第21章　一元二次方程 训练巩固课件-2024-—2025学年人教版数学九年级上册

第二十一章　一元二次方程 21．1　一元二次方程 Ap 课 时 目 标 D A 能力提升 素养拓展 基础夯实 C D 能力提升 素养拓展 基础夯实 B 能力提升 素养拓展 基础夯实 1 15x(10－x)＝360 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 D 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 C 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是( ) A．5x2－6y－3＝0 B．x2－ eq \f(3,x) ＋1＝0 C．ax2－x＋2＝0 D．3x2－2＝0 2．方程3x2－2＝4x化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是( ) A．3，－4 B．3，4 C．3，－2 D．－4，－2 3．若方程(m－3)xm2－7－x＋3＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为( ) A．±3 B．3 C．－3 D． eq \r(7) 4．若关于x的一元二次方程x2－ax＋6＝0的一个根是2，则a的值为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 5．(2023·广西)据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为( ) A．3.2(1－x)2＝3.7 B．3.2(1＋x)2＝3.7 C．3.7(1－x)2＝3.2 D．3.7(1＋x)2＝3.2 6．若关于x的一元二次方程mx2＋nx－1＝0(m≠0)的一个根是x＝1，则m＋n的值是______． 7．将一个容积为360 cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x(cm)满足的一元二次方程：___________________________(不必化简). 8．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)5x2＝3x. (2)2x(x－1)＝3(x＋2)＋1. 解：5x2－3x＝0，二次项系数是5，一次项系数是－3，常数项是0. 解：2x2－5x－7＝0，二次项系数是2，一次项系数是－5，常数项是－7. 9．关于x的一元二次方程(m－3)x2＋m2x＝9x＋5化为一般形式后不含一次项，则m的值为( ) A．0 B．±3 C．3 D．－3 10．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为( ) A．35×20－35x－20x＋2x2＝600 B．35×20－35x－2×20x＝600 C．(35－2x)(20－x)＝600 D．(35－x)(20－2x)＝600 11．若a是一元二次方程x2＋2x－3＝0的一个根，则2a2＋4a的值是_______． 12．小明用30厘米的铁丝围成一斜边长等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形的一直角边长为x厘米，则另一直角边长为_______________厘米．列方程得______________________________． 6 17－x x2＋(17－x)2＝132 13．已知关于x的方程(m2－9)x2＋(m＋3)x－5＝0. (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解． (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 解：(1)根据一元一次方程的定义可知：m2－9＝0，m＋3≠0，解得m＝3，此时方程为6x－5＝0，解得x＝ eq \f(5,6) . (2)根据一元二次方程的定义可知：m2－9≠0，解得m≠±3. 14．已知x＝－1是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根，求a2＋b2－2ab－2的值． 解：∵x＝－1是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根， ∴a－b＝1. ∴a2＋b2－2ab－2 ＝(a－b)2－2 ＝－1. 15．已知k是方程x2－100x＋1＝0的一个不为0的根．不解方程，你能求出k2－99k＋ eq \f(100,k2＋1) 的值吗？如果能，请写出解答过程；如果不能，请说明理由． 解：∵k是方程x2－100x＋1＝0的一个不为0的根，∴k2－100k＋1＝0，∴k2＝100k－1，k2＋1＝100k，k＋ eq \f(1,k) ＝100(k≠0)， ∴原式＝k－1＋ eq \f(1,k) ＝k＋ eq \f(1,k) －1＝100－1＝99. $$第二十一章　一元二次方程 21．2　解一元二次方程 21．2.1　配方法 第2课时　用配方法解一元二次方程 Ap 课 时 目 标 C C D 能力提升 素养拓展 基础夯实 A 能力提升 素养拓展 基础夯实 A 能力提升 素养拓展 基础夯实 2 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 D 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 A 1或－3 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．下列各式是完全平方式的是( ) A．a2＋7a＋7 B．m2－4m－4 C．x2－ eq \f(1,2) x＋ eq \f(1,16) D．y2－2y＋2 2．(2023·赤峰)用配方法解方程x2－4x－1＝0时，配方后正确的是( ) A．(x＋2)2＝3 B．(x＋2)2＝17 C．(x－2)2＝5 D．(x－2)2＝17 3．把一元二次方程x2－6x＋4＝0化成(x＋n)2＝m的形式时，m＋n的值为( ) A．8 B．6 C．3 D．2 4．一元二次方程x2＋px＋q＝0在用配方法配成(x＋m)2＝n时，下面正确的是( ) A．m是p的一半 B．m是p的一半的平方 C．m是p的2倍 D．m是p的一半的相反数 5．用配方法解方程2x2－3＝－6x，正确的解法是( ) A．(x＋ eq \f(3,2) )2＝ eq \f(15,4) ，x＝－ eq \f(3,2) ± eq \f(\r(15),2) B．