8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章　立体几何初步 8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 人教A版 数学 必修第二册 课程标准 1.了解棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图,掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积公式及体积公式,能用公式解决简单的实际问题. 2.能运用公式求棱柱、棱锥、棱台的表面积及体积,理解棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系. 3.会求组合体的表面积及体积. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的　　.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的　　　.    常常表示为侧面积+底面积 和 和 过关自诊 1.正三棱柱的底面边长为1,侧棱长为2,则它的侧面积为　　　　,表面积为　 .  6 2.[苏教版教材例题]设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶,高是1.0 m,底面的边长是1.5 m,制造这种塔顶需要多少平方米铁板(精确到0.1 m2)? 解 如图,S表示塔的顶点,O表示底面的中心,则SO是高.设点E是底面上一条边的中点,连接SE,则SE是斜高. 在Rt△SOE中, 知识点2　棱柱、棱锥、棱台的体积 1.一般地,如果棱柱的底面积是S,高是h,那么这个棱柱的体积V棱柱=　　.  2.一般地,如果棱锥的底面面积是S,高为h,那么该棱锥的体积 V棱锥=　　　　　.  3.如果棱台的上、下底面面积分别为S',S,高是h,那么这个棱台的体积 V棱台=　　　　　　　　.   　　棱台两底面之间的距离 Sh 过关自诊　　　　　　　　　　　　　 1.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A=2,AB=1,那么该正四棱柱的体积为(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 B 解析 正四棱柱的体积为V=S正方形ABCD×AA1=12×2=2. 2.[北师大版教材例题]已知一正四棱台的上底边长为4 cm,下底边长为8 cm,高为3 cm.求其体积. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积 【例1】 如图是一个搭建好的帐篷,它的下部是一个正六棱柱,上部是一个正六棱锥,其中帐篷的高为PO,正六棱锥的高为PO1,且PO=3PO1.当 PO1=2 m,PA1=4 m时,求帐篷的表面积. 变式探究若把题目条件中“帐篷”改为“用某种材料制成条件中所示组合体形状的封闭容器”,表面积为多少? 规律方法　空间几何体表面积的求法技巧 求解此类问题时,首先要注意题目要求侧面积还是表面积,其次观察几何体形状,是已知的棱柱、棱锥、棱台,还是由这些几何体组成的组合体,再利用公式准确计算相关的面积,从而求解. 探究点二　棱柱、棱锥、棱台的体积 【例2】 (1)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体分成两部分,其体积分别为V1,V2,且V2>V1.求V1,V2以及V1∶V2. (2)已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm,侧面面积为780 cm2,求其体积. 解 如图所示,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,A1B1=10 cm,AB=20 cm,取A1B1的中点E1,AB的中点E,则E1E为斜高. 设O1,O分别是上、下底面的中心,则四边形EOO1E1为直角梯形. 变式探究在例2(1)中,求四棱锥A1-BDD1B1的体积. 规律方法　求几何体体积的常用方法 探究点三　与正棱柱、正棱锥有关的体积和表面积问题 【例3】 一个正四棱锥的底面边长为3 cm,侧棱长为5 cm,则它的体积为　　　　cm3,表面积为　 　　　cm2.  24 解析 如图,∵正四棱锥P-ABCD的底面边长为3 cm, ∴S正方形ABCD=18 cm2. 规律方法　正棱锥的性质如下: (1)正棱锥的各侧棱都相等,各侧面都是全等的等腰三角形,侧面等腰三角形底边上的高叫做棱锥的 斜高; (2)从顶点向底面作垂线,垂足为底面(正多边形)的中心; (3)棱锥的底面及平行于底面的截面为相似的多边形. 变式训练正四棱台(由正棱锥截得的棱台叫做正棱台)的上、下底面边长分别是2 cm和6 cm,两底面之间的距离为2 cm,则该四棱台的侧面积为　　　　　.  解析 如图,取上、下底面中心O1,O,B1C1和BC的中点E1,E.在直角梯形OEE1O1中,EE1为侧面等腰梯形的高,过E1作E1H垂直于OE,垂足为H, OO1=2 cm,O1E1=1 cm,OE=3 cm,∴HE=2 cm. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. (2)棱柱、棱锥、棱台的体积. (3)组合体的表面积与体积. (4)棱柱、棱锥、棱台体积公式之间的关系. 