第22章　二次函数 训练巩固课件-2024-—2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章　二次函数 22．1　二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数 Ap 课 时 目 标 A B C 能力提升 素养拓展 基础夯实 B 能力提升 素养拓展 基础夯实 A 能力提升 素养拓展 基础夯实 C 能力提升 素养拓展 基础夯实 5 －3 1 a≠2 a＝2且b≠－2 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 C 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 A 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．(2023·台州月考)下列函数中，y是x的二次函数的为( ) A．y＝－3x2 B．y＝2x C．y＝x＋1 D．y＝x3 2．已知y＝(m＋1)xm2＋1＋2x－3是二次函数，则m的值为( ) A．0 B．1 C．－1 D．1或－1 3．二次函数y＝2x2－3x＋4的一次项系数是( ) A．2 B．3 C．－3 D．4 4．下列选项描述的y与x之间的关系是二次函数的是( ) A．正方体的体积y与棱长x之间的关系 B．某商品在6月的售价为30元，7月和8月连续两次降价销售，平均每月降价的百分率为x，该商品8月的售价y与x之间的关系 C．距离一定时，汽车匀速行驶的时间y与速度x之间的关系 D．等腰三角形的顶角度数y与底角度数x之间的关系 5．已知圆环的内圆半径是x，外圆半径是R，圆环的面积是y，则y与x之间的关系式是( ) A.y＝π(R2－x2) B．y＝π(R－x)2 C．y＝πR2－x2 D．y＝π(2πR－2πx)2 6．一个直角三角形的两条直角边长的和为20 cm，其中一条直角边长为x cm，面积为y cm2，则y与x之间的关系式是( ) A．y＝10x B．y＝x(20－x) C．y＝ eq \f(1,2) x(20－x) D．y＝x(10－x) 7．已知二次函数y＝1－3x＋5x2，则二次项系数a＝______，一次项系数b＝_______，常数项c＝______． 8．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3. (1)当___________时，x，y之间是二次函数关系． (2)当______________时，x，y之间是一次函数关系． 9．根据下面的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为二次函数． (1)如果两个数中，一个数比另一个数大5，那么，这两个数的乘积p是较大的数m的函数． (2)一个半径为10 cm的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S(cm2)是正方形孔的边长x(cm)的函数． (3)有一块长为60 m，宽为40 m的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植草坪，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S(m2)是草坪宽度a(m)的函数． 解：(1)p＝m(m－5)，是二次函数． (2)S＝100π－4x2，是二次函数． (3)S＝4a2－200a＋2 400，是二次函数． 10．下列函数中，二次函数有( ) ①y＝1－ eq \r(2) x2；②y＝ eq \f(1,x2) ；③y＝x(1－x)； ④y＝(1－2x)(1＋2x)；⑤y＝9x2－(3x－1)2. A.1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．有长24 m的篱笆，一面利用围墙围成如图中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃垂直于墙的一边长为x m，面积是S m2，则S与x之间的关系式是( ) A.S＝－3x2＋24x B．S＝－2x2－24x C．S＝－3x2－24x D．S＝－2x2＋24x 12．已知函数y＝(m＋3)xm2－7. (1)当m为何值时，此函数是正比例函数？ (2)当m为何值时，此函数是二次函数？ 解：(1)因为函数y＝(m＋3)xm2－7是正比例函数，所以m2－7＝1且m＋3≠0，解得m1＝－2 eq \r(2) ，m2＝2 eq \r(2) ，所以当m＝±2 eq \r(2) 时，此函数是正比例函数． (2)因为函数y＝(m＋3)xm2－7是二次函数，所以m2－7＝2且m＋3≠0，解得m＝3，所以当m＝3时，此函数是二次函数． 13．一辆汽车的行驶距离s(m)与行驶时间t(s)的函数关系式是s＝9t＋ eq \f(1,2) t2，经12 s汽车行驶了多远？行驶380 m需要多少时间？ 解：当t＝12时，s＝9×12＋ eq \f(1,2) ×122＝180.∴经12 s汽车行驶了180 m. 当s＝380时，9t＋ eq \f(1,2) t2＝380. 解得t1＝20，t2＝－38(不合题意，舍去). ∴该汽车行驶380 m需要20 s. 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AC向C以2 mm/s的速度移动，动点Q从点C开始沿边CB向B以4 mm/s的速度移动．如果P，Q两点同时出发，请写出△PCQ的面积S与出发时间t之间的函数关系式及t的取值范围． 解：依题意，得PC＝12－2t，CQ＝4t，∴S＝ eq \f(1,2) ×(12－2t)×4t＝－4t2＋24t.∵t＞0，12－2t＞0，∴0＜t＜6.∴s＝－4t2＋24t(0＜t＜6). 15．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．设每个房间每天的定价增加x元．求： (1)房间每天的入住量y(间)关于x(元)的函数关系式． (2)该宾馆每天的收入z(元)关于x(元)的函数关系式． (3)该宾馆每天的收入能否达到15 000元？若能，请求出此时每个房间的定价；若不能，请说明理由． 解：(1)依题意，得y＝－ eq \f(x,10) ＋60. (2)由题意，得z＝(200＋x)(－ eq \f(x,10) ＋60)，即z＝－ eq \f(x2,10) ＋40x＋12 000. (3)该宾馆每天的收入能达到15 000元． 理由如下：由题意，得z＝15 000， 即－ eq \f(x2,10) ＋40x＋12000＝15 000，解得x1＝100，x2＝300. ∴此时每个房间的定价为300元或500元． $$第二十二章　二次函数 22．1　二次函数的图象和性质 22.1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 第1课时　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 Ap 课 时 目 标 B C 能力提升 素养拓展 基础夯实 B B 能力提升 素养拓展 基础夯实 y＝2x2－1 上 y轴 (0，5) 0 小 5 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 B 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 D D 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 6 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．二次函数y＝－x2＋1的图象开口方向是( ) A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 2．抛物线y＝x2＋1的图象大致是( ) 3．对于二次函数y＝－2x2＋3，下列说法中，不正确的是( ) A．抛物线的开口向下 B．当x＜0时，y随x的增大而减小 C．图象是轴对称图形 D．当x＝0时，y有最大值3 4．把抛物线y＝ax2＋c向上平移2个单位，得到抛物线y＝x2，则a，c的值分别是( ) A．1，2 B．1，－2 C．－1，2 D．－1，－2 5．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的解析式可以是______________．(只需写一个) 6．二次函数y＝3x2＋5的图象开口向_______，对称轴是__________，顶点坐标是__________，当x＝_______时，y有最______值，为______． 7．(1)填表： (2)在同一平面直角坐标系中，作出上述三个函数的图象． (3)它们的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是多少？它们三者的图象有什么异同？ (4)由抛物线y＝－2x2怎样平移得到抛物线y＝－2x2＋1与y＝－2x2－1? 解：(1)填表： (2)作出上述三个函数的图象如下： (3)y＝－2x2的开口方向向下、对称轴y轴、顶点坐标是(0，0)；y＝－2x2＋1的开口方向向下、对称轴y轴、顶点坐标是(0，1)；y＝－2x2－1的开口方向向下、对称轴y轴、顶点坐标是(0，－1)；它们三者的图象开口大小、方向相同，顶点坐标不同． (4)由抛物线y＝－2x2向上平移1个单位得到抛物线y＝－2x2＋1，向下平移1个单位得到y＝－2x2－1. 8．一次函数y＝x＋a与二次函数y＝ax2－a在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) 9．抛物线y＝x2＋3上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若y1＜y2，则下列结论正确的是( ) A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0 C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对 10．若二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1＋x2时，函数值为( ) A．a＋c B．a－c C．－c D．c 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝ eq \f(1,3) x2于点B，C，则BC的长度为_______． 