第24章　圆 训练巩固课件-2024-—2025学年人教版数学九年级上册

第二十四章　圆 24．1　圆的有关性质 24．1.2　垂直于弦的直径 Ap 课 时 目 标 C B 能力提升 素养拓展 基础夯实 D B 能力提升 素养拓展 基础夯实 7 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 C C 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．下列说法正确的是( ) A．平分弦的直径垂直于弦 B．垂直于弦的直线必过圆心 C．垂直于弦的直径平分弦 D．平分弦的直径平分弦所对的弧 2．如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论错误的是( ) A．CE＝DE B．AE＝OE C． eq \x\to(BC) ＝ eq \x\to(BD) D．△OCE≌△ODE 3．已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则 OP＝( ) A． eq \r(14) B．4 C． eq \r(23) D．5 4．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是(－2，4)，点C的坐标是(1，3)，则这条圆弧所在圆的圆心坐标是( ) A．(0，0) B．(－1，2) C．(－1，0) D．(－1，－1) 5．如图，A，B，C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点．若 OA＝7，则BC的长为______． 6．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝2，以A为圆心，AC长为半径作圆A，延 长CB交圆A于点D，则BD的长为________． eq \f(9,2) 7．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4 m，CD＝6 m，则⊙O 的半径长为_________m. eq \f(10,3) 8．石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶(如图1)，隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为 eq \x\to(AB) .桥的跨度(弧所对的弦长)AB＝26 m，设 eq \x\to(AB) 所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D.拱高(弧的中点到弦的距离)CD＝5 m．连接OB. (1)直接判断AD与BD的数量关系． (2)求这座石拱桥主桥拱的半径(精确到1 m). 解：(1)∵OC⊥AB，∴AD＝BD. (2)设主桥拱半径为R，由题意可知AB＝26，CD＝5，∴BD＝ eq \f(1,2) AB＝13，OD＝OC－CD＝R－5，∵∠ODB＝90°，∴OD2＋BD2＝OB2， ∴(R－5)2＋132＝R2，解得R＝19.4≈19， 答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19 m. 9．⊙O的半径为5，弦AB∥CD，AB＝6，CD＝8，则AB与CD距离为( ) A．7 B．8 C．7或1 D．1 10．如图所示，矩形ABCD与⊙O相交于M，N，F，E，若AM＝2，DE＝1，EF＝8，则MN的长为( ) A．2 B．4 C．6 D．8 11．⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM∶OC＝3∶5，则AC 的长为_______________． 4 eq \r(5) 或2 eq \r(5) 12．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图). (1)求证：AC＝BD. (2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长． (1)证明：过点O作OE⊥AB，则AE＝BE，CE＝DE，∴BE－DE＝AE－CE，即AC＝BD. (2)解：由(1)可知OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，∴OE＝6，∴CE＝ eq \r(OC2－OE2) ＝ eq \r(82－62) ＝2 eq \r(7) ，AE＝ eq \r(OA2－OE2) ＝ eq \r(102－62) ＝8，∴AC＝AE－CE＝8－2 eq \r(7) . 13．如图，一座圆弧形拱桥的圆心为O，桥下水面宽度AB为7.2 m，拱高CD为2.4 m. (1)求拱桥的半径． (2)夏季雨季来临时，当水面离桥顶C距离为1 m时，就要禁止通行，某天暴雨后桥下水面宽度EF为3 m，请通过计算说明是否要禁止通行． 解：(1)如图，连接OB，∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝7.2 m，∴BD＝ eq \f(1,2) AB＝3.6 m．又∵CD＝2.4 m，设OB＝OC＝r m，则OD＝(r－2.4) m，在Rt△BOD中，根据勾股定理得r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得r＝3.9. 答：拱桥的半径为3.9 m. (2)连接OF，∵OC⊥EF，∴G为EF中点．∵EF＝3 m，∴GF＝ eq \f(1,2) EF＝1.5 m．∵OF＝3.9 m，在Rt△OFG中，OG2＝OF2－GF2＝3.92－1.52＝12.96，∴OG＝ eq \r(12.96) ＝3.6 m，∴CG＝OC－OG＝3.9－3.6＝0.3＜1，∴要禁止通行． 14．如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2 m，拱顶高出水面2.4 m，现有一艘宽3 m，船舱顶部为正方形并高出水面2 m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由． 解：能通过．理由如下：依题意得AB＝7.2，CD＝2.4.连接AO，设⊙O的半径为R，在Rt△AOD中，OD＝R－2.4，AD＝3.6，R2＝(R－2.4)2＋3.62，∴R＝3.9，OD＝1.5.在Rt△OHN中，当HN＝1.5时，OH＝ eq \r(ON2－HN2) ＝ eq \r(3.92－1.52) ＝3.6(m)，∴HD＝3.6－1.5＝2.1(m).∵2.1 m＞2 m，∴此货船能顺利通过． $$第二十四章　圆 24．1　圆的有关性质 24．1.4　圆周角 Ap 课 时 目 标 A B 能力提升 素养拓展 基础夯实 C C 能力提升 素养拓展 基础夯实 40° 200 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 B D 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 90° 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．(2023·宜宾)如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为 eq \x\to(AB) 的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB等于( ) A．140° B．120° C．110° D．70° 2．如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠C＝35°，则∠ABO的度数是( ) A．35° B．55° C．60° D．70° 3．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD＝40°，则∠B＝( ) A．70° B．60° C．50° D．40° 4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为( ) A．138° B．121° C．118° D．112° 5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为_________． 6．如图是一个圆形人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100 m，测得圆周角∠ACB＝30°，则这个人工湖的直径为_________m. 7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB. (1)试判断△ABC的形状，并给出证明． (2)若AB＝ eq \r(2) ，AD＝1，求CD的长度． 解：(1)△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下： ∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°. ∵∠ADB＝∠CDB，∴ eq \x\to(AB) ＝ eq \x\to(BC) ，∴AB＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形． (2)在Rt△ABC中，AB＝BC＝ eq \r(2) ，∴AC＝2， 在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2， ∴CD＝ eq \r(3) . 