8.1 基本立体图形（第1课时）课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章　立体几何初步 8.1　基本立体图形 第1课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征 人教A版 数学 必修第二册 课程标准 1.了解空间几何体的分类及其相关概念. 2.理解棱柱、棱锥、棱台的定义,知道这三种几何体的结构特征,能够识别和区分这些几何体. 3.理解直棱柱、正棱柱、平行六面体、正棱锥、正棱台的结构特征. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　空间几何体的定义、分类与相关概念 1.空间几何体:如果只考虑物体的　　　　和　　　　　,而不考虑其他因素,那么由这些  物体抽象出来的　　　　　　　就叫做空间几何体.  2.分类:常见的空间几何体有多面体和旋转体两类. 形状 大小 空间图形 3.多面体和旋转体 类别 多面体 旋转体 定义 一般地,由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体  多面体至少由四个面围成 ④一条　　　　　　(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的　　　　　叫做旋转面.  ⑤　　　　的旋转面围成的几何体叫做旋转体  多边形 公共边 公共点 类别 多面体 旋转体 相关 概念 ①面:围成多面体的各个　　　　　叫做多面体的面.   　　　多面体有几个面一般称为几面体 ②棱:两个面的　　　　　叫做多面体的棱.  ③顶点:棱与棱的　　　　　叫做多面体的顶点  ⑥轴:形成旋转面所绕的 　　 　叫做旋转体的轴  图形     平面曲线 曲面 封闭 定直线 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)长方体是多面体.(　　) (2)圆柱、球是旋转体.(　　) (3)长方体有6个面,8个顶点,12条棱.(　　) √ √ √ 2.面数最少的多面体是什么? 提示 围成一个多面体至少要四个面,所以面数最少的多面体是四面体,如三棱锥就是四面体. 3.观察下列图片,这些都是我们日常熟知的一些物体: (1)哪些物体围成它们的每个面都是平面图形,并且都是平面多边形? (2)哪些物体围成它们的面中既有平面图形,又有曲面图形? (3)哪些物体围成它们的面都是曲面图形? 提示 ②④. 提示 ①③⑤. 提示 ⑥. 知识点2　棱柱的结构特征 1. 定义 一般地,有两个面　　　　　　,其余各面都是　　　　　,并且相邻两个四边形的公共边都 　　　　　,由这些面所围成的多面体叫做棱柱  用表示底面各顶点的字母表示.   如图棱柱可记作: 棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' 互相平行 四边形 互相平行 相关概念 底面:两个互相　　　的面叫做棱柱的底面;  侧面:　　　　　　叫做棱柱的侧面;  侧棱:相邻侧面的　　　　叫做棱柱的侧棱;  顶点:　　　　　　的公共顶点叫做棱柱的顶点    分类 ①依据:底面多边形的边数; ②举例:　　　　　(底面是三角形)、　　　　　(底面是四边形)……  平行 其余各面 公共边 侧面与底面 三棱柱 四棱柱 2.棱柱的分类 3.常见的几种四棱柱之间的转化关系 名师点睛 棱柱的结构特征包括两个方面:一是面,二是棱.棱柱的面共有两种:第一种是底面,上、下共两个底面而且是平行且全等的;第二种是侧面,几棱柱就有几个侧面,相邻侧面的公共边即侧棱都是平行的.它的棱也有两种,一种是侧棱,另一种就是底面上的边. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)棱柱的底面互相平行.(　　) (2)棱柱的各个侧面是平行四边形.(　　) (3)平行六面体是四棱柱.(　　) √ √ √ 2.有两个面平行,其余各面都是平行四边形,这样的几何体一定是棱柱吗?举例说明. 提示 不一定.下图的几何体符合要求但不是棱柱. 知识点3　棱锥的结构特征 1. 棱锥 图形及表示 定义 一般地,有一个面是　　　　　　,其余各面都是　　　　　　　　　的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥  用表示顶点和底面各顶点的字母表示.   如图棱锥可记作:棱锥S-ABCD 多边形 有一个公共顶点 棱锥 图形及表示 相关概念 底面:　　　　　面叫做棱锥的底面;  侧面:有　　　　　　　的各个三角形面叫做棱锥的侧面;  侧棱:相邻侧面的　　　　　叫做棱锥的侧棱;  顶点:各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点   分类 ①依据:底面多边形的边数; ②举例:　　　　　(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)……  2.正棱锥:底面是　　　　　　,并且顶点与底面中心的连线　　　　　于底面的棱锥叫做正棱锥.  多边形 公共顶点 公共边 三棱锥 正多边形 垂直 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)棱锥的侧面都是三角形.(　　) (2)正棱锥顶点与底面中心的连线垂直于底面.(　　) 2.有一个面是多边形,其余各面是三角形的多面体一定是棱锥吗? √ √ 提示 不一定,其余各面必须要有一个公共顶点.如图所示的几何体符合问题中的条件,但不是棱锥. 3.[苏教版教材习题]画一个三棱锥. 