12．已知函数y＝ax2＋k(a≠0)的图象经过点(－2，－3)和点(1，6). (1)求这个函数的解析式． (2)当x取何值时，函数y随x的增大而增大？当x取何值时，函数y随x的增大而减小？ (3)求这个函数的图象与x轴的交点坐标． 解：(1)把点(－2，－3)和点(1，6)代入y＝ax2＋k得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋k＝－3，,a＋k＝6，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,k＝9，)) ∴二次函数解析式为y＝－3x2＋9. (2)∵抛物线的对称轴为直线x＝0，抛物线开口向下，∴当x＜0时，函数y随x的增大而增大；当x＞0时，函数y随x的增大而减小. (3)当y＝0时，－3x2＋9＝0，解得x1＝－ eq \r(3) ，x2＝ eq \r(3) ，∴这个函数的图象与x轴的交点坐标为(－ eq \r(3) ，0)，( eq \r(3) ，0). 13．某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为AB(单位：米).现以AB所在的直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O，已知AB＝8米，设抛物线的解析式为y＝ax2－4. (1)求a的值． (2)点C(－1，m)是抛物线上一点，连接OC并延长至点D，使OD＝OC，连接BC，BD，求△BCD的面积． 解：(1)∵AB＝8，∴由抛物线的对称性可知OB＝4， ∴B(4，0).∵点B在抛物线y＝ax2－4，∴16a－4＝0，解得a＝ eq \f(1,4) . (2)过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB于F，∵a＝ eq \f(1,4) ，∴y＝ eq \f(1,4) x2－4. ∵C(－1，m)在抛物线上，∴m＝－ eq \f(15,4) ，∴C(－1，－ eq \f(15,4) ). ∵点D在CO的延长线上，且OD＝OC，∴D(1， eq \f(15,4) ).∴CE＝DF＝ eq \f(15,4) (米)， ∴S△BCD＝S△BCO＋S△BOD＝ eq \f(1,2) OB·CE＋ eq \f(1,2) OB·DF＝ eq \f(1,2) ×4× eq \f(15,4) ＋ eq \f(1,2) ×4× eq \f(15,4) ＝15(平方米)，∴△BCD的面积为15平方米． $$第二十二章　二次函数 22．1　二次函数的图象和性质 22.1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 第1课时　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 Ap 课 时 目 标 B D 能力提升 素养拓展 基础夯实 D D 能力提升 素养拓展 基础夯实 下 ＞4 ＝4 大 3 y＝2(x＋2)2－2 直线x＝4 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 D y1＞y2＞y3 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．(2023·台州月考)二次函数y＝(x＋2)2－3的顶点坐标是( ) A．(2，－3) B．(－2，－3) C．(2，3) D．(－2，3) 2．二次函数y＝(x＋2)2－1的图象大致为( ) 3．把二次函数y＝3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是( ) A．y＝3(x－1)2＋2 B．y＝3(x＋1)2－2 C．y＝3(x－1)2－2 D．y＝3(x＋1)2＋2 4．关于二次函数y＝(x－1)2＋5，下列说法正确的是( ) A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是(－1，5) C．该函数有最大值，最大值是5 D．当x＞1时，y随x的增大而增大 5．抛物线y＝－(x－4)2＋3的开口向_____，对称轴是__________，当x_____时，y随x的增大而减小，当x_____时，函数y有最_____值，为_____． 6．将抛物线y＝2(x－1)2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，那么得到的抛物线的解析式为_________________________． 7．已知抛物线y＝－(x－1)2＋3. (1)该抛物线的对称轴是________，顶点坐标为________. (2)选取适当的数据填入下表，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象： (3)若该抛物线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小． 解：(1)该抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点坐标为(1，3). (2)列表： 描点，画图如图． (3)由图象可知，当x1＞x2＞1时，y1＜y2. 8．二次函数y＝a(x－2)2＋c与一次函数y＝cx＋a在同一坐标系中的大致图象是( ) 9．已知点A(－2，y1)，B( eq \r(5) ，y2)，C(3，y3)都在二次函数y＝a(x＋1)2＋k(a＜0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是_________________． 解：(1)∵二次函数y＝(x＋m)2＋k的顶点坐标为(1，－4)， ∴二次函数的解析式为y＝(x－1)2－4.当y＝0时， 则0＝(x－1)2－4，解得x1＝3，x2＝－1， ∴A，B的坐标分别为(－1，0)，(3，0). (2)新抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4. 10．已知二次函数y＝(x＋m)2＋k的顶点坐标为(1，－4). (1)求二次函数的解析式及图象与x轴交于A，B两点的坐标． (2)将二次函数的图象沿x轴翻折，得到一个新的抛物线，求新抛物线的解析式． 11．某同学练习推铅球，铅球推出后在空中飞行的轨迹是一条抛物线，铅球在离地面0.5米高的A处推出，达到最高点B时的高度是2.5米，推出的水平距离是4米，铅球在地面上点C处着地． (1)根据如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式． (2)这个同学推出的铅球有多远？ 解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－4)2＋2.5，由题意，得0.5＝a(0－4)2＋2.5，解得a＝－ eq \f(1,8) ，∴y＝－ eq \f(1,8) (x－4)2＋2.5. (2)令y＝0，则－ eq \f(1,8) (x－4)2＋2.5＝0，解得x1＝2 eq \r(5) ＋4，x2＝－2 eq \r(5) ＋4＜0(舍去)，∴x＝2 eq \r(5) ＋4.∴这个同学推出的铅球有(2 eq \r(5) ＋4)米远． 12．如图，抛物线y＝a(x－h)2＋k(a＜0，k＞0)的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶点B，D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形ABCD为它的内接正方形． (1)当抛物线y＝ax2＋2是“美丽抛物线”时，则a＝________. (2)当抛物线y＝－ eq \f(1,2) (x－1)2＋k是“美丽抛物线”时，则k＝________. (3)若抛物线y＝a(x－h)2＋k是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系． 解：(1)∵y＝ax2＋2，∴抛物线顶点A坐标为(0，2)，∴点C坐标为(0，0)，∴点B坐标为(－1，1)，点D坐标为(1，1)，将(1，1)代入y＝ax2＋2得1＝a＋2，解得a＝－1. (2)∵y＝－ eq \f(1,2) (x－1)2＋k，∴抛物线顶点A坐标为(1，k)，点C坐标为(1，0)，∴点D坐标为(1＋ eq \f(1,2) k， eq \f(1,2) k)，将(1＋ eq \f(1,2) k， eq \f(1,2) k)代入y＝－ eq \f(1,2) (x－1)2＋k得 eq \f(1,2) k＝－ eq \f(1,2) (1＋ eq \f(k,2) －1)2＋k，解得k＝0(舍)或k＝4. (3)抛物线经过(h＋ eq \f(1,2) k， eq \f(1,2) k)，∴ eq \f(1,2) k＝a(h＋ eq \f(1,2) k－h)2＋k，解得ak＝－2，∴a，k之间的数量关系为ak＝－2. $$第二十二章　二次函数 22．1　二次函数的图象和性质 22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式 Ap 课 时 目 标 B D 能力提升 素养拓展 基础夯实 A 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 D 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．一个二次函数的图象的顶点坐标是(2，4)，且过另一点(0，－4)，则这个二次函数的解析式为( ) A．y＝－2(x＋2)2＋4 B．y＝－2(x－2)2＋4 C．y＝2(x＋2)2－4 D．y＝2(x－2)2－4 2．如图所示，抛物线的函数表达式是( ) A.y＝ eq \f(1,2) x2－x＋4 B．y＝－ eq \f(1,2) x2－x＋4 C．y＝ eq \f(1,2) x2＋x＋4 D．y＝－ eq \f(1,2) x2＋x＋4 3．若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是( ) A.y＝x2－4x＋3 B．y＝x2－3x＋4 C．y＝x2－3x＋3 D．y＝x2－4x＋8 4．一抛物线和另一抛物线y＝－2x2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是 (－2，1)，则该抛物线的解析式为______________________． 5．