8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证： (1)AD＝CD. (2)AB是⊙O的直径． 证明：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠D＝180°－∠B＝130°. ∵∠ACD＝25°，∴∠DAC＝180°－130°－25°＝25°. ∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD. (2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°， ∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°. ∴AB是⊙O的直径． 9．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连接OB，OC.若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为( ) A．95° B．100° C．105° D．130° 10．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是( ) A．80° B．160° C．100° D．80°或100° 11．如图所示，AB是⊙O的直径，C，D，E都是⊙O上的点， 则∠1＋∠2＝______________． 12．已知⊙O的直径为10，点A，B，C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D. (1)如图1，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长． (2)如图2，若∠CAB＝60°，求BD的长． 解：(1)∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB＝∠BDC＝90°.∵在Rt△CAB中，BC＝10，AB＝6，∴AC＝8.∵AD平分∠CAB，∴ eq \x\to(CD) ＝ eq \x\to(BD) ，∴CD＝BD.在Rt△BDC中，BC＝10，CD2＋BD2＝BC2，∴BD＝CD＝5 eq \r(2) . (2)连接OB，OD.∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，∴∠DAB＝ eq \f(1,2) ∠CAB＝30°， ∴∠DOB＝2∠DAB＝60°. 又∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD＝OB＝OD. ∵⊙O的直径为10，则OB＝5，∴BD＝5. 13．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F. (1)若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC. (2)若∠E＝∠F＝42°，求∠A的度数． (3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β.请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小． (1)证明：∵∠E＝∠F，∠DCE＝∠BCF，∠ADC＝∠E＋∠DCE，∠ABC＝∠F＋∠BCF，∴∠ADC＝∠ABC. (2)解：由(1)知∠ADC＝∠ABC，∵∠EDC＝∠ABC，∴∠EDC＝∠ADC，∴∠ADC＝90°，∴∠A＝90°－42°＝48°. (3)连接EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，易证∠ECD＝∠A.∵∠ECD＝∠1＋∠2，∴∠A＝∠1＋∠2.∵∠A＋∠1＋∠2＋∠E＋∠F＝180°，∴2∠A＋α＋β＝180°，∴∠A＝90°－ eq \f(1,2) (α＋β). $$第二十四章　圆 24．2　点和圆、直线和圆的位置关系 24．2.2　直线和圆的位置关系 第1课时　直线和圆的位置关系 Ap 课 时 目 标 A B 能力提升 素养拓展 基础夯实 C D 能力提升 素养拓展 基础夯实 A 能力提升 素养拓展 基础夯实 相离 4 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 D 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 1 1＜d＜3 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．设⊙O的半径是r，点O到直线的距离是d.若⊙O与l只有一个公共点，则r与d之间的关系是( ) A．d＞r B．d＝r C．d＜r D．d≤r 2．若⊙O的直径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是( ) A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 3．如图，∠O＝30°，C为OB上一点，且OC＝6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是( ) A.相离 B．相交 C．相切 D．以上三种情况均有可能 4．在平面直角坐标系中，以点(－1，2)为圆心，1为半径的圆必与( ) A．x轴相交 B．y轴相交 C．x轴相切 D．y轴相切 5．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为5，则半径r的取值范围是( ) A．r＞5 B．r＝5 C．0＜r＜5 D．0＜r≤5 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是___________． 7．已知⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2－4x＋m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为__________． 8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4 cm，BC＝2 cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？请你写出判断过程． (1)r＝1.5 cm.(2)r＝ eq \r(3) cm.(3)r＝2 cm. 解：过点C作CD⊥AB，垂足为D.∵AB＝4，BC＝2，∴AC＝2 eq \r(3) .又∵S△ABC＝ eq \f(1,2) AB·CD＝ eq \f(1,2) BC·AC，∴CD＝ eq \f(BC·AC,AB) ＝ eq \r(3) . (1)r＝1.5 cm时，相离． (2)r＝ eq \r(3) cm时，相切． (3)r＝2 cm时，相交． 9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BO＝x，⊙O的半径为2，求当x在什么范围内取值时，AB所在的直线与⊙O相交？相切？相离？ 解：过点O作OD⊥AB.∵∠A＝90°，∠C＝60°，∴∠B＝30°.∴OD＝ eq \f(1,2) OB＝ eq \f(1,2) x.当AB所在的直线与⊙O相切时，OD＝r＝2.∴BO＝4.∴0＜x＜4时，相交；x＝4时，相切；x＞4时，相离． 10．已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2 cm，线段OA＝3 cm，OB＝2 cm，则直线AB与⊙O的位置关系为( ) A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 11．如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m＝4，由此可知： (1)当d＝3时，m＝_______． (2)当m＝2时，d的取值范围是______________． 12．如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，以AB为直径作⊙O，已知AB＝10，AD＝m. (1)求点O到CD的距离．(用含m的代数式表示) (2)若m＝6，通过计算判断⊙O与CD的位置关系． (3)若⊙O与线段CD有两个公共点，求m的取值范围． 解：(1)根据平行线间的距离相等，则点O到CD的距离即为点A到CD的距离．根据∠D＝60°，AD＝m，得点O到CD的距离是 eq \f(\r(3),2) m. (2)当m＝6时， eq \f(\r(3),2) m＝3 eq \r(3) ＞5，∴⊙O与CD相离． (3)若⊙O与线段CD有两个公共点，则该圆和线段CD相交，∴5≤m＜ eq \f(10,3) eq \r(3) . 13．如图，有两条公路OM，ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以点P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车与学校A的距离越近噪声影响越大，若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时． (1)求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离． (2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间． 