精品解析：广东省广州市天天向上联盟2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

广东省广州市天天向上联盟2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷 本试卷分第Ⅰ巻和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共8小题.每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的运算化简，再求虚部. 【详解】 即复数的虚部是1 故选：D 2. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意计算可得，还原图形后可得原图形中各边长，即可得其高. 【详解】在直角梯形中，，， 则， 直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形， 则有， 所以该平面图形的高为. 故选：C. 3. 在中，是边上一点，且是的中点，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则进行运算即可. 【详解】 ， 故选：D． 4. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，，下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若m与n不相交，则 D. 若，则m与n不相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行的判定定理和性质定理对选项一一判断即可得出答案. 【详解】若，则可能平行、可能相交，故A不正确； 若，则可能平行、可能异面，故B不正确； 若m与n不相交，则也不一定平行，故C不正确； 若m与n不相交，则，故D正确. 故选：D. 5. 已知的内角的对边分别为，设，，则角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用正弦定理角化边，整理后利用余弦定理求出角，代入求出角. 【详解】由正弦定理可得， 整理得， 由余弦定理， 又，所以， 所以，得，又， 所以或（，舍去） 故选：A. 6. 已知某圆台的上、下底面半径分别为，，且，若半径为的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解，然后代入圆台体积公式求解即可. 【详解】如图， 设圆台上、下底面圆心分别为， 则圆台内切球的球心O一定在的中点处， 设球O与母线切于M点， 所以， 所以， 所以与全等， 所以，同理，所以， 过A作，垂足为G， 则，， 又， 所以， 所以，所以， 所以该圆台的体积为. 故选：D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过条件求出，再利用三角公式将目标变形，最后转化为用表示，再代入的值计算即可. 【详解】由得， 所以 . 故选：D. 8. 已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意B，O，C三点共线．因为为的外心，即有，所以为直角三角形，利用向量得投影结合图形即可得解. 【详解】 因为， 则，所以，即B，O，C三点共线． 因为为的外心，即有， 所以为直角三角形，因此，为斜边的中点．因为，所以为锐角． 如图，过点作，垂足为． 因为在上的投影向量为，所以， 所以在上的投影向量为． 又因为，所以． 因为，所以， 故的取值范围为． 故选：A． 二．多项选择题（共3小题，每题全选对6分，共13分，选错一个0分，部分选对得部分分）． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若复数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限 B. 已知复数z满足，则 C. 是关于x的方程（m，n为实数）在复数集内的一个根，则实数n的值为26 D. 若复数z满足若，且，则的最小值为4 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：求出复数的代数形式即可判断；对于B：求出复数的代数形式，然后求模即可；对于C：求出另一个根，然后利用韦达定理求解；对于D：利用复数的几何意义，转化为圆外的点到圆上的点的距离最小值来求解. 【详解】对于A：，则，其在复平面对应的点为，在第四象限，A错误 对于B：， 所以，B正确. 对于C：因为是关于x的方程（m，n为实数）在复数集内的一个根，则另一个根为， 则，解得，C正确. 对于D：由得复数在复平面对应的点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆， 表示点到点的距离， 则最小值为，D正确； 故选：BCD. 10. 若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（ ） A. 为锐角三角形 B. 的面积为 C. O为的外心，则 D. 设，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：计算的正负即可；对于B：直接用面积公式计算即可；对于C：利用余弦定理求出，利用正弦定理求出外接圆半径，再直接利用向量的定义计算即可；对于D：先表示出，然后两边同时平方计算. 【详解】对于A：，为中的角，故为钝角，为钝角三角形，A错误； 对于B：， 则，B正确； 对于C：，为中的角，则， 所以，设的外接圆半径为， 由正弦定理得， 所以，C错误； 对于D：因为， 则， 所以 ，所以，D正确. 故选：BD. 11. 如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（ ） A. 当时，S为四边形 B. 当时，S为等腰梯形 C. 当时，S与的交点，满足 D. 当时，S为四边形 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意作图，利用正方体的几何性质，结合面面平行性质定理可得线线平行，再根据相似三角形，利用相似比可得线段的长度，可得答案. 【详解】对于A，可作图如下： 平面平面，平面平面， 在正方体中，平面平面，则， 易知，则，由为的中点，则，即， 由，则，所以为四边形，故A正确； 对于B，由题意作图如下： 由A可知，由，则，即点与重合， 在正方体中，，，， 所以，则，由A可知，则为等腰梯形，故B正确； 对于C，由题意作图如下： 在正方体中，易知，则， 由，，，则，即， 易知，则，即，解得，故C正确； 对于D，由题意作图如下： 在正方体中，易知，则， 由，，则，由，则， 所以位于的延长线上，则，， 即为五边形，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 若复数与都为纯虚数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的类型得到方程（不等式）组，求出，即可得解. 【详解】设， 则， 因为为纯虚数，所以，解得，所以. 故答案为： 13. 平面向量，满足，，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设向量，由向量共线以及数量积的结果列出方程，即可得到的坐标，再利用向量模的坐标公式即可. 【详解】设，由，可得，① 又，则，② 联立①②解得， 则， 所以， 故答案为：. 14. 在三棱锥中，，，若该三棱锥的体积为，则其外接球表面积的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件底面面积最大时得到高的范围，再根据得到，利用单调性可求得最值. 【详解】，，故底面三角形外接圆半径为， ，， 当时等号成立， 由，，， 当离平面最远时，外接球表面积最小，此时，在平面的投影为中点， 设球心为，则在上，故，化简得到， 注意到函数在上单调递增，故， 所以． 故答案为：. 【点睛】本题考查了求内接几何体的问题，球的表面积最小的问题，要有好的空间想象力，属于中档题. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，且与的夹角为. （1）求证：（； （2）若与的夹角为，求的值. 