8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章　立体几何初步 8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 人教A版 数学 必修第二册 课程标准 1.借助长方体和实际情境,了解空间两条直线间的位置关系.理解异面直线的含义. 2.了解直线与平面、平面与平面之间的位置关系,并能判断这些位置关系. 3.会用符号语言和图形语言表示直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　空间中直线与直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有三种: 名师点睛 异面直线 (1)图示 图① 图② (2)符号语言(以图①为例) a⊂α,b∩α=A,A∉a⇒a与b异面. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)没有公共点的两条直线是异面直线.(　　) (2)异面直线没有公共点.(　　) (3)两条异面直线一定在两个不同的平面内.(　　) (4)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线,则b与c是异面直线.(　　) × √ √ × 2.分别在两个平面内的直线一定是异面直线吗? 提示 不一定,如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1,CC1分别在平面AA1D1D内和平面BB1C1C内,但它们不是异面直线,因为它们都在平面AA1C1C内. 知识点2　空间中直线与平面的位置关系 位置关系 公共点个数 图形语言 符号语言 直线在平面内 　　 　　    　　　  直线与平面相交 　　 　　    　　　  直线与平面平行 　 　　　    　　　  有无数个公共点 a⊂α 有且只有一个公共点 a∩α=A 没有公共点 a∥α 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)如果直线a,b和平面α满足a∥α,b∥α,那么a∥b.(　　) (2)若直线l与平面α不相交,则直线l与平面α平行.(　　) (3)过平面外一点,有且只有一条直线与这个平面平行.(　　) × × × 2.观察如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1,线段A1B所在的直线与长方体的六个面所在平面有几种位置关系? 提示 三种.直线A1B在平面ABB1A1内,与平面CDD1C1平行,与其余四个面 相交. 知识点3　空间中平面与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两个平面平行   　　  没有公共点 两个平面相交   　　　  有一条公共直线,所以有无数个公共点 α∥β α∩β=l 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若两个平面都平行于同一条直线,则这两个平面平行.(　　) (2)两个平面有公共点,这两个平面一定相交.(　　) × √ 2.正方体的六个面中互相平行的平面有(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 C 解析 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,平面ADD1A1∥平面BCC1B1,故六个面中互相平行的平面有3对. 3.如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两个平面的位置关系是　　　 　　.  平行或相交 重难探究·能力素养全提升 探究点一　空间中两条直线位置关系的判定 【例1】 (1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线间的位置关系: ①直线A1B与直线D1C　　　;  ②直线A1B与直线B1C　　　;  ③直线D1D与直线CE(E为线段C1D1的中点)　　　　;  ④直线AB与直线B1C　　　　.  平行 异面 相交 异面 (2)已知三条直线a,b,c,a与b异面,b与c异面,则a与c有什么样的位置关系?请画图说明. 解 直线a与c的位置关系有三种情况,如图所示. 直线a与c可能平行,如图①;可能相交,如图②;可能异面,如图③. 变式探究在本例题的正方体中,所有与直线AB异面的棱所在的直线为　　　　 　.  CC1,B1C1,DD1,A1D1 规律方法　空间中两条直线位置关系的判定方法 (1)判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断. (2)判定两条直线是异面直线的方法: ①定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内; ②排除法(反证法):排除两直线共面(平行或相交); ③重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.如图,A∉α,B∈α,l⊂α,B∉l⇒AB与l是异面直线. 探究点二　直线与平面的位置关系 【例2】 给出下列四个命题: ①若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;②若直线a在平面α外,则a∥α;③若直线a∥b,直线b⊂α,则a∥α;④如果一条直线与一个平面相交,那么这条直线与平面内无数条直线相交.其中真命题的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.0 A 解析 对于①,直线l虽与平面α内无数条直线平行,但l有可能在平面α内,∴l不一定平行于α.故①错.对于②,∵直线a在平面α外包括两种情形:a∥α,a与α相交,故②错.对于③,由直线a∥b,b⊂α,只能说明a和b无公共点,但a可能在平面α内,故③错.④正确. 规律方法　根据直线与平面公共点个数,直线与平面的位置关系分为三种,即直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面平行. (1)判断直线在平面内,需找到直线上不同的两 点在平面内,根据基本事实2知直线在平面内. (2)判断直线与平面相交,据定义只需判定直线与平面有且只有一个公共点. (3)判断直线与平面平行,可根据定义判断直线与平面没有公共点,也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况,从而判断直线与平面平行. 