若二次函数y＝ax2＋4ax＋c的最大值为4，且图象过点(－3，0)，则此二次函数解析式为______________________． y＝－2(x＋2)2＋1 y＝－4(x＋2)2＋4 6．已知抛物线与x轴交于点A(－3，0)，对称轴是直线x＝－1，且过点(2，4)，求抛物线的解析式． 解：∵抛物线与x轴交于点A(－3，0)，对称轴是直线x＝－1，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(1，0).设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x＋3)，将点(2，4)代入，得4＝a(2＋3)(2－1)，解得a＝ eq \f(4,5) .∴抛物线的解析式为y＝ eq \f(4,5) (x＋3)(x－1)，即y＝ eq \f(4,5) x2＋ eq \f(8,5) x－ eq \f(12,5) . 7．已知x与y之间的函数关系式为y＝ax2＋bx＋1(其中a，b是常数)，且有下列对应关系： (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若点(3，n)，点(m，n＋10)均在抛物线y＝ax2＋bx＋1上，求m的值． 解：(1)由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋1＝－1，,4a－2b＋1＝17，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－4，)) ∴y与x之间的函数关系式为y＝2x2－4x＋1. (2)∵点(3，n)在抛物线y＝2x2－4x＋1上， ∴n＝2×32－4×3＋1＝7，∴n＋10＝17， ∵点(m，n＋10)在抛物线y＝2x2－4x＋1上， ∴17＝2m2－4m＋1，∴m1＝4，m2＝－2. 8．某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为 eq \f(3,2) 米的喷水管喷水最大高度为4米，此时喷水水平距离为 eq \f(1,2) 米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是( ) A.y＝ eq \f(1,2) x2＋4 B．y＝－10(x＋ eq \f(1,2) )2＋4 C．y＝4(x－ eq \f(1,2) )2＋ eq \f(2,3) D．y＝－10(x－ eq \f(1,2) )2＋4 9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝2时，y有最小值－1，且抛物线与x轴两交点间的距离为2，则此二次函数的解析式为__________________． 10．如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋4经过点A(－3，0)，点B在抛物线上，CB∥x 轴，且AB平分∠CAO，则此抛物线的解析式是_____________________． y＝x2－4x＋3 y＝－ eq \f(1,6) x2＋ eq \f(5,6) x＋4 11．已知抛物线y＝mx2＋2mx＋m2－2. (1)求此抛物线的对称轴． (2)若此抛物线的顶点在直线y＝2x＋6上，求抛物线的解析式． 解：(1)x＝－ eq \f(b,2a) ＝－ eq \f(2m,2m) ＝－1，∴抛物线的对称轴为直线x＝－1. (2)∵抛物线的顶点在直线y＝2x＋6上， ∴把x＝－1代入得y＝2×(－1)＋6＝4，将(－1，4)代入抛物线得4＝m－2m＋m2－2，解得m＝3或m＝－2，∴抛物线的解析式为y＝3x2＋6x＋7或y＝－2x2－4x＋2. 12．如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0， eq \r(3) )，以点C为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c恰好经过x轴上A，B两点． (1)求A，B，C三点的坐标． (2)求过A，B，C三点的抛物线的解析式． (3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过点D，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位． 解：(1)过点C作CE⊥AB于点E，易知Rt△AOD≌Rt△BEC，∴OA＝BE＝AE，通过Rt△AOD的三边关系易求得OA＝1，DC＝2，OB＝3，∴A，B，C三点的坐标分别为(1，0)，(3，0)，(2， eq \r(3) ). (2)设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋ eq \r(3) ，代入点A坐标可得a＝－ eq \r(3) ，∴y＝－ eq \r(3) (x－2)2＋ eq \r(3) . (3)设平移后抛物线的解析式为y＝－ eq \r(3) (x－2)2＋k，代入D(0， eq \r(3) )可得k＝5 eq \r(3) ，所以平移后抛物线的解析式为y＝－ eq \r(3) (x－2)2＋5 eq \r(3) ，它向上平移了4 eq \r(3) 个单位． $$第二十二章　二次函数 22．2　二次函数与一元二次方程 第1课时　二次函数与一元二次方程之间的关系 Ap 课 时 目 标 B D 能力提升 素养拓展 基础夯实 C D 能力提升 素养拓展 基础夯实 B 能力提升 素养拓展 基础夯实 x1＝0，x2＝－4 能力提升 素养拓展 基础夯实 x＜－1或x＞4 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 C 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 －2＜x＜6 x1＝6，x2＝－1 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．抛物线y＝x2＋x＋c与x轴只有一个公共点，则c的值为( ) A．－ eq \f(1,4) B． eq \f(1,4) C．－4 D．4 2．小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( ) A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4 3．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为－1和5，则二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是( ) A．x＝－3 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝3 4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是( ) A.x＜－1 B．x＞3 C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞3 5．根据以下表格中二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的一个解x的范围是( ) A.0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2 6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： 则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－2的根是________________________． 7．如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是___________________． 8．已知二次函数y＝x2＋mx＋m2－3(m为常数，m＞0)的图象经过点P(2，4). (1)求m的值． (2)判断二次函数y＝x2＋mx＋m2－3的图象与x轴交点的个数，并说明理由． 解：(1)将(2，4)代入y＝x2＋mx＋m2－3，解得m1＝1，m2＝－3，又∵m＞0，∴m＝1. (2)∵m＝1，∴y＝x2＋x－2，∵Δ＝b2－4ac＝12＋8＝9＞0，∴二次函数图象与x轴有两个交点． 9．如图所示，已知点P是二次函数y＝ax2＋bx图象的顶点，若关于x的一元二次方程ax2＋bx－1＋m＝0有实数根，则下列结论正确的是( ) A．m的最大值为－6 B．m的最小值为－6 C．m的最大值为8 D．m的最小值为8 10．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，图象经过点(6，0)，则由图象可知，当y＞0时，自变量x的取值范围是________________． 11．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－2，0)，B(5，0)两点，则关于x的一元二次方程a(x－1)2＋bx＝b－c的解是___________________． 12．已知抛物线y＝x2－2(m＋1)x＋2(m－1). (1)求证：不论m取何值，抛物线必与x轴相交于两点． (2)若抛物线与x轴的一个交点为(3，0)，试求m的值及另一个交点的坐标． (3)若抛物线与x轴的两个交点分布在点(4，0)左、右两侧，求m的取值范围． (1)证明：∵Δ＝4(m＋1)2－8(m－1)＝4m2＋12＞0，∴不论m取何值，抛物线必与x轴相交于两点． (2)解：把(3，0)代入y＝x2－2(m＋1)x＋2(m－1)得到m＝ eq \f(1,4) ，∴抛物线解析式为y＝x2－ eq \f(5,2) x－ eq \f(3,2) ，令y＝0得到2x2－5x－3＝0，∴x＝3或－ eq \f(1,2) ，∴抛物线与x轴的另一个交点为(－ eq \f(1,2) ，0). (3)解：由题意可得16－8(m＋1)＋2(m－1)＜0，∴m＞1. 13．把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t(秒)时该足球距离地面的高度h(米)适用公式h＝20t－5t2(0≤t≤4). (1)当t＝3时，求足球距离地面的高度． (2)当足球距离地面的高度为10米时，求t. (3)若存在实数t1，t2(t1≠t2)，当t＝t1或t2时，足球距离地面的高度都为m(米)，求m的取值范围． 