解 知识点4　棱台的结构特征 棱台 图形及表示 定义 用一个　　　　　棱锥底面的平面去截棱锥,我们把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台  用表示底面各顶点的字母表示.   如图棱台可记作:棱台ABCD-A'B'C'D' 平行于 棱台 图形及表示 相关 概念 上底面:原棱锥的截面叫做棱台的上底面; 下底面:原棱锥的底面叫做棱台的下底面; 侧面:其余各面叫做棱台的侧面; 侧棱:相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱; 顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点叫做棱台的顶点   分类 ①依据:由几棱锥截得; ②举例:三棱台(由三棱锥所截得)、　　　　　(由四棱锥所截得)……  四棱台 名师点睛 1.棱台上、下底面互相平行,且是两个相似的多边形,它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高的比的平方. 2.棱台的侧面均为梯形. 3.棱台各侧棱延长线交于一点,棱台问题可还原为棱锥问题解决. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台.(　　) (2)用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫棱台.(　　) (3)棱台的各条侧棱延长后必交于一点.(　　) × × √ 2.下列几何体中,　　　　　　是棱柱,　　　　　是棱锥,　　　　　是棱台.(填序号)  ①③④ ⑥　 ⑤　 解析 结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱,⑥是棱锥,⑤是棱台. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　棱柱、棱锥、棱台的结构特征 角度1　棱柱的结构特征 【例1】 下列关于棱柱的说法: ①所有的面都是平行四边形; ②每一个面都不会是三角形; ③两底面平行,并且各侧棱也平行. 其中正确说法的序号是　　　　　.  ③ 解析 ①错误,底面可以是其他多边形而不光是平行四边形;②错误,底面可以是三角形;③正确,由棱柱的定义可知. 规律方法　关于棱柱的辨析 (1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析. ①两个面互相平行;②其余各面是平行四边形;③相邻两个四边形的公共边互相平行. (2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除. 特别提醒:求解与棱柱相关的问题时,首先看是否有两个平行的面作为底面,再看是否满足其他特征. 变式训练1关于棱柱,下列说法正确的有　　　　　.(填序号)  ①被平行于底面的平面截成的两部分可以都是棱柱; ②棱柱的侧棱长相等,侧面都是平行四边形; ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体. ①② 解析 ①正确,被平行于底面的平面截成的两部分可以都是棱柱; ②正确,由棱柱定义可知,棱柱的侧棱相互平行且相等,所以侧面均为平行四边形; ③不正确,上、下底面是菱形,各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体. 角度2　棱锥、棱台的结构特征 【例2】 (1)判断如图所示的物体是不是棱锥,为什么? 解 该物体不是棱锥.因为棱锥的定义中要求:各侧面都是有一个公共顶点的三角形,但侧面ABC与侧面CDE没有公共顶点,所以该物体不是棱锥. (2)如图所示的多面体是不是棱台? 解 根据棱台的定义,可以得到判断一个多面体是棱台的标准有两个:一是共点,二是平行.即各侧棱延长线要交于一点,上、下底面要平行,二者缺一不可.据此,图①中多面体侧棱延长线不相交于同一点,故不是棱台;图②中多面体侧棱延长线也不相交于同一点,故不是棱台;图③中多面体虽是由棱锥截得的,但截面与底面不平行,因此也不是棱台. 规律方法　棱锥、棱台结构特征问题的判断方法 (1)举反例法 结合棱锥、棱台的定义举反例直接说明关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确. (2)直接法 类别 棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形,此面即底面 两个互相平行的面,即上、下底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 变式训练2有下列三个命题: ①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台; ②两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台; ③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台. 其中正确的有(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 A 解析 ①中的平面不一定平行于底面,故①错;②③可用反例去检验,如图所示,侧棱延长线不能相交于一点,故②③错.故选A. 探究点二　空间几何体的平面展开图 【例3】 (1)请画出如图所示的正方体的平面展开图. 解 展开图如图所示.(答案不唯一) (2)如图是两个几何体的平面展开图,请问各是什么几何体? ① ② 解 根据平面展开图,可知①为五棱柱,②为三棱台. ① ② 规律方法　1.