2024-2025学年人教版九年级数学上点拨训练 第08讲一元二次方程的根与系数的关系

人教版九年级数学上 点拨*训练 第08讲 一元二次方程的根与系数的关系 1、 学习目标： 1.探索一元二次方程的根与系数的关系。 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题。 二、老师告诉你 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）的应用常常涉及一下代数式的一些重要变形，需要牢牢记住： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨。 三、知识点拨 1.知识导航 2.知识点梳理 知识点1 一元二次方程根与系数的关系 （1）语言表达：对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. （2）数学表达：对于一元二次方程，若，则。 若一元二次方程的两个实数根是，当，则 注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0。 【新知导学】 例1-1．一元二次方程x2-2x+a=0的一根是3，则另外一根是（　　） A. 3 B. 1 C. -3 D. -1 例1-2．已知x1，x2是一元二次方程x2=2x+1的两个根，则x1+x2的值为（　　） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 【对应导练】 1．若x1，x2是方程x2-6x-7=0的两个根，则（　　） A. x1+x2=6 B. x1+x2=-6 C. x1x2= D. x1x2=7 2．若关于的一元二次方程的两个根为，，则这个方程可能是（  ） A. B. C. D. 3．关于x的一元二次方程的一个根是3，则另一个根是___________． 4．已知关于x的方程的根为，则的值为__________． 知识点2 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）的应用 （1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可检验两个数是不是一元二次方程的两个根； （2）已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； （3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值。 （4）已知方程的两根，求作一个一元二次方程； （5）已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号。 【新知导学】 例2-1 .不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： （1）﹣2x2+3＝0； （2）x2﹣7x﹣3＝0； （3）3x（x﹣2）＝5． 例2-2．已知方程的一个根是1，求另一根和m的值? 例2-3．若,是方程的两实数根,求下列各式的值. (1)； (2)； (3). . 例2-4．如果方程的两个根是,，那么,，请根据以上结论，解决下列问题： （1）若，求方程的两根． （2）已知实数a、b满足,，求的值； （3）已知关于x的方程，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数． 例2-5．已知关于x的一元二次方程的两实数根满足，求a的取值范围 例2-6．已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若此方程的两实数根满足，求的值． 例2-7．一元二次方程的两根为和,则_______. 【对应导练】 1．一元二次方程x2-2x+a=0的一根是3，则另外一根是（　　） A. 3 B. 1 C. -3 D. -1 2．已知a,b是一元二次方程x2+x-8=0的两个实数根，则代数式a2+2a+b的值等于（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3．已知关于的一元二次方程有实数根 （1）求的取值范围 （2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值 4．关于x的一元二次方程x2-（k-3）x-2k+2=0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两根分为x1、x2，且，求k的值． 5．已知关于x的方程x2-（k-1）x+k+1=0的两个实数根的平方和等于4，实数k的值． 6 .已知a，b是方程的两个根，则的值 ． 4、 题型训练 1. 一元二次方程根与系数的关系在求代数式的值中的应用 1．已知关于x的一元二次方程x2-2（1-m）x+m2=0． （1）若该方程有实数根，求m的取值范围． （2）若m=-1时，求的值． 2．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22=12，求m的值． 2. 一元二次方程根与系数的关系在满足关系式的字母值中的应用 3．关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2=0有两个实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k,使得x1+x2和x1x2互为相反数？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 4．