2.方法归纳:等体积法、割补法. 3.常见误区:平面图形与立体图形的切换不清楚. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一]若六棱柱的底面是边长为3的正六边形,侧面为矩形,侧棱长为4,则其侧面积等于(　　) A.12 B.48 C.64 D.72 D 解析 ∵六棱柱的底面是边长为3的正六边形, ∴底面周长C=6×3=18,又侧面是矩形,侧棱长为4, ∴棱柱的高h=4, ∴棱柱的侧面积S=Ch=72. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2.[探究点二]如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥 D-ACD1的体积是(　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3.[探究点一]一个正四棱锥的底面边长为2,高为 ,则该正四棱锥的表面积为(　　) A.8 B.12 C.16 D.20 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4.[探究点二]正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5.[探究点二]棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则棱台的体积等于 (　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6.[探究点二]如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是　　　　　.  10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7.[探究点三]已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成,如图所示,其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3,三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形,侧棱长为3,则此几何体的体积是　　　　　,表面积是　　　　　.  90　 138 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8.[探究点二]有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190 L,假如它的两底面边长分别等于60 cm 和40 cm,则它的深度为　　　 cm.  75 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 级 关键能力提升练 9.我国古代名著《张丘建算经》中记载:“今有方锥下广二丈,高三丈,欲斩末为方亭,令上方六尺,问亭方几何?”大致意思为“有一个正四棱锥下底面边长为二丈,高三丈,现从上面截去一段,使之成为正四棱台状方亭,且正四棱台的上底面边长为六尺,问该正四棱台的体积是多少立方尺?”(注:1丈=10尺)(　　) A.1 946立方尺 B.3 892立方尺 C.7 784立方尺 D.11 676立方尺 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10.如图所示,在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中,过上底面的一边A1B1和AC,BC的中点F,E作一个平面A1B1EF,记平面分三棱台两部分的体积为V1(三棱柱A1B1C1-FEC),V2两部分,那么V1∶V2=　　　　　.  3∶4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11.在三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则 =　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12.如图,AA1,BB1,CC1相交于点O,形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥容器,AO=A1O,BO=B1O,CO=C1O.设三棱锥的高均为1,若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体,且液体能流入下面的三棱锥,则液体流下去后液面的 高度为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.广场上的玩具石凳是由正方体截去八个全等的四面体得到的(如图).如果被截正方体的棱长为2 ,那么玩具石凳的表面积为　　　　　　　.  解析 根据题意可知,玩具石凳的表面由8个全等的以2为边长的等边三角形和6个以2为边长的全等的正方形构成,故玩具石凳的表面积为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.