4ac<0，则此方程没有实数根。 1．用适当的方法解下列一元二次方程：（1）（x﹣1）2＝2；（2）2x2+5x＝﹣2 2．用适当的方法解方程： （1）x2+10x+16=0； （2）x2+2x=x+2． 3．按要求解下列方程： （1）x2+4x+2=0（配方法）； （2）2x2-4x=-1（用公式法解）； （3）3x2+2x-1=0． 方法六、用换元法解方程 1.换元法：在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 2.换元法功能：换元法又称变量替换法,是我们解题常用的方法之一。利用换元法,可以化繁为简,化难为易,从而找到解题的捷径。 用换元法解一元二次方程的策略 关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化,复杂问题简单化,也体现了转化思想的运用. 1．若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x-2）-8=0，那么x2+2x的值为（　　） A. -2或4 B. 4 C. -2 D. 2或-4 2．已知，则的值为________． 3．阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值． 【问题】解方程：x2+2x+4-5=0． 【提示】可以用“换元法”解方程． 解：设=t（t≥0），则有x2+2x=t2 原方程可化为：t2+4t-5=0 【续解】 4．阅读下面的材料，解答后面的问题 材料：“解方程x4-3x2+2=0” 解：设x2=y,原方程变为y2-3y+2=0，（y-1）（y-2）=0，得y=1或y=2 当y=1时，即x2=1，解得x=±1； 当y=2时，即x2=2，解得x=± 综上所述，原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=．x4=- 问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是_____ A．加减消元法      B．代入消元法       C．换元法       D．待定系数法 （2）采用类似的方法解方程：（x2-2x）2-x2+2x-6=0． 5．阅读材料并回答下面的问题： 为解方程（x2-1）2-5（x2-1）+4=0，我们可以将x2-1看成为一个整体，然后设x2-1=y,则原方程化为y2-5y+4=0①，解得：y1=1，y2=4．当y=1时，x2-1=1，∴x2=2，∴x=±；当y=4时，x2-1=4，∴x2=5，∴x=±∴原方程的根为：x1=，x2=-，x3=，x1=-． 在由原方程得到方程①的解题过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想， 请利用以上方法解方程： ①x4-x2-6=0； ②（x2+3）2-9（x2+3）+20=0． 专题检测 一、选择题(共8题，每小题4分，共32分) 1．方程（x-a）2=b（b＞0）的根是（　　） A. B. C. D. x=±a±b 2．一元二次方程2x2-3x+1=0化为（x+a）2=b的形式，正确的是（　　） A. B. C. D. 以上都不对 3．方程x2-6x-5=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（　　） A. （x-6）2=41 B. （x-3）2=4 C. （x-3）2=14 D. （x-6）2=36 4．下列方程中，没有实数根的是方程（　　） A. -3x2+2x+10=0 B. 2x2+8x-3=0 C. 3x2+2x=1 D. x2+3x+3=0 5．用公式法解方程x2-6x+1=0所得的解正确的是（　　） A. B. C. D. 6．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-11x+30=0的解，则这个三角形的周长是（　　） A. 11 B. 11或12 C. 12 D. 10 7．方程（1-x）（1+x）（1+x2）+15=0的实数根是（　　） A. 1 B. ±1 C. 2 D. ±2 8．若实数x、y满足（x2+y2+2）（x2+y2-2）=0，则x2+y2的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 2或-1 D. 2或-2 二、填空题(共5题，共20分) 9．解方程：（x-5）2=9的解为x=_____． 10．4x2+9y2+12x-6y+10=0，则8x-9y=_____． 11．一元二次方程的解为______． 12．一元二次方程x2-5x+6=0的两根是直角三角形的两直角边长，则这个直角三角形的斜边长为_____． 13．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）-3=0，那么x2+3x=_____． 三、解答题(共6题，共48分) 14．（8分）用适当的方法解一元二次方程 （1）3x2-1=4x （2）x2-2x-399=0 （3）2x2-7x=0 （4）4x-6=（2x-3）2． 15．