变式训练1若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是(　　) A.α内的所有直线均与a异面 B.α内不存在与a平行的直线 C.α内直线均与a相交 D.直线a与平面α有公共点 D 解析 由于直线a不平行于平面α,则a在α内或a与α相交,故A错;当a⊂α时,在平面α内存在与a平行的直线,故B错;因为α内的直线也可能与a平行或异面,故C错;由线面平行的定义知D正确. 探究点三　平面与平面的位置关系 【例3】 给出的下列四个命题中,其中正确命题的个数是(　　) ①若平面α内有两条直线和平面β平行,则这两个平面平行; ②若平面α内有无数条直线和平面β平行,则α与β平行; ③若平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等,则α与β平行; ④若两个不重合平面有无数个公共点,则这两个平面的位置关系是相交. A.0 B.1 C.3 D.4 B 解析 如图甲,平面α内有无数条直线与β平行,但α与β相交; 如图乙,△ABC的三个顶点到β的距离相等,但α与β相交.故①②③均错. 不重合的两个平面,若它们有公共点,则它们有无数个公共点,都在它们的交线上,故④正确. 规律方法　平面与平面的位置关系的判断方法 判断两个平面相交,只需找到两个平面的一个公共点,就可根据基本事实3知,两个不重合的平面是相交的. 判断两个平面平行,可根据定义判断两个平面没有公共点,也可以排除两个平面相交,从而判断两平面平行. 变式训练2已知下列说法: ①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b; ②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交; ③若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交. 其中正确的是　　　　　.(填序号)  ② 解析 ①错,a与b也可能异面;②对,∵α∥β, ∴α与β无公共点. 又∵a⊂α,b⊂β,∴a与b无公共点,即a与b一定不相交;③错,a与β也可能平行. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)两直线的位置关系. (2)直线与平面的位置关系. (3)平面与平面的位置关系. 2.方法归纳:举反例、特例. 3.常见误区:异面直线的判断有误. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A 级 必备知识基础练 1.[探究点三]如图所示,用符号语言可表示为(　　) A.α∩β=l B.α∥β,l∈α C.l∥β,l⊄α D.α∥β,l⊂α D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2.[探究点二]在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(平面AA1C1C、平面ABC1D1、平面ADC1B1、平面BB1D1D、平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中,与棱AA1平行的平面共有(　　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 B 解析 如图,结合图形可知AA1∥平面BB1C1C,AA1∥平面DD1C1C,AA1∥平面BB1D1D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 3.(多选题)[探究点一]如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则以下四个结论正确的是(　　) A.直线AM与CC1是相交直线 B.直线AM与BN是平行直线 C.直线BN与MB1是异面直线 D.直线AM与DD1是异面直线 CD 解析 直线AM与CC1不同在任何一个平面内,直线AM与BN不同在任何一个平面内,故A,B错误;直线BN与MB1不同在任何一个平面内,直线AM与DD1不同在任何一个平面内,故C,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4.[探究点三]若两个平面内分别有一条直线,且这两条直线是异面直线,则这两个平面的公共点(　　) A.有有限个 B.有无数个 C.不存在 D.不存在或有无数个 D 解析 如图,直线AB与直线CC1异面,平面ABCD与平面CDD1C1相交,有无数个公共点;平面ABB1A1与平面CDD1C1平行,没有公共点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5.[探究点一、二]以下说法正确的是(　　) A.若直线a不平行于平面α,则直线a与平面α相交 B.直线a和b是异面直线,若直线c∥a,则c与b一定相交 C.若直线a和b都和平面α平行,则a和b也平行 D.若点M∈l,点N∈l,N∉α,M∈α,则直线l与平面α相交 D 解析 若直线a不平行于平面α,则直线a与平面α相交,或a⊂α,故A错误;若直线a和b是异面直线,若直线c∥a,则c与b相交或异面,故B错误;若直线a和b都和平面α平行,则a和b可能平行,可能相交,也可能异面,故C错误;若点M,N∈l,N∉α,M∈α,则直线l和平面α相交,故D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 6.[探究点一]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱 有　　　　　条.  6 解析 由异面直线的定义,知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有CD,A1B1,AD,B1C1,AA1,CC1共6条. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 7.[探究点三]已知直线a,平面α,β,且a∥α,a∥β,则平面α与β的位置关系是　　　　 　.  相交或平行 解析 因为a∥α,a∥β,所以平面α与β相交(如图①)或平行(如图②). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8.[探究点二]过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有　　　　　条.  6 解析 如图,与平面ABB1A1平行的直线有6条:D1E1,E1E,ED,DD1,D1E,DE1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9.