绘制展开图:绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征,发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其平面展开图. 2.由展开图复原几何体:若是给出多面体的平面展开图,来判断是由哪一个多面体展开的,则可把上述过程逆推.同一个几何体的平面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可有多个平面展开图. 变式训练3 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,BB1=5,一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1,求蚂蚁爬行的最短路线长. 解 沿长方体的棱剪开,使点A和点C1在同一平面上,求线段AC1的长即可,有如图所示的三种剪法: 本节要点归纳 1.知识清单: (1)多面体、旋转体的定义. (2)棱柱、棱锥、棱台的结构特征. 2.方法归纳:举反例法,定义法. 3.常见误区:棱台的结构特征认识不清. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一(角度1)]下列命题正确的是(　　) A.棱柱的每个面都是平行四边形 B.一个棱柱至少有五个面 C.棱柱有且只有两个面互相平行 D.棱柱的侧面都是矩形 B 解析 对于A,棱柱的上、下底面可以是三角形或者是梯形,故A不正确; 对于B,面最少的就是三棱柱,共有五个面,B正确; 对于C,长方体是棱柱,但是上下、左右、前后的相对的平面都是互相平行的,C不正确; 对于D,斜棱柱的侧面可以不是矩形,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2.[探究点一(角度1)]下面多面体中,是棱柱的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D 解析 根据棱柱的定义进行判定,知这4个图都满足. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3.[探究点一(角度2)]如图,在三棱台A'B'C'-ABC中,截去三棱锥A'-ABC,则剩余部分是(　　) A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱台 B 解析 剩余部分是四棱锥A'-BCC'B'. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4.(多选题)[探究点一]关于简单几何体的结构特征,下列说法正确的 是(　 ) A.棱柱的侧棱长都相等 B.棱锥的侧棱长都相等 C.三棱台的上、下底面是相似三角形 D.有的棱台的侧棱长都相等 ACD 解析 根据棱锥的结构特征知,棱锥的侧棱相交于一点但长度不一定相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5.[探究点二]在下列四个平面图形中,每个小四边形皆为正方形,其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是(　　) C 解析 动手将四个选项中的平面图形折叠,看哪一个可以折叠围成正方体即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6.[探究点一]如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是(　　) A.棱柱 B.棱台 C.棱柱与棱锥的组合体 D.不能确定 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7.[探究点一(角度1)]一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长为　　　　cm.  12 解析 n棱柱有2n个顶点,因为此棱柱有10个顶点,所以此棱柱为五棱柱. 又棱柱的侧棱都相等,五条侧棱长的和为60 cm,可知每条侧棱长为12 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8.[探究点一(角度2)]若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2,则上、下底面的面积之比是　　　　　.  1∶4 解析 由棱台的结构特征知,棱台上、下底面是相似多边形,面积之比为对应边之比的平方,即1∶4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9.[探究点二]如图,M是棱长为2 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是　　　　　 cm.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10.[探究点一(角度1)]如图所示的是一个长方体ABCD-A1B1C1D1. (1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么? (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分,各部分形成的几何体还是棱柱吗?如果是,是几棱柱?