(x＋ eq \f(3,2) )2＝ eq \f(15,4) ，x＝ eq \f(3,2) ± eq \f(\r(15),2) C．(x＋ eq \f(3,2) )2＝－ eq \f(15,4) ，方程无实数根 D．(x＋ eq \f(3,2) )2＝ eq \f(7,4) ，x＝－ eq \f(3,2) ± eq \f(\r(7),2) eq \f(49,4) 1 1 2或－6 6．填空： (1)x2－4x＋3＝(x－____)2－1. (2)x2－3x＋_______＝(x－_______)2. (3)x2＋5x－6＝(x＋________)2－________． (4)3x2－6x＋2＝3(x－______)2－_______． 7．若方程4x2＋(m＋2)x＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则m的值为________________． eq \f(9,4) eq \f(3,2) eq \f(5,2) 8．用配方法解下列方程： (1)x2－6x－1＝0. (2)x2－2 eq \r(2) x－4＝0. 解：x1＝3＋ eq \r(10) ，x2＝3－ eq \r(10) . 解：x1＝ eq \r(2) ＋ eq \r(6) ，x2＝ eq \r(2) － eq \r(6) . (3)3x2＋4x＝1. (4) eq \f(2,3) x2＋ eq \f(1,3) x－2＝0. 解：x1＝－ eq \f(2,3) ＋ eq \f(\r(7),3) ，x2＝－ eq \f(2,3) － eq \f(\r(7),3) . 解：x1＝－2，x2＝ eq \f(3,2) . 9．用配方法解下列方程时，配方正确的是( ) A．x2－2x－99＝0化为(x－1)2＝98 B．x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝25 C．2t2－7t－4＝0化为(t－ eq \f(7,2) )2＝ eq \f(81,16) D．3y2－4y－2＝0化为(y－ eq \f(2,3) )2＝ eq \f(10,9) 10．不论x，y为何实数，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值( ) A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数 D．可能为负数 11．规定：a⊗b＝(a＋b)b，如：2⊗3＝(2＋3)×3＝15，若2⊗x＝3， 则x＝________________________． 12．用配方法解下列方程： (1)2x2＋7x－4＝0. (2)3x2－4 eq \r(3) x＋2＝0. 解：(x＋ eq \f(7,4) )2＝ eq \f(81,16) ，x1＝ eq \f(1,2) ，x2＝－4. 解：x1＝ eq \f(2\r(3)＋\r(6),3) ，x2＝ eq \f(2\r(3)－\r(6),3) . (3)3(x－1)(x＋2)＝x－7. 解：(x＋ eq \f(1,3) )2＝－ eq \f(2,9) ，原方程无实数解． 13．比较x2＋1与2x的大小． (1)尝试(用“＜”“＝”或“＞”填空)： ①当x＝1时，x2＋1________2x； ②当x＝0时，x2＋1________2x； ③当x＝－2时，x2＋1________2x. (2)归纳：若x取任意实数，x2＋1与2x有怎样的大小关系？试说明理由． 解：(1)＝；＞；＞. (2)x2＋1≥2x，理由：∵x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，∴x2＋1≥2x. 14．选取二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫配方． 例如：①选取二次项和一次项配方： x2－4x＋9＝(x－2)2＋5； ②选取二次项和常数项配方： x2－4x＋9＝(x－3)2＋2x或x2－4x＋9＝(x＋3)2－10x； ③选取一次项和常数项配方：x2－4x＋9＝( eq \f(2,3) x－3)2＋ eq \f(5,9) x2. 根据上述材料，解决下面问题： (1)写出代数式x2－8x＋4的两种不同形式的配方． (2)已知x2＋y2＋xy－3y＋3＝0，求xy的值． 解：(1)①选取二次项和一次项配方： x2－8x＋4＝(x－4)2－12， ②选取二次项和常数项配方： x2－8x＋4＝(x－2)2－4x或x2－8x＋4＝(x＋2)2－12x. (2)由x2＋y2＋xy－3y＋3＝0，可得x2＋xy＋ eq \f(1,4) y2＋ eq \f(3,4) y2－3y＋3＝0，可化为(x＋ eq \f(1,2) y)2＋3( eq \f(1,2) y－1)2＝0，则x＋ eq \f(1,2) y＝0， eq \f(1,2) y－1＝0， 解得x＝－1，y＝2，所以xy＝(－1)2＝1. $$第二十一章　一元二次方程 21．2　解一元二次方程 21．2.3　因式分解法 Ap 课 时 目 标 B A 能力提升 素养拓展 基础夯实 D B 能力提升 素养拓展 基础夯实 D 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 B A 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 －3或4 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．一元二次方程(x＋3)(2x－1)＝0的解是( ) A．x1＝3，x2＝ eq \f(1,2) B．x1＝－3，x2＝ eq \f(1,2) C．x1＝3，x2＝2 D．x1＝－3，x2＝2 2．下列方程中，适合用因式分解法解的是( ) A．(2x－3)2－9(x＋1)2＝0 B．x2－2＝x(2－x) C．x2－4x－4＝0 D．4x2－1＝4x 3．一元二次方程x(x－2)＝x－2的解是( ) A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝1 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝1，x2＝2 4．经计算，整式x＋1与x－4的积为x2－3x－4，则一元二次方程x2－3x－4＝0的根是( ) A．x1＝－1，x2＝－4 B．x1＝－1，x2＝4 C．x1＝1，x2＝4 D．x1＝1，x2＝－4 5．解方程4(2x＋5)2＝5(5＋2x)最合适的方法是( ) A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 6．一元二次方程(x－2)(x＋7)＝0的根是_____________________． x1＝2，x2＝－7 7．