解：(1)过点A作AP⊥ON于点P， 在Rt△AOP中，∠APO＝90°，∠POA＝30°，OA＝80米，所以AP＝80× eq \f(1,2) ＝40(米)， 即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是40米． (2)以A为圆心，50米长为半径画弧，交ON于点D，E.在Rt△ADP中，∠APD＝90°，AP＝40米，AD＝50米，所以DP＝ eq \r(AD2－AP2) ＝ eq \r(502－402) ＝30(米).同理可得EP＝30米，所以DE＝60米．又因为18千米/时＝5米/秒，所以 eq \f(60,5) ＝12秒，即卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒． $$第二十四章　圆 24．4　弧长和扇形面积 第1课时　弧长和扇形面积 Ap 课 时 目 标 B C 能力提升 素养拓展 基础夯实 C B 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 C 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．(2023·青岛)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°.若⊙O的半径为5，则 eq \x\to(DC) 的长为( ) A． eq \f(13,3) π B． eq \f(10,9) π C．π D． eq \f(1,2) π 2．一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为3 cm的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为( ) A．45 cm B．40 cm C．35 cm D．30 cm 3．如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，则图中阴影部分的面积为( ) A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,3) C． eq \f(π,2) D． eq \f(2π,3) 4．一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长80 m，宽60 m的矩形，有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3 m，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为( ) A．(840＋6π) m2 B．(840＋9π) m2 C．840 m2 D．876 m2 5．如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，则 eq \x\to(AB) 的长是________(结果保留π). eq \r(2) π 6．如图， eq \x\to(AB) 的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°. (1)求弦AB的长． (2)求 eq \x\to(AB) 的长． 解：(1)∵ eq \x\to(AB) 的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°， ∴AC＝ eq \r(3) ，∴AB＝2AC＝2 eq \r(3) . (2)∵OC⊥AB，∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OA＝2， ∴ eq \x\to(AB) 的长是 eq \f(120π×2,180) ＝ eq \f(4π,3) . 7．如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连接BC，CD. (1)求证：CD∥AB. (2)若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积. (1)证明：∵ eq \x\to(AD) ＝ eq \x\to(AD) ， ∴∠ACD＝∠DBA. 又∵∠CAB＝∠DBA， ∴∠CAB＝∠ACD，∴CD∥AB. (2)如图，连接OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E.∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝60°，∴∠BOD＝180°－∠AOD＝120°，∴S扇形BOD＝ eq \f(nπr2,360) ＝ eq \f(120×π×22,360) ＝ eq \f(4,3) π. 在Rt△ODE中，可得DE＝ eq \r(3) ，∴S△BOD＝ eq \f(1,2) OB·DE＝ eq \f(1,2) ×2× eq \r(3) ＝ eq \r(3) ， ∴S阴影＝S扇形BOD－S△BOD＝ eq \f(4,3) π－ eq \r(3) . 8．如图，某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形．已知矩形的宽为2 m，高为2 eq \r(3) m，则改建后门洞的圆弧长是( ) A． eq \f(5π,3) m B． eq \f(8π,3) m C． eq \f(10π,3) m D．( eq \f(5π,3) ＋2) m 9．如图，在▱ABCD中，AD＝ eq \f(2,3) AB，∠BAD＝45°，以点A为圆心、AD为半径画弧交AB于点E，连接CE.若AB＝3 eq \r(2) ，则图中阴影部分的面积是________________． 5 eq \r(2) －π 10．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC. (1)求证：AE＝ED. (2)若AB＝10，∠CBD＝36°，求 eq \x\to(AC) 的长． 证明：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°. ∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，∴AE＝ED. (2)∵OC⊥AD，∴ eq \x\to(AC) ＝ eq \x\to(CD) ，∴∠ABC＝∠CBD＝36°，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°，∴ eq \x\to(AC) 的长＝ eq \f(72π×5,180) ＝2π. 11．一个扇形的弧长为10π cm，面积是120π cm2，求扇形的圆心角的度数． 解：设扇形的圆心角为n度，半径为R cm， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(nπR,180)＝10π，,\f(nπR2,360)＝120π，)) 解方程组得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R＝24，,n＝75.)) 即扇形的圆心角为75度． 12．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E. (1)试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由． (2)若AB＝2 eq \r(3) ，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积． 解：(1)过点B作BF⊥CD，垂足为F，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.∵CB＝CD， ∴∠CBD＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB.在△ABD和△FBD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADB＝∠FDB，,∠BAD＝∠BFD，,BD＝BD，)) ∴△ABD≌△FBD(AAS)，∴BF＝BA，则点F在圆B上，∴CD与⊙B相切． (2)∵∠BCD＝60°，CB＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠CBD＝60°.∵BF⊥CD， ∴∠ABD＝∠DBF＝∠CBF＝30°，∴∠ABF＝60°，∵AB＝BF＝2 eq \r(3) ，∴AD＝DF＝2， ∴阴影部分的面积＝S△ABD－S扇形ABE＝ eq \f(1,2) ×2 eq \r(3) ×2－ eq \f(30×π×（2\r(3)）2,360) ＝2 eq \r(3) －π. $$第二十四章　圆 24．1　圆的有关性质 24．1.1　圆 Ap 课 时 目 标 1．圆的有关概念 2．同圆的半径相等 A B 能力提升 素养拓展 基础夯实 D C B 能力提升 素养拓展 基础夯实 AC，AB AB AC，BC ABC，CAB 5 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 B C 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 C a＝b＝c 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．