（8分）阅读下列材料： “a2≥0”这个结论在数学中非常有用，所以，我们常需要将代数式配成完全平方式． 例如“试说明多项式x2+4x+5的最小值为1”． x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1． ∵（x+2）2≥0， ∴（x+2）2+1≥1， ∴x2+4x+5的最小值为1． 试利用“配方法”解决下列问题： （1）因式分解：x2+4x-5； （2）求多项式-x2+4x+5的最大值． 16．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k为（1）中的最小整数，请求出此时方程的根． 17．（8分）阅读与思考：阅读下面内容并完成任务． 小明同学在解一元二次方程（x-3）2=x-3时，两边同时除以x-3，得到x-3=1，于是得到原方程根为x=4；小华同学的解法是：将x-3移到等号左边，得到（x-3）2-（x-3）=0，提公因式，得（x-3）（x-3-1）=0即x-3=0或x-4=0，进而得到原方程的两个根x1=3，x2=4． 任务一：请对小明、小华同学的解法是否正确作出判断； 任务二：若有不正确，请说明其理由； 任务三：直接写出方程（x-5）3-4（x-5）2=0的根． 18．（8分）已知一元二次方程x2-2x+m-1=0． （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）设x1，x2是方程的两个实数根，且满足x12+x1x2=1，求m的值． 19 .（8分）阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：x2﹣3|x|+2＝0． 解：设|x|＝y，则原方程可化为：y2﹣3y+2＝0． 解得：y1＝1，y2＝2． 当y＝1时，|x|＝1，∴x＝±1； 当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2． ∴原方程的解是：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： （1）解方程：x4﹣10x2+9＝0． （2）解方程：﹣＝1． （3）若实数x满足x2+﹣3x﹣＝2，求x+的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版九年级数学上 点拨*训练 第09讲 阶段方法专训（解析版） 老师告诉你 解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法，有些特殊方程还可以用换元法，在具体解题过程中，结合方程特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果。 方法一、用直接开平方法解方程 若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。 （1）的解是；（2）的解是；（3）的解是。 1．用直接开平方法解方程3（x-3）2-24=0，得方程的根是（　　） A. x=3+2 B. x=3-2 C. x1=3+2，x2=3-2 D. x=-3±2 【答案】C 【解析】先移项、系数化1，则可变形为（x-3）2=8，然后利用数的开方解答，求出x-3的值，进而求x. 解：移项得，3（x-3）2=24，两边同除3得，（x-3）2=8，开方得，x-3=±2，所以x1=3+2，x2=3-2．故选C． 2．给出以下方程的解题过程，其中正确的有（　　） ①解方程（x-2）2=16，两边同时开方，得x-2=±4，移项得x1=6，x2=-2； ②解方程x（x-）=（x-），两边同时除以（x-）得x=1，所以原方程的根为x1=x2=1； ③解方程（x-2）（x-1）=5，由题得x-2=1，x-1=5，解得x1=3，x2=6； ④方程（x-m）2=n的解是x1=m+，x2=m-． A. 0个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】直接开平方法必须具备两个条件： （1）方程的左边是一个完全平方式； （2）右边是非负数．将右边看作一个非负已知数，利用数的开方解答． 解：①应先将系数化为1再开方．所以错． ②在不知道因式是否为零的情况下，将其作为除数来化简方程，容易造成丢根．所以错． ③方程右边不为0，不能用因式分解法解．所以错． ④当n为负数时，不能直接开平方．所以错． 故选：A． 3．如果（a+b+1）（a+b-1）=63，那么a+b的值为_____． 【答案】±8 【解析】将a+b看作整体，用平方差公式解答，求出a+b的值即可； 解：∵（a+b+1）（a+b-1）=63， ∴（a+b）2-12=63， ∴（a+b）2=64， a+b=±8； 故答案为：±8 4．已知关于x的方程a（x+m）2+b=0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1=2，x2=-1，那么方程a（x+m+2）2+b=0的解_____． 【答案】x3=0，x4=-3 【解析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解． 