【答案】（1） 因为与的夹角为， 所以， 所以， 所以. （2）2. 【解析】 【分析】（1）证明向量垂直转化为求两向量数量积等于0， （2）根据公式分步计算可得，在求解过程中注意取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， 因为， 所以， ， ， 因为与的夹角为， 所以， 即，且， 于是有，解得或（舍）， 所以的值为2. 16. 已知向量，，其中，且． 求的值； 若，且，求角． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】由得，从而，进而，由此能求出；由，，得，，由，且，；利用两角差的正弦公式化简可得，结合平方关系，可得，由此能求出的值． 【详解】向量，，其中，且． ， ，， ． ，， ，， ，且， ， ，， ， 解得或舍， ，． 【点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度 (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”. (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 17. 已知的内角的对边分别为，，，，且． （1）求的大小； （2）若的平分线交于点，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角恒等变换整理得，再根据角的范围分析运算； （2）根据三角形的面积关系整理得，结合基本不等式求范围. 【小问1详解】 ∵，由正弦定理可得， 则， 可得， 整理得， 注意到，且，则，且， 可得或， 解得或（舍去）， 故. 【小问2详解】 若的平分线交于点，则， ∵，则， 即，整理得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的取值范围为. 18. 由直四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为平行四边形，O为AC与BD的交点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）设平面与底面ABCD的交线为l，求证：. 【答案】（1） 取的中点，连接，， 是四棱柱，平行且等于， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 平面； （2） 平行且等于，平行且等于， 平行且等于， 四边形是平行四边形，， 平面，平面， 平面， 由（1）得平面且，、平面， 平面平面； （3） 由（2）得，平面，平面， 则平面， 又平面，平面平面， ． 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，结合四棱柱的几何性质，由线线平行证明即可； （2）由线线平行证平面，结合平面即可证平面平面； （3）由线面平行证线线平行即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 某景区为拓展旅游业务，拟建一个观景台P（如图所示），其中AB，AC为两条公路，，M，N为公路上的两个景点，测得，，为了获得最佳观景效果，要求P对的视角.现需要从观景台P到M，N建造两条观光路线PM，PN，且要求观光路线最长.若建造观光路线的宽为5米，每平方米造价为100元. （1）求M、N的距离； （2）设，用表示； （3）求该景区预算需要投入多少万元改造？（） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用余弦定理求解； （2）在中，利用正弦定理表示出，然后相加利用三角公式整理； （3）利用正弦函数的性质求最值即可. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， 得； 【小问2详解】 ，，则， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 ； 【小问3详解】 由（2）得，又， 所以，， 即， 所以该景区预算需要. 即该景区预算需要投入万元改造. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省广州市天天向上联盟2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷 本试卷分第Ⅰ巻和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共8小题.每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 1 2. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ） A. B. 2 C. D. 3. 在中，是边上一点，且是的中点，记，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，，下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若m与n不相交，则 D. 若，则m与n不相交 5. 已知的内角的对边分别为，设，，则角等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知某圆台的上、下底面半径分别为，，且，若半径为的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题（共3小题，每题全选对6分，共13分，选错一个0分，部分选对得部分分）． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若复数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限 B. 已知复数z满足，则 C. 是关于x的方程（m，n为实数）在复数集内的一个根，则实数n的值为26 D. 若复数z满足若，且，则的最小值为4 10. 若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（ ） A. 为锐角三角形 B. 的面积为 C. O为的外心，则 D. 设，则 11. 如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（ ） A. 当时，S为四边形 B. 当时，S为等腰梯形 C. 当时，S与的交点，满足 D. 当时，S为四边形 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 若复数与都为纯虚数，则__________. 13. 平面向量，满足，，，则__________. 14. 在三棱锥中，，，若该三棱锥的体积为，则其外接球表面积的最小值为_________． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，且与的夹角为. （1）求证：（； （2）若与的夹角为，求的值. 16. 已知向量，，其中，且． 求的值； 若，且，求角． 17. 已知的内角的对边分别为，，，，且． （1）求的大小； （2）若的平分线交于点，且，求的取值范围． 18. 由直四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为平行四边形，O为AC与BD的交点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）设平面与底面ABCD的交线为l，求证：. 19. 某景区为拓展旅游业务，拟建一个观景台P（如图所示），其中AB，AC为两条公路，，M，N为公路上的两个景点，测得，，为了获得最佳观景效果，要求P对的视角.现需要从观景台P到M，N建造两条观光路线PM，PN，且要求观光路线最长.若建造观光路线的宽为5米，每平方米造价为100元. （1）求M、N的距离； （2）设，用表示； （3）求该景区预算需要投入多少万元改造？（） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $