8.1 基本立体图形（第2课时）课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章　立体几何初步 8.1　基本立体图形 第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征　简单组合体的结构特征 人教A版 数学 必修第二册 课程标准 1.理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义,认识这四种几何体的结构特征,能够识别和区分这些几何体. 2.了解柱体、锥体、台体之间的关系. 3.了解简单组合体的概念和基本形式. 4.会用柱、锥、台、球的结构特征描述现实生活中简单物体的结构特征. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　圆柱的结构特征 圆柱及相关概念 图形及表示 定义 以　　　　　　　所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱  用表示它的轴的字母表示   图中圆柱记作:圆柱O'O 相关 概念 轴:　　　　　　叫做圆柱的轴;  底面:　　　　　　的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;  侧面:　　　　　　的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;  母线:无论旋转到什么位置,不垂直的边都叫做圆柱侧面的母线 矩形的一边 旋转轴 垂直于轴 平行于轴 名师点睛 圆柱的性质 (1)圆柱的底面是两个半径相等的圆面,两圆面所在平面互相平行. (2)通过轴的各个截面叫做轴截面,轴截面是全等的矩形. (3)母线平行且相等,它们都垂直于底面,它们的长等于圆柱的高. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)圆柱的两个底面互相平行.(　　) (2)圆柱的母线长度与圆柱的高相等.(　　) (3)圆柱的母线与圆柱的轴平行.(　　) √ √ √ 2.如图,矩形ABCD绕其边AB所在直线旋转一周,其余三边BC,CD,DA旋转各形成什么图形?共同围成什么空间几何体? 提示 边BC,DA旋转各形成一个圆面,边CD旋转形成一个曲面,它们共同围成一个圆柱. 3.圆柱上底面圆周上任意一点与下底面圆周上任意一点的连线是圆柱的母线吗? 提示 不一定.圆柱的母线与圆柱的轴是平行的. 知识点2　圆锥的结构特征 圆锥及相关概念 图形及表示 定义 以直角三角形的　　 　　　所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥  用表示轴的字母表示   图中圆锥记作:　 　  相关概念 轴:旋转轴叫做圆锥的轴; 底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面; 侧面:直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面; 母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线　　 母线即为直角三角形的斜边 一条直角边 圆锥SO 名师点睛 圆锥具有以下性质: (1)圆锥的底面是一个圆面,圆面的半径就是直角边OA的长,底面和轴垂直. (2)平行于底面的截面是圆面. (3)通过轴的各个截面是轴截面,各轴截面是全等的等腰三角形,如△SAB. (4)过顶点和底面相交的截面是等腰三角形,如等腰三角形SAC. (5)母线都过顶点且相等,各母线与轴的夹角相等. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)圆锥的轴截面是等腰三角形.(　　) (2)圆锥的底面半径、高、母线构成一个直角三角形.(　　) 2.以Rt△ABC任一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面围成的几何体就是棱锥,这句话对吗? √ √ 提示 不对.必须以直角边所在直线为轴.若以斜边所在直线为轴,形成的几何体是同底面的两个圆锥组成的. 3.[苏教版教材例题]如图,将直角梯形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周,由此形成的空间图形是由哪些简单空间图形构成的? 解 这个空间图形是由圆柱和圆锥组合而成的,如图. 知识点3　圆台的结构特征 圆台及相关概念 图形及表示 定义 用　　　　于圆锥底面的平面去截圆锥,　　　　与截面之间的部分叫做圆台;以直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体是圆台  用表示它的轴的字母表示   图中圆台记作: 　　 　  相关 概念 轴:旋转轴叫做圆台的轴;底面:垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面叫做圆台的底面;侧面:不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面叫做圆台的侧面;母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边叫做圆台的母线 平行 底面 圆台O'O 名师点睛 圆台具有以下性质: (1)圆台的底面是两个半径不等的圆面,两圆面所在的 平面互相平行又都和轴垂直. (2)平行于底面的截面是圆面. (3)通过轴的各个截面是轴截面,各轴截面是全等的 等腰梯形,如梯形ABB1A1. (4)任意两条母线确定的平面,截圆台所得的截面是等腰梯形,如梯形ACC1A. (5)母线都相等,各母线延长后都相交于一点. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)用平面去截圆柱,会得到一个圆柱和一个圆台.