解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=-1，（a,m,b均为常数，a≠0）， ∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=2或x+2=-1， 解得x=0或x=-3． 故答案为：x3=0，x4=-3． 方法二、用配方法解方程 解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。 注意：用配方法解一元二次方程，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。 1．用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形为（　　） A. （x+1）2=6 B. （x+2）2=9 C. （x-1）2=6 D. （x-2）2=9 【答案】C 【解析】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 解：由原方程移项，得 x2-2x=5， 方程的两边同时加上一次项系数-2的一半的平方1，得 x2-2x+1=6 ∴（x-1）2=6． 故选：C． 2．解方程：2x2-6x-7=0（配方法解） 【解析】把二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方的形式，再用直接开平方法求出方程的根． 解：x2-3x-=0， x2-3x=， x2-3x+=， =， x-=±， x=±， ∴x1=，x2=． 3．用配方法解方程：x（x+4）=8x+12． 【解析】利用配方法进行求解即可． 解：x（x+4）=8x+12， x2+4x=8x+12， x2-4x=12， x2-4x+4=12+4， （x-2）2=16， x-2=±4， x=2±4， ∴x1=6，x2=-2． 4．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时，∵（-）2=a-2+b≥0，∴a+b≥2，当且仅当a=b时取等号．请利用上述结论解决以下问题： （1）当x＞0时，求x+的最小值； （2）当x＜0时，求x+的最大值； （3）当x＞0时，求y=的最小值． 【解析】（1）根据阅读材料计算； （2）把x+化为-（-x-），根据阅读材料计算； （3）把化为x+3+，根据阅读材料计算． 解：（1）当x＞0时，x+≥2=2， ∴当x＞0时，x+的最小值是2； （2）当x＜0时，x+=-（-x-）， -x-≥2=2， ∴-（-x-）≤-2， ∴当x＜0时，x+的最大值是-2； （3）y==x+3+， x+≥2=8， ∴x+的最小值是8， ∴x+3+的最小值是11， ∴当x＞0时，y=的最小值是11． 5．如图，在Rt△ABC中，AC=8cm,BC=6cm,P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为1cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为2cm/s,若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程． （1）当t为何值时，P、Q两点的距离为4cm？ （2）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？ 【解析】（1）根据勾股定理PC2+CQ2=PQ2，便可求出经过2或s后，P、Q两点的距离为4cm； （2）根据三角形的面积公式S△PCQ=×PC×CQ以及二次函数最值便可求出t=1.75s时△PCQ的面积最大，进而求出四边形BPQA的面积最小值． 解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=8cm,BC=6cm, ∴AB=10cm, 设经过ts后，P、Q两点的距离为4cm, ts后，PC=6-t cm,CQ=2t cm, 根据勾股定理可知PC2+CQ2=PQ2， 代入数据（6-t）2+（2t）2=（4）2； 解得t=2或t=， 故t为2或时，P、Q两点的距离为4cm； （2）设经过ts后，△PCQ的面积最大，则此时四边形BPQA的面积最小， ts后，PC=6-tcm,CQ=2t cm, S△PCQ=×PC×CQ=×（6-t）×2t=-t2+6t 当t=-时，即t=3s时，△PCQ的面积最大， 即S△PCQ=×PC×CQ=×（6-3）×6=9（cm2）， ∴四边形BPQA的面积最小值为：S△ABC-S△PCQ最大=×6×8-9=15（cm2）， 当点P运动3秒时，四边形BPQA的面积最小为：15cm2． 方法三、用公式法解方程 一元二次方程的求根公式是： 用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为的形式，确定的值（注意符号）；（2）求出的值；（3）若，则把及的值代人求根公式，求出。 1．利用公式解可得一元二次方程式3x2-11x-1=0 的两解为a、b,且a＞b,求a值为何（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】利用公式法即可求解． 