解：(1)当t＝3时，h＝20t－5t2＝20×3－5×9＝15(米)，∴此时足球离地面的高度为15米． (2)当h＝10时，20t－5t2＝10，即t2－4t＋2＝0，解得t＝2＋ eq \r(2) 或t＝2－ eq \r(2) . 答：经过(2＋ eq \r(2) )秒或(2－ eq \r(2) )秒时，足球距离地面的高度为10米． (3)由题意得t1和t2是方程20t－5t2＝m(m≥0)的两个不相等的实数根，则b2－4ac＝202－20m＞0，解得m＜20.∴m的取值范围是0≤m＜20. 14．设二次函数y＝ax2＋bx－b－a(a，b是常数a≠0). (1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由． (2)若该二次函数图象的对称轴是直线x＝－1，求这个函数图象与x轴交点的坐标． (3)若(－2，y1)，(－1，y2)在这个函数的图象上，且y1＜y2.这个二次函数图象与x轴的一个交点的横坐标m(m≠1)，求m的取值范围． 解：(1)设y＝0，∴0＝ax2＋bx－b－a，∵Δ＝b2－4·a[－(a＋b)]＝b2＋4ab＋4a2＝(2a＋b)2≥0，∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根．∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个． 解： (2)∵二次函数图象的对称轴是直线x＝－1，∴－ eq \f(b,2a) ＝－1，∴b＝2a，∴二次函数为y＝ax2＋2ax－3a，令y＝0，则ax2＋2ax－3a＝0(a≠0)，解得x1＝－3，x2＝1，∴这个函数图象与x轴交点的坐标为(－3，0)，(1，0). (3)∵(－2，y1)，(－1，y2)在这个函数的图象上，且y1＜y2，∴4a－2b－b－a＜a－b－b－a，即b＞3a，当x＝1时，y＝0，依题意，得二次函数与x轴交点为(1，0)，(m，0)，∴1＋m＝－ eq \f(b,a) ，当a＞0时，由b＞3a，得－ eq \f(b,a) ＜－3，即1＋m＜－3，即m＜－4.当a＜0时，由b＞3a，得－ eq \f(b,a) ＞－3，即1＋m＞－3，即m＞－4.∴m＜－4或m＞－4且m≠1. $$第二十二章　二次函数 22．3　实际问题与二次函数 第1课时　二次函数与图形面积 Ap 课 时 目 标 B C 能力提升 素养拓展 基础夯实 B 能力提升 素养拓展 基础夯实 y＝600－x2 0＜x≤20 小 200 15 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 C 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 6 cm 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为14 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是( ) A．50 m2 B．49 m2 C．46 m2 D．48 m2 2．如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙(墙足够长)，其余三边除门外用栅栏围成，栅栏总长度为50 m，门宽为2 m．这个矩形花圃的最大面积是( ) A．169 m2 B．288 m2 C．338 m2 D．312.5 m2 3．用总长为a米的材料做成如图1所示的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y平方米，y关于x的函数图象如图2，则a的值是( ) A．16 B．12 C．8 D．4 4．在一块长为30 m，宽为20 m的矩形地面上修建一个正方形花台，设正方形的边长为x m，除去花台后，矩形地面的剩余面积为y m2，则y与x之间的函数表达式是____________，自变量x的取值范围是____________，y有最____________值，是____________ m2. 5．如图，王叔叔想用长为60 m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙足够长，当矩形ABCD的边AB＝______________m时，羊圈的面积最大． 6．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10 m)，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1∶2的矩形，已知栅栏的总长度为24 m，设较小矩形的宽为x m(如图). (1)若矩形养殖场的总面积为36 m2，求此时x的值． (2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 解：(1)根据题意知：较大矩形的宽为2x m，长为 eq \f(24－x－2x,3) ＝(8－x) m，∴(x＋2x)×(8－x)＝36，解得x＝2或x＝6，经检验，x＝6时，3x＝18＞10不符合题意，舍去，∴x＝2. 答：此时x的值为2. (2)设矩形养殖场的总面积是y m2，∵墙的长度为10 m，∴0＜x≤ eq \f(10,3) ，根据题意，得y＝(x＋2x)×(8－x)＝－3x2＋24x＝－3(x－4)2＋48，∵－3＜0，∴当x＝ eq \f(10,3) 时，y取最大值，最大值为－3×( eq \f(10,3) －4)2＋48＝ eq \f(140,3) (m2)，答：当x＝ eq \f(10,3) 时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 eq \f(140,3) m2. 7．九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案，最佳方案是( ) A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝12 cm，点P是AB边上的一个动点，过点P作PE⊥BC，PF⊥AC，当PB＝_________时，四边形PECF的面积最大，最大值为__________________． 9 eq \r(3) cm2 9．如图，用一根60 cm的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完． (1)若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少？ (2)矩形框架ABCD面积的最大值为________. 解：(1)设框架的长AD为x cm，则宽AB为 eq \f(60－2x,3) cm，∴x· eq \f(60－2x,3) ＝144，解得x＝12或x＝18，∴AB＝12 cm或AB＝8 cm，∴AB的长为12 cm或8 cm. (2)由(1)知，框架的长AD为x cm，则宽AB为 eq \f(60－2x,3) cm，∴S＝x· eq \f(60－2x,3) ，即S＝－ eq \f(2,3) x2＋20x＝－ eq \f(2,3) (x－15)2＋150，∵－ eq \f(2,3) ＜0， ∴要使框架的面积最大，则x＝15，此时AB＝10，最大为150 cm2. 10．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙(墙长12 m)和21 m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙)，请根据设计方案回答下列问题： (1)方案一：如图1，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1 m的水池，且需保证总种植面积为32 m2，试分别确定CG，DG的长． (2)方案二：如图2，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？ 解：(1)∵(21－12)÷3＝3(m)，∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36(m2)，设水池的长为a m，则水池的面积为a×1＝a(m2)，∴36－a＝32，解得a＝4，∴DG＝4 m，∴CG＝CD－DG＝12－4＝8(m)，即CG的长为8 m，DG的长为4 m. (2)设BC长为x m，则CD长度为(21－3x) m，∴总种植面积为(21－3x)·x＝－3(x2－7x)＝－3(x－ eq \f(7,2) )2＋ eq \f(147,4) ，∵－3＜0，∴当x＝ eq \f(7,2) 时，总种植面积有最大值为 eq \f(147,4) m2，即BC设计为 eq \f(7,2) m时总种植面积最大，此时最大面积为 eq \f(147,4) m2. $$第二十二章　二次函数 22．3　实际问题与二次函数 第3课时　抛物线形问题 Ap 课 时 目 标 A 能力提升 素养拓展 基础夯实 C 能力提升 素养拓展 基础夯实 D 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 A 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．如图，某大门的形状是一抛物线形建筑，大门的地面宽8 m，在两侧距地面3.5 m高处有两个挂单位名牌匾用的铁环，两铁环的水平距离是6 m.若按图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是(建筑物厚度忽略不计)( ) A．y＝－ eq \f(1,2) x2＋8 B．y＝－ eq \f(1,2) x2＋7 C．y＝ eq \f(1,2) x2＋8 D．y＝ eq \f(1,2) x2＋7 2．如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝－0.2x2＋3.5的一部分．若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是( ) A．3 m B．3.5 m C．4 m D．4.5 m 3．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝－ eq \f(1,6) x2＋2x＋4表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为8 m．那么两排灯的水平距离是( ) A．2 m B．4 m C．4 eq \r(2) m D．4 eq \r(3) m 4．