8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章　立体几何初步 8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 人教A版 数学 必修第二册 课程标准 1.了解圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图,掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积公式及体积公式. 2.能运用公式求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积及体积并解决简单的实际问题,理解柱体、锥体、台体的体积之间的关系. 3.会求组合体的表面积及体积. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　圆柱、圆锥、圆台的表面积 πr2 2πrl　 2πr2+2πrl　 πr2 　πrl　 πr2+πrl　 名师点睛 运用公式时的注意事项 1.明确公式中各符号的含义. 2.S表=S侧+S底,注意所求几何体的底面个数. πr'2　 πr2　 π(r+r')l　 πr2+πr'2+π(r+r')l 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)圆柱的侧面展开图是矩形.(　　) (2)圆锥的侧面展开图是扇形,扇形的半径等于圆锥底面的半径.(　　) (3)圆台的侧面展开图是大扇形截掉一个小扇形的扇环.(　　) √ × √ 3.[苏教版教材习题]已知圆柱的高和底面半径分别为a,b,求其侧面积. 2.圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系? 提示 如图所示. 提示 2πab. 知识点2　圆柱、圆锥、圆台的体积 1.V圆柱=πr2h(r是圆柱的底面半径,h是圆柱的高) 2.V圆锥= πr2h(r是圆锥的底面半径,h是圆锥的高) 3.V圆台= πh(r'2+r'r+r2)(r',r分别是上、下底面半径,h是高). 名师点睛 棱柱和圆柱都是柱体,棱锥和圆锥都是锥体,棱台和圆台都是台体,它们的体积公式可统一如下: (1)V柱体=Sh(S为柱体的底面积,h为柱体高); (2)V锥体= Sh(S为锥体的底面积,h为锥体高); (3)V台体 h(S',S分别为上、下底面面积,h为台体高). 过关自诊 1.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系? 提示 如图. 2.某小区修建一个圆台形的花台,它的两底面半径分别为1 m和2 m,高为 1 m,那么需要多少立方米土才能把花台填满?(花台壁的厚度忽略不计) 知识点3　球的表面积和体积 1.S球=4πR2(R是球的半径) 2.V球= πR3(R是球的半径) 过关自诊 1.已知球的表面积是16π,则该球的体积为　　　　　.  2.[北师大版教材习题]地球和火星都可近似看作球体,地球半径约为 6 370 km,火星的直径约为地球直径的一半. (1)求地球的表面积和体积; (2)火星的体积约为地球体积的几分之几? 重难探究·能力素养全提升 探究点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积 【例1】 如图,已知直角梯形ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5,BC=16, AD=4.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积. 变式探究在上题题设条件不变的情况下,求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积. 解 以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体,如图. 其中圆锥的高为16-4=12,圆柱的母线长为AD=4,故该几何体的表面积为2π×5×4+π×52+π×5×13=130π. 规律方法　解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面及平面展开图,借助于平面几何知识,求得所需几何要素,代入公式求解即可,基本步骤如下: 得到空间几何体的平面展开图→依次求出各个平面图形的面积→将各平面图形的面积相加 探究点二　圆柱、圆锥、圆台的体积 【例2】 已知等边三角形的边长为2,将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为　　　　　.  2π　 解析 将边长为2的正三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个组合体,如图,该组合体由两个同底的圆锥组成,两个圆锥的底面半径为 规律方法　求圆柱、圆锥、圆台的体积问题,一是要牢记公式,然后观察空间图形的构成,是单一的旋转体,还是组合体;二是注意旋转体的构成,以及圆柱、圆锥、圆台轴截面的性质,从而找出公式中需要的各个量,代入公式计算. 变式训练1[苏教版教材例题]有一堆相同规格的六角螺帽毛坯(如图)共重 6 kg.已知毛坯底面正六边形边长是12 mm,高是10 mm,内孔直径是10 mm.那么这堆毛坯约有多少个(铁的密度是7.8 g/cm3)? 所以一个毛坯的体积为V=3.741×103-0.785×103=2.956×103(mm3)=2.956(cm3). 从而这堆毛坯约有6×103÷(7.8×2.956)≈260(个). 探究点三　球的表面积和体积 【例3】 若两球的表面积之差为48π,它们的半径之和为6,则两球的体积之差的绝对值为　　　　　.  规律方法　因为球的表面积与体积都是球半径的函数,所以在解答这类问题时,设法求出球的半径是解题的关键. 变式训练2一个圆柱的底面直径与高相等,且该圆柱的表面积与球O表面积相等,则球O的半径与圆柱底面半径之比为(　　) A 探究点四　简单的几何体的外接球和内切球问题 【例4】 若棱长为2 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(　　) A.12π B.24π C.36π D.144π B 解析 正方体外接球的球心在体对角线的中点,设半径为R,则(2R)2=3×(2 )2, 即4R2=24,所以球的表面积为4πR2=24π. 故选B. 规律方法　解决几何体的外接球和内切球问题的关键是确定球的球心位置,然后求半径.