下列说法正确的是( ) A．直径是圆中最长的弦 B．弧是半圆 C．长度相等的弧是等弧 D．过圆心的线段是直径 2．如图，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则圆中弦的条数是( ) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 3．如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，∠ABC＝30°，那么∠BAD等于( ) A．45° B．60° C．90° D．30° 4．在半径为1的⊙O中，弦AB长 eq \r(2) ，则∠AOB的度数为( ) A．45° B．60° C．90° D．120° 5．下列四边形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．其中四个顶点一定在同一个圆上的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图所示，在⊙O中，弦有______________，直径是______________，优弧有______________，劣弧有______________． 7．如图，在⊙O中，点B在⊙O上，四边形AOCB是矩形，对角线AC的长为5，则⊙O的半径长为________． 8．如图，△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠C＝∠D＝90°.求证：A，B，C，D四点在同一个圆上． 证明：取AB的中点O，连接OC，OD.∵△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠C＝∠D＝90°，∴DO，CO分别为Rt△ABD和Rt△ABC斜边上的中线，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴A，B，C，D四点在同一个圆上． 9．如图，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO并延长，分别交弦AB，AC于点E，F，∠B＝∠C.求证：CE＝BF. 证明：∵OB，OC是⊙O的半径，∴OB＝OC.又∵∠B＝∠C，∠BOE＝∠COF，∴△EOB≌△FOC(ASA)，∴OE＝OF，∴OE＋OC＝OF＋OB，即CE＝BF. 10．下面3个命题：①半径相等的两个圆是等圆；②通过圆心的线段叫作直径；③一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧．其中真命题的个数为( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为( ) A.50° B．60° C．70° D．80° 12．点P到圆上各点的最大距离为10 cm，最小距离为8 cm，则此圆的半径为( ) A．9 cm B．1 cm C．9 cm或1 cm D．无法确定 13．如图，点A，D，G，M在半圆O上，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形．设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则a，b，c的大小关系是_____________． 14．如图，CE是⊙O的直径，AD的延长线与CE的延长线交于点B.若BD＝OD，∠AOC＝114°，求∠AOD的度数． 解：设∠B＝x.∵BD＝OD，∴∠DOB＝∠B＝x.∴∠ADO＝∠DOB＋∠B＝2x. ∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝2x.∵∠AOC＝∠A＋∠B，∴2x＋x＝114°，解得x＝38°.∴∠AOD＝180°－∠A－∠ADO＝180°－4x＝180°－4×38°＝28°. 15．如图，射线OA经过⊙O的圆心，与⊙O相交于点A，点C在⊙O上，且∠AOC＝30°，点P是射线OA上的一个动点(与点O不重合)，直线PC与⊙O相交于点B，问： (1)当点P在线段OA上满足BP＝OB时，求∠OCP的度数． (2)当点P在线段OA的延长线上满足BP＝OB时，求∠OCP的度数． 解：(1)当点P在线段OA上时，在△BOC中，OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB.在△OPB中，BP＝OB，∴∠BOP＝∠BPO.又∵∠BPO＝∠OCB＋∠AOC，∠AOC＝30°，∠BOP＋∠BPO＋∠OBC＝180°，∴3∠OCP＝120°，∴∠OCP＝40°. (2)当点P在线段OA的延长线上时，如图，∵OC＝OB，∴∠OBP＝∠OCB.∵BP＝OB，∴∠BOP＝∠BPO＝ eq \f(1,2) (180°－∠OBP)＝ eq \f(1,2) (180°－∠OCB).由三角形的外角性质得∠OCB＝∠AOC＋∠OPB，∴∠OCB＝30°＋ eq \f(1,2) (180°－∠OCB)，∴∠OCB＝80°，∴∠OCP＝100°. $$第二十四章　圆 24．1　圆的有关性质 24．1.3　弧、弦、圆心角 Ap 课 时 目 标 1．圆心角的概念及其计算 2．弧、弦、圆心角之间的关系 B B 能力提升 素养拓展 基础夯实 A C 60° 30° 能力提升 素养拓展 基础夯实 72° 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 B C 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 ①②③ 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．下列说法正确的是( ) A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等 C．相等的弦所对的圆心到弦的距离相等 D．圆心到弦的距离相等，则弦相等 2．如图所示，在⊙O中， eq \x\to(AB) ＝ eq \x\to(AC) ，∠A＝30°，则∠B等于( ) A．150° B．75° C．60° D．15° 3．如图，AB是⊙O的直径， eq \x\to(BC) ＝ eq \x\to(CD) ＝ eq \x\to(DE) ，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是( ) A．51° B．56° C．68° D．78° 4．一条弦分圆周为1∶3两部分，这条弦所对的圆心角度数为( ) A．45° B．60° C．90° D．180° 5．在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为_______． 6．如图，在⊙O中，AC＝BD，∠1＝30°，则∠2的度数为________． 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以C为圆 心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，则弧AD 所对的圆心角的度数_______． 8．如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且 eq \x\to(AD) ＝ eq \x\to(CE) .BE与CE的大小有什么关系？为什么？ 解：BE＝CE. 理由如下：∵AB，DE是⊙O的直径， ∴∠AOD＝∠BOE，∴ eq \x\to(AD) ＝ eq \x\to(BE) .∵ eq \x\to(AD) ＝ eq \x\to(CE) ， ∴ eq \x\to(BE) ＝ eq \x\to(CE) ，∴BE＝CE. 9．如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E.求证： (1)AC＝BD. (2)CE＝BE. 证明：(1)∵AB＝CD，∴ eq \x\to(AB) ＝ eq \x\to(CD) ，即 eq \x\to(AD) ＋ eq \x\to(BD) ＝ eq \x\to(AD) ＋ eq \x\to(AC) ，∴ eq \x\to(AC) ＝ eq \x\to(BD) ，∴AC＝BD. (2)∵ eq \x\to(AC) ＝ eq \x\to(BD) ，∴∠ADC＝∠DAB，∴EA＝ED.∵AB＝CD，即AE＋BE＝CE＋DE，∴CE＝BE. 10．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝110°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在 eq \x\to(AB) 上的点D处，折痕交OA于点C，则 eq \x\to(AD) 所对的圆心角的度数为( ) A．40° B．50° C．60° D．70° 11．在⊙O中， eq \x\to(AB) ＝2 eq \x\to(CD) ，则弦AB与弦CD的大小关系是( ) A．AB＞2CD B．AB＝2CD C．AB＜2CD D．AB＝CD 12．如图，AB是半圆O的直径，E是OA的中点，F是OB 的中点，ME⊥AB于点E，NF⊥AB于点F.有下列结论： ① eq \x\to(AM) ＝ eq \x\to(BN) ＝ eq \x\to(MN) ；②ME＝NF；③AE＝BF； ④ME＝2AE.