3.2 双曲线检测达标卷-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2024-2025 高二3.2 双曲线 检测达标卷（人教A版2019） 数学 本试卷共10页，19小题，满分150分. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为（    ）. A． B． C． D． 2.已知双曲线与双曲线，则两双曲线的（    ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 3. 已知双曲线的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4. 已知双曲线的一条渐近线过点，则双曲线离心率为（  ） A． B． C． D． 5. 已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，F是C的焦点，点P为C的右支上位于第一象限的点，且轴.若直线PB与直线PA的斜率之比为3，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 6. 已知点F是双曲线（）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，设点为右支上一点，点到直线的距离为，过的直线与双曲线的右支有两个交点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B． C．直线的斜率的取值范围是 D．的内切圆圆心到轴的距离为1 8. 如图，已知是双曲线的左､右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 2、 选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确的是（    ） A．M的离心率为 B．M的标准方程为 C．M的渐近线方程为 D．直线经过M的一个焦点 10. 已知双曲线的左､右焦点分别是，为双曲线右支上的动点，，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率 B．双曲线与双曲线共渐近线 C．若点的横坐标为3，则直线的斜率与直线的斜率之积为 D．若，则的内切圆半径为 11. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（    ）              A．射线所在直线的斜率为，则 B．当时， C．当过点时，光线由到再到所经过的路程为13 D．若点坐标为，直线与相切，则 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，存在过点的直线与双曲线的右支交于两点，且为正三角形．试写出一个满足上述条件的双曲线的方程： ． 13. 如图，双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且四边形为等腰梯形，，，则双曲线C的离心率为 . 14. 知为双曲线上一点，以为切点的切线为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，则（为坐标原点）的面积为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知双曲线的焦点坐标为，，实轴长为4， （1）求双曲线的标准方程； （2）若双曲线上存在一点使得，求的面积． 16. 已知双曲线过点，且离心率 (1)求该双曲线的标准方程： (2)如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值. 17.已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，动点M满足|| MF₁ | -| MF₂|| =4. (1)求动点M的轨迹C的方程： (2)已知点A(-2，0)，B(2，0)，当点M与A，B不重合时，设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，证明:为定值. 18.已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一个焦点坐标为(3，0)，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，O为坐标原点． (1)求双曲线C的方程； (2)直线l与x轴正半轴相交于一点D，与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，证明：△MON的面积为定值，并求出该定值． 19. 已知双曲线中心为坐标原点，左焦点为，，离心率为． （1）求的方程； （2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于，证明在定直线上 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025 高二3.2 双曲线 检测达标卷答案 （人教A版2019） 一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分。每小题只有一个选项符合题意） 1.A 2.D 3.D 4.C 5.C 6.B 7.D 8.D 2、 选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 (9).ACD (10).AC (11).ABD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. (12). (13). (14). 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.【详解】（1）设双曲线方程为， 由条件知，， ∴， ∴双曲线的方程为． （2）由双曲线的定义可知，． ∵， ∴，即 ∴， ∴的面积 16.（1）由题意，解得，， 故双曲线方程为 （2）设点，， 设直线的方程为， 代入双曲线方程，得， ，，， 同理， . 17（1）由题意可得，可得，， 所以椭圆的的方程为：； （2）设，， 联立，整理可得，可得，， 所以；      （3）设，，由题意可得，， 将，的坐标代入可得：， 作差整理可得：， 即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即    18.（1）由题可知，解得，则：； （2）由于直线与双曲线右支相切(切点不为右顶点)，则直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，， 令，则，则． 联立得，， 则，即． 双曲线两条渐近线方程为， 联立得，， 联立得，， ， 故的面积为定值． 19.（1）双曲线中心为原点，左焦点为，，离心率为， 则，解得， 故双曲线的方程为； （2）证明：过点的直线与的左支交于，两点， 则可设直线的方程为，，，，， 记的左，右顶点分别为，， 则，， 联立，化简整理可得，， 故△且， ，， 直线的方程为，直线方程， 故 ， 故，解得， 所以， 故点在定直线上运动 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$