内切球的半径常用等体积法;简单几何体的外接球,如长方体的外接球,根据长方体的体对角线即为外接球的直径求解,其中若长方体的体对角线及长、宽、高分别为l,a,b,c,则l2=a2+b2+c2. 变式训练3若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且三条侧棱长分别为 则其外接球的表面积是　　　　　.  6π 本节要点归纳 1.知识清单: (1)圆柱、圆锥、圆台的表面积. (2)圆柱、圆锥、圆台的体积. (3)球的表面积和体积. 2.方法归纳:公式法. 3.常见误区:平面图形与立体图形切换不清楚. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A 级 必备知识基础练 1.(多选题)[探究点一、二]一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,下列结论正确的是(　　) A.圆柱的侧面积为2πR2 B.圆锥的侧面积为2πR2 C.圆柱的侧面积与球的表面积相等 D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2 CD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2.[探究点三]若一个正方体内接于表面积为4π的球,则正方体的表面积等于(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4.[探究点二]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有(　　) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5.[探究点一、二]已知一个圆锥的体积为3π,其侧面积是底面积的2倍,则其底面半径为(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6.[探究点一]已知圆柱的底面半径为1,若圆柱的侧面展开图的面积为8π,则圆柱的高为　　　　　.  4 解析 设圆柱的高为h,又圆柱的底面半径为1,有2π×1×h=8π,得h=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7.[探究点四]如图,球O的半径为5,一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间),则圆台的体积为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8.[探究点三]某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9.[探究点一、二]如图所示,在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为 的圆柱,求该圆柱的体积及表面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B 级 关键能力提升练 10.某圆台上、下底面面积分别是4π、9π,母线长为2,则这个圆台的侧面积是(　　) A.10π B.12π C.15π D.20π A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 12.(多选题)已知圆锥底面半径为3,高为4,则下列说法正确的是(　　) A.圆锥的体积是36π B.圆锥的侧面积是15π BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13.(多选题)一个圆台的上、下底面半径分别是10和20,它的侧面展开图扇环的圆心角为180°,则圆台的(　　) A.母线长是20 B.表面积是1 100π ABD 解析 如图所示,设圆台两条母线的交点是S,其中一条母线是AB,圆台的上底面圆的周长为C,因为扇环的圆心角为180°, 所以C=π·SA,又C=10×2π, 所以SA=20,同理SB=40, 故圆台的母线AB=SB-SA=20, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 14.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题,大概意思如下:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为2尺8寸,盆底直径为1尺2寸,盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸,则平均降雨量是(注:①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②1尺等于10寸)(　　) A.3寸 B.4寸 C.5寸 D.6寸 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 15.如果我们把高和底面半径相等的圆锥称为“标准圆锥”,那么母线长为 2 的“标准圆锥”的体积为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 16.一个正方体和一个圆柱等高,并且侧面面积相等,则这个正方体和圆柱的体积的比值为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 17.把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上,使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动,当这个圆锥在平面内转回原位置时,圆锥本身滚动了2.5周,则圆锥的母线长为　　　　　,表面积等于　　　　　.  20 cm 224π cm2　 解析 设圆锥的母线长为l,底面半径为r.以S为圆心,l为半径的圆的面积为πl2. 圆锥的侧面积为πrl=8πl. 根据圆锥在平面内转到原位置时,圆锥本身滚动了2.5周, ∴πl2=2.5×8πl,∴l=20(cm). 圆锥的表面积S=S圆锥侧+S底=π×8×20+π×82=224π(cm2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 解 取正方形ABCD的中心O1,连接SO1并延长交球面于点E. 连接CO1,CE,如图. 则球心O在SE上,即SE为球的直径,且SC⊥EC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C 级 学科素养创新练 19.