已知关于x的一元二次方程x2-4x+m=0， （1）若方程有两个实数根，求m的范围； （2）若方程的两个实数根为x1、x2，且（x1-2）2+（x2-2）2+m2=23，求m的值． 3. 一元二次方程根与系数的关系在几何图形有关问题应用 5．已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4k-3=0． （1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当一矩形ABCD的对角线长为AC=，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长． 6．已知关于x的方程x2-（k+3）x+3k=0． （1）求证：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若斜边为5的直角三角形的两条直角边长分别是方程的两根，求k的值． 4. 一元二次方程根与系数的关系与根的情况的综合应用 7．阅读材料，解答问题： 已知实数m,n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n,则m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n=1，mn=-1． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 已知实数a,b满足：a2-7a+1=0，b2-7b+1=0且a≠b,则a+b=_____，ab=_____； （2）间接应用： 在（1）的条件下，求的值； （3）拓展应用： 已知实数m,n满足：，n2-n=7且mn≠-1，求的值． 8．阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程（x2）2-13x2+36=0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y=x2，则原方程可化为y2-13y+36=0，经过运算，原方程的解为x1，2=±2，x3，4=±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m,n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n,显然m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n=1，mn=-1． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 方程x4-5x2+6=0的解为 _____； （2）间接应用： 已知实数a,b满足：2a4-7a2+1=0，2b4-7b2+1=0且a≠b,求a4+b4的值； （3）拓展应用： 已知实数m,n满足：+=7，n2-n=7且n＞0，求+n2的值． 五、牛刀小试 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．一元二次方程其中一个根是0,则另一个根的值是( ) A.0 B.1 C.2 D. 2．若,是关于x的一元二次方程的两个根,,则b的值为( ) A.-3 B.3 C.-5 D.5 3．已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根,且满足,则m的值是( ) A.3 B.1 C.3或 D.或1 4．已知方程的两个实数根分别为,,则式子的值等于( ) A. B.0 C.2 D.6 5．已知m,n是方程的两个实数根,则的值为( ) A.1 B.3 C. D. 6．设a、b是一元二次方程的两个根,则的值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 7．关于的方程的两根的平方和是5，则的值是( ) A.-1或5 B.1 C.5 D.-1 8．若，是方程的两个实数根，则的值为( ) A.2015 B.2022 C. D.4010 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．若a,b是一元二次方程的两个实数根,则的值为______. 10．关于x的方程有两个不相等的实数根,,且,则_____. 11．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是________. 12．已知，是方程的两个实数根，则的值为______. 13．已知，且，则的值为__________. . 三、解答题(共6小题，共48分） 14．（6分）解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积: (1) (2) 15．（8分）若是一元二次方程的两个根， 求下列代数式的值. （1）； （2）. 16．（8分）已知:关于x的方程. (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)若方程的一个根是-1，求另一个根及k值. 17．（8分）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，是否存在实数k，使成立？若存在.求出k的值;若不存在，请说明理由. 18．（8分）阅读材料: 已知，，且，求的值. 解:由及，可知， 可变形为. 又，， p与一是方程的两个不相等的实数根， ， 根据材料所提供的方法，完成下面的解答 已知，，且，求的值. 19 .