用因式分解法解下列方程： (1)2x2－ eq \r(5) x＝0. (2)4x2＋25＝20x. 解：x1＝0，x2＝ eq \f(\r(5),2) . 解：x1＝x2＝ eq \f(5,2) . (3)x(x－7)＝8(7－x). (4)x2－16＝2(x＋4). 解：x1＝7，x2＝－8. 解：x1＝－4，x2＝6. 8．用适当的方法解下列方程： (1)2(x－1)2－4＝0. 解：(x－1)2＝2，x－1＝± eq \r(2) ， 所以x1＝1＋ eq \r(2) ，x2＝1－ eq \r(2) . (2)x2－7x＋14＝0. (3)2(x－3)2＝x2－9. 解：Δ＝(－7)2－4×14＜0，所以方程没有实数解． 解：方程变形，得2(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0， 分解因式，得(x－3)(2x－6－x－3)＝0，解得x1＝3，x2＝9. 9．若关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实根分别为5，－6，则二次三项式x2＋mx＋n可分解为( ) A．(x＋5)(x－6) B．(x－5)(x＋6) C．(x＋5)(x＋6) D．(x－5)(x－6) 10．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2－8x＋15＝0的一根，则此三角形的周长是( ) A．16 B．12 C．14 D．12或16 11．对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝(a＋b)2－(a－b)2.若(m＋2)◎(m－3)＝24，则m＝_____________． 12．用适当的方法解下列方程： (1)x2－25＝5x＋25. (2)(x＋2)2－(3x－1)2＝0. 解：x1＝－5，x2＝10. 解：x1＝－ eq \f(1,4) ，x2＝ eq \f(3,2) . (3)4x2＋3x－2＝0. 解：a＝4，b＝3，c＝－2. b2－4ac＝32－4×4×(－2)＝41＞0. ∴x＝ eq \f(－3±\r(41),2×4) ＝ eq \f(－3±\r(41),8) . ∴x1＝ eq \f(－3＋\r(41),8) ，x2＝ eq \f(－3－\r(41),8) . 13．由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式： x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b). 示例： 分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3). (1)尝试： 分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋________)(x＋________). (2)应用： ①请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0； ②如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，且AB的长是方程x2－9x＋20＝0的一个根，求等腰三角形ABC的面积． 解：(1)2，4. (2)①∵x2－3x－4＝0，x2＋(－4＋1)x＋(－4)×1＝0，∴(x－4)(x＋1)＝0，则x＋1＝0或x－4＝0，解得x1＝－1或x2＝4； ②由方程x2－9x＋20＝0，得(x－4)(x－5)＝0，解得x1＝4，x2＝5.∵AB长是方程x2－9x＋20＝0的一个根，∴AB＝4或AB＝5. ∵AB＝AC，BC＝8，AB＋AC＞BC，∴2AB＞8，∴AB＞4，∴AB＝5.如图，过点A作AD⊥BC于点D，则BD＝ eq \f(1,2) BC＝4.在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD＝ eq \r(AB2－BD2) ＝ eq \r(52－42) ＝3，∴S△ABC＝ eq \f(1,2) BC·AD＝ eq \f(1,2) ×8×3＝12，即等腰三角形ABC的面积是12. $$第二十一章　一元二次方程 21．2　解一元二次方程 21．2.4　一元二次方程的根与系数的关系 Ap 课 时 目 标 C A B 能力提升 素养拓展 基础夯实 D A 能力提升 素养拓展 基础夯实 2 20 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 B B 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 －3 －4 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．设x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x1＋x2的值为( ) A．－2 B．－3 C．2 D．3 2．(2023·天津)若x1，x2是方程x2－6x－7＝0的两个根，则( ) A．x1＋x2＝6 B．x1＋x2＝－6 C．x1x2＝ eq \f(7,6) D．x1x2＝7 3．若x＝－2是一元二次方程x2＋2x＋m＝0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是( ) A．0，－2 B．0，0 C．－2，－2 D．－2，0 4．已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＋x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ＝5，则k的值是( ) A．－2 B．2 C．－1 D．1 5．已知m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，则m2＋mn＋2m的值为( ) A．0 B．－10 C．3 D．10 6．(2023·武汉)已知关于x的一元二次方程x2－3x＋1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1＋x2－x1x2的值为____． 7．设x1与x2为一元二次方程 eq \f(1,2) x2＋3x＋2＝0的两根，则(x1－x2)2的值为____． 8．已知方程2x2－5x－1＝0的两个根是x1，x2，不解方程，求下列代数式的值． (1)x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＋x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) . (2) eq \f(x2,x1) ＋ eq \f(x1,x2) . 