解：3x2-11x-1=0， 这里a=3，b=-11，c=-1， ∴Δ=（-11）2-4×3×（-1）=133＞0， ∴x==， ∵一元二次方程式3x2-11x-1=0 的两解为a、b,且a＞b, ∴a的值为． 故选：D． 2．用公式法解一元二次方程：2x2-3x+1=0． 【解析】直接利用求根公式计算可得． 解：∵a=2，b=-3，c=1， ∴Δ=（-3）2-4×2×1=1＞0， 则x==， 即x1=1，x2=． 3．关于x的一元二次方程mx2-（3m-1）x+2m-1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的解． 【解析】由一元二次方程的Δ=b2-4ac=1，建立m的方程，求出m的解后再化简原方程并求解． 解：由题意知，m≠0，Δ=b2-4ac=[-（3m-1）]2-4m（2m-1）=1 ∴m1=0（舍去），m2=2，∴原方程化为：2x2-5x+3=0， 解得，x1=1，x2=3/2． 方法四、用因式分解法解方程 如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。 1．方程x2-（+）x+=0的根是（　　） A. x1=，x2= B. x1=1，x2= C. x1=-，x2=- D. x=± 【答案】A 【解析】本题运用的是因式分解法来解题，将方程化为因式的乘积，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题． 解：原方程变形为：（x-）（x-）=0， 解得x=或x=． 故选：A． 2．解方程：x（x-5）=5-x.小滨的解答如下： 解：原方程可化简为x（x-5）=-（x-5）， 方程两边同时除以x-5，得x=-1， 小滨的解答是否正确，如不正确，写出正确的解答过程． 【解析】方程解答不正确，两边除以（x-5）时，没有考虑为0的情况，写出正确过程即可． 解：方程解答不正确， 正确解答为：方程化简得：x（x-5）=-（x-5）， 移项得：x（x-5）+（x-5）=0， 分解因式得：（x-5）（x+1）=0， 可得x-5=0或x+1=0， 解得：x1=5，x2=-1． 3．定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为黄金方程，并说明理由． （2）已知是关于x的黄金方程，若a是此黄金方程的一个根，求a的值． 【答案】（1）一元二次方程是黄金方程，理由见解析 （2）或 【解析】 （1）根据黄金方程的定义进行求解即可； （2）根据黄金方程的定义得到，则原方程为，再由a是此黄金方程的一个根，得到，解方程即可． 【小问1详解】 解：一元二次方程是黄金方程，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴一元二次方程是黄金方程； 小问2详解】 解：∵是关于x的黄金方程， ∴， ∴， ∴原方程为， ∵a是此黄金方程的一个根， ∴，即， ∴， 解得或． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，正确理解题意是解题的关键． 4．已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程： x2-1=0， x2+x-2=0， x2+2x-3=0， … x2+（n-1）x-n=0． （1）请解上述一元二次方程； （2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可． 【解析】（1）分别利用因式分解法解各方程； （2）根据方程根的特征易得这n个方程都有一个根为1，另外一根等于常数项． 解：（1）x2-1=0，解得x1=1，x2=-1， x2+x-2=0，解得x1=1，x2=-2， x2+2x-3=0，解得x1=1，x2=-3， …x2+（n-1）x-n=0，解得x1=1，x2=-n； （2）这n个方程都有一个根为1，另外一根等于常数项． 方法五、用适当方法解方程 1.在解一元二次方程时，配方法不常用，直接开平方法与因式分解法适用于特殊的—元二次方程，公式法适用于任意的一元二次方程，是解一元二次方程的通用方法。 2.选择解法的顺序：首先考虑用直接开平方法或因式分解法求解，如不便求解，再考虑用公式法或配方法求解。 1）若给定的方程为（x—a）２＝b（b≠０）的形式（或经过简单变形可转化为这种形式），可采用直接开平方法； ２）若给定的一元二次方程可化为一边是零，另一边是易于分解成两个一次因式的积的形式，可采用因式分解法；若方程两边都是整式的乘积形式，且有公因式也可采用因式分解法. ３）不是特殊形式的方程，可在化为一般形式后，采用配方法或公式法（不易用因式分解时）； ４)用公式法求解时，要先计算b２—4ac的值，若b２—4ac<0，则此方程没有实数根。 1．用适当的方法解下列一元二次方程：（1）（x﹣1）2＝2；（2）2x2+5x＝﹣2 【答案】（1）x1＝1+，x2＝1-．（2）x1＝﹣，x2＝﹣2． 【解析】（1）利用直接开方法，求解即可； （2）先把等号右边的项移到等号左边，再利用因式分解法求解即可． 