其中正确的是__________． 13．如图，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于G，判断 eq \x\to(EF) 和 eq \x\to(FG) 是否相等，并说明理由． 解： eq \x\to(EF) ＝ eq \x\to(FG) ，理由：连接AE，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B＝∠GAF， ∠FAE＝∠AEB，∴∠GAF＝∠FAE，∴ eq \x\to(EF) ＝ eq \x\to(FG) . 14．如图，在△AOB中，AO＝AB，以点O为圆心，OB为半径的圆交AB于点D，交AO于点E，AD＝OB.试说明 eq \x\to(BD) ＝ eq \x\to(DE) ，并求∠A的度数． 解：连接OD，设∠A＝x，∵AD＝OB，∴DO＝DA，∴∠DOA＝x，∴∠BDO＝2x，∴∠B＝2x，又∵AO＝AB，∴∠BOE＝∠B＝2x，∴∠BOD＝2x－x＝x＝∠DOE，∴ eq \x\to(BD) ＝ eq \x\to(DE) .在△OBD中，x＋2x＋2x＝180°，∴x＝36°，即∠A＝36°. 15．如图，∠AOB＝90°，C，D是以O为圆心的 eq \x\to(AB) 的三等分点，连接AB分别交OC，OD于点E，F.求证：AE＝BF＝CD. 证明：连接AC，BD，∵在⊙O中，半径OA⊥OB，C，D为以O为圆心的弧AB的三等分点，∴∠AOC＝ eq \f(1,3) ∠AOB＝30°.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°. ∵∠AOC＝∠BOD＝30°，∴∠AEC＝∠OAB＋∠AOC＝45°＋30°＝75°.∵OA＝OC，∠AOC＝30°，∴∠ACE＝75°，∴∠ACE＝∠AEC，∴AC＝AE，同理BF＝BD.∵C，D是 eq \x\to(AB) 的三等分点，∴AC＝CD＝BD，∴AE＝BF＝CD. $$第二十四章　圆 24．2　点和圆、直线和圆的位置关系 24．2.1　点和圆的位置关系 Ap 课 时 目 标 1．点与圆的位置关系 2．过不在同一直线上的三点作圆 3．反证法 A B 能力提升 素养拓展 基础夯实 C C 能力提升 素养拓展 基础夯实 B OP＞6 cm 平行于同一条直线的两条直线相交 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 C D 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．已知⊙O的半径为3，线段OP的长度为2，则点P与⊙O的位置关系是( ) A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝4 cm，以点C为圆心，以3 cm长为半径作圆，则AB的中点D与⊙C的位置关系是( ) A．圆上 B．圆外 C．圆内 D．不确定 3．三角形的外心是( ) A．三条中线的交点 B．三个内角的角平分线的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高的交点 4．如图，已知点O是△ABC的外心，∠A＝40°，连接BO，CO，则∠BOC的度数是( ) A．60° B．70° C．80° D．90° 5．如图，小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块是第( ) A．①块 B．②块 C．③块 D．④块 6．已知圆的半径为6 cm，点P在圆外，则线段OP的长度的取值范围是___________． 7．用反证法证明“平行于同一条直线的两条直线互相平行”时，先假设_________________________________成立，然后经过推理与平行公理相矛盾． 8．如图，已知等腰三角形ABC. (1)用直尺和圆规作△ABC的外接圆． (2)设△ABC的外接圆的圆心为O，若∠BOC＝128°，求∠BAC的度数． 解：(1)略． (2)在优弧BC上任取一点D，连接BD，CD. ∵∠BOC＝128°，∴∠BDC＝ eq \f(1,2) ∠BOC＝64°，∴∠BAC＝180°－∠BDC＝116°. 9．用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 证明：假设三角形的三个内角∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°，则∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形的内角和为180°相矛盾，∴∠A＝∠B＝90°不成立，∴一个三角形中不能有两个角是直角． 10．点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为( ) A．40° B．100° C．40°或140° D．40°或100° 11．已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2－2x＋d＝0有实数根，则点P( ) A．在⊙O的内部 B．在⊙O的外部 C．在⊙O上 D．在⊙O上或⊙O的内部 12．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________． eq \r(5) 13．矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3 eq \r(5) ，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果⊙P是以点P为圆心，PD为半径作圆，判断点B，C与⊙P的位置关系． 解：∵AB＝8，点P在边AB上，且BP＝3AP，∴BP＝6，AP＝2.根据勾股定理得r＝PD＝ eq \r(（3\r(5)）2＋22) ＝7，PC＝ eq \r(PB2＋BC2) ＝ eq \r(62＋（3\r(5)）2) ＝9，∵PB＝6＜r，PC＝9＞r，∴点B在⊙P内，点C在⊙P外． 14．如图，AD为△ABC的外接圆的直径，AD⊥BC， 垂足为F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD. (1)求证：BD＝CD. (2)请判断B，E，C三点是否在以点D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由． (1)证明：∵AD为直径，AD⊥BC，∴由垂径定理得 eq \x\to(BD) ＝ eq \x\to(CD) ，∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得BD＝CD. (2)解：B，E，C三点在以点D为圆心，以DB为半径的圆上．理由如下：由(1)知： eq \x\to(BD) ＝ eq \x\to(CD) ，∴∠CBD＝∠BAD.又∵∠BED＝∠BAD＋∠ABE，∠EBD＝∠CBD＋∠EBC，∠ABE＝∠EBC，∴∠BED＝∠EBD，∴DB＝DE.又∵BD＝CD，∴DB＝DE＝DC，∴B，E，C三点在以点D为圆心，以DB为半径的圆上． 15．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆， eq \x\to(AB) ＝ eq \x\to(AC) ，点D在边BC上，AE∥BC，AE＝BD. (1)求证：AD＝CE. (2)如果点G在线段DC上(不与点D重合)，且AG＝AD，求证：四边形AGCE是平行四边形． 证明：(1)在⊙O中，∵ eq \x\to(AB) ＝ eq \x\to(AC) ，∴AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB，∴∠B＝∠EAC，在△ABD和△CAE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CA，,∠B＝∠EAC，,BD＝AE.)) ∴△ABD≌△CAE(SAS)，∴AD＝CE. (2)连接AO并延长，交边BC于点H，∵ eq \x\to(AB) ＝ eq \x\to(AC) ，OA为半径，∴AH⊥BC，∴BH＝CH.∵AD＝AG，∴DH＝HG，∴BH－DH＝CH－GH，即BD＝CG.∵BD＝AE，∴CG＝AE，∵CG∥AE，∴四边形AGCE是平行四边形． $$第二十四章　圆 24．2.2　直线和圆的位置关系 第2课时　 Ap 课 时 目 标 1．切线的判定 2．切线的性质 D D 能力提升 素养拓展 基础夯实 C A D 能力提升 素养拓展 基础夯实 25° 6 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 D 16π 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．下列说法中，正确的是( ) A．AB垂直于⊙O的半径，则AB是⊙O的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线 C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线 2．如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是( ) A．AB＝4，AT＝3，BT＝5 B．∠B＝45°，AB＝AT C．∠B＝55°，∠TAC＝55° D．∠ATC＝∠B 3．