(2023·滨州)某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心的水平距离也为3 m，那么水管的设计高 度应为____________． eq \f(9,4) m 5．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7 m，水柱在距喷水头P水平距离5 m处达到最高，最高点距地面3.2 m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a(x－h)2＋k，其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的解析式． (2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3 m．身高1.6 m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 解：(1)抛物线的解析式为y＝－ eq \f(1,10) x2＋x＋ eq \f(7,10) . (2)当y＝1.6时，－ eq \f(1,10) x2＋x＋ eq \f(7,10) ＝1.6，解得x＝1或x＝9，∴她与爸爸的水平距离为3－1＝2(m)或9－3＝6(m)，答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是2 m或6 m． 6．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－ eq \f(1,2) x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝ eq \f(1,2) x刻画，下列结论错误的是( ) A．当小球抛出高度达到7.5 m时，小球距点O水平距离为3 m B．小球距点O水平距离超过4米呈下降趋势 C．小球落地点距点O水平距离为7米 D．小球的最大高度为8米 7．现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10 m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9 m. (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式． (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A，B处分别安装照明灯．已知点A，B到OE的距离均为6 m，求点A，B的坐标． 解：(1)抛物线的解析式为y＝－ eq \f(9,25) (x－5)2＋9. (2)令y＝6，得－ eq \f(9,25) (x－5)2＋9＝6，解得x1＝ eq \f(5\r(3),3) ＋5，x2＝－ eq \f(5\r(3),3) ＋5，∴A(5－ eq \f(5\r(3),3) ，6)，B(5＋ eq \f(5\r(3),3) ，6). 8．跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分所示)，落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过点K越远，飞行距离分越高.2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66 m，基准点K到起跳台的水平距离为75 m，高度为h m(h为定值).设运动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0). (1)c的值为________. (2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝－ eq \f(1,50) ，b＝ eq \f(9,10) ，求基准点K的高度h； ②若a＝－ eq \f(1,50) 时，运动员落地点要超过点K，则b的取值范围为________. (3)若运动员飞行的水平距离为25 m时，恰好达到最大高度76 m，试判断他的落地点能否超过点K，并说明理由． 解：(1)66. (2)①∵a＝－ eq \f(1,50) ，b＝ eq \f(9,10) ，∴y＝－ eq \f(1,50) x2＋ eq \f(9,10) x＋66，∵基准点K到起跳台的水平距离为75 m，∴y＝－ eq \f(1,50) ×752＋ eq \f(9,10) ×75＋66＝21， ∴基准点K的高度h为21 m； ②∵a＝－ eq \f(1,50) ，∴y＝－ eq \f(1,50) x2＋bx＋66，∵运动员落地点要超过点K，∴x＝75时，y＞21，即－ eq \f(1,50) ×752＋75b＋66＞21，解得b＞ eq \f(9,10) . (3)他的落地点能超过点K，理由如下：∵运动员飞行的水平距离为25 m时，恰好达到最大高度76 m， ∴抛物线的顶点为(25，76)，设抛物线解析式为y＝a(x－25)2＋76，把(0，66)代入得66＝a(0－25)2＋76，解得a＝－ eq \f(2,125) ，∴抛物线解析式为y＝－ eq \f(2,125) (x－25)2＋76，当x＝75时，y＝－ eq \f(2,125) (75－25)2＋76＝36，∵36＞21，∴他的落地点能超过点K. $$第二十二章　二次函数 22．1　二次函数的图象和性质 22．1.2　二次函数y＝ax2的图象和性质 Ap 课 时 目 标 1．二次函数y＝ax2的图象 2．二次函数y＝ax2的性质 C B C C 能力提升 素养拓展 基础夯实 下 (0，0) 高 0 最大 0 y1＞y2 0 ②＞③＞① 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 D 20 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．抛物线y＝－3x2的顶点坐标是( ) A．(－1，0) B．(0，－1) C．(0，0) D．(－1，2) 2．若二次函数y＝axa2－2的图象开口向上，则a的值为( ) A．－2 B．2 C．2或－2 D．1 3．二次函数y＝2x2不具有的性质是( ) A．函数的对称轴是y轴 B．图象开口向上 C．当x＜0时，y随x增大而增大 D．函数有最小值 4．已知抛物线y＝ax2(a＞0)过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是( ) A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0 5．抛物线y＝－ eq \f(1,2) x2的开口向_____，顶点坐标是_________，顶点是抛物线的最_____点，当x＝_____时，函数有________值，为_____． 6．若点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在抛物线y＝ eq \r(3) x2上，且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系是________． 7．若点A(x1，8)，B(x2，8)(x1≠x2)均在抛物线y＝ax2上，则当x＝x1＋x2时，y的值是_____． 8．在函数①y＝4x2，②y＝－ eq \f(2,3) x2，③y＝ eq \f(4,3) x2中，图象开口大小顺序用“＞”表示应为__________________． 9．已知二次函数y＝ax2的图象经过点A(－1，－ eq \f(1,2) ). (1)求这个二次函数的解析式并画出其图象． (2)请说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴． 解：(1)y＝－ eq \f(1,2) x2.图象如图． (2)顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴． 10．已知二次函数y＝ax2的图象与直线y＝2x－1交于点P(1，m). (1)求a，m的值． (2)写出二次函数的解析式，并指出x在何范围内，y随x的增大而减小． 解：(1)由题意可知： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝a，,m＝1，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝1，,a＝1.)) 即a，m的值分别为1，1. (2)二次函数的解析式为y＝x2，当x≤0时，y随x的增大而减小． 11．二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是( ) 12．赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝－ eq \f(1,25) x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4米时，这时水面宽度AB为_____米． 13．已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8). (1)a＝________. (2)点B(－1，－4)________(填“在”或“不在”)此抛物线上． (3)若点P(m，－6)在此抛物线上，求点P的坐标． (4)若点(m，n)在此抛物线上，那么点(－m，n)是否在此抛物线上？ 解：(1)a＝－2. (2)不在． (3)将P(m，－6)代入y＝－2x2，得－6＝－2m2，解得m＝± eq \r(3) ，则点P的坐标为( eq \r(3) ，－6)或(－ eq \r(3) ，－6). (4)点(－m，n)在抛物线y＝－2x2上． 14．如图，直线AB过x轴上的点A(2，0)，且与抛物线y＝ax2相交于B，C两点，已知点B的坐标是(1，1). (1)求直线AB和抛物线所表示的函数解析式. (2)如果在第一象限，抛物线上有一点D，使得S△OAD＝S△OBC，求此时D点坐标． 解：(1)设直线AB所表示的函数解析式为y＝kx＋b，∵它过点A(2，0)和点B(1，1)，∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k＋b＝0，,k＋b＝1，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝2，)) ∴直线AB所表示的函数解析式为y＝－x＋2.