（10分）已知关于x的方程有两实数根，， (1)若，求k的值． (2)是否存在实数k满足，若存在请求出k的值，若不存在请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版九年级数学上 点拨*训练 第08讲 一元二次方程的根与系数的关系（解析版） 1、 学习目标： 1.探索一元二次方程的根与系数的关系。 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题。 二、老师告诉你 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）的应用常常涉及一下代数式的一些重要变形，需要牢牢记住： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨。 三、知识点拨 1.知识导航 2.知识点梳理 知识点1 一元二次方程根与系数的关系 （1）语言表达：对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. （2）数学表达：对于一元二次方程，若，则。 若一元二次方程的两个实数根是，当，则 注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0。 【新知导学】 例1-1．一元二次方程x2-2x+a=0的一根是3，则另外一根是（　　） A. 3 B. 1 C. -3 D. -1 【答案】D 【解析】将x=3代入方程即可求出a的值． 解：将x=3代入方程可得：9-6+a=0， ∴a=-3， x2-2x-3=0， （x-3）（x+1）=0 x=3或x=-1， 故选：D． 例1-2．已知x1，x2是一元二次方程x2=2x+1的两个根，则x1+x2的值为（　　） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 【答案】B 【解析】把原方程化为一般形式，再利用两根之和等于-，即可求出x1+x2的值． 解：把原方程化为一般形式为x2-2x-1=0， ∵x1，x2是一元二次方程x2=2x+1的两个根， ∴x1+x2=2． 故选：B． 【对应导练】 1．若x1，x2是方程x2-6x-7=0的两个根，则（　　） A. x1+x2=6 B. x1+x2=-6 C. x1x2= D. x1x2=7 【答案】A 【解析】根据一元二次方程根与系数的关系进行判断即可． 解：∵x1，x2是方程x2-6x-7=0的两个根， ∴x1+x2=6，x1x2=-7， 故选：A． 2．若关于的一元二次方程的两个根为，，则这个方程可能是（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】先计算出，，然后根据根与系数的关系得到满足条件的方程可为． 解：，， ，， 以，为根的一元二次方程可为． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，． 3．关于x的一元二次方程的一个根是3，则另一个根是___________． 【答案】 【解析】设方程的另一根为 则由一元二次方程根与系数的关系可得：从而可得答案. 解：关于x的一元二次方程的一个根是3， 设方程的另一根为 则 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握“一元二次方程根与系数的关系”是解本题的关键. 4．已知关于x的方程的根为，则的值为__________． 【答案】19 【解析】化成一般式，确定，直接代入计算即可． ∵， ∴ ∵方程的根为， ∴， ∴， 故答案：19． 【点睛】本题考查了根与系数关系定理，正确理解定理，并活用定理是解题的关键． 知识点2 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）的应用 （1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可检验两个数是不是一元二次方程的两个根； （2）已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； （3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值。 （4）已知方程的两根，求作一个一元二次方程； （5）已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号。 【新知导学】 例2-1 .不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： （1）﹣2x2+3＝0； （2）x2﹣7x﹣3＝0； （3）3x（x﹣2）＝5． 【分析】（1）根据方程的系数，结合“两根之和等于，两根之积等于”，即可求出方程﹣2x2+3＝0的两根之和与两根之积； （2）根据方程的系数，结合“两根之和等于，两根之积等于”，即可求出方程x2﹣7x﹣3＝0的两根之和与两根之积； （3）将原方程化为一般式，根据方程的系数，结合“两根之和等于，两根之积等于”，即可求出方程3x（x﹣2）＝5的两根之和与两根之积． 【解答】解：（1）∵a＝﹣2，b＝0，c＝3， ∴x1+x20，x1•x2； （2）∵a＝1，b＝﹣7，c＝﹣3， ∴x1+x27，x1•x23； （3）原方程化为一般式为3x2﹣6x﹣5＝0． ∵a＝3，b＝﹣6，c＝﹣5， ∴x1+x22，x1•x2． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的一般式，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 例2-2．已知方程的一个根是1，求另一根和m的值? 