已知正四棱台的高是12 cm,两底面边长之差为10 cm,表面积为512 cm2,则上、下底面边长分别为　　　　　 cm,体积为　　　　　 cm3.  2,12　 688　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15.如图所示,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E,F分别为AA1,CC1的中点,求四棱锥A1-EBFD1的体积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16.(多选题)一个圆台的上、下底面半径分别是10和20,它的侧面展开图扇环的圆心角为180°,则圆台的(　　) A.母线长是20 B.表面积是1 100π ABD C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C 级 学科素养创新练 17.在正三棱台ABC-A1B1C1中,已知AB=10,棱台一个侧面梯形的面积为 ,O1,O分别为上、下底面正三角形的中心,连接A1O1,AO并延长,分别交B1C1,BC于点D1,D,∠D1DA=60°,求上底面的边长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6+　 解析 正三棱柱底面为正三角形,侧面为三个全等的矩形,所以侧面积为3×1×2=6;又S底面面积=×1×,所以它的表面积为6+. 根据勾股定理,得SE==1.25(m), 所以S正棱锥侧=×(1.5×4)×1.25=3.75≈3.8(m2). Sh h(S'++S) 解 V=(S上+S下+)h=×(42+82+)×3=112(cm3).所以正四棱台的体积为112 cm3. 解 连接O1A1,因为PO1=2 m,PA1=4 m,所以A1B1=A1O1==2(m), 取A1B1的中点为Q,连接O1Q,PQ,易得PQ⊥A1B1. 所以A1Q=O1A1=,PQ=(m), 设帐篷上部的侧面积为S1,下部的侧面积为S2, 所以S1=6×A1B1·PQ=6(m2), S2=6A1B1·OO1=48(m2), 所以该帐篷的表面积为S1+S2=(6+48)(m2). 解 若为封闭容器,则表面积应在原来基础上加上底面面积.底面是边长为2的正六边形,它可以分成6个全等的正三角形,所以底面积为6××(2)2=18(m2).故容器的表面积为6+48+18=(6+66)(m2). 解 截面将正方体化为两个几何体,其中较小部分是一个三棱锥A1-ABD, 其中底面△ABD是腰长为a的等腰直角三角形,其面积S=×AB×AD=a2. 底面ABD上的高为h=AA1=a. 所以其体积V1=Sh=a2×a=a3. 正方体的体积V=a3, 所以V2=V-V1=a3-a3=a3. 所以V1∶V2=1∶5. ∵S侧=4××(10+20)×EE1=780(cm2), ∴EE1=13 cm. 在直角梯形EOO1E1中,O1E1=A1B1=5 cm,OE=AB=10 cm, ∴O1O==12(cm). 故该正四棱台的体积为V=×12×(102+202+10×20)=2 800(cm3). 解 ∵底面BDD1B1的面积a·a=a2,四棱锥A1-BDD1B1的高h=a, ∴·h=a3. 18+6　 连接AC,BD,交于O,连接PO,则PO⊥底面ABCD, OC=AC=×3=3(cm), 又棱长PC=5 cm,∴OP==4(cm), 取BC边的中点E,连接PE,则PE为等腰三角形PBC的高,在Rt△PBE中,PE=(cm).S侧=4××3 =6(cm2),S表=(18+6)(cm2). ∴VP-ABCD=×18×4=24(cm3). 32 cm2 在Rt△EHE1中,E1E==2(cm). ∴S侧=4××(2+6)×2=32(cm2). A. B. C. D.1 解析 由题意得侧面三角形底边上的高为=2, 所以该四棱锥的表面积为22+4××2×2=12. A.3π B. C. D.1 A.6+ B.3+2 C.6+2 D.6 解析 依题意,棱台的上底面面积S'=2,下底面面积S=4,高为h=3,故由公式可知,棱台的体积是V=(S'++S)h=×(2++4)×3=6+2.故选C. 解析 设油槽的上、下底面积分别为S',S,深度为h.由V=(S++S')h,得h==75(cm). 解析 如图,设点C到平面PAB的距离为h,则点E到平面ABD的距离为h. ∵S△ABD=S△PAB, ∴. 1- 8+24 8××22sin 60°+6×22=8+24. 解 因为EB=BF=FD1=D1E=a,D1F∥EB,所以四边形EBFD1是菱形. 连接EF,则△EFB≌△EFD1. 易知三棱锥A1-EFB与三棱锥A1-EFD1的高相等, 故=2=2. 又因为EA1·AB=a2,易知点F到底面EBA1的高是a,则 a·a2=a3,所以=2a3. C.高是10 D.体积是 解 ∵AB=10,∴AD=AB=5,OD=AD=. 设上底面的边长为x(x>0),则O1D1=x. 如图所示,连接O1O,过D1作D1H⊥AD于点H, 则四边形OHD1O1为矩形,且OH=O1D1=x. ∴DH=OD-OH=x, 在Rt△D1DH中,D1D==2(x). ∵四边形B1C1CB的面积为(B1C1+BC)·D1D, ∴(x+10)×2(x), 即40=(x+10)(10-x),∴x=2, 故上底面的边长为2. $$