解：（1）（x﹣1）2＝2， 开方得：x﹣1＝±， 则x1＝1+ ，x2＝1﹣； （2）整理得：2x2+5x+2＝0， 分解因式得：（2x+1）（x+2）＝0， 可得2x+1＝0或x+2＝0， 解得：x1＝﹣，x2＝﹣2． 故答案为（1）x1＝1+ ，x2＝1﹣；（2）x1＝﹣，x2＝﹣2． 【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法和直接开方法，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法. 2．用适当的方法解方程： （1）x2+10x+16=0； （2）x2+2x=x+2． 【解析】（1）利用因式分解法把方程转化为x+8=0或x+2=0，然后解一次方程即可； （2）先把方程变形为x（x+2）-（x+2）=0，然后利用因式分解法解方程． 解：（1）x2+10x+16=0， （x+8）（x+2）=0， x+8=0或x+2=0， 所以x1=-8，x2=-2； （2）x2+2x=x+2， x（x+2）-（x+2）=0， （x+2）（x-1）=0， x+2=0或x-1=0， 所以x1=-2，x2=1． 3．按要求解下列方程： （1）x2+4x+2=0（配方法）； （2）2x2-4x=-1（用公式法解）； （3）3x2+2x-1=0． 【解析】（1）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程-公式法，进行计算即可解答； （3）利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答． 解：（1）x2+4x+2=0， x2+4x=-2， x2+4x+4=2，即（x+2）2=2， ∴x+2=±， ∴x1=-2+，x2=-2-； （2）2x2-4x=-1， 2x2-4x+1=0， 这里a=2，b=-4，c=1，Δ=（-4）2-4×2×1=8＞0， ∴x==， ∴x1=，x2=； （3）3x2+2x-1=0， （3x-1）（x+1）=0， ∴3x-1=0或x+1=0， ∴x1=，x2=-1． 方法六、用换元法解方程 1.换元法：在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 2.换元法功能：换元法又称变量替换法,是我们解题常用的方法之一。利用换元法,可以化繁为简,化难为易,从而找到解题的捷径。 用换元法解一元二次方程的策略 关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化,复杂问题简单化,也体现了转化思想的运用. 1．若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x-2）-8=0，那么x2+2x的值为（　　） A. -2或4 B. 4 C. -2 D. 2或-4 【答案】B 【解析】设x2+2x=y,则原方程化为y（y-2）-8=0，求出y,即可得出选项． 解：设x2+2x=y,则原方程化为y（y-2）-8=0， 解得：y=4或-2， 当y=4时，x2+2x=4，此时方程有解， 当y=-2时，x2+2x=-2，此时方程无解，舍去， 所以x2+2x=4． 故选：B． 2．已知，则的值为________． 【答案】 【解析】设a=x2+y2，代入即可得到一个关于a的一元二次方程，即可求解. 解：设x2+y2=a，则原方程化为 (a+1)(a+2)-6=0， a2+3a+2-6=0， a2+3a-4=0， (a-1)(a+4)=0， 解得a=-4或1， 又∵x2+y2≥0， ∴x2+y2=1. 故答案为1. 【点睛】本题考查用换元法求解一元二次方程的问题，掌握一元二次方程的解法并注意x2+y2≥0是解本题的关键. 3．阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值． 【问题】解方程：x2+2x+4-5=0． 【提示】可以用“换元法”解方程． 解：设=t（t≥0），则有x2+2x=t2 原方程可化为：t2+4t-5=0 【续解】 【解析】利用因式分解法解方程t2+4t-5=0得到t1=-5，t2=1，再分别解方程=-5和方程=1，然后进行检验确定原方程的解． 解：（t+5）（t-1）=0， t+5=0或t-1=0， ∴t1=-5，t2=1， 当t=-5时，=-5，此方程无解； 当t=1时，=1，则x2+2x=1，配方得（x+1）2=2，解得x1=-1+，x2=-1-； 经检验，原方程的解为x1=-1+，x2=-1-． 4．阅读下面的材料，解答后面的问题 材料：“解方程x4-3x2+2=0” 解：设x2=y,原方程变为y2-3y+2=0，（y-1）（y-2）=0，得y=1或y=2 当y=1时，即x2=1，解得x=±1； 当y=2时，即x2=2，解得x=± 综上所述，原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=．x4=- 问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是_____ A．加减消元法      B．