∵抛物线y＝ax2过点B(1，1)，∴a×12＝1，解得a＝1，∴抛物线所表示的函数解析式为y＝x2. (2)解方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋2，,y＝x2，)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－2，,y1＝4，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝1，,y2＝1，)) ∴C点坐标为(－2，4)；又B点坐标为(1，1)，A点坐标为(2，0)，∴OA＝2，S△OAC＝ eq \f(1,2) ×2×4＝4，S△OAB＝ eq \f(1,2) ×2×1＝1，∴S△OBC＝S△OAC－S△OAB＝4－1＝3.设D点的纵坐标为yD，则S△OAD＝ eq \f(1,2) ×OA×|yD|＝ eq \f(1,2) ×2×yD＝3，把y＝3代入y＝x2，得x＝± eq \r(3) ，又∵点D在第一象限，∴xD＝ eq \r(3) ， ∴D点坐标为( eq \r(3) ，3). $$第二十二章　二次函数 22．1.3　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 第2课时 Ap 课 时 目 标 1．二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质 2．抛物线y＝a(x－h)2与抛物线y＝ax2间的关系 D D 能力提升 素养拓展 基础夯实 A 右 2 下 直线x＝2 (2，0) ＜2 增大 ＝2 大 0 ＞ 2 能力提升 素养拓展 基础夯实 x … －7 －5 －3 －1 1 3 5 … y … －9 －1 … －4 －1 0 －4 －9 能力提升 素养拓展 基础夯实 D 三、四 0≤y≤1 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．关于抛物线y＝(x－1)2，下列说法正确的是( ) A．开口向下 B．顶点坐标为(－1，0) C．对称轴是直线x＝－1 D．当x＞1时，y随x的增大而增大 2．在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象可能是( ) 3．顶点为(3，0)且开口方向、形状与函数y＝－2x2的图象相同的抛物线是( ) A．y＝－2(x－3)2 B．y＝－2(x＋3)2 C．y＝2(x＋3)2 D．y＝－2x2－3 4．抛物线y＝－ eq \f(1,5) (x－2)2是由抛物线y＝－ eq \f(1,5) x2向_____平移_____个单位得到的，其开口向_____，对称轴是__________，顶点坐标是_______；在对称轴的左边，即x_____时，y随x的增大而________，当x_____时，有最_____值，y＝_____． 5．已知函数y＝－(x－1)2图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1_____y2.(填“＜”“＞”或“＝”) 6．已知抛物线y＝a(x－h)2的顶点坐标为(2，0)，直线y＝x＋1与抛物线交于A，B两点，其中点A在y轴上，则a＝_____，h＝_____． eq \f(1,4) 7．已知：抛物线y＝－ eq \f(1,4) (x＋1)2. (1)写出抛物线的对称轴． (2)完成下表． (3)在下面的坐标系中描点画出抛物线的图象. 解：(1)抛物线的对称轴为直线x＝－1. (2)填表如上： (3)描点作图如图. 8．在同一直角坐标系中，抛物线y＝b(x－a)2与直线y＝ax＋b的图象可能是( ) 9．二次函数y＝2(x＋1)2的图象不经过第___________象限． 10．已知二次函数y＝(x－1)2，当0≤x≤ eq \f(3,2) 时，函数值y的取值范围是__________． 11．已知抛物线y＝a(x－h)2，当x＝2时，有最大值，此抛物线过点(1，－3)，求抛物线的解析式，并指出当x为何值时，y随x的增大而减小． 解：∵当x＝2时，有最大值，∴h＝2. 又∵此抛物线过(1，－3)， ∴－3＝a(1－2)2，解得a＝－3. ∴此抛物线的解析式为y＝－3(x－2)2. 当x≥2时，y随x的增大而减小． 12．如图，直线y＝ eq \f(1,2) x＋1与抛物线y＝ eq \f(1,2) (x－4)2交于B，C两点(B在C的左侧). (1)求B，C两点的坐标． (2)记抛物线的顶点为A，求△ABC的面积． 解：(1)令 eq \f(1,2) x＋1＝ eq \f(1,2) (x－4)2，解得x1＝2，x2＝7，将x＝2，7 分别代入y＝ eq \f(1,2) x＋1得y＝2， eq \f(9,2) ，∴点B的坐标为(2，2)，点C的坐标为(7， eq \f(9,2) ). (2)作AD∥y轴交BC于点D，∵y＝ eq \f(1,2) (x－4)2，∴抛物线顶点A的坐标为(4，0)，将x＝4代入y＝ eq \f(1,2) x＋1得y＝3，∴点D的坐标为(4，3)，AD＝3，∴S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝ eq \f(1,2) AD(xA－xB)＋ eq \f(1,2) AD(xC－xA)＝ eq \f(1,2) AD(xC－xB)＝ eq \f(1,2) ×3×(7－2)＝ eq \f(15,2) . 13．如图，抛物线y＝a(x＋1)2的顶点为A，且与y轴的负半轴交于点B，且OB＝OA. (1)求抛物线的解析式． (2)若点C(－3，b)在该抛物线上，求S△ABC的值． 解：(1)由题意，得A(－1，0).∵OB＝OA，∴B(0，－1).将x＝0，y＝－1代入抛物线的解析式得a＝－1，则抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2. (2)过点C作CD⊥x轴于点D.将C(－3，b)代入抛物线的解析式，得b＝－4，即C(－3，－4)，则S△ABC＝S梯形OBCD－S△ACD－S△AOB＝ eq \f(1,2) ×3×(4＋1)－ eq \f(1,2) ×4×2－ eq \f(1,2) ×1×1＝3. $$第二十二章　二次函数 22．1.4　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 第1课时 Ap 课 时 目 标 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的平移 A B C 能力提升 素养拓展 基础夯实 C (3，5) y3＜y1＜y2 能力提升 素养拓展 基础夯实 x … … y … … 能力提升 素养拓展 基础夯实 x … －3 －2 －1 0 1 … y … 5 2 1 2 5 … 能力提升 素养拓展 基础夯实 B 1 ±2 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．二次函数y＝x2＋2x＋2的图象的对称轴是直线( ) A．x＝－1 B．x＝－2 C．x＝1 D．x＝2 2．(2023·无锡)将二次函数y＝2(x－1)2＋2的图象向右平移2个单位长度，所得函数图象的顶点坐标为( ) A．( －1，2) B．(3，2) C．(1，3) D．(1，－1) 3．已知二次函数y＝ax2＋bx－c(a≠0)，其中b＞0，c＞0，则该函数的图象可能为( ) 4．若抛物线y＝x2＋2x＋c与y轴交点为(0，－3)，则下列说法不正确的是( ) A．抛物线开口向上 B．对称轴为直线x＝－1 C．当x＞－1时，y随x的增大而减少 D．c的值为－3 5．抛物线y＝x2－2x＋3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是___________． 6．已知A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(5，y3)都在二次函数y＝－x2＋2x＋k的图象上，则y1，y2，y3从小到大排序为___________． 7．已知抛物线y＝x2＋2x＋2. (1)该抛物线的对称轴是________，顶点坐标________.选取适当的数据填入下表，并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象． (2)若P(a，y1)，Q(1，y2)是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象直接写出实数a的取值范围． (3)怎样平移抛物线y＝x2＋2x＋2可使所得抛物线恰好过点(2，2)，写出一种平移方法． 解：(1)对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为(－1，1). 列表： 描点、连线画出函数图象如图所示． (2)由图象可知，若y1＞y2，实数a的取值范围是x＜－3或x＞1. (3)抛物线y＝x2＋2x＋2向右平移2个单位，所得抛物线恰好过点(2，2). 8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象如图所示，当－5≤x≤0时，下列说法正确的是( ) A.y有最小值－5，最大值0 B．y有最小值－3，最大值6 C．y有最小值0，最大值6 D．y有最小值2，最大值6 9．已知二次函数y＝ax2－(a＋1)x－2，当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，当x＜1时，y的值随x值的增大而减少，则实数a的值为_____． 10．如果抛物线y＝x2＋mx－1的顶点纵坐标为－2，那么m的值为_____． 11．已知二次函数y＝－x2＋bx＋3的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为 (－1，0). (1)求二次函数的解析式． (2)根据图象，直接写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围． (3)当 eq \f(1,2) ≤x≤2时，求y的取值范围． 解：(1)二次函数的解析式为y＝－x2＋2x＋3. (2)当y＝0时，0＝－x2＋2x＋3，得x1＝－1，x2＝3，由图象可得，函数值y为正数时，自变量x的取值范围为－1＜x＜3. (3)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴该函数的对称轴是直线x＝1，∵1－ eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,2) ，2－1＝1，∴当 eq \f(1,2) ≤x≤2时，在x＝1处，取得最大值，y＝4，在x＝2处取得最小值y＝3，即当 eq \f(1,2) ≤x≤2时，y的取值范围是3≤y≤4. 