如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是( ) A．25° B．35° C．40° D．50° 4．P为⊙O外一点，PT与⊙O相切于点T，OP＝10，∠OPT＝30°，则PT长为( ) A．5 eq \r(3) B．5 C．8 D．9 5．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y轴相交于A(0，2)，B(0，8)，则圆心P的坐标是( ) A．(5，3) B．(5，4) C．(3，5) D．(4，5) 6．如图，AB切⊙O于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC.若∠A＝40°，则∠C的度数为_______． 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3 cm为半径作⊙A，当AB＝________ cm时，BC与⊙A相切． 8．(2023·无锡)如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，与DC交于点E.连接AE，∠EAB＝∠EAD.作EF⊥AD，与AD的延长线交于点F. (1)求证：EF是⊙O的切线． (2)求∠C的度数． (1)证明：连接OE.∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA. ∵∠EAB＝∠EAD，∴∠EAD＝∠OEA，∴OE∥AF. ∵EF⊥AD，∴EF⊥OE，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线． (2)解：连接OD，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠DEA，∵∠EAB＝∠EAD，∴∠EOB＝∠EOD，∴∠EOB＝∠EOD＝∠DOA＝60°，∵OE∥AF，AB∥DC，∴∠C＝60°. 9．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P.若AC＝PC＝3 eq \r(3) ，则PB的长为( ) A． eq \r(3) B． eq \f(3,2) C．2 eq \r(3) D．3 10．如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB＝8，则图中阴影部分的面积是__________．(结果保留π) 11．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD. (1)求证：∠BOD＝2∠A. (2)连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长 DO，交AC于点F.若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线． 证明：(1)连接AD，∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴ eq \x\to(BC) ＝ eq \x\to(BD) ，∴∠CAB＝∠BAD，∵∠BOD＝2∠BAD，∴∠BOD＝2∠A. (2)如图，连接OC，∵F为AC的中点，∴DF⊥AC，∴AD＝CD，∴∠ADF＝∠CDF. ∵ eq \x\to(BC) ＝ eq \x\to(BD) ，∴∠CAB＝∠DAB.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CDF＝∠CAB.∵OC＝OD，∴∠CDF＝∠OCD，∴∠OCD＝∠CAB.∵ eq \x\to(BC) ＝ eq \x\to(BC) ，∴∠CAB＝∠CDE，∴∠CDE＝∠OCD.∵∠E＝90°，∴∠CDE＋∠DCE＝90°，∴∠OCD＋∠DCE＝90°，即OC⊥CE，∵OC为半径，∴直线CE为⊙O的切线． 12．如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上一点，BD是⊙O的切线，B为切点． (1)在图1中，∠BAC＝30°，求∠DBC的度数. (2)在图2中，∠BA1C＝40°，求∠DBC的度数. (3)在图3中，∠BA2C＝α，求∠DBC的度数. (4)通过以上探究，你发现了什么结论？ 解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°.∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD＝90°，∴∠DBC＝30°. (2)连接AC，则∠BAC＝∠BA1C＝40°，根据(1)可得∠DBC＝40°. (3)连接AC，则∠BAC＝∠BA2C＝α，根据(1)可得∠DBC＝α. (4)圆的切线与弦所成的角等于它们所夹的弧所对的圆周角． $$第二十四章　圆 24．2.2　直线和圆的位置关系 第3课时　 Ap 课 时 目 标 1．切线长定理 2．三角形的内切圆 B D 能力提升 素养拓展 基础夯实 B B 能力提升 素养拓展 基础夯实 125 219° 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 C A 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝( ) A． eq \r(3) B．2 C．2 eq \r(3) D．3 2．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，MN切⊙O于点C，分别交PA，PB于点M，N.若PA＝7.5 cm，则△PMN的周长是( ) A．7.5 cm B．10 cm C．12.5 cm D．15 cm 3．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( ) A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 4．如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B分别为切点，∠APB＝60°，OP＝2，则⊙O的半径为( ) A． eq \f(1,2) B．1 C． eq \f(3,2) D．2 5．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，则∠BOC＝______°. 6．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C，D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝________． 7．如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC＝30°. (1)求∠P的大小． (2)若AB＝2，求PA的长．(结果保留根号) 解：(1)∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴PA⊥AB，∴∠BAP＝90°.∵∠BAC＝30°，∴∠CAP＝90°－∠BAC＝60°.又∵PA，PC分别切⊙O于点A，C， ∴PA＝PC，∴△PAC为等边三角形，∴∠P＝60°. (2)连接BC，则∠ACB＝90°.在Rt△ACB中，AB＝2，∠BAC＝30°，∴AC＝ eq \r(3) .∵△PAC为等边三角形，∴PA＝AC，∴PA＝ eq \r(3) . 8．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝18 cm，BC＝28 cm，CA＝26 cm，求AF，BD，CE的长． 解：根据切线长定理，得AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD.设AF＝AE＝x cm，则CE＝CD＝(26－x) cm，BF＝BD＝(18－x) cm.∵BC＝28 cm，∴(18－x)＋(26－x)＝28，解得x＝8，∴AF＝8 cm，BD＝10 cm，CE＝18 cm. 9．如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则( ) A．EF＞AE＋BF B．EF＜AE＋BF C．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋BF 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为( ) A． eq \f(13,3) B． eq \f(9,2) C． eq \f(4,3) eq \r(13) D．2 eq \r(5) 11．边长为1的正三角形的内切圆半径为_______． eq \f(\r(3),6) 12．如图，△ABC中，E是内心，∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DE＝DB. 证明：连接EB.∵E是△ABC的内心，∴∠EBC＝∠ABE，∠BAD＝∠CAD.∵∠CAD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠CBD.又∵∠BED＝∠BAD＋∠ABE，∠DBE＝∠EBC＋∠CBD，∴∠BED＝∠DBE，∴DE＝DB. 13．如图，PA，PB为⊙O的两条切线，切点分别为A，B，直线CD切⊙O于点E. (1)试探究△PCD的周长与线段PA的数量关系． (2)若∠P＝α°，求∠COD的度数． 