答案：6 解析：设方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系得，， 解得，， 所以另一根为2，m的值为6. 例2-3．若,是方程的两实数根,求下列各式的值. (1)； (2)； (3). 答案：(1) (2) (3) 解析：(1)∵,是方程的两实数根, ∴,, ∴； (2)； (3)∵,是方程的两实数根, ∴, ∴, ∴. 例2-4．如果方程的两个根是,，那么,，请根据以上结论，解决下列问题： （1）若，求方程的两根． （2）已知实数a、b满足,，求的值； （3）已知关于x的方程，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数． 答案：（1）当，则方程为， 解得： （2）∵a、b满足， ∴a、b是的解， 当时，， ； 当时，原式． （3）设方程，的两个根分别是， 则，， 则方程的两个根分别是已知方程两根的倒数 例2-5．已知关于x的一元二次方程的两实数根满足，求a的取值范围 答案：解：该一元二次方程有两个实数根， ， 解得：， 由韦达定理可得， ，， 解得：， ． 例2-6．已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若此方程的两实数根满足，求的值． 答案：解：（1）∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，即， 解得． （2）由根与系数的关系可得， ∴， ∵， ∴，解得，或， ∵， ∴（舍去）， ∴． 例2-7．一元二次方程的两根为和,则_______. 答案：2024 解析：∵ ∴ ∵一元二次方程的两根为和, ∴ 即 ∴ 故答案为：2024. 【对应导练】 1．一元二次方程x2-2x+a=0的一根是3，则另外一根是（　　） A. 3 B. 1 C. -3 D. -1 【答案】D 【解析】将x=3代入方程即可求出a的值． 解：将x=3代入方程可得：9-6+a=0， ∴a=-3， x2-2x-3=0， （x-3）（x+1）=0 x=3或x=-1， 故选：D． 2．已知a,b是一元二次方程x2+x-8=0的两个实数根，则代数式a2+2a+b的值等于（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】根据根与系数的关系可得a+b==-1，ab==-8，将a2+2a+b变形为a（a+1）+（a+b），再前面括号中的a用-1-b替换得-ab+a+b,最后将ab,a+b的值代入计算即可求解． 解：∵a,b是一元二次方程x2+x-8=0的两个实数根， ∴a+b==-1，ab==-8， ∴a=-1-b, ∴a2+2a+b =a2+a+（a+b） =a（a+1）+（a+b） =a（-1-b+1）+（a+b） =-ab+a+b =8-1 =7． 故选：A． 3．已知关于的一元二次方程有实数根 （1）求的取值范围 （2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）根据一元二次方程的根与判别式的关系，只需△≥0解不等式即可求出m的范围； （2）根据一元二次方程根与系数关系：，即可求解． （1）根据题意得： ， 解得：， ∴m的取值范围为m≤4； （2）根据题意得：， ， ∴，即， 解得：， 即m的值为3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式、一元二次方程根与系数关系、解一元一次不等式、解一元一次方程，熟练掌握用判别式判断一元二次方程根的情况，会灵活运用根与系数关系求解是解答的关键． 4．关于x的一元二次方程x2-（k-3）x-2k+2=0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两根分为x1、x2，且，求k的值． 【解析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2-4ac,可得出Δ=（k+1）2≥0，进而可证出方程总有两个实数根； （2）利用根与系数的关系可得出x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，结合可得出关于k的一元二次方程，解之即可求出k的值． （1）证明：∵a=1，b=-（k-3），c=-2k+2， ∴Δ=b2-4ac=[-（k-3）]2-4×1×（-2k+2）=k2+2k+1=（k+1）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2-（k-3）x-2k+2=0的两个实数根， ∴x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2， ∵， ∴（x1+x2）2-x1x2=19， ∴（k-3）2-（-2k+2）=19， 整理得：k2-4k-12=0， 解得：k1=-2，k2=6， ∴k的值为-2或6． 5．已知关于x的方程x2-（k-1）x+k+1=0的两个实数根的平方和等于4，实数k的值． 【解析】由方程有两个实数根，可得根的判别式大于等于0，列出关于k的不等式，然后设出方程的两个根分别为x1，x2，用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，根据两根的平方和等于4及完全平方公式列出关于k的方程，求出方程的解，得到k的值，代入关于k的不等式中检验，可得出满足题意的k的值． 