12．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(3，0)，B(2，3)，其顶点为M. (1)求抛物线的解析式． (2)在抛物线对称轴上找一点P，使△PAB的周长最小，求出点P的坐标． (3)在抛物线上是否存在一点Q，使△AMQ的面积为8？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3，0)， B(2，3)，∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－9＋3b＋c＝0，,－4＋2b＋c＝3，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝2，,c＝3，)) ∴抛物线的解析式是y＝－x2＋2x＋3. (2)如图，设抛物线与x轴的另一个交点为C，连接BC，交对称轴于P，此时△PAB的周长最小．∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴对称轴为x＝1，∵A(3，0)，∴C(－1，0)，设直线BC的解析式为y＝mx＋n， ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－m＋n＝0，,2m＋n＝3，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝1，)) ∴直线BC的解析式为y＝x＋1， 把x＝1代入得y＝2，∴P(1，2). (3)存在；理由：∵S△AMC＝ eq \f(1,2) ×4×4＝8，∴过C作AM的平行线，平行线与抛物线的交点即为点Q.∵A(3，0)，M(1，4)，根据待定系数法求得直线AM的解析式为y＝－2x＋6，∴设过C作AM的平行线的解析式为y＝－2x＋k，把C的坐标代入，解得k＝－2，∴平行线的解析式为y＝－2x－2，解 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－2x－2，,y＝－x2＋2x＋3，)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－1，,y1＝0，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝5，,y2＝－12.)) ∴点Q的坐标为(－1，0)或(5，－12). $$第二十二章　二次函数 22．2　二次函数与一元二次方程 第2课时 Ap 课 时 目 标 1．二次函数的图象与字母系数的关系 2．函数图象的综合 D D 能力提升 素养拓展 基础夯实 D B 能力提升 素养拓展 基础夯实 ＜ ＜ ＞ ＝ ＜ ＞ ②④ 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 C －4＜m＜0 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)如图所示，那么a，b，c的取值范围是( ) A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0 2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，对称轴为直线x＝－1，且经过点(－3，0)，则下列结论正确的是( ) A．b＞0 B．c＜0 C．a＋b＋c＞0 D．3a＋c＝0 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，设M＝ac(a＋b＋c)，则M的取值范围为( ) A．M＜－1 B．－1＜M＜0 C．M＜0 D．M＞0 4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b＞a＋c；③9a＋3b＋c＞0；④c＜－3a.其中正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝－1，请用“＞”“＜”或“＝”填空． (1)a_____0，b_____0，c_____0. (2)2a－b_____0. (3)a＋b＋c_____0. (4)4a－2b＋c_____0. 6．如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象，图象过点(3，0)，对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②a－b＋c＝0；③y的最大值为3； ④方程ax2＋bx＋c＋1＝0有实数根．其中正确的为_____． (将所有正确结论的序号都填入) 7．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示： (1)判断a，b，c，b2－4ac的符号． (2)当|OA|＝|OB|时，求a，b，c满足的关系． 解：(1)由图象可知，抛物线开口向下，可得a＜0；由对称轴可得b＞0，x＝0时，y＝c＞0；图象与x轴有两个不同交点可得b2－4ac＞0. (2)当|OA|＝|OB|时，即点A坐标为(－c，0)，代入抛物线解析式得0＝ac2－bc＋c，两边同时提出c得ac－b＋1＝0. 8．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x＝－2，并与x轴交于A，B两点．若OA＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②(a＋c)2－b2＝0；③9a＋4c＜0；④若m为任意实数，则am2＋bm＋2b≥4a.正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 9．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)的部分图象如图所示，设m＝a－b＋c，则m的取值范围是_________________． 10．已知抛物线y＝x2＋(b－1)x＋c经过点P(－1，－2b). (1)求b＋c的值． (2)如果b＝3，求这条抛物线的顶点坐标． (3)如图所示，过点P作直线PA⊥y轴，交y轴于点A，交抛物线于另一点B，且BP＝2PA，求这条抛物线所对应的二次函数关系式． 解：(1)依题意，得(－1)2＋(b－1)(－1)＋c＝－2b，∴b＋c＝－2. (2)当b＝3时，c＝－5，∴y＝x2＋2x－5＝(x＋1)2－6，∴抛物线的顶点坐标是(－1，－6). (3)根据图形，可得P在对称轴右侧，抛物线对称轴为直线x＝－ eq \f(b－1,2) ，∵抛物线是轴对称图形，P(－1，－2b)且BP＝2PA，∴B(－3，－2b)，∴－ eq \f(b－1,2) ＝－2，∴b＝5，又∵b＋c＝－2，∴c＝－7，∴抛物线所对应的二次函数关系式为y＝x2＋4x－7. 11．已知二次函数y＝x2－2mx＋2m2－2. (1)若m＝2，则该抛物线的对称轴为________. (2)若A(m－2，y1)，B(m＋1，y2)两点在该二次函数图象上，试比较y1与y2的大小关系． (3)若抛物线在1≤x≤3时，对应的函数有最大值3，求m的值． 解：(1)∵y＝x2－2mx＋2m2－2＝(x－m)2＋m2－2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m，当m＝2时，抛物线对称轴为直线x＝2. (2)∵m－(m－2)＞m＋1－m，∴点A到对称轴距离大于点B到对称轴距离，∴y1＞y2. (3)当x＝1，函数取最大值时，将x＝1代入y＝x2－2mx＋2m2－2得y＝1－2m＋2m2－2＝3，解得m＝－1或m＝2， 当m＝－1时，抛物线对称轴为直线x＝－1，x＝3时函数取最大值，不符合题意； 当m＝2时，抛物线对称轴为直线x＝2，x＝1时函数取最大值，符合题意． 当x＝3，函数取最大值时，将x＝3代入y＝x2－2mx＋2m2－2得y＝9－6m＋2m2－2＝3，解得m＝1或m＝2， 当m＝1时，抛物线对称轴为直线x＝1，x＝3时函数取最大值，符合题意； 当m＝2时，抛物线对称轴为直线x＝2，x＝3时函数取最大值，符合题意． 综上所述，m＝1或2. $$第二十二章　二次函数 22．3　实际问题与二次函数 第2课时 Ap 课 时 目 标 销售中的最大利润问题 C D 能力提升 素养拓展 基础夯实 A y＝－(x－25)2＋25 24 能力提升 素养拓展 基础夯实 11 1 264 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 C D 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是( ) A．y＝(x－35)(200－5x) B．y＝(x＋40)(200－10x) C．y＝(x＋5)(200－5x) D．y＝(x＋5)(200－10x) 2．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获得利润y(元)与降价金额x(元)之间的关系是y＝－2x2＋60x＋800，则获利最多为( ) A．15元 B．400元 C．80元 D．1 250元 3．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( ) A．5元 B．10元 C．0元 D．6元 4．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤24，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件．若利润为y，则y关于x的解析式___________________，若利润最大，则最大利润为_______元． 5．某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为______元时，才能使每天所获销售利润最大． 6．某快餐店销售A，B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是________元． 7．为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x(2≤x≤8，且x为整数)构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克． (1)求y关于x的函数表达式． (2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 解：(1)∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，∴y＝4－0.5(x－2)＝－0.5x＋5.