解：(1)△PCD的周长＝2PA.理由如下： ∵PA，PB切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，∴PA＝PB，ED＝BD，CE＝AC， ∴△PCD的周长＝PD＋DE＋PC＋CE＝2PA，即△PCD的周长＝2PA. (2)如图，连接OA，OE，OB.由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB＝DE，AC＝CE.∵AO＝OE＝OB，易证△AOC≌△EOC(SAS)，△EOD≌△BOD(SAS)，∴∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，∴∠COD＝ eq \f(1,2) ∠AOB.∵∠APB＝α°， ∴∠AOB＝180°－α°，∴∠COD＝90°－ eq \f(1,2) α°. 14．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，内切圆⊙O与三边分别切于点D，E，F. (1)试说明四边形OECF为正方形． (2)若AD＝6，BD＝4，求AC和⊙O的半径． (3)若AB＝c，BC＝a，AC＝b，试用关于a，b，c的代数式表示内切圆的半径r. 解：(1)∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点E，F，D，∴OE⊥BC，OF⊥AC.又∠C＝90°，∴四边形OECF为矩形，又OE＝OF，∴矩形OECF是正方形． (2)设⊙O的半径为r，连接OD，∴AD＝AF＝6，BD＝BE＝4，CE＝CF＝r，∴AB＝10，BC＝4＋r，AC＝6＋r.在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，∴102＝(6＋r)2＋(4＋r)2，解得r1＝2，r2＝－12(舍)，∴AC＝8，⊙O半径为2. (3)r＝ eq \f(a＋b－c,2) . $$第二十四章　圆 24．3　正多边形和圆 Ap 课 时 目 标 1．正多边形的有关概念 2．正多边形的有关计算 C D D 能力提升 素养拓展 基础夯实 B C 能力提升 素养拓展 基础夯实 D 90 72 能力提升 素养拓展 基础夯实 10 能力提升 素养拓展 基础夯实 A A 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 10 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．下面图形中，是正多边形的是( ) A．矩形 B．菱形 C．等边三角形 D．等腰梯形 2．一个正多边形的中心角为30°，这个正多边形的边数是( ) A．3 B．6 C．8 D．12 3．(2023·安徽)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE－∠COD＝( ) A．60° B．54° C．48° D．36° 4．对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是( ) A．正多边形是轴对称图形 B．正多边形是中心对称图形 C．正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角 D．正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补 5．如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为( ) A．3 eq \r(3) B． eq \f(3,2) C． eq \f(3\r(3),2) D．3 6．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是( ) A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长 B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长 C． eq \x\to(AC) ＝ eq \x\to(BC) D．∠BAC＝30° 7．半径为6的圆内接正四边形的边心距为______，中心角等于_____度，面积为______． 3 eq \r(2) 8．(2023·新疆)若一个正多边形的每个内角为144°，则这个正多边形的边数是______． 9．在正五边形ABCDE中，∠EAB＝∠B＝108°，EA＝AB＝BC，M，N分别是AB和BC的中点，连接AN，EM，相交于点O. (1)求证：AN＝EM. (2)求∠EON. (1)证明：∵M，N分别是AB和BC的中点，∴AM＝ eq \f(1,2) AB，BN＝ eq \f(1,2) BC. ∵AB＝BC，∴AM＝BN，∴△AEM≌△BAN(SAS)，∴AN＝EM. (2)解：∵△AEM≌△BAN，∴∠AEM＝∠BAN.∴∠EON＝∠OAE＋∠AEO＝∠BAN＋∠EAO＝∠BAE＝108°. 10．半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是( ) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a 11．圆内接正六边形的周长为24，则该圆的内接正三角形的周长为( ) A．12 eq \r(3) B．6 eq \r(6) C．12 D．6 12．如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝20 mm，则边长a＝_______ mm.(结果保留根号) eq \f(20\r(3),3) 13．如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，O为正多 边形的中心．若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为_____． 14．如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的 内接正三角形EFG的边长为_______． 15．如图，以正六边形ABCDEF的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，顶点C，F在x轴上，顶点A的坐标为(1， eq \r(3) )，则顶点 D的坐标为______________． 2 eq \r(6) (－1，－ eq \r(3) ) 16．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD＝5 eq \r(2) cm，求⊙O的半径R. 解：连接OB，OC，OD，∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边， ∴∠BOC＝ eq \f(1,3) ×360°＝120°，∠BOD＝ eq \f(1,12) ×360°＝30°，∴∠COD＝∠BOC－∠BOD＝90°.∵OC＝OD，∴∠OCD＝45°，∴OC＝ eq \f(\r(2),2) CD＝5 eq \r(2) × eq \f(\r(2),2) ＝5(cm).即⊙O的半径R＝5 cm. 17．如图，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…正n边形ABCDE…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON. (1)求图1中∠MON的度数． (2)图2中∠MON的度数是________. (3)图3中∠MON的度数是________. (4)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系．(直接写出答案) 解：(1)连接OB，OC.∵正△ABC内接于⊙O，∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°.又∵BM＝CN，OB＝OC，∴△OBM≌△OCN(SAS)，∴∠BOM＝∠OCN， ∴∠MON＝∠BOC＝120°. (2)90°. (3)72°. (4)∠MON＝ eq \f(360°,n) . $$第二十四章　圆 24．4　弧长和扇形面积 第2课时 Ap 课 时 目 标 1．圆锥的有关概念和侧面展开图 2．圆锥的侧面积和全面积 B B 能力提升 素养拓展 基础夯实 A C C 能力提升 素养拓展 基础夯实 10π 108° 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 C B 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 R＝4r 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．下列图形中，是圆锥侧面展开图的是( ) 2．用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为4 cm的圆锥形工件的侧面(接缝忽略不计)，则圆锥的母线长为( ) A．4 cm B．8 cm C．12 cm D．16 cm 3．(2023·东营)如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 4．圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是( ) A．