解：根据题意，得x1＋x2＝ eq \f(5,2) ，x1·x2＝－ eq \f(1,2) ， (1)原式＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝ eq \f(29,4) . (2)原式＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(x＋x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ,x1x2) ＝－ eq \f(29,2) . 9．关于x的方程3x2＋mx－8＝0有一个根是 eq \f(2,3) ，求另一个根及m的值． 解：设方程的另一个根是x1，由一元二次方程根与系数的关系，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)＋x1＝－\f(m,3)，①,\f(2,3)x1＝－\f(8,3)．②)) 由②，得x1＝－4， 代入①，得 eq \f(2,3) ＋(－4)＝－ eq \f(m,3) ，解得m＝10. 所以，方程的另一个根是－4，m的值是10. 10．已知关于x的一元二次方程x2－2x－a＝0的两根分别记为x1，x2，若x1＝－1，则a－x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) －x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) 的值为( ) A．7 B．－7 C．6 D．－6 11．在解一元二次方程x2＋px＋q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是－3，1.小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，－4，则原来的方程是( ) A．x2＋2x－3＝0 B．x2＋2x－20＝0 C．x2－2x－20＝0 D．x2－2x－3＝0 12．若关于x的方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两根互为倒数，则k＝________． 13．α，β是关于x的方程x2－x＋k－1＝0的两个实数根，且α2－2α－β＝4，则k的值为__________． 14．已知关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，若(x1＋1)(x2＋1)＝－1，求k的值． 解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根， ∴Δ＝32－4×1×(k－2)≥0，解得k≤ eq \f(17,4) . (2)∵方程x2＋3x＋k－2＝0的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1＋x2＝－3，x1x2＝k－2，∵(x1＋1)(x2＋1)＝－1， ∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＝－1，∴k－2＋(－3)＋1＝－1，解得k＝3. 15．已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋ eq \f(1,2) k2－2＝0. (1)求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程的两个实数根x1，x2满足x1－x2＝3，求k的值． (1)证明：∵Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×( eq \f(1,2) k2－2)＝2(k＋1)2＋7＞0，∵无论k为何实数，2(k＋1)2≥0，∴2(k＋1)2＋7＞0，∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)解：由根与系数的关系得出x1＋x2＝2k＋1，x1x2＝ eq \f(1,2) k2－2，∵x1－x2＝3，∴(x1－x2)2＝9，∴(x1＋x2)2－4x1x2＝9，∴(2k＋1)2－4×( eq \f(1,2) k2－2)＝9，化简得k2＋2k＝0，解得k＝0或k＝－2. 16．已知关于x的一元二次方程x2－2(k＋1)x＋k2＋k＋3＝0(k为常数). (1)若方程的两根为菱形相邻两边长，求k的值. (2)是否存在满足条件的常数k，使该方程的两解等于边长为2的菱形的两对角线长，若存在，求k的值．若不存在，说明理由． 解：(1)∵方程的两根为菱形相邻两边长， ∴此方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0， ∴[－2(k＋1)]2－4(k2＋k＋3)＝0，k＝2. (2)不存在，理由如下：设菱形的两对角线长a，b，∵该方程的两解是菱形的两对角线长，∴a＋b＝2(k＋1)，ab＝k2＋k＋3. ∵菱形的两对角线互相垂直平分，∴由勾股定理得，( eq \f(b,2) )2＋( eq \f(a,2) )2＝4，[2(k＋1)]2－2(k2＋k＋3)＝16，解得k＝ eq \f(－3±3\r(5),2) ，∵Δ＝4k－8，∴4k－8≥0，∴k≥2.∵k＝ eq \f(－3±3\r(5),2) ＜2，∴不存在满足条件的常数k. $$第二十一章　一元二次方程 21．3　实际问题与一元二次方程 第1课时 变化率问题与商品销售问题 Ap 课 时 目 标 B D 能力提升 素养拓展 基础夯实 A 能力提升 素养拓展 基础夯实 C 能力提升 素养拓展 基础夯实 C 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 C 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 25 100 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是( ) A．14 B．11 C．10 D．9 2．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是( ) A． eq \f(1,2) x(x＋1)＝110 B． eq \f(1,2) x(x－1)＝110 C．x(x＋1)＝110 D．x(x－1)＝110 3．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是( ) A．6.2(1＋x)2＝8.9 B．