如图所示,在棱锥P-ABCD中,底面ABCD是长方形,底面周长为8,PD=3,且PD是四棱锥的高.设AB=x. (1)当x=3时,求三棱锥A-PBC的体积; (2)求四棱锥P-ABCD的外接球的表面积的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (2)将四棱锥P-ABCD补成长方体ABCD-A1B1C1P,则四棱锥P-ABCD的外接球和长方体ABCD-A1B1C1P的外接球相同. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20.如图,四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 解 由题意知所求几何体的表面积等于圆台下底面面积、圆台的侧面积与半球面面积的和. 几何体 侧面展开图 底面积、侧面积、表面积 圆柱 底面积:S底=　　　　;  侧面积:S侧=　　　;  表面积:S=　　　　  圆锥 底面积:S底=　　　　;  侧面积:S侧=　　　;  表面积:S=　　　  几何体 侧面展开图 底面积、侧面积、表面积 圆台 上底面面积:=　　 ;  下底面面积:=　　 ;  侧面积:S侧=　　　　;  表面积:S=　　　 　　  =(S'++S) V=ShV=(S'++S)hV=Sh 解 因为圆台上、下底面半径分别为1 m和2 m,所以S上=π m2,S下=4π m2. 又h=1 m,所以V=(S上++S下)h=(π++4π)=(m3). 即需要 m3的土才能把花台填满. 解析设球的半径为R,则由题意可知4πR2=16π,解得R=2. 所以球的体积V=πR3=. 解 (1)设地球的半径为R, 则S地球表=4πR2≈4π×6 3702≈5.10×108(km2). V地球=πR3≈π×6 3703≈1.08×1012(km3). (2),即火星的体积约为地球体积的. 解 以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台,其上底半径是4,下底半径是16,母线DC==13.故该几何体的表面积为π(4+16)×13+π×42+π×162=532π. ,高为1,体积为2×π×()2×1=2π. 解 因为V正六棱柱=×122×6×10≈3.741×103(mm3), V圆柱≈3.14×2×10=0.785×103(mm3), 解析 设两个球的半径分别为R,r(R>r),则由题意得 整理,得解得 故两球的体积之差的绝对值为π×43-π×23=π(43-23)=. A. B. C. D. 解析 设圆柱的底面半径为r,则圆柱的高h=2r,设球的半径为R,由题可知S柱=S球,即2πr2+2πr·2r=4π·R2,解得, 故选A. 1,, 解析 依题意得球的半径为R,则圆柱的侧面积为2πR×2R=4πR2,∴A错误; 圆锥的侧面积为πR×R=πR2,∴B错误; 球的表面积为4πR2, ∵圆柱的侧面积为4πR2,∴C正确; ∵V圆柱=πR2·2R=2πR3,V圆锥=πR2·2R=πR3,V球=πR3, ∴V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶πR3∶πR3=3∶1∶2, ∴D正确. A.4 B.8 C.8 D.8 解析 设正方体棱长为x,球半径为R,则S球=4πR2=4π, ∴R=1. ∵正方体内接于球,∴x=2R=2, ∴x=,∴S正=6x2=6×=8. 3.[探究点一、二]若一个圆锥的高和底面直径相等,且它的体积为,则此圆锥的侧面积为(　　) A.π B.π C.π D.2π A.2 B.3 C. D. 解析 设圆锥的底面半径为r,高为h,母线为l,如图所示: 则圆锥的体积V=πr2h=3π,所以r2h=9,因为S侧=·2πrl=2πr2,所以l=2r, 又h=r,所以r3=9,故r=.故选C. 解 该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.该组合体的体积V=πr3+πr2l=π×13+π×12×3=. 解 设圆柱的底面半径为r,高为h'.易知圆锥的高h==2.又h'=,∴h'=h,∴,∴r=1.故圆柱的体积V=πr2h'=π,S表=2S底+S侧=2πr2+2πrh'=2π+2π×=(2+2)π. 11.已知圆锥的顶点为点S,高是底面半径的倍,点A,B是底面圆周上的两点,当△SAB是等边三角形时面积为3,则圆锥的侧面积为(　　) A.π B.2π C.3π D.4π 解析 设圆锥的高为h,母线为l,底面半径为r, 则由题意得h=r,l2sin 60°=3, 所以l=2,又l2=h2+r2,则r=2, 所以圆锥的侧面积为S=πrl=4π. 故选D. C.圆锥的内切球体积是 D.圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 C.高是10 D.体积是 圆台的高h==10,体积V=π×10×(102+10×20+202)=,表面积S=π(10+20)×20+100π+400π=1 100π,故选ABD. 解析 设圆锥底面半径为r,则=2,则r=2, 所以圆锥的体积V=×πr2×2=. 解析 由于正方体和圆柱等高,故设正方体的棱长和圆柱的高(母线长)都为a,圆柱的底面半径为r,则正方体的侧面面积为4a2,圆柱的侧面面积为2πra.又4a2=2πra,所以r=,所以正方体的体积为V正方体=a3,圆柱的体积为 V圆柱=πr2a=,故,即这个正方体和圆柱的体积的比值为. 18.在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为3的正方形,且各侧棱长均为2.求该四棱锥外接球的表面积. ∵AB=3,∴O1C=3. 在Rt△SO1C中,SC=2,∴SO1=. ∵Rt△SCE∽Rt△SO1C,∴SC2=SO1·SE, ∴SE==4.∴球半径R=2. ∴球的表面积为S=4πR2=4π·(2)2=48π. 因为AB=x(0<x<4),则BC=4-x,所以球的半径R=,当x=2时,R取得最小值. 故四棱锥P-ABCD的外接球的表面积的最小值为4πR2=17π. 解 (1)当x=3时,AB=3,BC=1, S△ABC=AB·BC=, 因此VA-PBC=VP-ABC=PD·S△ABC=. 又因为S半球面=×4π×22=8π(cm2), S圆台侧=π×(2+5)×=35π(cm2),S圆台下底=π×52=25π(cm2), 所以所求几何体的表面积为8π+35π+25π=68π(cm2). 又因为V圆台=×(22+2×5+52)×4=52π(cm3), V半球=×23=(cm3). 所以所求几何体的体积为V圆台-V半球=52π-(cm3). $$