8.5.1 直线与直线平行课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章　立体几何初步 8.5.1　直线与直线平行 人教A版 数学 必修第二册 课程标准 1.掌握基本事实4,并会应用其解决相关直线与直线平行问题. 2.理解等角定理,并会应用其解决有关问题. 3.体会“平移”在平行关系中的应用. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　直线与直线平行 文字语言 平行于同一条直线的两条直线　　　  图形语言   符号语言 直线a,b,c,若a∥b,b∥c,则　　  作用 证明或判断两条直线平行 说明 基本事实4表述的性质通常叫做平行线的　　　　  平行 a∥c 传递性 过关自诊 1.若直线a∥b,c,d为不重合的两条直线,且a∥c,b∥d,则c与d的位置关系是　 .  平行 2.[苏教版教材例题]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F分别是AB,BC的中点.求证:EF∥A1C1. 证明 连接AC. 在△ABC中,因为E,F分别是AB,BC的中点,所以EF∥AC. 又因为AA1∥BB1,AA1=BB1,BB1∥CC1,BB1=CC1,所以AA1∥CC1,AA1=CC1,从而四边形AA1C1C是平行四边形,所以AC∥A1C1.从而EF∥A1C1. 知识点2　等角定理  可理解为一个角在两个位置 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 名师点睛 1.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,并且方向相同(或相反),那么这两个角相等. 2.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,并且一边的方向相同,另一边的方向相反,那么这两个角互补. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.(　　) (2)如果两个角相等,且其中一组边平行,则另一组边也平行.(　　) √ × 2.如图,在四棱柱ABCD-A'B'C'D'中,底面ABCD为菱形,∠ADC与∠A'D'C', ∠ADC与∠D'C'B'的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何? 提示 ∠ADC=∠A'D'C',∠ADC+∠D'C'B'=180°. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　平行线传递性的应用 【例1】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,A1D1的中点.求证:四边形B1EDF是菱形. 证明 取B1C1的中点G,连接GD1,GE,则GE∥C1C∥D1D,GE=C1C=D1D, ∴四边形GEDD1是平行四边形,GD1∥ED,GD1=ED. ∵FD1∥B1G,FD1=B1G, ∴四边形FB1GD1是平行四边形, ∴B1F∥GD1,B1F=GD1,∴B1F∥ED,B1F=ED, ∴四边形B1EDF是平行四边形, 规律方法　空间两条直线平行的证明 判断两条直线平行,除了平面几何中常用的判断方法以外,基本事实4,即平行线的传递性,也是判断两直线平行的重要依据.解题时要注意中位线的 作用. 变式训练1[北师大版教材例题]四个顶点不在同一平面内的四边形称为空间四边形.如图,在空间四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形. 探究点二　等角定理的应用 【例2】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.求证: (1)四边形BB1M1M为平行四边形; (2)∠B1M1C1=∠BMC. 证明 (1)在正方形ADD1A1中,M,M1分别为AD,A1D1的中点,∴MM1 AA1. 又AA1 BB1,∴MM1∥BB1,且MM1=BB1, ∴四边形BB1M1M为平行四边形. (2)(方法一)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形, ∴B1M1∥BM. 由(1)同理可得四边形CC1M1M为平行四边形, ∴C1M1∥CM. 由平面几何知识可知,∠BMC和∠B1M1C1都是锐角. ∴∠BMC=∠B1M1C1. (方法二)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形, ∴B1M1=BM. 由(1)同理可得四边形CC1M1M为平行四边形, ∴C1M1=CM. 又B1C1=BC,∴△B1C1M1≌△BCM, ∴∠B1M1C1=∠BMC. 规律方法　证明角相等的常用方法 证明角相等,利用空间等角定理是常用的思考方法;另外也可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等.在应用等角定理时,应注意当两个角的 两边分别对应平行且方向都相同或相反时,这两个角相等,否则这两个角互补.因此,在证明两个角相等时,只说明两个角的两边分别对应平行是不够的. 变式训练2 如图,已知三棱锥A-BCD的四个面分别是△ABC,△ABD,△ACD和△BCD,E,F,G分别为线段AB,AC,AD上的点,EF∥BC,FG∥CD. 求证:△EFG∽△BCD. ∵∠EFG与∠BCD的两条边分别对应平行,且方向相同, ∴∠EFG=∠BCD. 同理∠FGE=∠CDB.∴△EFG∽△BCD. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)基本事实4的应用. (2)等角定理的应用. 2.方法归纳:转化法. 3.常见误区:用等角定理时,角度有可能相等或互补. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一]在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的任意两个顶点的连线中,与棱AB平行的条数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 D 解析 连接CF,C1F1,与棱AB平行的有ED,CF,A1B1,C1F1,E1D1,共有5条,故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.(多选题)[探究点二]下列命题中,错误的有(　　) A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等 B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等 C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补 D.