8.9(1＋x)2＝6.2 C．6.2(1＋x2)＝8.9 D．6.2(1＋x)＋6.2(1＋x)2＝8.9 4．某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是( ) A．150(1－x2)＝96 B．150(1－x)＝96 C．150(1－x)2＝96 D．150(1－2x)＝96 5．(2023·台州月考)将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是( ) A．y＝(x－35)(200－5x) B．y＝(x＋40)(200－10x) C．y＝(x＋5)(200－5x) D．y＝(x＋5)(200－10x) 6．某网络学习平台2022年的新注册用户数为100万，2024年的新注册用户数为169万．设新注册用户数的年平均增长率为x(x＞0)，则x＝_________．(用百分数表示) 30% 7．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2，3，4月每个月生产成本的下降率都相同． (1)求每个月生产成本的下降率． (2)请你预测4月份该公司的生产成本． 解：(1)设每个月生产成本的下降率为x， 根据题意，得400(1－x)2＝361， 解得x1＝0.05＝5%，x2＝1.95(不合题意，舍去). 答：每个月生产成本的下降率为5%. (2)361×(1－5%)＝342.95(万元). 答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元． 8．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．如果每月的增长率x相同，那么( ) A．50(1＋x2)＝196 B．50＋50(1＋x2)＝196 C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196 D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196 9．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出(350－10a)件．但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%.若商店计划要赚400元，则每件商品的售价为_______元，需要卖出__________件商品． 10．某乡为了让农民走上致富的道路，准备贷款给农民建池塘办养殖业.2021年乡政府共投资贷款2万元人民币修建池塘80平方米．预计到2023年底乡政府三年累计投资贷款9.5万元人民币用于修建池塘，若在这两年内乡政府每年投资贷款的增长率相同． (1)求每年乡政府投资贷款的增长率． (2)若近几年内的修建成本不变，则到2023年底该乡共贷款修建多少平方米的池塘？ 解：(1)设每年乡政府投资贷款的增长率为x， 根据题意，得2＋2(1＋x)＋2(1＋x)2＝9.5， 解得x＝0.5＝50%或x＝－3.5(舍去)， 答：每年乡政府投资贷款的增长率为50%. (2)根据题意，得9.5× eq \f(80,2) ＝380(平方米)， 答：若近几年内的修建成本不变，到2023年底共修建380平方米的池塘． 11．端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元． 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3 640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ 解：设每千克降低x元，超市每天可获得销售利润3 640元，由题意，得(38－x－22)(160＋ eq \f(x,3) ×120)＝3 640，整理得x2－12x＋27＝0，∴x＝3或x＝9.∵要尽可能让顾客得到实惠，∴x＝9，∴售价为38－9＝29(元/千克).答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3 640元． 12．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． (1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ (2)小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(1)中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 解：(1)设售价应定为x元，则每件的利润为(x－40)元，日销售量为20＋ eq \f(10（60－x）,5) ＝(140－2x)件， 依题意，得(x－40)(140－2x)＝(60－40)×20， 整理，得x2－110x＋3000＝0，解得x1＝50，x2＝60(舍去). 答：售价应定为50元． (2)该商品需要打a折销售， 由题意，得62.5× eq \f(a,10) ≤50，解得a≤8， 答：该商品至少需打8折销售． $$第二十一章　一元二次方程 21．2　解一元二次方程 21．2.1　配方法 第1课时 Ap 课 时 目 标 1．用直接开平方法解“x2＝p(p≥0)”型的方程 2．用直接开平方法解“(mx＋n)2＝p(p≥0)”型的方程 A C A 能力提升 素养拓展 基础夯实 C B C 能力提升 素养拓展 基础夯实 ±3 x1＝2，x2＝－4 能力提升 素养拓展 基础夯实 D A x1＝4，x2＝－6 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．下列方程可用直接开平方法求解的是( ) A．9x2＝25 B．4x2－4x－3＝0 C．x2－3x＝0 D．x2－2x－1＝9 2．(2023秋·椒江区校级月考)方程x2＝4的解是( ) A．x1＝4，x2＝－4 B．x1＝1，x2＝－2 C．x1＝2，x2＝－2 D．x1＝1，x2＝4 3．如果关于x的方程(x－4)2＝m－1可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是( ) A．m≥1 B．m＞1 C．m＞－1 D．m≥－1 4．一元二次方程(x－1)2＝25可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x－1＝5，则另一个一元一次方程是( ) A．x＋1＝－5 B．x＋1＝5 C．x－1＝－5 D．x－1＝5 5．如果x＝3是一元二次方程ax2＝c的一个根，则方程的另一根是( ) A．3 B．－3 C．0 D．1 6．