代入消元法       C．换元法       D．待定系数法 （2）采用类似的方法解方程：（x2-2x）2-x2+2x-6=0． 【答案】C 【解析】（1）利用换元法解方程； （2）设x2-2x=y,原方程化为y2-y-6=0，求出y,把y的值代入x2-2x=y,求出x即可． 解：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法． 故答案是：C； （2）设x2-2x=y,原方程化为y2-y-6=0， 整理，得 （y-3）（y+2）=0， 得y=3或y=-2 当y=3时，即x2-2x=3，解得x=-1或x=3； 当y=-2时，即x2-2x=-2，方程无解． 综上所述，原方程的解为x1=-1，x2=3． 5．阅读材料并回答下面的问题： 为解方程（x2-1）2-5（x2-1）+4=0，我们可以将x2-1看成为一个整体，然后设x2-1=y,则原方程化为y2-5y+4=0①，解得：y1=1，y2=4．当y=1时，x2-1=1，∴x2=2，∴x=±；当y=4时，x2-1=4，∴x2=5，∴x=±∴原方程的根为：x1=，x2=-，x3=，x1=-． 在由原方程得到方程①的解题过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想， 请利用以上方法解方程： ①x4-x2-6=0； ②（x2+3）2-9（x2+3）+20=0． 【解析】根据题意给出的方法以及根据一元二次方程的解法即可求出答案． 解：①令t=x2， ∴t≥0， ∴原方程化为：t2-t-6=0， ∴（t-3）（t+2）=0， ∴t=3或t=-2（舍去）， ∴x2=3， ∴原方程的根为x=±． （2）令t=x2+3， ∴t≥3， ∴原方程化为：t2-9t+20=0， ∴（t-4）（t-5）=0， ∴t=4或t=5， 当t=4时， ∴x2+3=4， ∴x=±1， 当t=5时， ∴x2+3=5， ∴x=±． 综上所述，原方程的根为x=±1或x=±． 专题检测 一、选择题(共8题，每小题4分，共32分) 1．方程（x-a）2=b（b＞0）的根是（　　） A. B. C. D. x=±a±b 【答案】A 【解析】两边直接开平方可得x-a=±，再把a移到方程有边即可． 解：（x-a）2=b（b＞0）， 两边直接开平方得：x-a=±， 故：x1=+a,x2=-+a, 故选：A． 2．一元二次方程2x2-3x+1=0化为（x+a）2=b的形式，正确的是（　　） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】先把常数项1移到等号的右边，再把二次项系数化为1，最后在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，然后配方即可． 解：∵2x2-3x+1=0， ∴2x2-3x=-1， x2-x=-， x2-x+=-+， （x-）2=； ∴一元二次方程2x2-3x+1=0化为（x+a）2=b的形式是：（x-）2=； 故选：C． 3．方程x2-6x-5=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（　　） A. （x-6）2=41 B. （x-3）2=4 C. （x-3）2=14 D. （x-6）2=36 【答案】C 【解析】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 解：∵x2-6x-5=0 ∴x2-6x=5 ∴x2-6x+9=5+9 ∴（x-3）2=14 故选：C． 4．下列方程中，没有实数根的是方程（　　） A. -3x2+2x+10=0 B. 2x2+8x-3=0 C. 3x2+2x=1 D. x2+3x+3=0 【答案】D 【解析】分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断． 解：A、Δ=b2-4ac=22-4×（-3）×10=124＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误； B、Δ=b2-4ac=82-4×2×（-3）=88＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误； C、Δ=b2-4ac=22-4×3×（-1）=16＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C选项错误； D、Δ=b2-4ac=32-4×1×3=-3＜0，方程没有实数根，所以D选项正确． 故选：D． 5．用公式法解方程x2-6x+1=0所得的解正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】利用公式法求解即可． 解：∵a=1，b=-6，c=1， ∴△=（-6）2-4×1×1=32＞0， 则x===3±2， 故选：D． 6．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-11x+30=0的解，则这个三角形的周长是（　　） A. 11 B. 11或12 C. 12 D. 10 【答案】A 【解析】根据一元二次方程的解法即可求出第三边，然后根据三角形的三边关系即可求出周长． 