并用符号表示;如果不是,请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 (1)是棱柱,并且是四棱柱,因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面),其余各面都是矩形(作侧面),且相邻侧面的公共边互相平行,符合棱柱的定义. (2)截面BCNM的上方部分是三棱柱BB1M-CC1N,下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11.[探究点一(角度2)]按下列条件分割三棱台ABC-A1B1C1(不需要画图,各写出一种分割方法即可). (1)一个三棱柱和一个多面体; (2)三个三棱锥. 解 (1)在AC上取点D,使DC=A1C1,在BC上取点E,使EC=B1C1,连接A1D,B1E,DE,则得三棱柱A1B1C1-DEC与一个多面体A1B1BEDA.(答案不唯一) (2)连接AB1,AC1,BC1,则可分割成三棱锥A-A1B1C1,三棱锥A-BCC1,三棱锥A-BB1C1.(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 级 关键能力提升练 12.(多选题)一个多面体的所有棱长都相等,那么这个多面体一定不可能 是(　　) A.三棱锥 B.四棱台 C.六棱锥 D.六面体 BC 解析 当三棱锥是正四面体时,满足题意,所以A可能.棱台的上底面与下底面的边长不相等,所以不满足题意,所以B不可能.假设六棱锥的所有棱长都相等,则它的每个侧面均为等边三角形,每个侧面的顶角均为60°,所以六棱锥的顶点会在底面上,所以C不可能.当六面体是正方体时,满足题意,所以D有可能.故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.设集合M={正四棱柱},N={长方体},P={直四棱柱},Q={正方体},则这四个集合之间的关系是(　　) A.P⊆N⊆M⊆Q B.Q⊆M⊆N⊆P C.P⊆M⊆N⊆Q D.Q⊆N⊆M⊆P B 解析 根据定义知,正方体是特殊的正四棱柱,正四棱柱是特殊的长方体,长方体是特殊的直四棱柱,所以{正方体}⊆{正四棱柱}⊆{长方体}⊆{直四棱柱},故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.下图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是(　　) B 解析 将其折叠起来,变成正方体后的图形中,相邻的平面中三条线段是平行线,排除A,C;相邻平面只有两个是空白面,排除D;故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15.下列说法正确的有　　　　　个.  ①棱台的侧棱都相等; ②正棱锥的侧面是等边三角形; ③底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析 ①错误,根据棱台的定义可知,棱台的侧棱不一定都相等,故此说法是错误的; ②错误,正棱锥的侧面都是等腰三角形,不一定是等边三角形,故错误; ③错误,由已知条件知,此三棱锥的三个侧面未必全等,所以不一定是正三棱锥. 如图所示的三棱锥中有AB=AD=BD=BC=CD,满足底面△BCD为等边三角形,三个侧面△ABD,△ABC,△ACD都是等腰三角形,但AC长度不一定,三个侧面不一定全等,故错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16.如图,在边长为2a的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问: (1)折起后形成的几何体是什么几何体? (2)这个几何体共有几个面,每个面的三角形有何特点? (3)每个面的三角形面积为多少? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 (1)如图,折起后的几何体是三棱锥. (2)这个几何体共有4个面,其中△DEF为等腰三角形,△PEF为等腰直角三角形,△DPE和△DPF均为直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C 级 学科素养创新练 17.如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面△AEF,求△AEF周长的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 将三棱锥沿侧棱VA剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,如图,线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值. ∵∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°, ∴∠AVA1=90°. 又VA=VA1=4,∴AA1=4 . ∴△AEF周长的最小值为4 . 棱柱 四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱 正方体 ①若使矩形ABB1A1与矩形A1B1C1D1共面,可求得 AC1==4. ②若使矩形ABCD与矩形BCC1B1共面,可求得 AC1==3. ③若使矩形ABB1A1与矩形BCC1B1共面,可求得 AC1=. 相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为. (3)S△PEF=a2, S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2, S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-a2-a2-a2=a2. $$