8.2 立体图形的直观图课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章　立体几何初步 8.2　立体图形的直观图 人教A版 数学 必修第二册 课程标准 1.掌握斜二测画法的步骤. 2.能借助椭圆模板画圆的直观图. 3.能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　水平放置的平面图形的直观图画法 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 45° 135° 水平面 x'轴或y'轴的线段 保持原长度不变 一半 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)相等的角,在直观图中仍相等.(　　) (2)长度相等的线段,在直观图中长度仍相等.(　　) (3)若两条线段平行,则在直观图中对应的线段仍平行.(　　) (4)若两条线段垂直,则在直观图中对应的线段也互相垂直.(　　) × × √ × 2.已知在平面直角坐标系中,一个平面图形上的一条线段AB的实际长度为4 cm,若AB∥x轴,则画出直观图后对应线段A'B'=　　　　　cm,若AB∥y轴,则画出直观图后对应线段A'B'=　　　　　 cm.  4 2 知识点2　空间几何体的直观图的画法 画几何体的直观图时,与画平面图形的直观图相比,只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴,并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变. 名师点睛 画空间几何体的直观图的四个步骤 (1)画轴.通常以高所在直线为z轴建系. (2)画底面.根据平面图形的直观图画法确定底面. (3)画侧棱.利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关侧棱. (4)连线成图.画图完成后,擦除辅助线,看得见的地方用实线,被遮挡的部分用虚线(或不画),就得到了几何体的直观图. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)建立z轴的一般原则是让z轴过空间图形的顶点.(　　) (2)画几何体的直观图时一般让z轴与几何体的高平行.(　　) 2.画几何体直观图的步骤有哪些? √ √ 提示 (1)画轴;(2)画底面;(3)画侧棱;(4)连线,擦掉辅助线. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　画水平放置的平面图形的直观图 【例1】 [北师大版教材例题]画水平放置的正六边形的直观图. 解 (1)如图1,在正六边形ABCDEF中,取AD所在直线为x轴,对称轴HG为y轴,两轴相交于点O. (2)另选一平面画直观图,先画相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°. 如图2,将已知图形中x轴上的线段AD在直观图中画成x'轴上的线段A'D',且保持原长度不变,点O'是A'D'的中点;将已知图形中y轴上的线段HG画成y'轴上的线段H'G',且长度为原来的 ,点O'是H'G'的中点. (3)如图3,将已知图形中平行于x轴的线段FE,BC在直观图中分别画成平行于x'轴的线段F'E',B'C',且保持原长度不变,点H',G'分别是F'E',B'C'的中点. (4)如图4,连接A'B',C'D',D'E',F'A'. (5)擦去辅助线x'轴和y'轴,便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A'B'C'D'E'F',如图5. 图3 图4 图5 规律方法　 变式训练1如图,画出水平放置的直角梯形的直观图. 画法(1)在已知的直角梯形ABCD中,以底边AB所在直线为x轴,垂直于AB的腰AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.如图①. (2)画相应的x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°,在x'轴上取O'B'=AB,在y'轴上取O'D'= AD,过D'作x'轴的平行线l,在l上沿x'轴正方向取点C'使得D'C'=DC.如图②. (3)连接B'C',所得四边形O'B'C'D'就是直角梯形ABCD的直观图.如图③. 探究点二　画空间几何体的直观图 【例2】 用斜二测画法画出六棱锥P-ABCDEF的直观图,其中底面ABCDEF为正六边形,点P在底面的投影是正六边形的中心O(尺寸自定). 画法(1)画出六棱锥P-ABCDEF的底面. 如图①所示,在正六边形ABCDEF中,取AD所在的直线为x轴,对称轴MN为y轴,两轴相交于点O. (2)画相应的x'轴、y'轴和z'轴,三轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°,∠x'O'z'=90°;在图②中,以O'为中点,在x'轴上取A'D'=AD,在y'轴上取M'N'= MN;以点N'为中点画B'C'平行于x'轴,且等于BC;再以点M'为中点画E'F'平行于x'轴,且等于EF;连接A'B',C'D',D'E',F'A',得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A'B'C'D'E'F'. (3)画正六棱锥P-ABCDEF的顶点.在z'轴上取点P',使P'O'=PO. (4)成图.连接P'A',P'B',P'C',P'D',P'E',P'F',并进行整理,便得到六棱锥P-ABCDEF的直观图P'-A'B'C'D'E'F',如图③所示. 规律方法　利用斜二测画法画几何体的直观图应遵循的基本原则 (1)画几何体的直观图在要求不太严格的情况下,长度和角度可适当选取.为了增强立体感,被挡住的部分通常用虚线表示. (2)画法规则可简记为:两轴夹角为45°,竖轴垂直仍不变,平行不变,长度横竖不变,纵折半. (3)画空间几何体的直观图,要注意选取适当的坐标原点,建立坐标系画出坐标轴. 