对于形如(x＋m)2＝n的方程，它的解的正确表达式是( ) A．x＝± eq \r(n) B．当n≥0时，x＝m± eq \r(n) C．当n≥0时，x＝－m± eq \r(n) D．当n≥0时，x＝± eq \r(m－n) 解：x1＝－1＋ eq \r(5) ，x2＝－1－ eq \r(5) . 7．若代数式3x2－6的值为21，则x的值是________． 8．方程(x＋1)2＝9的根是__________________________． 9．用直接开平方法解下列方程： (1)2x2－ eq \f(1,2) ＝0. (2)8x2＋2＝0. (3)(2x－1)2＝4. (4)(x＋1)2－5＝0. 解：x1＝ eq \f(1,2) ，x2＝－ eq \f(1,2) . 解：方程无实数根． 解：x1＝－ eq \f(1,2) ，x2＝ eq \f(3,2) . 10．关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1(a，m，b均为常数，a≠0)，则方程a(x＋m＋3)2＋b＝0的解是( ) A．－1或－4 B．－2或1 C．1或3 D．－5或－2 11．若(x2＋y2－3)2＝16，则x2＋y2的值为( ) A.7 B．7或－1 C．－1 D．19 12．在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：a⊕b＝a2－b2，则方程(4⊕3)⊕(x＋1)＝24的解为____________________． 13．用直接开平方法解下列方程： (1)2(x－8)2＝50. (2)x2＋6x＋9＝7. (3)(2x＋3)2＝(3x＋2)2. (4)4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0. 解：x1＝13，x2＝3. 解：x1＝－3＋ eq \r(7) ，x2＝－3－ eq \r(7) . 解：x1＝1，x2＝－1. 解：x1＝－ eq \f(5,3) ，x2＝－ eq \f(1,15) . 14．市区内有一块边长为15米的正方形绿地，经城市规划，需扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将达到289平方米．求这块绿地的边长增加了多少米？ 解：设这块绿地的边长增加了x米． 根据题意可列方程：(15＋x)2＝289， 解得x1＝2，x2＝－32(舍). 答：这块绿地的边长增加了2米． 15．在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程x(x＋8)＝4 解：原方程可变形，得[(x＋4)－4][(x＋4)＋4]＝4，(x＋4)2－42＝4， 移项得(x＋4)2＝20，直接开平方，得：x1＝－4＋2 eq \r(5) ，x2＝－4－2 eq \r(5) . 我们称这种解法为“平均数法”． (1)下面是小明用“平均数法”解方程(x＋2)(x＋8)＝40时写的解题过程： 解：原方程可变形，得[(x＋a)－b][(x＋a)＋b]＝40,(x＋a)2－b2＝40， 移项得(x＋a)2＝40＋b2，直接开平方，得x1＝c，x2＝d. 上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是______，______，_______，_______. (2)请用“平均数法”解方程：(x－2)(x＋6)＝4. 解：(1)5，3，2，－12. (2)原方程可变形，得[(x＋2)－4][(x＋2)＋4]＝4. (x＋2)2－42＝4，(x＋2)2＝4＋42.∴x＝－2±2 eq \r(5) ， ∴x1＝－2＋2 eq \r(5) ，x2＝－2－2 eq \r(5) . $$第二十一章　一元二次方程 21．2　解一元二次方程 21．2.2　公式法 Ap 课 时 目 标 1．利用根的判别式判别根的情况 2．利用根的判别式确定字母的取值 3．用公式法解一元二次方程 C C 能力提升 素养拓展 基础夯实 D 能力提升 素养拓展 基础夯实 D 2 x1＝x2＝－1 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 D A 8或9 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．若关于x的方程x2＋6x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值是( ) A．36 B．－36 C．9 D．－9 2．下列一元二次方程有实数解的是( ) A．2x2－x＋1＝0 B．x2－2x＋2＝0 C．x2＋3x－2＝0 D．x2＋2＝0 3．用公式法解方程3x2－2x－1＝0时，正确代入求根公式的是( ) A．x＝ eq \f(－（－2）±\r(（－2）2－4×3×1),2×3) B．x＝ eq \f(－（－2）±\r(（－2）2－4×3×（－1）),3) C．x＝ eq \f(－2±\r(（－2）2－4×3×（－1）),2×3) D．x＝ eq \f(－（－2）±\r(（－2）2－4×3×（－1）),2×3) 4．关于x的方程x2－4x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( ) A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4 5．已知一元二次方程ax2＋4x＋2＝0，且b2－4ac＝0，则a＝_______，方程的解是______________． 6．用公式法解方程： (1)x2＋4x－1＝0. (2)y2－2 eq \r(2) y＋3＝0. (3)2x2－x－5＝0. 解：x＝ eq \f(－4±\r(42－4×1×（－1）),2×1) ， x1＝－2＋ eq \r(5) ，x2＝－2－ eq \r(5) . 解：无实数解． 解：∵a＝2，b＝－1，c＝－5， ∴Δ＝(－1)2－4×2×(－5)＝41＞0，则x＝ eq \f(1±\r(41),4) ， ∴x1＝ eq \f(1＋\r(41),4) ，x2＝ eq \f(1－\r(41),4) . 7．k为何值时，关于x的一元二次方程kx2－6x＋9＝0. (1)有两个不等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)无实数根？ 解：(1)根据题意得k≠0且Δ＝(－6)2－4k·9＞0，解得k＜1且k≠0. (2)根据题意得k≠0且Δ＝(－6)2－4k·9＝0，解得k＝1. (3)根据题意得k≠0且Δ＝(－6)2－4k·9＜0，解得k＞1. 8．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x－3＝0有实数根，则m的取值范围是( ) A．