答：y关于x的函数表达式为y＝－0.5x＋5(2≤x≤8，且x为整数). (2)设每平方米小番茄产量为W千克，根据题意，得W＝x(－0.5x＋5)＝－0.5x2＋5x＝－0.5(x－5)2＋12.5，∵－0.5＜0，∴当x＝5时，W取最大值，最大值为12.5. 答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克． 8．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y＝－n2＋14n－24，则该企业一年中应停产的月份是( ) A．1月、2月、3月 B．2月、3月、4月 C．1月、2月、12月 D．1月、11月、12月 9．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y(万元)与销售量x(辆)之间分别满足：y1＝－x2＋10x，y2＝2x，若该公司在甲，乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为( ) A．30万元 B．40万元 C．45万元 D．46万元 10．某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，由所给函数图象可知： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(14k＋b＝220，,16k＋b＝180，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－20，,b＝500.)) ∴y与x的函数关系式为y＝－20x＋500. (2)设每天销售这种商品所获的利润为w，∵y＝－20x＋500，∴w＝(x－13)y＝(x－13)(－20x＋500)＝－20x2＋760x－6 500＝－20(x－19)2＋720.∵－20＜0，∴当x＜19时，w随x的增大而增大．∵13≤x≤18，∴当x＝18时，w有最大值，最大值为700，∴售价定为18元/件时，每天有最大利润为700元． 11．(2023·十堰)“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p盒． (1)当x＝60时，p＝________. (2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W(元)最大？最大利润是多少？ (3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8 000元时，每盒售价x的范围为60≤x≤80.”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论． 解：(1)由题意可得，p＝500－10(x－50)＝－10x＋1 000，即每天的销售量p(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式是p＝－10x＋1 000，当x＝60时，p＝－10×60＋1 000＝400(x≥50). (2)由题意可得，W＝(x－40)(－10x＋1 000)＝－10x2＋1 400x－40 000＝－10(x－70)2＋9 000，由题可知：每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒， ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥50,p≥350)) ，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥50,－10x＋1 000≥350)) ，解得50≤x≤65.∴当a＝65时，W取得最大值，此时W＝8 750. 答：当每盒售价定为65元时，每天销售的利润W(元)最大，最大利润是8 750元． (3)小强：∵50≤x≤65，设日销售额为y元，y＝x·p＝x(－10x＋1 000)＝－10x2＋1 000x＝－10(x－50)2＋25 000，当x＝50时，y值最大，此时y＝25 000，当x＝65时，W值最大，此时W＝8 750，∴小强正确． 小红：当日销售利润不低于8 000元时，即w≥8 000，－10(x－70)2＋9 000≥8 000，解得60≤x≤80，∵50≤x≤65，∴当日销售利润不低于8 000元时，60≤x≤65.∴小红错误，当日销售利润不低于8 000元时，60≤x≤65. $$第二十二章复习总结 C y3＞y1＞y2 C y＝－x2－2x＋3 D B B S＝－4x2＋24x 36 学无止境 本课结束 一、二次函数的图象与性质 1．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： 下列结论不正确的是( ) A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线x＝ eq \f(1,2) C．抛物线与x轴的一个交点坐标为(2，0) D．函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为 eq \f(25,4) 2．已知点A(4，y1)，B( eq \r(2) ，y2)，C(－2，y3)都在二次函数y＝(x－2)2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是_____________． 6．二次函数y＝ eq \f(3,4) x2＋bx＋c，其图象对称轴为直线x＝1，且经过点(2，－ eq \f(9,4) ).求此二次函数的表达式． 解：由已知条件得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2×\f(3,4))＝1，,\f(3,4)×22＋2b＋c＝－\f(9,4)，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－\f(3,2)，,c＝－\f(9,4)，)) ∴此二次函数的表达式为y＝ eq \f(3,4) x2－ eq \f(3,2) x－ eq \f(9,4) . 三、二次函数与一元二次方程、不等式 7．已知抛物线y＝x2＋mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2＋mx＝5的根是( ) A．0，4 B．1，5 C．1，－5 D．－1，5 8．已知y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x＝2.若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，且x1＜x2，－1＜x1＜0，则下列说法正确的是( ) A．x1＋x2＜0 B．4＜x2＜5 C．b2－4ac＜0 D．ab＞0 9．已知抛物线y＝(x－m)2－(x－m)，其中m是常数． (1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点． (2)若该抛物线的对称轴为直线x＝ eq \f(5,2) . ①求该抛物线的函数解析式； ②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点． (1)证明：y＝(x－m)2－(x－m)＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m，∵Δ＝(2m＋1)2－4(m2＋m)＝1＞0，∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点． (2)解：①∵x＝－ eq \f(－（2m＋1）,2) ＝ eq \f(5,2) ，∴m＝2，∴抛物线解析式为y＝x2－5x＋6； ②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y＝x2－5x＋6＋k，∵抛物线y＝x2－5x＋6＋k与x轴只有一个公共点，∴Δ＝52－4(6＋k)＝0，∴k＝ eq \f(1,4) ，即把该抛物线沿y轴向上平移 eq \f(1,4) 个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点． 四、二次函数的实际应用 10．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝－ eq \f(1,4) x2＋ eq \f(3,4) x＋1的一部分(如图所示，单位：m)，则下列说法不正确的是( ) A．出球点A离地面点O的距离是1 m B．该羽毛球横向飞出的最远距离是3 m C．此次羽毛球最高达到 eq \f(25,16) m D．当羽毛球横向飞出 eq \f(3,2) m时，可达到最高点 11．如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S与x的函数关系式为 ______________________，花圃面积最大是__________平方米． 12．某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x(元/个)满足40＜x＜80时，其销售量y(万个)与x之间的关系式为y＝－ eq \f(1,10) x＋9.同时销售过程中的其它开支为50万元. (1)求出商场销售这种商品的净利润z(万元)与销售价格x的函数表达式，销售价格x定为多少时净利润最大，最大净利润是多少？ (2)若净利润预期不低于17.5万元，试求出销售价格x的取值范围．若还需考虑销售量尽可能大，销售价格x应定为多少元？ 解：(1)z＝y(x－30)－50＝(－ eq \f(1,10) x＋9)(x－30)－50＝－ eq \f(1,10) x2＋12x－320，当x＝－ eq \f(b,2a) ＝60时，z最大，最大利润为－ eq \f(1,10) ×602＋12×60－320＝40. (2)当z＝17.5时，17.5＝－ eq \f(1,10) x2＋12x－320，解得x1＝45，x2＝75，∵净利润预期不低于17.5万元，且a＜0，∴45≤x≤75，∵y＝－ eq \f(1,10) x＋9，y随x的增大而减小，∴x＝45时，销售量最大． $$