[探究点二]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,面对角线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何? 解 ∵B1∈平面A1B1C1D1,D1∈平面A1B1C1D1, ∴B1D1⊂平面A1B1C1D1. ∵B1∈平面BB1C1C,D1∉平面BB1C1C, ∴直线B1D1∩平面BB1C1C=B1. 同理直线B1D1与平面AA1B1B、平面AA1D1D、平面CC1D1D都相交.在平行四边形B1BDD1中,B1D1∥BD,B1D1与BD无公共点,∴B1D1与平面ABCD无公共点, ∴B1D1∥平面ABCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 B 级 关键能力提升练 10.若a,b是异面直线,且a∥平面α,那么b与平面α的位置关系是(　　) A.b∥α B.b与α相交 C.b⊂α D.以上三种情况都有可能 D 解析 若a,b是异面直线,且a∥平面α,则根据空间中线面的位置关系可得,b∥a,或b⊂α,或b与α相交. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 11.(多选题)以下结论中,正确的是(　　) A.过平面α外一点P,有且仅有一条直线与α平行 B.过平面α外一点P,有且仅有一个平面与α平行 C.过直线l外一点P,有且仅有一条直线与l平行 D.过直线l外一点P,有且仅有一个平面与l平行 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 12.(多选题)下列说法中正确的是(　　) A.若直线a不在平面α内,则a∥α B.若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α C.若l∥α,则直线l与平面α内任何一条直线都没有公共点 D.平行于同一平面的两直线可以相交 CD 解析 A中,直线a也可能与平面α相交,故A错误; B中,直线l与平面α相交时,l上也有无数个点不在平面α内,故B错误; C中,当l∥α时,l与α没有公共点,所以l与α内任何一条直线都没有公共点,故C正确; D中,平行于同一个平面的直线,可以平行也可以相交,也可以是异面直线,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13.(多选题)如图是一个正方体的展开图,则在原正方体中(　　) A.CD∥GH B.AB与EF异面 C.AD∥EF D.AB与CD相交 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 14.下列命题正确的有　　　　.(填序号)  ①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内; ②若直线l与平面α相交,则l与平面α内的任意直线都是异面直线; ③若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面; ④若直线a⊂平面α,平面α∩平面β=b,a∥b,则a∥β. ①③④ 解析 ①显然是正确的;②中,直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面,所以②是错误的;③中,直线l与平面α没有公共点,所以直线l与平面α内的直线没有公共点,即它们平行或异面,所以③是正确的;因为a∥b,所以a与b无公共点.又因为a⊂α,且α与β的公共点都在直线b上,所以a与β无公共点,故a与β平行,故④是正确的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系,并证明你的结论. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解 a∥b,a∥β. 证明如下.由α∩γ=a知a⊂α,且a⊂γ, 由β∩γ=b知b⊂β,且b⊂γ. ∵α∥β,a⊂α,b⊂β,∴a,b无公共点. 又∵a⊂γ,且b⊂γ,∴a∥b. ∵α∥β,∴α与β无公共点. 又a⊂α,∴a与β无公共点,∴a∥β. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C 级 学科素养创新练 16.若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是(　　) A.平面α内的所有直线与a异面 B.平面α内不存在与a平行的直线 C.平面α内存在唯一的直线与a平行 D.平面α内的直线与a都相交 B 解析 由条件知直线a与平面α相交,则平面α内的直线与a可能相交,也可能异面,不可能平行.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 17.(多选题)已知a,b是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列说法中正确的是(　　) A.若a∥b,b⊂α,则直线a平行于平面α内的无数条直线 B.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线 C.若α∥β,a⊂α,则a∥β D.若α∩β=b,a⊂α,则a,b一定相交 AC 解析 A中,a∥b,b⊂α,则a∥α或a⊂α,所以不管a在平面内还是平面外,结论都成立,故A正确; B中,直线a与b没有交点,所以a与b可能异面,也可能平行,故B错误; C中,直线a与平面β没有公共点,所以α∥β,故C正确; D中,直线a与平面β有可能平行,所以a,b可能相交,也可能平行,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 18.如图,ABCD-A1B1C1D1是正方体,在图1中,E,F分别是C1D1,BB1的中点,画出图1,图2中有阴影的平面与平面ABCD的交线,并给出证明. 图1 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解 在图1中,设N为CD的中点,连接NE,NB,则EN∥BF, ∴B,N,E,F四点共面.∴EF与NB的延长线相交,设交点为M,连接AM.∵M∈EF,且M∈NB,EF⊂平面AEF,NB⊂平面ABCD,∴M是平面ABCD与平面AEF的公共点,又∵点A是平面ABCD和平面AEF的公共点,∴AM为两平面的交线. 在图2中,延长DC到点M,使CM=DC,连接BM,C1M,则C1M∥D1C∥A1B,∴点M在平面A1BC1内. 又∵点M在平面ABCD内,∴点M是平面A1BC1与平面ABCD的公共点,又点B是平面A1BC1与平面ABCD的公共点,∴BM是平面A1BC1与平面ABCD的交线. 图1 图2 $$