m≥ eq \f(2,3) B．m＜ eq \f(2,3) C．m＞ eq \f(2,3) 且m≠1 D．m≥ eq \f(2,3) 且m≠1 9．已知a，b，c是△ABC三边长且方程(c－b)x2＋2(b－a)x＋a－b＝0有两相等的实数根，则这个三角形是( ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形 10．若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2－6x＋n＝0的两个根，则n的值为__________． 11．用公式法解下列方程： (1)3y2＋1＝2 eq \r(3) y. (2)3x2＋5(2x＋1)＝0. (3)3x(x－3)＝2(x－1)(x＋1). 解：y1＝y2＝ eq \f(\r(3),3) . 解：x＝ eq \f(－10±2\r(10),6) ＝ eq \f(－5±\r(10),3) ， ∴x1＝ eq \f(－5＋\r(10),3) ，x2＝ eq \f(－5－\r(10),3) . 解：原方程可化为x2－9x＋2＝0. x＝ eq \f(9±\r(73),2) ，x1＝ eq \f(9＋\r(73),2) ，x2＝ eq \f(9－\r(73),2) . 12．已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0. (1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根． (2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． (1)解：∵1为原方程的一个根，∴1＋a＋a－2＝0.∴a＝ eq \f(1,2) .代入方程，得x2＋ eq \f(1,2) x－ eq \f(3,2) ＝0.解得x1＝1，x2＝－ eq \f(3,2) .∴a的值为 eq \f(1,2) ，方程的另一个根为－ eq \f(3,2) . (2)证明：∵在x2＋ax＋a－2＝0中，Δ＝a2－4a＋8＝(a－2)2＋4＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 13．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，问几秒时△PDQ的面积为35 cm2? 解：设x秒时△PDQ的面积为35 cm2， 12×6－ eq \f(1,2) ×12x－ eq \f(1,2) (6－x)×2x－ eq \f(1,2) ×6×(12－2x)＝35， 整理得x2－6x＋1＝0， 解得x1＝3＋2 eq \r(2) ，x2＝3－2 eq \r(2) . 答：3＋2 eq \r(2) 秒或3－2 eq \r(2) 秒时，△PDQ的面积为35 cm2. $$第二十一章　一元二次方程 21．3　实际问题与一元二次方程 第2课时 Ap 课 时 目 标 几何图形问题 B D 能力提升 素养拓展 基础夯实 C 能力提升 素养拓展 基础夯实 2 (11－2x)(7－2x)＝21 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 A 2 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( ) A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6 C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6 2．如图，把一块长为40 cm，宽为30 cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600 cm2，设剪去小正方形的边长为x cm，则可列方程为( ) A．(30－2x)(40－x)＝600 B．(30－x)(40－x)＝600 C．(30－x)(40－2x)＝600 D．(30－2x)(40－2x)＝600 3．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为x m，则可列方程为( ) A．(x＋1)(x＋2)＝18 B．x2－3x＋16＝0 C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝0 4．如图，小明同学用一张长11 cm，宽7 cm的矩形纸板制作一个底面积为21 cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可(损耗不计).设剪去的正方形边长为x cm， 则可列出关于x的方程为_____________________． 5．如图，某小区有一块长为30 m，宽为24 m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地．它们的面积之和为480 m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为______ m. 6．如图，在长为50 m、宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1 260 m2，道路的宽应为多少？ 解：设路宽应为x米，根据等量关系列方程得 (50－2x)(38－2x)＝1 260，解得x＝4或40， 40不合题意，舍去，所以x＝4. 答：道路的宽应为4米． 7．(2023·黑龙江)如图，在长为100 m，宽为50 m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路．若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3 600 m2，则小路的宽是( ) A．5 m B．70 m C．5 m或70 m D．10 m 8．如图是一张长12 cm，宽10 cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm2的 有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为_______ cm. 9．(2023·淮安)为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD(如图)，生态园一面靠墙(墙足够长)，另外三面用18 m的篱笆围成．生态园的面积能否为40 m2？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由． 