(　　) (2)用一个平面截圆锥,截得的两部分分别是圆锥和圆台.(　　) × × 2.[北师大版教材习题]一个圆台的高为4 cm,上底面和下底面直径分别为 2 cm和8 cm,求圆台的母线长. 解 如图,作出圆台的轴截面,则OO1=4,AB=2,CD=8,过点B作BE⊥CD于点E, 知识点4　球的结构特征 球及相关概念 图形及表示 定义 　　　　　　　　　所在直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫做球面,球面所围成的旋转体叫做球体,简称球  用表示球心的字母表示   图中的球记作:　　  相关概念 球心:半圆的　　　叫做球的球心;半径:连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径;直径:连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径  半圆以它的直径 圆心 球O 名师点睛 用平面截球截面为圆面,过球心的平面截得的圆叫做球的大圆,不过球心的平面截得的圆叫做球的小圆. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)球面简称球.(　　) (2)连接球面上任意两点的线段不大于球的直径.(　　) (3)球的直径必经过球心.(　　) × √ √ 2.如图,把半圆绕其直径所在的直线旋转一周,半圆弧旋转形成什么图形?如果是把整个的圆绕其一条直径所在的直线旋转半周,圆弧旋转形成什么图形?它们各自围成什么空间几何体? 提示 半圆弧旋转形成一个球面,圆弧旋转形成的也是一个球面,它们围成的空间几何体都是球. 3.过球面上任意两点A,B作大圆,可能的个数是(　　) A.有且只有一个 B.一个或无穷多个 C.无数个 D.以上均不正确 B 解析 当直线AB经过球心时,经过A,B的平面截球面所得的圆都是球的大圆,这时过A,B作球的大圆有无数个;当直线AB不经过球心O时,经过A,B,O的平面截球面所得就是一个大圆,这时只能作出一个大圆. 知识点5　简单组合体 1.简单组合体的概念:由　　　　　　　组合而成的几何体称作简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱体、锥体、台体、球等结构特征的物体组成的.  2.简单组合体的构成有两种基本形式:一种是由简单几何体　　　　而成;一种是由简单几何体　　　　或　　　　一部分而成.  简单几何体 拼接 截去 挖去 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)现实世界中的物体表示的几何体多是由简单几何体组合而成.(　　) (2)简单组合体的构成都是由简单几何体拼接而成.(　　) √ × 2.如图,第一排中的图形绕虚线旋转一周,能形成第二排中的某个几何体,请把第一、第二排中相应的图形用线连起来. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　旋转体的结构特征 【例1】 下列说法正确的是　　　　　.(填序号)  ①以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥; ②半圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的旋转体是球; ③用一个平面去截球,得到的截面是一个圆面. ①②③　 规律方法　1.判断简单旋转体结构特征的方法 (1)明确由哪个平面图形旋转而成. (2)明确旋转轴是哪条直线. 2.简单旋转体的轴截面及其应用 (1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量. (2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想. 变式训练1下列说法: ①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个; ②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆; ③圆台的任意两条母线的延长线,可能相交也可能不相交; ④球的半径是连接球面上任意一点与球心的线段. 其中正确的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 C 解析 ②错误,截面可能是一个三角形;③错误,圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点;①④正确.故选C. 探究点二　组合体的结构特征 【例2】 描述下列几何体的结构特征. 解 图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体;图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体;图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体. 规律方法　判断实物是由哪些简单几何体组成的技巧: (1)准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征; (2)正确掌握简单组合体构成的两种基本形式; (3)若用分割的方法,则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面). 变式训练2如图①②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的? 解 旋转后的图形如图所示.其中①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3,O4O3组成的;②是由一个圆锥O5O4,一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的. 