解：由x2-11x+30=0， 解得：x=6或x=5， 当第三边长为6时， 由三角形三边关系可知：2+4=6， 故不能组成三角形， 当第三边为5时， 由三角形三边关系可知：4+2＞5，能够组成三角形， ∴这个三角形的周长为：2+4+5=11， 故选：A． 7．方程（1-x）（1+x）（1+x2）+15=0的实数根是（　　） A. 1 B. ±1 C. 2 D. ±2 【答案】D 【解析】利用直接开平方法求解即可． 解：（1-x）（1+x）（1+x2）+15=0， （1-x2）（1+x2）+15=0， 1-（x2）2+15=0， ∴（x2）2=16， ∴x=±2． 故选：D． 8．若实数x、y满足（x2+y2+2）（x2+y2-2）=0，则x2+y2的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 2或-1 D. 2或-2 【答案】B 【解析】设t=x2+y2，原方程变形为（t+2）（t-2）=0，解之即可得出t的值，再根据x2+y2非负即可确定t的值． 解：设t=x2+y2，则t≥0， 原方程变形为（t+2）（t-2）=0， 解得：t=2或t=-2（舍去）． 故选：B． 二、填空题(共5题，共20分) 9．解方程：（x-5）2=9的解为x=_____． 【答案】8或2 【解析】直接利用平方根的定义解方程，可得答案． 解：（x-5）2=9， ∴x-5=±3， ∴x=8或x=2． 故答案为：8或2． 10．4x2+9y2+12x-6y+10=0，则8x-9y=_____． 【答案】-15 【解析】已知等式左边配方后，利用非负数的性质求出x与y的值，即可求出代数式的值． 解：∵4x2+9y2+12x-6y+10=（4x2+12x+9）+（9y2-6y+1）=（2x+3）2+（3y-1）2=0， 可得2x+3=0，3y-1=0， 解得：x=-，y=， 则8x-9y=8×（-）-9×=-15， 故答案为：-15． 11．一元二次方程的解为______． 【答案】 【解析】先把方程化为一般式，然后利用公式法求解即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知公式法解一元二次方程是解题的关键． 12．一元二次方程x2-5x+6=0的两根是直角三角形的两直角边长，则这个直角三角形的斜边长为_____． 【答案】 【解析】解一元二次方程求得直角三角形的两直角边长，利用勾股定理求得即可． 解：∴x2-5x+6=0， （x-3）（x-2）=0， 解得x1=3，x2=2， ∴直角三角形的两直角边长分别为3和2， ∵斜边长=． 故答案为：． 13．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）-3=0，那么x2+3x=_____． 【答案】1 【解析】设x2+3x=y,方程变形后，求出解得到y的值，即可确定出x2+3x的值． 解：设x2+3x=y, 方程变形得：y2+2y-3=0，即（y-1）（y+3）=0， 解得：y=1或y=-3，即x2+3x=1或x2+3x=-3（无解）， 故答案为：1． 三、解答题(共6题，共48分) 14．（8分）用适当的方法解一元二次方程 （1）3x2-1=4x （2）x2-2x-399=0 （3）2x2-7x=0 （4）4x-6=（2x-3）2． 【解析】（1）方程整理后，利用公式法求出解即可； （2）方程整理后，利用配方法求出解即可； （3）方程利用因式分解法求出解即可； （4）方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 解：（1）方程整理得：3x2-4x-1=0， 这里a=3，b=-4，c=-1， ∵△=16+12=28， ∴x==； （2）方程整理得：x2-2x=399， 配方得：x2-2x+1=400，即（x-1）2=400， 开方得：x-1=20或x-1=-20， 解得：x1=21，x2=-19； （3）分解得：x（2x-7）=0， 解得：x1=0，x2=3.5； （4）方程整理得：（2x-3）（2x-3-2）=0， 解得：x1=1.5，x2=2.5． 15．（8分）阅读下列材料： “a2≥0”这个结论在数学中非常有用，所以，我们常需要将代数式配成完全平方式． 例如“试说明多项式x2+4x+5的最小值为1”． x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1． ∵（x+2）2≥0， ∴（x+2）2+1≥1， ∴x2+4x+5的最小值为1． 试利用“配方法”解决下列问题： （1）因式分解：x2+4x-5； （2）求多项式-x2+4x+5的最大值． 【解析】（1）原式配方后，利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可； （2）原式配方后，利用非负数的性质求出最大值即可． 解：（1）x2+4x-5 =x2+4x+4-9 =（x+2）2-9 =[（x+2）+3][（x+2）-3] =（x+5）（x-1）； （2）-x2+4x+5 =5-（x2-4x） =5-（x2-4x+4-4） =5-（x-2）2+4 =9-（x-2）2， ∵（x-2）2≥0， ∴当（x-2）2=0时，9-（x-2）2取得最大值9． 