解：生态园的面积能为40 m2，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，设AB的长度为x m，则BC的长度为 eq \f(18－x,2) m，由题意得：x· eq \f(18－x,2) ＝40，整理得x2－18x＋80＝0，解得x1＝10，x2＝8，∴生态园的面积能为40 m2，AB的长为10 m或8 m. 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝10 cm，BC＝12 cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点都停止运动．设运动时间为t s(t＞0). (1)线段BQ＝______ cm，PB＝______ cm.(用含t的代数式表示) (2)当t为何值时，PQ的长为4 eq \r(5) cm? (3)是否存在t，使得五边形APQCD的面积等于99 cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)4t，(10－2t). (2)由题意，得(10－2t)2＋(4t)2＝(4 eq \r(5) )2，解得t1＝t2＝1.当t＝1 s时，PQ的长度等于4 eq \r(5) cm. (3)存在t，使五边形ABQCD的面积等于99 cm2.理由如下：长方形ABCD的面积是10×12＝120(cm2)，使得五边形APQCD的面积等于99 cm2，则△PBQ的面积为120－99＝21(cm2)，(10－2t)·4t· eq \f(1,2) ＝21，解得t1＝3.5(不合题意，舍去)，t2＝1.5. 即当t＝1.5 s时，使得五边形APQCD的面积等于99 cm2. $$第二十一章复习总结 一、一元二次方程及其相关概念 B D －1 D A －3或4 D 3 A x(x－12)＝864 学无止境 本课结束 1．若关于x的方程(m＋1)xm2＋1－3x＋2＝0是一元二次方程，则m的值为( ) A．m＝－1 B．m＝1 C．m＝±1 D．无法确定 2．关于x的一元二次方程3x2＝2x－1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A．3，－2，－1 B．3，2，－1 C．－3，－2，1 D．3，－2，1 3．已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋a2－1＝0有一个根为x＝0，则a＝________． 二、一元二次方程的解法 4．一元二次方程x2＋4x－8＝0的解是( ) A．x1＝2＋2 eq \r(3) ，x2＝2－2 eq \r(3) B．x1＝2＋2 eq \r(2) ，x2＝2－2 eq \r(2) C．x1＝－2＋2 eq \r(2) ，x2＝－2－2 eq \r(2) D．x1＝－2＋2 eq \r(3) ，x2＝－2－2 eq \r(3) 5．用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0，配方正确的是( ) A．(x－ eq \f(3,4) )2＝ eq \f(17,16) B．(x－ eq \f(3,4) )2＝ eq \f(1,2) C．(x－ eq \f(3,2) )2＝ eq \f(13,4) D．(x－ eq \f(3,2) )2＝ eq \f(11,4) 6．对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝(a＋b)2－(a－b)2.若(m＋2)◎(m－3)＝24，则m＝_____________． 10．已知关于x的一元二次方程x2－2mx－5m2－3＝0. (1)当m＝1时，试求出该方程的解． (2)求证：不论m取任何值，该方程总有两个不相等的实数根． (1)解：当m＝1时，原方程为x2－2x－8＝0，分解因式得(x＋2)(x－4)＝0，解得x1＝－2，x2＝4. (2)证明：Δ＝(－2m)2－4(－5m2－3)＝24m2＋12，∵m2≥0，∴Δ＝24m2＋12＞0， ∴不论m取任何值，该方程总有两个不相等的实数根． 四、用一元二次方程解决实际问题 11．某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x，则所列方程为( ) A．30(1＋x)2＝50 B．30(1－x)2＝50 C．30(1＋x2)＝50 D．30(1－x2)＝50 12．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为______________________． 13．据了解，今年3月份某市博物馆接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人． (1)求这两个月参观人数的月平均增长率． (2)按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？ 解：(1)设这两个月参观人数的月平均增长率为x，依题意，得10(1＋x)2＝12.1， 解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去). 答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%. (2)12.1×(1＋10%)＝13.31(万人). 答：预计6月份的参观人数为13.31万人． 14．某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，自行车车棚为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米，另三面墙用现有的木板材料围成，总长为26米，且计划建造车棚的面积为80平方米． (1)如图1，为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？ (2)如图2，为了方便学生取车，施工单位又决定在车棚内修建三条等宽的小路(小路垂直或平行于墙)，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 解：(1)设与墙垂直的一面为x米，另一面则为(26－2x＋2)米， 根据题意，得x(28－2x)＝80， 整理，得x2－14x＋40＝0， 解得x＝4或x＝10， 当x＝4时，28－2x＝20＞12(舍去)， 当x＝10时，28－2x＝8＜12， ∴长为10米，宽为8米． (2)设宽为a米，根据题意，得(8－2a)(10－a)＝54，a2－14a＋13＝0，解得a1＝13＞10(舍去)，a2＝1， 答：小路的宽为1米． $$