解：∵方程x2-（k-1）x+k+1=0有两个实数根， ∴b2-4ac=（k-1）2-4（k+1）=k2-6k-3≥0， 可设方程的两个根分别为x1，x2， 则有x1+x2=-=k-1，x1x2==k+1， 又两个实数根的平方和等于4，即x12+x22=4， ∴（x1+x2）2-2x1x2=x12+x22=4，即（k-1）2-2（k+1）=4， 整理得：k2-4k-5=0，即（k-5）（k+1）=0， 解得：k=5或k=-1， 当k=5时，k2-6k-3=-8＜0，不合题意，舍去， 当k=-1时，k2-6k-3=4＞0，符合题意， 则实数k的值为-1． 6 .已知a，b是方程的两个根，则的值 ． 【答案】 【分析】由根与系数关系知，，即知a＜0，b＜0，化简原式，所以原式 故答案为：﹣14． 【详解】解：∵a，b是方程的两个根， ∴，， ∴a＜0，b＜0， ∴ ∴原式 故答案为：﹣14． 【点睛】本题主要考查根与系数关系、完全平方公式变形及二次根式的运算及化简；能够根据a,b的关系式确定其取值范围，进而准确处理二次根式的运算及化简是解题的关键． 4、 题型训练 1. 一元二次方程根与系数的关系在求代数式的值中的应用 1．已知关于x的一元二次方程x2-2（1-m）x+m2=0． （1）若该方程有实数根，求m的取值范围． （2）若m=-1时，求的值． 【解析】（1）先用m的式子表示根的判别式，再根据方程有实数根知△≥0，列出不等式求解即可得m的取值范围； （2）把m=-1代入方程，再根据根与系数的关系求得两根的和与积，再把变形，代入求解即可． 解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-2（1-m）x+m2=0有实数根， 则Δ=b2-4ac≥0， 即[-2（1-m）]2-4×1×m2≥0， ∴， ∴m的取值范围； （2）当m=-1时，x2-4x+1=0， 设x1，x2是方程x2-4x+1=0的两根， ∴x1+x2=4，x1x2=1， ∴， ∴=． 2．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22=12，求m的值． 【解析】（1）根据判别式的意义得到Δ=（2m）2-4（m2+m）≥0，然后解关于m的不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2=-2m,x1x2=m2+m,利用整体代入的方法得到m2-m-6=0，然后解关于m的方程即可． 解：（1）根据题意得Δ=（2m）2-4（m2+m）≥0， 解得m≤0． 故m的取值范围是m≤0； （2）根据题意得x1+x2=-2m,x1x2=m2+m, ∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2=12， ∴（-2m）2-2（m2+m）=12，即m2-m-6=0， 解得m1=-2，m2=3（舍去）． 故m的值为-2． 2. 一元二次方程根与系数的关系在满足关系式的字母值中的应用 3．关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2=0有两个实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k,使得x1+x2和x1x2互为相反数？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）利用判别式的意义得到Δ=（2k-1）2-4k2≥0，然后解不等式即可； （2）利用根与系数的关系得到∵x1+x2=-（2k-1），x1x2=k2，则利用x1+x2和x1x2互为相反数得到-（2k-1）+k2=0，解得k1=k2=1，不满足△≥0，从而可判断不存在实数k满足条件． 解：（1）根据题意得Δ=（2k-1）2-4k2≥0， 解得k≤； （2）不存在． ∵x1+x2=-（2k-1），x1x2=k2， 而x1+x2和x1x2互为相反数， ∴-（2k-1）+k2=0，解得k1=k2=1， ∵k≤， ∴不存在实数k,使得x1+x2和x1x2互为相反数． 4．已知关于x的一元二次方程x2-4x+m=0， （1）若方程有两个实数根，求m的范围； （2）若方程的两个实数根为x1、x2，且（x1-2）2+（x2-2）2+m2=23，求m的值． 【解析】（1）由根的情况，根据判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围； （2）由方程根的定义可把（x1-2）2+（x2-2）2+m2=23化为关于m的方程，则可求得m的值． 解： （1）∵关于x的一元二次方程x2-4x+m=0有两个实数根， ∴△≥0，即（-4）2-4m≥0，解得m≤4； （2）∵x1、x2是方程x2-4x+m=0的两个实数根， ∴-4x1=-m,-4x2=-m, ∵（x1-2）2+（x2-2）2+m2=23， ∴-4x1+4+-4x2+4+m2=23， 即m2-2m-15=0，解得m=5或m=-3， 又m≤4， ∴m=-3． 3. 一元二次方程根与系数的关系在几何图形有关问题应用 5．已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4k-3=0． （1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当一矩形ABCD的对角线长为AC=，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长． 