90° B．100° C．120° D．150° 5．如图，圆锥体的高h＝2 eq \r(3) cm，底面半径r＝2 cm，则圆锥体的全面积为( ) A.4 eq \r(3) π cm2 B．8π cm2 C．12π cm2 D．(4 eq \r(3) ＋4)π cm2 6．若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是________．(结果保留π) 7．(2023·西藏)圆锥的底面半径是3 cm，母线长10 cm，则它的侧面展开图的圆心角的度数为_________． 8．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2 cm，扇形的圆心角θ＝120°，求该圆锥的高h的长． 解：由题意，得2πr＝ eq \f(120π×AB,180) ，∵r＝2 cm，∴AB＝6 cm，∴由勾股定理得AO2＝AB2－OB2，而AB＝6 cm，OB＝2 cm，∴AO＝4 eq \r(2) cm.即该圆锥的高为4 eq \r(2) cm. 9．如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，求该圆锥的侧面积和全面积． 解：由题意知：20π＝ eq \f(120π×R,180) ，∴R＝30，∵2πr＝20π，∴r＝10.S圆锥侧＝ eq \f(1,2) ×20π×30＝300π.S圆锥全＝S圆锥侧＋S底＝300π＋πr2＝400π. ∴该圆锥的侧面积和全面积分别为300π，400π. 10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为( ) A．12π B．15π C．20π D．24π 11．如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是( ) A. eq \f(π,4) B． eq \f(\r(2),4) C． eq \f(1,2) D．1 12．如图，在一张正方形纸片上剪下一个半径为r的圆形和一个半径为R的扇形，使之恰好围成图中所示的圆锥，则R与r之间的关系是_________． 13．已知圆锥的底面半径为r＝20 cm，高h＝20 eq \r(15) cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发，在侧面上爬行一周又回到原点A，求蚂蚁爬行的最短距离． 解：设扇形的圆心角为n°，圆锥的顶点为E，∵r＝20 cm， h＝20 eq \r(15) cm，∴由勾股定理可得母线l＝ eq \r(r2＋h2) ＝80 cm，而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为2×20π＝ eq \f(nπ×80,180) ，∴n＝90，即△EAA′是等腰直角三角形，∴由勾股定理得AA′＝ eq \r(A′E2＋AE2) ＝80 eq \r(2) cm.∴蚂蚁爬行的最短距离为80 eq \r(2) cm. 14．如图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥．该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB.经测量，纸杯上开口圆的直径为6 cm，下底面直径为4 cm，母线长EF＝8 cm.求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积．(面积计算结果用π表示) 解：由题意可知： eq \x\to(BA) ＝6π cm， eq \x\to(CD) ＝4π cm，设∠AOB＝n°，AO＝R cm，则CO＝(R－8) cm，由弧长公式得 eq \f(nπR,180) ＝6π， eq \f(nπ（R－8）,180) ＝4π，∴n＝45，R＝24，∴扇形OAB的圆心角是45度．∵R＝24，∴R－8＝16，∴S扇形OCD＝ eq \f(1,2) ×4π×16＝32π(cm2)，S扇形OAB＝ eq \f(1,2) ×6π×24＝72π(cm2)，纸杯侧面积＝S扇形OAB－S扇形OCD＝72π－32π＝40π(cm2)，纸杯底面积＝π·22＝4π(cm2)，∴纸杯表面积＝40π＋4π＝44π( cm2). $$第二十四章复习总结 C 144° 400π B B R＝4.8或6＜R≤8 C D A C 60π 学无止境 本课结束 一、圆的有关性质 1．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径．若∠B＝20°，则∠CAD的度数是( ) A．60° B．65° C．70° D．75° 2．如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角．若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为____________． 3．如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为____________．(结果保留π) 8．如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，E为 eq \x\to(BD) 的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B. (1)求证：CD是⊙O的切线． (2)若DE＝2，∠BDE＝30°，求CD的长． (1)证明：连接OD，如图所示．∵AB是直径， ∴∠BDA＝90°， ∴∠BDO＋∠ADO＝90°.又∵OB＝OD，∠CDA＝∠B，∴∠B＝∠BDO＝∠CDA，∴∠CDA＋∠ADO＝90°， ∴OD⊥CD，且OD为⊙O半径，∴CD是⊙O的切线． (2)解：连接OE，如图所示．∵∠BDE＝30°， ∴∠BOE＝2∠BDE＝60°.又∵E为 eq \x\to(BD) 的中点，∴∠EOD＝60°， ∴△EOD为等边三角形，∴ED＝EO＝OD＝2， 又∵∠BOD＝∠BOE＋∠EOD＝120°， ∴∠DOC＝180°－∠BOD＝60°， 在Rt△DOC中，∠DOC＝60°，OD＝2， ∴CD＝2 eq \r(3) . 三、正多边形和圆 9．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是( ) A．18° B．36° C．54° D．72° 10．以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( ) A． eq \f(\r(3),8) B． eq \f(\r(3),4) C． eq \f(\r(2),4) D． eq \f(\r(2),8) 11．如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是________________． 8＋8 eq \r(2) 四、弧长、扇形面积及圆锥的相关计算 12．某款“不倒翁”(图1)的横截面示意图是图2，PA，PB分别与 的长是( ) A．11π cm B． eq \f(11,2) π cm C．7π cm D． eq \f(7,2) π cm 13．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝ eq \r(3) ，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为( ) A． eq \f(π,3) B． eq \f(3π,5) C． eq \f(2π,3) D． eq \f(3π,4) 14．已知Rt△ABC的两直角边AC＝8，BC＝6，将Rt△ABC绕AC所在的直线旋转一周形成的立体图形的侧面积为__________(结果保留π). 15．如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB. (1)求证：∠ACO＝∠BCP. (2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数． (3)在(2)的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号). （1）证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CP是半圆O的切线， ∴∠OCP＝90°，∴∠ACB＝∠OCP，∴∠ACO＝∠BCP. (2)解：由(1)知∠ACO＝∠BCP，∵∠ABC＝2∠BCP，∴∠ABC＝2∠ACO，∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠A，∴∠ABC＝2∠A，∵∠ABC＋∠A＝90°，∴∠A＝30°，∠ABC＝60°， ∴∠ACO＝∠BCP＝30°，∴∠P＝∠ABC－∠BCP＝60°－30°＝30°. （3）解：由(2)知∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴BC＝ eq \f(1,2) AB＝2，AC＝ eq \r(3) BC＝2 eq \r(3) ，∴S△ABC＝ eq \f(1,2) BC·AC＝ eq \f(1,2) ×2×2 eq \r(3) ＝2 eq \r(3) ， ∴阴影部分的面积是 eq \f(1,2) π×( eq \f(AB,2) )2－2 eq \r(3) ＝2π－2 eq \r(3) . $$