如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行 AC 解析 这两个角相等或互补,选项A错误;由等角定理知选项B正确;在空间中,这样的两个角大小关系不确定,选项C错误;由基本事实4知选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.[探究点一]如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是AB,AC上的点,且AE∶EB=AF∶FC,则EF与B1C1的位置关系是　　　　　.  平行 解析 在△ABC中,因为AE∶EB=AF∶FC,所以EF∥BC. 又在三棱柱ABC-A1B1C1中,BC∥B1C1,所以EF∥B1C1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.[探究点一、二]如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则当AC,BD满足条件　　　　　时,四边形EFGH为菱形,当AC,BD满足条件　　　　 时,四边形EFGH是正方形.  AC=BD AC=BD且AC⊥BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.[探究点一]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P,经过点P作棱BC的平行线,应该怎样画?请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解 如图,在平面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1,交A1B1于点E,交C1D1于点F,则直线EF即为所求.理由如下: 因为EF∥B1C1,BC∥B1C1,所以EF∥BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.[探究点一、二]长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点.求证: (1)D1E∥BF; (2)∠B1BF=∠A1ED1.   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 证明 (1)如图,取BB1的中点M,连接EM,C1M. 在矩形ABB1A1中,易得EM∥A1B1,EM=A1B1, 因为A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1,所以EM∥C1D1,EM=C1D1. 所以四边形EMC1D1为平行四边形,所以D1E∥MC1. 在矩形BCC1B1中,易得MB∥C1F, 又因为M,F分别为BB1,CC1的中点,所以MB=C1F. 所以四边形MBFC1为平行四边形, 所以BF∥MC1,所以D1E∥BF. (2)因为D1E∥BF,BB1∥EA1,又∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同, 所以∠B1BF=∠A1ED1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 级 关键能力提升练 7.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1方向相同,则下列结论正确的有(　　) A.OB∥O1B1且方向相同 B.OB∥O1B1,方向可能不同 C.OB与O1B1不平行 D.OB与O1B1不一定平行 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8.(多选题)在四棱锥A-BCDE中,底面四边形BCDE为梯形,BC∥DE.设CD,BE,AE,AD的中点分别为M,N,P,Q,则(　　) A.PQ= MN B.PQ∥MN C.M,N,P,Q四点共面 D.四边形MNPQ是梯形 BCD 解析 由题意知PQ= DE,且DE≠MN,所以PQ≠ MN,故A不正确; 又PQ∥DE,DE∥MN,所以PQ∥MN,又PQ≠MN,所以B,C,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.(多选题)如图,棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1E=2EA,设过点D1,C,E的平面与平面ABB1A1的交线为EF,点F是直线EF与正方形ABB1A1边的交点,则(　　) AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析 如图,在边AB上取点F,使得BF=2FA,连接EF,A1B,CF,AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.如图,在空间四边形ABCD中,M,N分别是△ABC和△ACD的重心,若BD=m,则MN=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析 连接AM并延长交BC于E,连接AN并延长交CD于F,再连接MN,EF,图略,根据三角形重心性质得BE=EC,CF=FD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C 级 学科素养创新练 11.如图,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边上的点,且AE∶EB=AH∶HD=m,CF∶FB=CG∶GD=n. (1)证明:E,F,G,H四点共面. (2)m,n满足什么条件时,四边形EFGH是平行四边形? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (1)证明 连接BD.因为AE∶EB=AH∶HD,所以EH∥BD. 又CF∶FB=CG∶GD,所以FG∥BD.所以EH∥FG. 所以E,F,G,H四点共面. 又B1E=BB1, B1F=A1B1,A1B1=BB1, ∴B1E=B1F,∴四边形B1EDF是菱形. 证明 如图,连接BD. 因为FG是△CBD的中位线,所以FG=BD,且FG∥BD. 又因为EH是△ABD的中位线,所以EH=BD,且EH∥BD. 所以FG∥EH,且FG=EH,所以四边形EFGH是平行四边形. 证明 ∵在△ABC中,EF∥BC,∴. 又FG∥CD,∴.∴,∴EG∥BD. A.EF∥D1C B.EF=a C.CF=a D.三棱锥A-EFC的体积为a3 因为A1E=2EA,所以EF∥A1B,又易知A1B∥D1C,所以EF∥D1C, 故EF=A1B=a,CF=a, VA-EFC=VE-AFC=a×a×a=a3. 故选AD. m ∴MN∥EF,MN=EF,EF∥BD,EF=BD. ∴MN=BD.∴MN=m. (2)解 当m=n时,四边形EFGH为平行四边形, 由(1)可知EH∥FG. 因为,所以EH=BD. 同理可得FG=BD,由EH=FG, 可得,得m=n. 故当m=n时,四边形EFGH是平行四边形. $$