【解析】（1）计算判别式的值得到Δ=（2k-3）2+4，利用非负数的性质得到Δ＞0，从而根据判别式的意义得到结论； （2）利用根与系数的关系得到AB+BC=2k+1，AB•BC=4k-3，利用矩形的性质和勾股定理得到AB2+BC2=AC2=（）2，则（2k+1）2-2（4k-3）=31，解得k1=3，k2=-2，利用AB、BC为正数得到k的值为3，然后计算AB+BC得到矩形ABCD的周长． （1）证明：Δ=（2k+1）2-4（4k-3） =4k2+4k+1-16k+12 =4k2-12k+13 =（2k-3）2+4， ∵（2k-3）2≥0， ∴Δ＞0， ∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）根据题意得AB+BC=2k+1，AB•BC=4k-3， 而AB2+BC2=AC2=（）2， ∴（2k+1）2-2（4k-3）=31， 整理得k2-k-6=0，解得k1=3，k2=-2， 而AB+BC=2k+1＞0，AB•BC=4k-3＞0， ∴k的值为3， ∴AB+BC=7， ∴矩形ABCD的周长为14． 6．已知关于x的方程x2-（k+3）x+3k=0． （1）求证：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若斜边为5的直角三角形的两条直角边长分别是方程的两根，求k的值． 【解析】（1）对于一元二次方程根的情况需判断Δ的值，可得结论； （2）设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,利用根与系数的关系可以得到a+b,ab的值，利用勾股定理化简带入求k的值． （1）证明：∵Δ=[-（k+3）]2-4×1×3k=k2-6k+9=（k-3）2≥0 ∴无论k取何值，方程总有实数根； （2）解：设直角三角形的两条直角边长分别为a,b, 则a+b=k+3＞0，ab=3k＞0， ∴k＞0， 又a2+b2=25，（a+b）2-2ab=25， ∴（k+3）2-2×3k=25， 解得：k=±4， ∵k＞0， ∴k=-4应舍去， ∴k=4． 4. 一元二次方程根与系数的关系与根的情况的综合应用 7．阅读材料，解答问题： 已知实数m,n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n,则m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n=1，mn=-1． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 已知实数a,b满足：a2-7a+1=0，b2-7b+1=0且a≠b,则a+b=_____，ab=_____； （2）间接应用： 在（1）的条件下，求的值； （3）拓展应用： 已知实数m,n满足：，n2-n=7且mn≠-1，求的值． 【答案】(1)7;(2)1; 【解析】（1）由韦达定理即可求解； （2）结合（1）的过程，将平方后变形为+，再代入数据即可得出结论； （3）令，-n=b,则a2+a-7=0，b2+b-7=0，可得a,b是方程x2+x-7=0的两个不相等的实数根，可得∴，将其代入即可求解． 解：（1）∵实数a,b满足：a2-7a+1=0，b2-7b+1=0且a≠b, ∴a,b是方程x2-7x+1=0的两个不相等的实数根， ∴a+b=7，ab=1． 故答案为：7，1； （2）由（1）得，（）2=++=+=7+2=9， ∴（取正）； （3）令，-n=b,则a2+a-7=0，b2+b-7=0， ∵mn≠-1， ∴，即a≠b, ∴a,b是方程x2+x-7=0的两个不相等的实数根， ∴， 故． 8．阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程（x2）2-13x2+36=0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y=x2，则原方程可化为y2-13y+36=0，经过运算，原方程的解为x1，2=±2，x3，4=±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m,n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n,显然m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n=1，mn=-1． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 方程x4-5x2+6=0的解为 _____； （2）间接应用： 已知实数a,b满足：2a4-7a2+1=0，2b4-7b2+1=0且a≠b,求a4+b4的值； （3）拓展应用： 已知实数m,n满足：+=7，n2-n=7且n＞0，求+n2的值． 【答案】x1=，x2=-，x3=，x4=- 【解析】（1）利用换元法降次解决问题； （2）模仿例题解决问题即可； （3）令=a,-n=b,则a2+a-7=0，b2+b-0，再模仿例题解决问题． 解：（1）令y=x2，则有y2-5y+6=0， ∴（y-2）（y-3）=0， ∴y1=2，y2=3， ∴x2=2或3， ∴x1=，x2=-，x3=，x4=-； 故答案为：x1=，x2=-，x3=，x4=-； （2）∵a≠b, ∴a2≠b2或a2=b2， ①当a2≠b2时，令a2=m,b2=n. ∴m≠n,则2m2-7m+1=0，2n2-7n+1=0， ∴m,n是方程2x2-7x+1=0的两个不相等的实数根， ∴， 此时a4+b4=m2+n2=（m+n）2-2mn=． ②当a2=b2（a=-b）时，a2=b2=，此时a4+b4=2a4=2（a2）2=， 综上所述，a4+b4=或． （3）令=a,-n=b,则a2+a-7=0，b2+b-7=0， ∵n＞0， ∴≠-n,即a≠b, ∴a,b是方程x2+x-7=0的两个不相等的实数根， ∴， 故+n2=a2+b2=（a+b）2-2ab=15． 