变式训练2用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图,其中上、下底面边长分别为2,3,高为2. 画法(1)画轴.画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°, ∠xOz=90°. (2)画下底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=3,在y轴上取线段PQ,使PQ=1.5.分别过点M和点N作y轴的平行线,过点P和点Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,则四边形ABCD即为四棱台的下底面. (3)画上底面.在z轴上取一点O',使OO'=2,过点O'画直线a和直线b,使直线a∥x轴,直线b∥y轴,在平面aO'b内以O'为中心画水平放置的边长为2的正方形的直观图A'B'C'D'. (4)连线.被遮挡的线画成虚线(如图①),擦去辅助线并整理就得到四棱台的直观图(如图②). 探究点三　直观图的还原与计算问题 【例3】 如图,梯形A1B1C1D1是一水平放置的平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O'y',A1B1∥C1D1,A1B1= C1D1=2,A1D1=O'D1=1.试画出原四边形的形状,并求原图形的面积. 画法如图,建立平面直角坐标系xOy,在x轴上截取OD=O'D1=1,OC=O'C1=2. 在过点D的y轴的平行线上截取DA=2D1A1=2.在过点A的x轴的平行线上截取AB=A1B1=2.连接BC,即得到了原图形(如图). 由作法可知,原四边形ABCD是直角梯形,上、下底长度分别为AB=2,CD=3,直角腰长度为AD=2.故面积为S= ×2=5. 规律方法　直观图的还原技巧 (1)由直观图还原为原图形是画直观图的逆过程:一是在直观图中建立坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°,对应地建立直角坐标系xOy;二是平行x'轴的线段长度不变,平行y'轴的线段扩大为原来的2倍;三是对于相邻两边不与x',y'轴平行的顶点可通过作x'轴、y'轴的平行线变换确定其在xOy中的位置.还原时,要注意坐标系变化前后变化的量与不变的量,计算时要结合两个坐标轴确定数据. (2)原图形的面积S原与直观图的面积S直观有如下关系:S直观= S原. 变式训练3(1)如图,在直观图中,四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2 cm,则在xOy坐标中原四边形OABC为　　　　　(填形状),面积为　　　 cm2.  矩形 8 解析 由题意,结合斜二测画法可知,四边形OABC为矩形,且OA=2 cm, OC=4 cm,所以四边形OABC的面积S=2×4=8(cm2). (2)已知等边三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为(　　) D 本节要点归纳 1.知识清单: (1)水平放置的平面图形的直观图的画法. (2)空间几何体的直观图的画法. (3)直观图的还原与计算. 2.方法归纳:转化思想. 3.常见误区:同一图形选取坐标系的角度不同,得到的直观图可能不同. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 1.(多选题)利用斜二测画法得到的下列结论中正确的是(　　) A.水平放置的三角形的直观图是三角形 B.水平放置的正方形的直观图是正方形 C.水平放置的菱形的直观图是菱形 D.水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形 AD 解析 对于A,在水平放置的三角形的直观图中,三角形底边上的高与底边的夹角为45°或135°,底边上的高的长度减少为原来的一半,依然是三角形,故A正确;对于B,正方形中的直角,在直观图中变为45°或135°,故B错误;对于C,菱形的对角线互相垂直平分,在直观图中对角线的夹角变为45°,故C错误;对于D,由斜二测画法知,水平放置的平行四边形的直观图还是平行四边形,故D正确. 故选AD. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2.如图,已知等腰三角形ABC,则下图所示的四个图形中,可能是水平放置的△ABC的直观图的是(　　) A.①② B.②③ C.②④ D.③④ D 解析 当∠x'O'y'=135°时,其直观图是③; 当∠x'O'y'=45°时,其直观图是④. 1 2 3 4 5 3.水平放置的△ABC的直观图如图所示,则△ABC的面积为　　　　.  2 解析 把水平放置的△ABC的直观图还原为原图形,如图所示,则△ABC的面积为S= ×2×2=2. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 4.如图为一个水平放置的矩形ABCO,在直角坐标系xOy中,点B的坐标为(4,2),则用斜二测画法画出的该矩形的直观图中,顶点B'到x'轴的距离 为　　　　　.  1 2 3 4 5 解析 直观图如图,则O'A'=B'C'=1,∠B'C'x'=45°,故B'到x'轴的距离为 . 1 2 3 4 5 5.[苏教版教材例题]画水平放置的正三角形的直观图. 画法如图,按如下步骤完成: 第一步　在已知的正三角形ABC中,取AB所在的直线为x轴,取对称轴CO为y轴.画对应的x'轴、y'轴,使∠x'O'y'=45°. 第二步　在x'轴上取O'A'=OA,O'B'=OB,在y'轴上取O'C'= OC. 第三步　连接A'B',B'C',C'A',所得△A'B'C'就是水平放置的正三角形ABC的直观图. 1 2 3 4 5 A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 $$