16．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k为（1）中的最小整数，请求出此时方程的根． 【解析】（1）根据根的判别式可得4+4k＞0，解不等式可求k的取值； （2）根据k＞-1，且k是最小整数，那么可知k=0，再把k=0代入原方程，解关于x的一元二次方程即可． 解：（1）∵方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0， ∴Δ=4-4×1×（-k）=4+4k＞0， 解得k＞-1； （2）∵k＞-1，且k是最小整数， ∴k=0， 把k=0代入原方程，可得x2+2x=0， 解得x1=0，x2=-2． 17．（8分）阅读与思考：阅读下面内容并完成任务． 小明同学在解一元二次方程（x-3）2=x-3时，两边同时除以x-3，得到x-3=1，于是得到原方程根为x=4；小华同学的解法是：将x-3移到等号左边，得到（x-3）2-（x-3）=0，提公因式，得（x-3）（x-3-1）=0即x-3=0或x-4=0，进而得到原方程的两个根x1=3，x2=4． 任务一：请对小明、小华同学的解法是否正确作出判断； 任务二：若有不正确，请说明其理由； 任务三：直接写出方程（x-5）3-4（x-5）2=0的根． 【解析】任务一：根据解题过程即可判断； 任务二：当x-3=0时，方程的两边不能同时除以x-3． 任务三：移项后分解因式，即可得出三个一元一次方程，再求出方程的解即可． 解：任务一：小明同学的解法错误；小华同学的解法； 任务二：当x-3=0时，方程的两边不能同时除以x-3． 任务三：（x-5）3-4（x-5）2=0， （x-5）2（x-5-4）=0， x-5=0或x-9=0， 解得：x1=x2=5，x3=9． 18．（8分）已知一元二次方程x2-2x+m-1=0． （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）设x1，x2是方程的两个实数根，且满足x12+x1x2=1，求m的值． 【解析】（1）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式Δ=b2-4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围． （2）x1是方程的实数根，就适合原方程，可得到关于x1与m的等式．再根据根与系数的关系知，x1x2=m-1，故可求得x1和m的值． 解：（1）根据题意得Δ=b2-4ac=4-4×（m-1）＞0，解得m＜2； （2）∵x1是方程的实数根， ∴x12-2x1+m-1=0  ① ∵x1，x2是方程的两个实数根 ∴x1•x2=m-1 ∵x12+x1x2=1， ∴x12+m-1=1  ② 由①②得x1=0.5， 把x=0.5代入原方程得，m=． 19 .（8分）阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：x2﹣3|x|+2＝0． 解：设|x|＝y，则原方程可化为：y2﹣3y+2＝0． 解得：y1＝1，y2＝2． 当y＝1时，|x|＝1，∴x＝±1； 当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2． ∴原方程的解是：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： （1）解方程：x4﹣10x2+9＝0． （2）解方程：﹣＝1． （3）若实数x满足x2+﹣3x﹣＝2，求x+的值． 【分析】（1）设x2＝a，则原方程可化为a2﹣10a+9＝0，求得a的值之后，继而可得x2＝1或x2＝9，解之即可； （2）设＝m，则原方程可化为m﹣＝1，即m2﹣m﹣2＝0，求得m的值后，即可得＝﹣1、＝2，解之即可； （3）设x+＝y，则原方程可化为：y2﹣2﹣3y＝2，即y2﹣3y﹣4＝0，解之求得y之后，即可得． 【解答】解：（1）设x2＝a，则原方程可化为a2﹣10a+9＝0， 即（a﹣1）（a﹣9）＝0， 解得：a＝1或a＝9， 当a＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当a＝9时，x2＝9，∴x＝±3； （2）设＝m，则原方程可化为m﹣＝1，即m2﹣m﹣2＝0， ∴（m+1）（m﹣2）＝0， 解得：m＝﹣1或m＝2， 当m＝﹣1时，＝﹣1，即x2+x+1＝0，由△＝1﹣4×1×1＝﹣3＜0知此时方程无解； 当m＝2时，＝2，即2x2﹣x﹣1＝0，解得：x＝1或x＝﹣， 经检验x＝1和x＝﹣都是原分式方程的解； （3）设x+＝y，则原方程可化为：y2﹣2﹣3y＝2，即y2﹣3y﹣4＝0， ∴（y+1）（y﹣4）＝0， 解得：y＝﹣1或y＝4， 即x+＝﹣1（方程无解，舍去）或x+＝4， 故x+＝4． 【点评】本题主要考查换元法解方程，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$