探究点三　旋转体中的计算 【例3】 如图,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3 cm,求圆台O'O的母线长. 解 设圆台的母线长为l cm,由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r cm,4r cm. 过轴SO作截面,如图. 则△SO'A'∽△SOA,SA'=3 cm, 故圆台的母线长为9 cm. 规律方法　1.旋转体中有关底面半径、母线、高的计算,可利用轴截面求解,即将立体问题平面化. 2.利用球的截面,将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键. 变式训练3 已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同侧,且距离等于1,求这个球的半径. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)圆柱、圆锥、圆台的结构特征. (2)球的结构特征. (3)简单组合体的结构特征. 2.方法归纳:分类讨论、转化与化归. 3.常见误区:同一平面图形绕不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一]下列说法正确的是(　　) A.到定点的距离等于定长的点的集合是球 B.球面上不同的三点可能在同一条直线上 C.用一个平面截球,其截面是一个圆 D.球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面 D 解析 对于A,球是球体的简称,球体的外表面我们称之为球面,球面是一个曲面,是空心的,而球是几何体,是实心的,故A错误;对于B,球面上不同的三点一定不共线,故B错误;对于C,用一个平面截球,其截面是一个圆面,而不是一个圆,故C错误.D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2.[探究点二]日常生活中,常用到的螺母可以看成一个组合体,其结构特征是(　　) A.一个棱柱中挖去一个棱柱 B.一个棱柱中挖去一个圆柱 C.一个圆柱中挖去一个棱锥 D.一个棱台中挖去一个圆柱 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3.[探究点三]《九章算术》中有这样的图形:今有圆锥,下周三丈五尺,高五丈一尺(1丈=10尺);若该圆锥的母线长x尺,则x=(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4.[探究点一·2023湖北武汉期中]下列说法正确的是(　　) A.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 B.球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段 C.以直角三角形的一条边所在的直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 D.用一个平面截圆锥,得到一个圆锥和圆台 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5.[探究点三]已知一个圆锥的母线长为6,底面半径为3,用该圆锥截出一个圆台,所得圆台的母线长为4,则圆台的另一底面半径为　　　　　.  1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6.[探究点三]已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形,则该圆柱的底面半径为　　　　　.  2 解析 设圆柱底面半径为r,由于圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形,所以圆柱的高为2r,且(2r)2=16,解得r=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7.[探究点三]已知圆锥的底面半径为r,高为h,且正方体ABCD-A1B1C1D1内接于圆锥,求这个正方体的棱长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8.[探究点三]从一个底面半径和高都是R的圆柱中,挖去一个以圆柱上底面为底,下底面中心为顶点的圆锥,得到如图所示的几何体.如果用一个与圆柱下底面距离等于l(l<R)并且平行于底面的平面去截它,求所得截面的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 轴截面如图. 被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径O1C=R,圆锥的截面圆的半径O1D设为x. ∵OA=AB=R,∴△OAB是等腰直角三角形. 又CD∥OA,则CD=BC.∴x=l. ∴截面面积S=πR2-πl2=π(R2-l2)(l<R). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 级 关键能力提升练 9.下列说法错误的是(　　) A.正棱锥的所有侧棱长均相等 B.圆柱的母线垂直于底面 C.直棱柱的侧面都是全等的矩形 D.用经过旋转轴的平面截圆锥,所得的截面一定是全等的等腰三角形 C 解析 对于A,根据正棱锥的定义知,正棱锥的所有侧棱长均相等,故A正确; 对于B,根据圆柱的定义可知圆柱的母线与底面垂直,故B正确; 对于C,直棱柱的侧面都是矩形,但不一定全等,故C错误; 对于D,圆锥的轴截面是全等的等腰三角形,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10.