五、牛刀小试 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．一元二次方程其中一个根是0,则另一个根的值是( ) A.0 B.1 C.2 D. 答案：C 解析：∵, ∴,,, 设,另一个根为, ∵, ∴, 故选：C. 2．若,是关于x的一元二次方程的两个根,,则b的值为( ) A.-3 B.3 C.-5 D.5 答案：A 解析：由题意得：,, ∵, ∴, ∴, 故选：A. 3．已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根,且满足,则m的值是( ) A.3 B.1 C.3或 D.或1 答案：A 解析：∵、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根, ∴, 解得：, 又∵,,, ∴, ∴ 即 解得：或, ∵, ∴, 故选：A. 4．已知方程的两个实数根分别为,,则式子的值等于( ) A. B.0 C.2 D.6 答案：B 解析：由可得：,, ∴； 故选B. 5．已知m,n是方程的两个实数根,则的值为( ) A.1 B.3 C. D. 答案：C 解析：∵m,n是方程的两个实数根, ∴,,, ∴ . 故选：C. 6．设a、b是一元二次方程的两个根,则的值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案：C 解析：由题意知,,,即, 则. 故选C. 7．关于的方程的两根的平方和是5，则的值是( ) A.-1或5 B.1 C.5 D.-1 答案：D 解析：设方程的两根为、，则，， ， ， ， ，， ， . 故选：D. 8．若，是方程的两个实数根，则的值为( ) A.2015 B.2022 C. D.4010 答案：B 解析：，是方程的两个实数根， ，， 原式 . 故选：B. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．若a,b是一元二次方程的两个实数根,则的值为______. 答案： 解析：根据根与系数的关系a+b=-, ab=-3, == 10．关于x的方程有两个不相等的实数根,,且,则_____. 答案：-1 解析：∵关于x的方程有两个不相等的实根、, ∴,, 依题意,即, 即,,, ∵关于x的方程有两个不相等的实根、,且有, ∴, ∴, ∴, 解得：,又, ∴. 11．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是________. 答案：14 解析：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， . 故答案为：14. 12．已知，是方程的两个实数根，则的值为______. 答案：0 解析：,是方程的根，所以α+β=3,αβ=-4,α2 -3α-4=0, =3α+4-3α+αβ=-4+4=0 13．已知，且，则的值为__________. 答案：3 解析：因为，所以，即，又因为，，即， 所以m，是方程的两个不相等的实数根， 所以， 所以. 三、解答题(共6小题，共48分） 14．（6分）解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积: (1) (2) 答案：(1) (2) 15．（8分）若是一元二次方程的两个根， 求下列代数式的值. （1）； （2）. 答案：（1）解：根据一元二次方程的根与系数的关系，得 （2） 16．（8分）已知:关于x的方程. (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)若方程的一个根是-1，求另一个根及k值. 答案： (1) 证明: 无论k取何值， 即 方程有两个不相等的实数根. (2)设另一根为，则， 解得 方程的另一个根为，k的值为1. 17．（8分）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，是否存在实数k，使成立？若存在.求出k的值;若不存在，请说明理由. 答案：解:不存在.理由如下: ∵一元二次方程有两个实数根， ，且， . 是方程的两个实数根， ， 又 经检验，是该分式方程的根. 又，∴不存在实数k，使成立. 解析： 18．（8分）阅读材料: 已知，，且，求的值. 解:由及，可知， 可变形为. 又，， p与一是方程的两个不相等的实数根， ， 根据材料所提供的方法，完成下面的解答 已知，，且，求的值. 答案：方法1:由，知， 得. . 根据与的特征， 得与是方程的两个不相等的实数根， . 方法2:由，得. 根据与的特征，且，得m与n是方程的两个不相等的实数根. ， . 19 .（10分）已知关于x的方程有两实数根，， (1)若，求k的值． (2)是否存在实数k满足，若存在请求出k的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用根与系数的关系得到，再由得到，解方程求出，再根据方程有解，利用根的判别式求出k的范围即可得到答案； （2）由题意可得，当，方程有两个相等的实数根，利用根的判别式求解即可；当时，则，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两实数根，， ∴， 又∵， ∴， 解得； ∵方程要有实数根， ∴， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴， 当是，则， ∴， 解得； 当时，则， 又∵， ∴（舍去）； 综上所述，存在实数满足． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$