(多选题)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法,其中说法正确的是(　　) A.由一个长方体割去一个四棱柱所构成的 B.由一个长方体与两个四棱柱组合而成的 C.由一个长方体挖去一个四棱台所构成的 D.由一个长方体与两个四棱台组合而成的 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析 如图,该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成,也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成.故选项AB正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面半径的比是1∶4,且该圆台的母线长为9,则截去的圆锥的母线长为(　　) A. B.3 C.12 D.36 B 解析 根据题意,设圆台的上、下底面的半径分别为r,R, 设圆锥的母线长为L,截去的小圆锥的母线长为l, ∴截去的圆锥的母线长为12-9=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12.已知圆柱的轴截面是正方形,其面积为Q,则它的一个底面的面积为(　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.一个三棱锥的各棱长均相等,其内部有一个内切球,即球与三棱锥的各面均相切,过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面,所得截面是下列图形中的(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则所截得的图形可能是　　　　　.(填序号)  ①⑤ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15.圆台上底面面积为π,下底面面积为16π,用一个平行于底面的平面去截圆台,该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1,求这个截面的面积. 解 圆台的轴截面如图,O1,O2,O3分别为上底面、下底面、截面的圆心. 过点D作DF⊥AB于点F,交GH于点E. 由题意知DO1=1,AO2=4, ∴AF=3. ∴☉O3的半径为3.∴这个截面面积为9π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16.如图,模块①~⑤均由4个棱长为1的小正方体构成,模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成. C 级 学科素养创新练 (1)若从模块⑥中拿掉一个小正方体,再从模块①~⑤中选出一个模块放到模块⑥上,使得模块⑥成为长方体,则①~⑤中选出的模块可以是　　　　 　.(答案不唯一)  (2)若从模块①~⑤中选出3个放到模块⑥上,使模块⑥成为棱长为3的大正方体,则选出的3个模块是　　 　　　.(答案不唯一)  ①(或②或⑤) ①②⑤(或①④⑤) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17.圆台的上、下底面半径分别为5 cm、10 cm,母线长AB=20 cm,从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点(B在下底面),求: (1)绳子的最短长度; (2)在绳子最短时,上底面圆的圆周上的点到绳子的最短距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 (1)画出圆台的侧面展开图,并还原成圆锥展开的扇形,且设扇形的圆心为O. 由图得,所求的最短距离是MB'.设OA=R,圆心角是θ,则由题意知,10π=θR,① 20π=θ(20+R),② 由①②解得,θ= ,R=20. ∴OM=30,OB'=40,则MB'=50.故绳子最短的长度为50 cm. (2)作OC垂直于B'M交于点C,OC是顶点O到MB'的最短距离, 令OC与弧AA'的交点为D,则DC是MB'与弧AA'的最短距离, 即上底面圆的圆周上的点到绳子的最短距离是4 cm. 则CE==3. 在Rt△BCE中,BC==5. 所以圆台的母线长为5 cm. ∴,∴.解得l=9, 解 如图,设这两个截面圆的半径分别为r1,r2,球心到截面的距离分别为d1,d2,球的半径为R,则π=5π,π=8π,∴=5,=8. 又R2=, ∴=8-5=3, 即(d1-d2)(d1+d2)=3.又d1-d2=1, ∴解得 ∴R==3,即球的半径等于3. A. B. C. D. 解析 易知三丈五尺=35尺,五丈一尺=51尺, 设圆锥的底面半径为r,高为h,则2πr=35,所以r=, 所以x=.故选C. 解析 作轴截面如图,则.解得r=1. 解 过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面,如图所示.设圆锥内接正方体的棱长为x,则在轴截面中,正方体的对角面A1ACC1的一组邻边AA1和AC的长分别为x和x. 因为△VA1C1∽△VMN,所以. 所以hx=2rh-2rx, 所以x=. 故该圆锥的内接正方体的棱长为. ∵圆台的上、下底面互相平行,∴,可得L=4l. ∵圆台的母线长为9,可得L-l=9,∴L=9,解得L=12, A.Q B.πQ C. D. 解析 圆柱的轴截面一边为高,另一边为底面的直径,由轴截面为正方形可知,高与底面直径均为,所以底面半径为,所以底面的面积为π·. ∵DE=2EF,∴DF=3EF,∴,∴GE=2. DC=OC-OD=-20=4(cm), $$